ESERCITAZIONE 7 : FUNZIONI
Giacomo Tommei
e-mail: [email protected]
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Ricevimento: Martedi 16 - 18
Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126
20 Novembre 2012
Corso di recupero
Docente: Dott. Mattia Talpo
Martedı̀ ore 16-18 aula E piano terra Polo Fibonacci
Giovedı̀ ore 16-18 aula B piano terra Polo Fibonacci
Possibile test prima di Natale per il recupero del debito in Matematica
Giacomo Tommei
Funzioni
Definizioni ed esempi
Siano A e B due insiemi. Si dice corrispondenza da A a B un qualsiasi
sottoinsieme R del prodotto cartesiano A × B (R ⊆ A × B).
Se A = B, una corrispondenza in A × A si dice anche relazione in A.
Esempi
Sia A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}; una corrispondenza da A a B è ad
esempio R = {(2, 6), (1, 4), (3, 5)}.
S = {(n, m) ∈ N × Z : n = m2 } è una corrispondenza da N a Z.
T = {(n, m) ∈ Z × Z : n + m è pari} è una relazione in Z.
Giacomo Tommei
Funzioni
Definizioni ed esempi
Una relazione R in un insieme non vuoto A può essere
a) riflessiva: (x, x) ∈ R, ∀x ∈ A (si può scrivere anche xRx, ∀x ∈ A);
b) simmetrica: (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R, ∀x, y ∈ A (si può scrivere
anche xRy ⇒ yRx, ∀x, y ∈ A);
c) antisimmetrica: (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒ x = y (si può scrivere
anche xRy ∧ yRx ⇒ x = y);
d) transitiva: (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R, ∀x, y, z ∈ A (si può
scrivere anche xRy ∧ yRz ⇒ xRz, ∀x, y, z ∈ A).
Esempio
Sia C l’insieme delle circonferenze di un piano. In questo insieme si
consideri la relazione R: “la circonferenza α ha punti in comune con la
circonferenza β”. Di quali proprietà gode questa relazione?
Riflessiva e simmetrica
Giacomo Tommei
Funzioni
Definizioni ed esempi
Esempio
Sia P l’insieme dei poligoni di un piano. In questo insieme si consideri la
relazione R: “avere la stessa area”. Di quali proprietà gode questa
relazione?
Riflessiva, simmetrica, transitiva → Relazione d’equivalenza
Esempio
Considera la relazione “essere minore o uguale di” nell’insieme dei numeri
reali. Di quale proprietà gode?
Riflessiva, antisimmetrica, transitiva → Relazione d’ordine
Una relazione d’ordine in A è chiamata totale se due qualsiasi elementi
sono confrontabili; in caso contrario l’ordine è detto parziale. La relazione
“essere minore o uguale di” in R è totale.
Giacomo Tommei
Funzioni
Definizioni ed esempi
Dati due insiemi non vuoti A e B una funzione (o applicazione) f
dall’insieme A nell’insieme B è una qualsiasi legge o corrispondenza
che associa a ciascun elemento a dell’insieme A uno ed un solo
elemento b dell’insieme B.
A si dice il dominio e B il codominio di f . Per indicare
un’applicazione di A in B si usa la notazione
f :A→B
La funzione f è quindi una corrispondenza univoca: ad un elemento di
un insieme (il dominio) associa un solo elemento dell’altro insieme (il
codominio).
Giacomo Tommei
Funzioni
Definizioni ed esempi
Se S è un sottoinsieme di A (S ⊆ A) si dice immagine di S mediante f
e si indica con f (S) il sottoinsieme di B costituito dalle immagini
mediante f degli elementi di S:
f (S) = {b ∈ B : ∃ a ∈ S tale che f (a) = b}
L’insieme di tutti i valori che assume la funzione f si dice immagine
(di A secondo f ) e si indica con f (A).
Se T è un sottoinsieme di B si dice controimmagine o immagine
inversa di T mediante f e si indica con f −1 (T ) il sottoinsieme degli
elementi A le cui immagini mediante f appartengono a T :
f −1 (T ) = {a ∈ A : f (a) ∈ T }
Il grafico di un’applicazione f : A → B è un sottoinsieme G del
prodotto cartesiano A × B definito nel seguente modo:
G = {(a, b) ∈ A × B : b = f (a)}
Giacomo Tommei
Funzioni
Successioni e progressioni
Successioni
Una funzione a : N → B con dominio l’insieme dei numeri naturali è
spesso chiamata successione. Esempio: la funzione f : N → N data
da f (n) = 2 n + 1.
Progressioni
Sia data la successione di numeri reali a1 , a2 , . . . , an , . . .: è una
progressione aritmetica se la differenza fra qualsiasi termine della
successione ed il suo precedente è costante:
an − an−1 = d
∀n ∈ N ∧ n > 1
Il numero d è chiamato ragione della progressione. Se d = 0 si ha una
successione costante.
Sia data la successione di numeri reali a1 , a2 , . . . , an , . . .: è una
progressione geometrica se il rapporto fra qualsiasi termine della
successione ed il suo precedente è costante:
an
=q
∀n ∈ N ∧ n > 1
an−1
Il numero q è chiamato ragione della progressione. Se q = 1 si ha una
successione costante.
Giacomo Tommei
Funzioni
Progressioni aritmetiche
Vista la definizione di progressione aritmetica si ha
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2 d
a4 = a3 + d = a1 + 3 d
...
e quindi vale
an = a1 + (n − 1) d
che rappresenta la relazione che lega il termine n-esimo con il primo
termine a1 e la ragione d. Se volessimo determinare il termine n-esimo a
partire dal termine r-esimo (con r < n) dovremmo variare la precedente
espressione in questo modo:
an = ar + (n − r) d
La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica è data da
Sn =
a1 + an
n
2
Se pensi all’insieme dei numeri naturali come una progressione aritmetica
con ragione d = 1 è facile vedere che la somma dei primi n numeri naturali
è n (n + 1)/2.
Giacomo Tommei
Funzioni
Progressioni geometriche
Vista la definizione di progressione geometrica si ha
a2 = q a1
a3 = q a2 = q 2 a1
a4 = q a3 = q 3 a1
...
e quindi vale
an = q n−1 a1
che rappresenta la relazione che lega il termine n-esimo con il primo
termine e la ragione q. Se volessimo determinare il termine n-esimo a
partire dal termine r-esimo (con r < n) dovremmo variare la precedente
espressione in questo modo:
an = q n−r ar
La somma dei primi n termini di una progressione geometrica è data da
Sn = a1
qn − 1
1 − qn
= a1
1−q
q−1
Giacomo Tommei
Funzioni
Esercizio 1
Le misure degli angoli interni di un quadrilatero sono in progressione
aritmetica. Se l’angolo minore misura 75◦ , quanto misura il maggiore?
La somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360◦ , quindi, chiamando gli angoli αi con
i = 1, 2, 3, 4 e posto α1 ≤ α2 ≤ α3 ≤ α4 , si ha
◦
α1 + α2 + α3 + α4 = 360
(1)
Poiché, per ipotesi, i quattro angoli sono in progressione aritmetica, devono valere le seguenti
relazioni
α2 = α1 + d
α 3 = α1 + 2 d
α 4 = α1 + 3 d
che sostituite in (1) danno
◦
◦
⇔
α1 + α1 + d + α1 + 2 d + α1 + 3 d = 360
6 d = 360 − 4 α1
L’angolo α1 misura 75◦ quindi possiamo ricavare la ragione d
d=
360◦ − 4 α1
6
=
360◦ − 300◦
6
◦
= 10
e i valori degli angoli:
◦
◦
α2 = 75 + 10
◦
= 85
◦
◦
α3 = 85 + 10
Giacomo Tommei
◦
= 95
Funzioni
◦
◦
α4 = 95 + 10
◦
= 105
Esercizio 1
Le misure degli angoli interni di un quadrilatero sono in progressione
aritmetica. Se l’angolo minore misura 75◦ , quanto misura il maggiore?
La somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360◦ , quindi, chiamando gli angoli αi con
i = 1, 2, 3, 4 e posto α1 ≤ α2 ≤ α3 ≤ α4 , si ha
◦
α1 + α2 + α3 + α4 = 360
(1)
Poiché, per ipotesi, i quattro angoli sono in progressione aritmetica, devono valere le seguenti
relazioni
α2 = α1 + d
α 3 = α1 + 2 d
α 4 = α1 + 3 d
che sostituite in (1) danno
◦
◦
⇔
α1 + α1 + d + α1 + 2 d + α1 + 3 d = 360
6 d = 360 − 4 α1
L’angolo α1 misura 75◦ quindi possiamo ricavare la ragione d
d=
360◦ − 4 α1
6
=
360◦ − 300◦
6
◦
= 10
e i valori degli angoli:
◦
◦
α2 = 75 + 10
◦
= 85
◦
◦
α3 = 85 + 10
Giacomo Tommei
◦
= 95
Funzioni
◦
◦
α4 = 95 + 10
◦
= 105
Esercizio 2
Quattro numeri interi positivi hanno somma 80 e sono in progressione
geometrica. La somma dei due numeri più grandi vale 72. Calcola i quattro
numeri.
Indichiamo con a1 , a2 , a3 e a4 i quattro numeri e supponiamo che a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 .
Sappiamo che
a1 + a2 + a3 + a4 = 80
e
a3 + a4 = 72
da cui possiamo facilmente dedurre che a1 + a2 = 8. I numeri ai sono in progressione
geometrica quindi
2
3
a2 = q a1
a3 = q a1
a4 = q a1
Combinando a1 + a2 = 8 con a2 = q a1 si ottiene
a1 + a2 = a1 + q a1 = a1 (1 + q) = 8
2
(2)
3
Combinando a3 + a4 = 72 con a3 = q a1 e a4 = q a1 si ottiene
2
3
2
= 72
=9
⇔
a3 + a4 = q a1 + q a1 = a1 (1 + q) q
(3)
Ma da (2) sappiamo che a1 (1 + q) = 8 quindi
a1 (1 + q) q
2
= 72
⇔
8q
2
⇔
= 72
q
2
q = ±3
La soluzione q = −3 non è accettabile in quanto i numeri in progressione geometrica sono per
ipotesi positivi. La ragione è quindi uguale a 3 e possiamo ricavare il numero più piccolo da (2):
a1 =
8
1+q
=
8
4
=2
Gli altri numeri sono allora a2 = 6, a3 = 18 e a4 = 54.
Giacomo Tommei
Funzioni
Esercizio 2
Quattro numeri interi positivi hanno somma 80 e sono in progressione
geometrica. La somma dei due numeri più grandi vale 72. Calcola i quattro
numeri.
Indichiamo con a1 , a2 , a3 e a4 i quattro numeri e supponiamo che a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 .
Sappiamo che
a1 + a2 + a3 + a4 = 80
e
a3 + a4 = 72
da cui possiamo facilmente dedurre che a1 + a2 = 8. I numeri ai sono in progressione
geometrica quindi
2
3
a2 = q a1
a3 = q a1
a4 = q a1
Combinando a1 + a2 = 8 con a2 = q a1 si ottiene
a1 + a2 = a1 + q a1 = a1 (1 + q) = 8
2
(2)
3
Combinando a3 + a4 = 72 con a3 = q a1 e a4 = q a1 si ottiene
2
3
2
= 72
=9
⇔
a3 + a4 = q a1 + q a1 = a1 (1 + q) q
(3)
Ma da (2) sappiamo che a1 (1 + q) = 8 quindi
a1 (1 + q) q
2
= 72
⇔
8q
2
⇔
= 72
q
2
q = ±3
La soluzione q = −3 non è accettabile in quanto i numeri in progressione geometrica sono per
ipotesi positivi. La ragione è quindi uguale a 3 e possiamo ricavare il numero più piccolo da (2):
a1 =
8
1+q
=
8
4
=2
Gli altri numeri sono allora a2 = 6, a3 = 18 e a4 = 54.
Giacomo Tommei
Funzioni
Funzioni reali di variabile reale
f: R
→
R
La variabile indipendente x appartiene ad R ed anche la variabile
dipendente y appartiene ad R:
y = f (x)
Prima cosa da fare: studiare il dominio di esistenza, chiamato anche
campo di esistenza o insieme di definizione della funzione, ovvero il
più ampio sottoinsieme di R a partire dal quale sono effettuabili le
operazioni con cui è costruita la formula che definisce f .
Esempio
√
Il dominio della funzione y = 5 − x è l’insieme degli x reali per cui il
radicando è non negativo, 5 − x ≥ 0, quindi l’intervallo illimitato (−∞, 5].
Giacomo Tommei
Funzioni
Esercizio 3
Trova l’insieme di definizione delle seguenti funzioni reali di variabile reale:
a) y = 3 −√x2 + x5
d) y = 3 x x2 + 1
g) y = 4 log23 x
b) y = |x − 1|
e) y = 2 cos x/ sin x
h) y = e−7 x
c) y = −2/x2
f) y = cos 3 x
i) y = (x2 − 1)/(x3 + 1)
a) R
d) R
g) {x ∈ R : x > 0}
b) R
e) {x ∈ R : sin x 6= 0}
h) R
c) R − {0}
f) R
i) {x ∈ R : x 6= −1}
Giacomo Tommei
Funzioni
Esercizio 3
Trova l’insieme di definizione delle seguenti funzioni reali di variabile reale:
a) y = 3 −√x2 + x5
d) y = 3 x x2 + 1
g) y = 4 log23 x
b) y = |x − 1|
e) y = 2 cos x/ sin x
h) y = e−7 x
c) y = −2/x2
f) y = cos 3 x
i) y = (x2 − 1)/(x3 + 1)
a) R
d) R
g) {x ∈ R : x > 0}
b) R
e) {x ∈ R : sin x 6= 0}
h) R
c) R − {0}
f) R
i) {x ∈ R : x 6= −1}
Giacomo Tommei
Funzioni
Funzioni iniettive, surgettive e biunivoche
Una funzione f con dominio A e codominio B si dice iniettiva se ad
elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, cioè vale
∀x1 , x2 ∈ A
x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 )
Una funzione f con dominio A e codominio B, e tale che f (A) = B,
ovvero se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A,
si dice surgettiva (o suriettiva).
Una funzione f : A → B iniettiva e surgettiva è detta biunivoca (o
bigettiva, biiettiva). Tramite una tale funzione, ciascun elemento
del codominio è immagine di uno ed un solo elemento del dominio: se
y ∈ B, esiste un unico x ∈ A tale che y = f (x).
Giacomo Tommei
Funzioni
Esercizio 4
Determina per quale sottoinsieme I ⊆ R la funzione f : R → I data da
f (x) = 4 − x2 ha codominio I ed è surgettiva.
La funzione f (x) = 4 − x2 è definita per ogni valore reale però non è surgettiva: l’equazione
f (x) = k non ammette soluzione per ogni k ∈ R, infatti, se k > 4, tracciando la retta
orizzontale y = k non si ha intersezione con il grafico di f . Non prendendo però come
codominio tutto R, ma il sottoinsieme I = (−∞, 4] la funzione è surgettiva.
Giacomo Tommei
Funzioni
Esercizio 4
Determina per quale sottoinsieme I ⊆ R la funzione f : R → I data da
f (x) = 4 − x2 ha codominio I ed è surgettiva.
La funzione f (x) = 4 − x2 è definita per ogni valore reale però non è surgettiva: l’equazione
f (x) = k non ammette soluzione per ogni k ∈ R, infatti, se k > 4, tracciando la retta
orizzontale y = k non si ha intersezione con il grafico di f . Non prendendo però come
codominio tutto R, ma il sottoinsieme I = (−∞, 4] la funzione è surgettiva.
Giacomo Tommei
Funzioni
Esercizio 5
Determina se le seguenti funzioni sono iniettive, surgettive, biunivoche:
a) y = x2 √
−1
d) y = 3 x x2
g) y = 2 log10 x
b) y = |x|
e) y = sin x/ cos x
h) y = e−x
Giacomo Tommei
c) y = 1/x
f) y = 5 sin 2 x
i) y = (x2 − 1)/(x2 + 1)
Funzioni
Esercizio 6
Date le due funzioni reali di una variabile reale f e g
f (x) = x + 2
g(x) = 5 x
calcola f ◦ g e g ◦ f .
Iniziamo col calcolare f ◦ g. Partendo da un valore x ∈ R dobbiamo applicare la funzione g,
trovando un valore g(x) ∈ R e successivamente applicare a questo valore la funzione f :
x
g
7−→
5x
f
7−→
5x + 2
Otteniamo quindi (f ◦ g)(x) = 5 x + 2. Calcolando g ◦ f si ha
x
f
7−→
x+2
g
7−→
5 (x + 2) = 5 x + 10
e quindi (g ◦ f )(x) = 5 x + 10. Come vedi le due funzioni ottenute sono distinte, infatti, come
detto, la composizione di funzioni è un’operazione in generale non commutativa. Sapresti
trovare due funzioni la cui composizione è commutativa?
Giacomo Tommei
Funzioni
Esercizio 6
Date le due funzioni reali di una variabile reale f e g
f (x) = x + 2
g(x) = 5 x
calcola f ◦ g e g ◦ f .
Iniziamo col calcolare f ◦ g. Partendo da un valore x ∈ R dobbiamo applicare la funzione g,
trovando un valore g(x) ∈ R e successivamente applicare a questo valore la funzione f :
x
g
7−→
5x
f
7−→
5x + 2
Otteniamo quindi (f ◦ g)(x) = 5 x + 2. Calcolando g ◦ f si ha
x
f
7−→
x+2
g
7−→
5 (x + 2) = 5 x + 10
e quindi (g ◦ f )(x) = 5 x + 10. Come vedi le due funzioni ottenute sono distinte, infatti, come
detto, la composizione di funzioni è un’operazione in generale non commutativa. Sapresti
trovare due funzioni la cui composizione è commutativa?
Giacomo Tommei
Funzioni
Esercizio 7
Date le seguenti coppie di funzioni f e g, determina le funzioni ottenute
dalla composizione f ◦ g, g ◦ f e f ◦ f :
a) f (x) = 2 x3
b) f (x) = |x|
c) f (x) = 3/x
d) f (x) = sin x
g(x) = x − 1
√
3
3x
e
e
g(x) =
g(x) = 3 x − 2
e
2
e
g(x) = x2 + 4
Giacomo Tommei
Funzioni
Funzione inversa
Sia f una funzione biunivoca di A in B: se attraverso la funzione f si passa
dall’elemento x ∈ A all’elemento y = f (x) ∈ B, esisterà una funzione g di B
in A, che dall’elemento y ∈ B fa tornare all’elemento x ∈ A, ovvero
g(y) = x
che equivale a
g(f (x)) = x
La funzione g si chiama inversa della f e si indica anche con f −1 ; se esiste
l’inversa si dice che la funzione f è invertibile.
Una funzione è invertibile se e solo se essa è biunivoca.
Giacomo Tommei
Funzioni
Esercizi 8-9
Sia data la funzione f : R − {4} → R − {2} definita da
f (x) =
2x + 7
x−4
Prova che f è biunivoca e calcola la funzione inversa f −1 .
Sia data la funzione f : N → N definita da
x + 1,
x pari
f (x) =
x − 1, x dispari
Prova che f è biunivoca e calcola la funzione inversa f −1 .
Giacomo Tommei
Funzioni
Definizioni ed esempi
Sia f (x) una funzione reale di variabile reale definita nell’intervallo [a, b]. Si
dice che la f (x) è crescente in [a, b] se per ogni coppia di numeri x1 e x2 in
[a, b] si ha:
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
Si dice che la f (x) è decrescente in [a, b] se, per ogni coppia di numeri x1
e x2 in [a, b] si ha:
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
Si dice che la f (x) è non decrescente in [a, b] se, per ogni coppia di
numeri x1 e x2 in [a, b] si ha:
x1 < x 2
⇒
f (x1 ) ≤ f (x2 )
Si dice che la f (x) è non crescente in [a, b] se, per ogni coppia di numeri
x1 e x2 in [a, b] si ha:
x1 < x 2
⇒
f (x1 ) ≥ f (x2 )
Una funzione si dice monotona in [a, b] se essa è crescente nell’intervallo
[a, b], oppure decrescente, oppure non decrescente, oppure non crescente.
Giacomo Tommei
Funzioni
Definizioni ed esempi
Una funzione y = f (x) si dice periodica di periodo T > 0 se
f (x + T ) = f (x)
Il più piccolo numero T per il quale vale l’uguaglianza precedente si dice
periodo (a volte si trova anche la dicitura periodo minimo) della funzione.
Una funzione f (x) si dice pari se risulta
f (−x) = f (x)
mentre si dice dispari se risulta
f (−x) = −f (x)
Un esempio di funzione pari è la funzione goniometrica y = cos x, mentre
una funzione dispari è y = sin x. Tali funzioni sono anche funzioni
periodiche con periodo 2 π.
Giacomo Tommei
Funzioni
Trasformazioni sui grafici delle funzioni
Funzione di partenza f (x) (k ∈ R0 ).
a) g(x) = f (x + k), traslazione parallela all’asse delle ascisse;
b) h(x) = f (x) + k, traslazione parallela all’asse delle ordinate;
c) s(x) = f (k x), dilatazione/contrazione parallela all’asse delle ascisse;
d) t(x) = k f (x), dilatazione/contrazione parallela all’asse delle ordinate;
e) u(x) = f (|x|), valore assoluto applicato alla variabile indipendente x;
f) v(x) = |f (x)|, valore assoluto applicato al valore della funzione f (x).
Giacomo Tommei
Funzioni
