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&DSLWROR9,,,
,/02'(//2',32,1&$5Ê
3RLQFDUq, nato a Nancy nel 1854 e morto a Parigi nel 1912, fu ingegnere, matematico e docente di Analisi Matematica alla Sorbona dal 1881.
Pur essendo essenzialmente un matematico, tuttavia seppe applicare così
bene i metodi della Analisi Matematica alla Cosmologia, alla Fisica ecc., da
potere essere considerato uno dei più grandi scienziati di tutti i tempi. Verso
la fine della sua vita si occupò delle possibili connessioni tra spazio fisico e
geometrie non euclidee. Egli ritenne che questi sistemi coerenti di convenzioni fossero tutti idonei a descrivere in modo equivalente i fenomeni fisici e
che adottarne uno piuttosto che un altro significasse unicamente cambiare il
linguaggio con cui descrivere un fenomeno fisico che da esso è, ovviamente,
indipendente.
0RGHOORGHOOLQJXDJJLR
Sia & un cerchio del piano euclideo di centro 2 e raggio U. Con riferimento a questo insieme & introduciamo un modello del linguaggio del piano
iperbolico secondo la seguente tabella.
PUNTO:
RETTA:
PUNTO SU UNA
RETTA:
LUNGHEZZA DI UN
SEGMENTO AB:
AMPIEZZA DI UN
ANGOLO:
SEGMENTI
CONGRUENTI:
ANGOLI
CONGRUENTI:
Punto interno a C
Diametro di C (estremi esclusi) o arco di cerchio ortogonale
a C, con estremi su C, interno a C (estremi esclusi)
Punto appartenente alla retta in senso euclideo
|log(ABUV)| dove U e V sono i punti di C appartenenti alla
retta passante per A e B
Misura in radianti dell’angolo euclideo formato dalle semirette, lati dell’angolo
Segmenti di uguale lunghezza
Angoli di uguale ampiezza
Esaminiamo le rette del modello
Esse sono di due tipi. Chiameremo UHWWHGHO,WLSR i diametri di &e UHWWHGHO,,
WLSRgli archi di cerchio ortogonale a &.
Se K è una rette del I tipo, definiamo VLPPHWULDrispetto ad K l’ordinaria simmetria ortogonale del piano euclideo.
92
Se, invece, K è una retta del II tipo, definiamo VLPPHWULD rispetto ad K
l’inversione circolare avente come cerchio di inversione , ortogonale a &.
Le precedenti definizioni soddisfano le proprietà caratteristiche delle simmetrie euclidee, che sono le seguenti:
1)
Una simmetria è una corrispondenza involutoria del piano (quindi è
bigettiva);
2)
Una simmetria manda rette in rette;
3)
Una simmetria conserva la lunghezza dei segmenti;
4)
Una simmetria conserva l’ampiezza degli angoli.
La proprietà 1. è ovvia se la retta K è del I tipo.
Se K è del II tipo, cioè se K ∈ ⊥ &, si può notare che & è unito nella simmetria (per la proprietà delle inversioni che afferma che se un cerchio è ortogonale al cerchio di inversione, esso è unito). Si può anche osservare che
punti interni a &vengono trasformati in punti interni a &. Precisamente se
ha centro in 2’, i punti di h sono fissi, mentre i punti interni a e a &vanno in
punti esterni a ed interni a &e viceversa.
S: retta del I tipo;
h: retta del II tipo;
A, R, B: punti allineati su S;
Q, T, S: punti allineati su h;
C, C’: punti simmetrici rispetto a S.
P’ è il simmetrico di P rispetto ad
h.
Prima di dimostrare la proprietà
3., ricordiamo che una buona definizione di “lunghezza” di segmenti (per esempio quella eucli93
dea) è una funzione / che associa ad ogni segmento un numero reale in
modo tale che, se $%è il generico segmento, si abbia:
1)
2)
3)
4)
/($%) ≥ 0;
/($%) = 0 se e solo se $ ≡ %;
/($%) = /(%$);
Se $, %, & sono tre punti allineati tali che % sta tra $ e &
/ ($%) + /(%&) = /($&).
Ora si può verificare agevolmente che la nostra definizione soddisfa queste
proprietà. Infatti ∀ $, %punti del piano iperbolico, dette 8 e 9 le intersezioni
della retta $% con &, /($%) = |log($%89)| esiste sempre perché $ e % sono
interni a &, 8 e 9 sono gli estremi della corda per cui $ e % risultano interni
ad 89 e ($%89) > 0.
Se, poi, /($%) = 0 ⇒ ($%89) = 1 ⇒ $ ≡ % (essendo 8
Inoltre: /($%) = |log($%89)| = |log
≠ 9) e viceversa.
1
| = |log (%$89)-1| = |-1log(%$89)| =
(BAUV )
= /(%$).
Infine se $, %, & sono allineati (in senso iperbolico) ed 8 e 9 sono gli estremi
dell’arco su cui si trovano $, %, &, si può indicare con 9 il punto tale che $
sta tra % e 9.
Essendo $8 > %8 ⇒
AU
>1
BU
Analogamente, essendo
%9 > $9 ⇒
BV
>1
AV
AU BV
( ABUV )=
⋅
>1
BU AV
Scambiando $ con % e % con & si ottiene:
BU
CV
> 1 ; &9 > %9 ⇒
> 1;
CU
BV
%8 &9
e quindi: ( %&89 )=
⋅
>1 .
&8 %9
%8 >&8 ⇒
Possiamo così calcolare:
/($%) + /(%&) = |log($%89)| + |log(%&89)| = log($%89) + log(%&89) =
= log($%89)(%&89) = log
AU BV BU CV
AU CV
⋅
⋅
⋅
= log
⋅
= log($&89) = /($&).
BU AV CU BV
CU AV
Da questa definizione di lunghezza discende che la retta iperbolica ha lunghezza infinita. Infatti se su una retta si fissa il punto $ e si fa tendere % ad 8
94
(cioè lo si allontana da $ sulla retta); /($%) tende a log($%89) cioè a
+ ∞ (come ($%89)). Se invece facciamo tendere % a 9 allora ($%98) tende
a - ∞ ed /($%) tende a + ∞ (essendo la lunghezza data da |log($%98)|.
Notiamo ora che una simmetria trasforma rette in rette.
Sia U una retta iperbolica, cioè un diametro di & o un arco del cerchio ortogonale a &. Poiché l’inversione circolare conserva gli angoli e & è unito in tale inversione, U viene trasformata in un arco di cerchio interno a & ed ortogonale ad esso, cioè in una retta. Sorvoliamo sul fatto che la simmetria conserva gli angoli in quanto abbiamo avuto modo di sottolinearlo in precedenza e
dimostriamo, piuttosto, la seguente ulteriore proprietà delle simmetrie.
6LD3XQSXQWRLQWHUQRD&3 ≠ HVLVWHXQDVLPPHWULDFKHPDQGD3LQ2
Si consideri la retta 23 e su di essa il punto $ inverso di 3 nell’inversione di
centro 2 e raggio U (nell’inversione di cerchio &). Si tracci il cerchio con
2
centro in 2 e raggio . = $7. Poiché risulta: OA = r 2 + K 2 , è ortogonale a
&.SeK è la retta del piano iperbolico individuata da , il punto simmetrico di
3 rispetto ad K è l’inverso di 3 rispetto a . Esso, cioè, è quel punto ;su $3
(e quindi su 23) esterno a ed interno a &, tale che $;$3= .2. Ora, siccome 2 sta su $3 e, dal triangolo 27$, retto in 7, (per il I teor. di Euclide) si
ha:
OA ⋅ AP = K 2 . Segue che ; = O.
95
02'(//2'(*/,$66,20,'(/3,$12,3(5%2/,&2
Ci soffermiamo ora su alcuni degli assiomi appartenenti ai vari gruppi
(cap. V:”Sistemazione Hilbertiana GHOODJHRPHWULD´
$VVLRPLGHO,JUXSSR
o DVVLRPD, ∀A,B ∈ &HVLVWHXQDUHWWDU ∈ &WDOHFKH$ ∈ UH% ∈ U
Se $ e % sono allineati con 2 la retta è il diametro $% (retta del I tipo);
se $ e % non sono allineati con 2, per il teorema 1., sui cerchi ortogonali, sappiamo che esiste ed è unico il cerchio ortogonale a & e passante per $ e %. La rettaU è allora l’arco di intercettato da & (retta del
II tipo).
o DVVLRPD, ∀A,B ∈ &$ ≠ %HVLVWHDOSLXQDUHWWDU ∈ &WDOHFKH$ ∈ UH% ∈ U
Le considerazioni precedenti valgono anche per provare questo assioma.
o DVVLRPD,qEDQDOH
$VVLRPLGHO,,JUXSSR
o DVVLRPD,,6H$H&VRQRSXQWLGLVWLQWLGLXQDVWHVVDUHWWDUDOORUD
HVLVWHXQSXQWR'VXUWDOHFKH&VWDWUD$H'SUROXQJDELOLWjGHOODUHWWD
DOO¶LQILQLWR
La dimostrazione è ovvia ove si osservi che gli estremi 8 e 9 dell’arco
che individua la retta non sono punti del piano iperbolico.
o DVVLRPD,,$66,20$',3$6&+6H$%&VRQRWUHSXQWLQRQDO
OLQHDWL HG D q XQD UHWWD QRQ SDVVDQWH SHU DOFXQR GL HVVL DOORUD VH D
SDVVDSHUXQSXQWRGHOVHJPHQWR$%HVVDGHYHSDVVDUHSHUXQSXQWR
GHOVHJPHQWR$&RSHUXQSXQWRGHOVHJPHQWR%&
Se un arco di cerchio ortogonale a & incontra un arco di un altro cerchio ortogonale a &, esso deve incontrare la corda e viceversa.
L’assioma è così ricondotto all’assioma di Pasch per i triangoli in geometria euclidea.
96
$VVLRPLGHO,,,JUXSSR
L’esame degli assiomi del III gruppo è in qualche caso piuttosto complesso.
Noi ne esamineremo soltanto alcuni.
o assioma III.1.: (Trasporto dei segmenti): Se $ e % sono due punti distinti di una rettaU ed $’ un punto qualsiasi, allora su ogni retta di origine $’ vi è un punto ; tale che $’; è congruente ad $%.
Siano 8 e 9 gli estremi dell’arco a cui appartengono $ e % ed 8’ e 9’ gli
estremi dell’arco a cui appartiene la semiretta per $’. Sia ($%89) = ..
Fissati tre punti $’8’9’ su una retta esiste ed è unico il punto ; su questa retta tale che ($’8’9’;) = . e quindi ($’;9’8’) = ..
/($%) = |log($%89)| = |log($’;9’8’)| = /($;) e quindi $; ≡ $%
o assioma III.2.: Se due segmenti sono congruenti ad un terzo, essi sono
congruenti tra loro.
Questo assioma rimanda alla proprietà transitiva dell’uguaglianza tra
numeri reali.
o assioma III.3.: Se % sta tra $ e & e %’ sta tra $’ e &’, se $% è congruente ad $’%’ e %& è congruente a %’&’ allora $& è congruente ad
$’&’.
/($%) + /(%&) = /($&)
/($’%’) + /(%’&’) = /($’&’)
per ipotesi
Essendo $% ≡ $’%’ e %& ≡ %’&’ si ha /($’&’) = /($%) + /(%&) = /($&).
o DVVLRPD,,, 'DWRXQDQJROR BÂC HGXQDVHPLUHWWD$¶%¶HVLVWHXQDH
XQD VROD VHPLUHWWD $¶&¶ JLDFHQWH LQ XQR GHL GXH VHPLSLDQL GL RULJLQH
$¶%¶WDOHFKH B'Â’ C’ VLDFRQJUXHQWHD BÂC Ragioniamo soltanto su rette del
II tipo (per rette del I tipo, infatti,
le considerazioni da fare sono
ancora più semplici). Fissati, pertanto, l’angolo BÂC = D e una
retta U’ passante per $’ su cui
scegliamo la semiretta $’%’, indichiamo con W la tangente a in
$’ ( è l’arco di cerchio ortogonale a & che individua la retta U’).
Nel semipiano euclideo di origine
97
W esiste una e una sola semiretta W’ tale che l’angolo W^W’ ≡ D.
Per il teorema 2. sui cerchi ortogonali esiste uno e un solo cerchio ortogonale a & e tangente a W’ in $’. Tale cerchio individua la retta V’ su cui giace la
semiretta cercata.
o DVVLRPD,,,2JQLDQJRORqFRQJUXHQWHDVHVWHVVR
o DVVLRPD,,,6HGXHWULDQJROLKDQQRGXHODWLHO¶DQJRORFRPSUHVRFRQ
JUXHQWLDOORUDKDQQRFRQJUXHQWHDQFKHXQDOWURDQJROR
Siano $%& ed $’%’&’ i due triangoli in cui risulta per ipotesi:
$% ≡ $’%’; $& ≡ $’&’; BÂC ≡ B'Â’ C’ .
Prendiamo in considerazione il triangolo $%&.
2$ ⋅ 2' = 27 = U 2
2
Sia la circonferenza ortogonale a & che individua la retta su cui giace il lato
$%. Il punto ', inverso di $, è esterno a & ed appartiene a . Il cerchio di
centro ' e raggio '7 rappresenta la circonferenza ortogonale a & per costruzione che intercetta su & un arco che costituisce l’asse della simmetria
che manda $ in 2. Poiché la circonferenza , passante per ' (centro
dell’inversione), viene trasformata dalla suddetta simmetria in una retta per
2, possiamo dedurre che il trasformato del lato $% del triangolo sarà un
segmento sulla retta 2%1 del I tipo.
Per costruire l’immagine del lato $& consideriamo la circonferenza G passante per $&ed ortogonale a &. Essa seca in $, appunto, ed anche in ', perché, essendo G unito nella inversione rispetto a &, il punto $che va in ' deve
appartenere anche a G.Si trova, così, che l’immagine del lato $& del triangolo
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dato è il lato rettilineo 2&1. Il triangolo 2%1&1 congruente ad $%& ha pertanto due lati rettilinei ed un vertice in 2.
Se ora consideriamo il triangolo $’%’&’ e ripetiamo la procedura svolta per il
triangolo $%& otterremo il triangolo rettilineo 2%’1&’ 1 congruente ad $’%’&’
con due lati rettilinei ed un vertice in 2.
I triangoli 2%1&1 e 2%’ 1&’ 1 congruenti, rispettivamente ad $%& e ad $’%’&’
avranno:
2%1 ≡ $%
2%’ 1 ≡ $’%’
2&1 ≡ $&
2&’ 1 ≡ $’&’
B1ÔC1 ≡ BÂC
B1’ ÔC1’ ≡ B'Â ’ C’
Tenendo conto dell’ipotesi, si avrà:
2%1 ≡ 2%’ 1
2&1 ≡ 2&’ 1
B1ÔC1 ≡ B1’ ÔC1’
Se risulta &’ ≠ &’ 1, si consideri la bisettrice dell’angolo &12&’ 1 (retta del I tipo). La simmetria rispetto a E è l’usuale simmetria euclidea che, se %1 e %’ 1
sono disposti dalla stessa parte rispetto ad 2&1, trasforma &1 in &’ 1 e %1 in
%’ 1.
Il teorema è pertanto dimostrato.
Se invece %1 e %’ 1 sono disposti da
parti opposte rispetto a 2&1, allora sarà necessario applicare dapprima la
simmetria rispetto alla retta 2&1 al
triangolo 2&’ 1%’ 1 e poi procedere
come nel caso precedente.
La dimostrazione adottata è molto rigorosa perché si basa sul concetto di
trasformazione geometrica (simmetria) che conserva la congruenza sia degli
angoli che dei segmenti.
99
Notiamo, inoltre, che essa è analoga alla dimostrazione del 1° criterio di eguaglianza dei triangoli svolta da Euclide usando il “Postulato del Movimento”.
$VVLRPDGHO,9JUXSSR
Data una retta ed un punto fuori di essa, esistono almeno due rette
passanti per il punto che non incontrano la retta data.
Data la rettaK ed il punto 3 ∉ K si possono banalmente costruire rette per 3
che non incidono K.
È, invece un utile esercizio costruire le parallele ad h considerando almeno
una iperparallela ad K e la loro perpendicolare comune. Allo scopo si sfruttino
i teoremi 1. e 2. sui cerchi ortogonali. Nella figura è disegnata la retta K’ // K
in uno dei due versi e la retta K’’ // K nel verso opposto.
100
$VVLRPDGLGHGHNLQGRGHO9JUXSSR
Siano $ e % due punti. Se si suddividono i punti del segmento $% in due
classi non vuote tali che:
o ogni punto del segmento $%appartiene ad una ed una sola delle due
classi,
o $ e % appartengano a classi diverse,
o ogni punto della prima classe “precede” ogni punto della seconda,
allora esiste un punto & del segmento $% che separa le due classi
(cioè che precede tutti i punti della 2a classe ed è preceduto da tutti i
punti della 1a classe). Il punto & può appartenere indifferentemente alla
prima o alla seconda classe (una ed una sola).
Se i segmento in questione è su una retta del I tipo, l’assioma vale perché è
identico a quello della geometri euclidea. Se, invece, il segmento si trova su
una retta del II tipo, cioè è un arco di circonferenza, si può osservare che è
una grandezza continua della geometri euclidea.
Sarebbe interessante studiare anche nel modello i cicli. Essendo , però, “costretto” alla conclusione, mi limiterò a riferire i risultati relativi.
1) I FHUFKLLSHUEROLFLsono cerchi euclidei interni a & il cui centro iperbolico
non coincide con il centro euclideo.
2) Gli LSHUFLFOL sono archi di cerchio euclideo secanti & (e non ortogonali a
&).
3) Gli RULFLFOL sono cerchi euclidei tangenti internamente a &.
101
Concludo questo ciclo di lezioni con l’osservazione più volte fatta:
6(/$*(20(75,$(8&/,'($(¶121
&2175$'',7725,$«
$1&+(/$*(20(75,$,3(5%2/,&$/2(¶
102