Lezione 16 Derivate ed Integrali

Lezione 16 Derivate ed Integrali
Frank Sullivan
9 Dicembre 2011
1 Prima Ora
2 Compiti di letture ed esercizi per 3 Dicembre
Durante la lezione di oggi parleremo di derivate e le regole per differenziare funzioni, ed anche di integrali. In particulare parliamo del logaritmo naturale e il
numero e.
Il compito di lettura da fare a casa per questa e la prossima lezione successiva
consiste nel leggere il Capitolo 7 del testo di Bertsch, provare qualche esercizio ivi
contenuto, e preparare questioni in merito per la classe di lunedı́ 14 Novembre.
In particolare si dovrebbe imparare una breve “tabella di integrali e derivate”
Questo compito é tassativo,a prescindere dal contenuto della lezione di oggi, che
molto probabilmente non includerá tutta la materia del Capitolo 7 di Bertsch (e
forse neanche un po’). Come sempre, tocca agli studenti di portare domande sul
compito di lettura per chiarire i concetti e tecniche presentati nel testo.
3 Integrali e il teorema fondamentale del calcolo
Il teorema fondamentale del calcolo é il seguente
Rb
Teorema:
Sia f (x) continua sul intervallo a ≤ x ≤ b. Allora a f (t)dt
esiste e se si definisce F (x) (la funzione primitiva o “anti-derivata di f (x)) col
porre
Z
x
F (x) =
f (t)dt,
0
allora F (x) é derivabile in a < x < b e si ha che F 0 (x) = f (x) per tali x. Inoltre,
se f (x) é continua per a ≤ x ≤ b e se G(x) é funzione derivabile sul intervallo
a ≤ x ≤ b e tale che G0 (x) = f (x), allora
Z b
f (t)dt = G(b) − G(a).
a
1
(In particolare, e banalmente, una scelta possibile per G(x) é
Rx
a
f (t)d(t)).
Ciascuno della regola per derivate diventa subito una regola per integrali:
1. Per n reale, n 6= −1, si ha
Rx
tn dt =
xn+1
+C
n+1
2. Per x misurata in radianti si ha
Rx
sin(t)dt = − cos(x) + C
3. Per x misurata in radianti si ha
Rx
cos(t)dt = sin(x) + C
Rx
sec2 (t)dt = tan(x) + C
Rx
5. Per x misurata in radianti si ha − csc(t)dt = cot(x) + C
Rx
6. Per x misurata in radianti si ha
sec(t) tan(t)dt = sec(x) + C
Rx
7. Per x misurata in radianti si ha − csc(t) cot(t) = csc0 (x) + C
4. Per x misurata in radianti si ha
8. Si ha
Rx
1
= arctan(x) + C
1 + t2
9. Si ha
RX
1
√
= arcsin(x) + C.
1 − t2
Rx
10. Per a ∈ R tale che a > 0 si ha che
ln(a) at = ax + X. RIn particolare, se
x t
e é la base per i logaritmi naturali (ln(e) = 1) si ha che
e dt = ex + C,
proprietá notevole di una funzione che é uguale alla sua propria derivata.
Rx
11. Per x ∈ R, x > 0, ed f (x) = ln(x) il logaritmo naturale di x é 1 dt/t =
d ln(|x|)
1
ln(x) + C (per definizione!), e dunque per x 6= 0 si ha che
= .
dx
x
R x dt
Inoltre per integrazioni per parti si trova che
= x ln(|x|) − x + C.
t
Si ricorda che la formula di Leibniz per la derivata di un prodotto si traduce
nella importantissima formula di integrazione per parti:
Z b
b Z b
0
f (t)g (t)dt = f (t)g(t) −
g(t)f 0 (t)dt
a
a
a
Importantissima vuol dire che non é possibile avere la sufficienza in
questo corso senza sapere e sapere usare questa regola.
Si osserva che applicate la formula per integrazione per parti permette (ed
esige) una certa scaltrezza perchè una scelta occulata della funzione primitiva
2
g(x) di g 0 (x) puó semplificare la vita, illuminare la situazione, ed, in somma, fare
miracoli.
Tanto per fare una illustrazione usiamo Rintegrazione per parti per trovare la
x
funzione primitiva di ln(x): Nel integrale a ln(t)dt prendiamo f (t) = ln(t) e
g 0 (t) ≡ 1, di modo che si abbia la tabella (di integrazione per parti)
f (t) = ln(t) g(t) = t
f 0 (t) = 1/t g 0 (t) = 1
La formula per integrazione per parti porge
Z x
x Z x
t(1/t)dt = x ln(x) − x + a − a ln(a) = x ln(x) − x + C
ln(t) 1dt = t ln(t) −
a
a
a
ové abbiamo scelto la costante di integrazione C = a − a ln(a).
4 Seconda Ora
Ci poniamo il problema di calcolare (o almeno dare una procedura per calcolare)
certi integrali che naturalmente destano curiositá. Abbiamo in mente gli integrali
Z θ
Z θ
n
cosn (t)dt
sin (t)dt
ed
e piú in generale gli integrali
Z
θ
sinj (t) cosk (t) dt
Per quanto riguarda i primi due integrali, é sempre un piacere dimezzare il
lavoro da fare, e l’osservazione cos(t) = sin ((π/2) − t) ci permette di studiare solo
il primo integrali della coppia. Infatti, se si pone u = (π/2) − t si ha che
Z θ
Z (π/2)−θ
Z (π/2)−θ
n
n
sin (u)du =
sin ((π/2) − t) dt =
cosn (t)dt
θ0
(π/2)−θ0
(π/2)−θ0
Poi osserviamo che di nuovo possiamo “dimezzare il lavoro” se osserviamo che
quando n é DISPARI, tutto si svolge in modo facile facile: In effetti se n = 2k + 1
allora
sin(t)2k+1 = (sin(t))2k sin(t)
= (sin2 (t))k sin(t)
= (1 − cos2 (t))k sin(t)
P
k
k λ
2
k−λ
=
1
(−
cos
(t))
sin(t)
λ=0 λ
3