ESERCIZI SU DIVISIBILITÀ E CONGRUENZE
(1) Si ha:
V F
V F
V F
15 + 27 = 0 modulo 14;
15 − 27 = 0 modulo 14;
15342 = 1 modulo 14.
(2) Si ha:
V
V
V
V
F
F
F
F
l’opposto additivo di 5 in Z12 è 7;
L’opposto additivo di 5 in Z12 è −7;
L’inverso moltiplicativo di 5 in Z7 è 3;
L’inverso moltiplicativo di 5 in Z1 2 è 3;
(3) L’opposto additivo di a in Zn è uguale a
V F
V F
a − n;
n − a;
(4) il numero 35724123 è congruo modulo 3 a:
V F
V F
0;
1;
(5) 7 è invertibile modulo 15? Se sı̀, qual è il suo inverso?
(6) 15 è invertibile modulo 17? Se Se sı́, qual è l’inverso?
(7) Trovare tutti i numeri in {0, 1, 2, . . . , 13} che sono invertibili modulo
14 e per ciascuno di essi determinare l’inverso.
(8) Esprimere il massimo comun divisore di 34 e 55 come combinazione
lineare dei due numeri, Qual è l’inverso additivo di 34 modulo 55?
E l’inverso moltiplicativo?
(9) Si ha:
V F
V F
se a ≡n b allora per ogni k ∈ Z si ha ak ≡n bk ;
se a ≡n b allora per ogni k ∈ Z si ha k a ≡n k b .
1
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2
(10) Sia R la relazione binaria su Z definita da:
aRb
⇔
[a]b è invertibile in Zb .
Si ha:
V F
V F
V F
R è riflessiva;
R è simmetrica;
R è transitiva;
(11) il numero 523811934 è congruo modulo 9 a:
V F
V F
V F
0;
1;
2;
(12) Gli elementi invertibili in Z12 sono:
V F
V F
V F
1, 3, 7;
0, 5, 7, 11;
1, 5, 7, 11;
(13) Il numero 3417 è congruo modulo 7 a
V F −1;
V F
34;
V F
1;
(14) Siano a, b numeri interi non nulli.
V F
in Z;
V F
in Zb .
se esiste un intero k tale che ak = 0 in Zb , allora a divide b
se a divide b in Z, allora esiste un intero k tale che ak = 0
(15) Le seguenti coppie (q, s) possono essere utilizzate come modulo q e
chiave pubblica s nel codice RSA:
V F
V F
V F
(105, 6);
(77, 7);
(39, 20).
(16) Sia m = 43 · 7 = 301, s1 = 2 e s2 = 5.
Possiamo utilizzare i numeri m e s1 come modulo e chiave pubblica
nel sistema RSA?
Possiamo utilizzare i numeri m e s2 come modulo e chiave pubblica
nel sistema RSA?
Nel caso di risposta affermativa, trovare la chiave privata corrispondente.
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3
(17) Se a ≡ b mod (c) allora:
V F
V F
per ogni x ∈ Z vale a + x ≡ b + x mod (c + x);
per ogni x ∈ Z vale ax ≡ bx mod (cx);
(18) Se a, b, k sono interi non nulli e n > 0 allora:
V F
se ak ≡n bk allora a ≡n b.
(19) 14 è invertibile in Z60 ?
(20) 15 è invertibile modulo 17? Se Se sı́, qual è l’inverso?
(21) Il numero 3417 è congruo modulo 7 a
V F −1;
V F
34;
V F
1;
(22) Calcolare 324 modulo 23. (Ricorddarsi il Piccolo Teorema di Fermat).
• Sia q = 17 · 23 = 391, s = 31. Trovare la chiave privata t.
• Usando la chiave pubblica dell’esercizio precedente, criptare il
numero 3.
• Inventare una chiave pubblica e privata per RSA di modulo
q = 5 · 7.
(23) Sia q = 47. Se φ è la funzione di Eulero, determinare:
a) φ(q);
b) l’inverso di 3 modulo φ(q);
c) utilizzare la chiave pubblica (3, 47) per cifrare il numero 7.
(24) Sia q = 899 = 29 × 31. Se φ è la funzione di Eulero, determinare:
a) φ(q);
b) l’inverso di 11 modulo φ(q);
(25) Sia q = 31 e t = 13. Sapendo che la coppia (13, 31) è la chiave
privata, quale sarà la chiave pubblica del sistema RSA?
(26) Se p è un numero primo e a è un numero tale che (a, p) = 1 (in particolare, se a < p) determina l’inverso di a modulo p. (Suggerimento:
usare il piccolo Teorema di Femat)
(27) Dimostrare che, se c 6= 0 e ac ≡ bc modulo (mc) allora a ≡ b modulo
(c).
(28) Siano a, n numeri naturali con (a, n) = 1 Dimostrare che:
a) se a è dispari allora (a, 2n) = 1;
b) se n dispari e a è pari oppure se n pari e a è dispari, allora
(a + n, 2n) = 1.
ESERCIZI SU DIVISIBILITÀ E CONGRUENZE
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(29) Sia φ la funzione di Eulero. Dimostrare che φ(2n) = φ(n), se n è
dispari, mentre φ(2n) = 2φ(n) se n è pari.
(suggerimento: usare l’esercizio precedente)
