Transitori capacitivi (carica e scarica di un condensatore)

Transitori capacitivi
(carica e scarica di un condensatore)
Prof. Mario Angelo Giordano
Circuito R-C in regime transitorio
Se ipotiziamo che il
condensatore inizialmente sia
scarico, finchè il tasto T è
aperto nel circuito non è
presente alcuna energia.
Quando chiudiamo il tasto T, il condensatore
inizia a caricarsi e, a regime, si porta alla tensione
E.
In tale condizione la corrente nel circuito è nulla
perché la variazioone di tensione sul
condensatore è nulla.
Tensione sul condensatore
La corrente è la stessa in tutti gli elementi in quanto essi sono
connessi in serie e vale:
∆vc
i=C
∆t
Che diventa, per valori infinitesimi:
dvc
i=C
dt
Applicando Kirchhoff al circuito possiamo scrivere:
vc = E − vr
La legge di Ohm consente di ricavare la tensione ai capi della
resistenza:
dvc
vr = R * i = R * C
dt
Sostituendo:
dvc
vc = E − R * C
dt
Che possiamo scrivere nella forma:
dvv
vc + R * C
=E
dt
Il fattore R*C ha la dimensione di un tempo e viene indicato con il
termine costante di tempo:
τ = R * C[ s ]
La relazione:
vc = E * (1 − e
−
t
RC
)
Esprime l’andamento temporale della tensione sul
condensatore.
Per t=0 Î VC0=0
Per t=∞ Î VC∞ =E
Tempo di risposta
• Dopo un tempo pari alla costante di tempo,
t= τ il valore della tensione di uscita ha
raggiunto il 63%
• Per t=3 τ il valore della tensione vale 95%
• Per t=5 τ il valore sulla capacità ha superato
il 99%
Tensione sulla resistenza e andamento della
corrente nel circuito
La tensione sulla resistenza è la differenza tra i potenziali
applicati ai suoi capi e vale:
vR = E − vc
Sostituendo il valore per la tensione sul condensatore si ha:
vR = E − E + E * e
−
t
τ
= E *e
−
t
τ
L’andamento della tensione sulla resistenza ha
un’andamento esponenziale decrescente
L’andamento della corrente nel circuito:
t
v R E −τ
i=
= *e
R R
Fase di scarica
Se chiudiamo il tasto T1, dopo che
sia trascorso un tempo t>6 τ, la
tensione ai capi del condensatore ha
raggiunto la condizione di regime ed
è pari alla tensione del generatore E.
Chiudendo il tasto T2 il condensatore si comporta come
un generatore di tensione e permette il passaggio di
corrente nel circuito nel verso che va dal proprio
potenziale maggiore al potenziale minore.
L’andamento della tensione ai capi del condensatore nella fase di scarica è
descritto dalla seguente relazione:
vC = E * e
−
t
τ
Tensione sulla resistenza
Applicando il principio di Kirchhoff si ha:
vC + vR = 0 ⇒ vR = −vC = − E * e
−
t
τ