1 Combinazioni lineari.

Geometria Lingotto.
LeLing5: Spazi Vettoriali.
Argomenti svolti:
¯
• Combinazioni lineari.
• Sistemi lineari e combinazioni lineari.
• Definizione di spazio vettoriale.
Esercizi consigliati: Geoling 6, Geoling 7.
¯
1
Combinazioni lineari.

a1
a2
a3
..
.




Data una colonna 


 am−1
am





 e un numero c possiamo moltiplicarli, cioe’




a1
a2
a3
..
.




c. 


 am−1
am


c a1
c a2
c a3
..
.
 
 
 
 
=
 
 
  c am−1
c am









Date due colonne A, B e due numeri c1 , c2 possiamo combinarli linearmente, cioe’



 

a1
b1
c 1 a1 + c 2 b 1
 a2 
 b2  

c 1 a2 + c 2 b 2



 

 b3  

 a3 
c
a
+
c
b
1 3
2 3



 

c1 A + c2 B = c1 .  ..  + c2 .  ..  = 

..
 . 
 .  

.



 

 am−1 
 bm−1   c1 am−1 + c2 bm−1 
am
bm
c 1 am + c 2 b m
Piu’ in generale dati dei numeri (chiamati coefficienti) c1 , c2 , · · · , cn e le colonne
A1 , A2 , · · · , An possiamo scrivere la loro combinazione lineare:
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1
Geometria
Geometria Lingotto.
C = c1 A1 + c2 A2 + · · · + cn An .
Ovviamente C e’ una colonna.


3
Esempio 1.1. La colonna D =  5  e’ combinazione lineare delle colonne A =
 
 
  7
1
0
0
 0  , B =  1  e C =  0  . Infatti, D = 3A + 5B + 7C , dunque 3, 5 e 7 sono
0
0
1
i coefficienti della combinazione lineare.
Possiamo allora chiederci quando una data colonna B e’ combinazione lineare delle
colonne A1 , A2 , · · · , An . Possiamo dunque pensare i coefficienti c1 , c2 , . . . , cn come incognite x1 , x2 , · · · , xn e la domanda e’ se esistono soluzioni del seguente problema:
x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn An = B.
(1)
Ecco un esempio.
Esempio 1.2. Vediamo il caso n = 1, cioe’ con una sola
A1. Dunque
il
colonna
0
1
problema e’ se esiste x tale che xA1 = B . Allora se A1 =
e B=
tale x
0
1
x
0
non esiste poiche’ xA1 =
6=
per qualsiasi x.
0
1
Ecco altro esempio:
Esempio 1.3. Vediamo il caso n = 2 e B = 0, la colonna zero 0. Dunque il problema e’
se esistono x1 , x2 tali che x1 A1 + x2 A2 = 0. Certamente x1 = x2 = 0 e’ una soluzione.
Ecco un esempio piu’ concreto:
 






1
5
12
11
Esempio 1.4. Sia A1 =  0  , A2 =  −1  , A3 =  −2  e sia B =  13 
3
7
20
−7
l’equazione (1) e’ x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 = B , cioe’





 

1
5
12
11
x1  0  + x2  −1  + x3  −2  =  13  ;
3
7
20
−7
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Geometria
Geometria Lingotto.
sommando si trova

 

x1 1 + x2 5 + x3 12
11
 x1 0 + x2 (−1) + x3 (−2)  =  13 
x1 3 + x2 7 + x3 20
−7


x1 1 + x2 5 + x3 12 = 11
x1 0 + x2 (−1) + x3 (−2) = 13 .
e infine si arriva a un sistema non-omogeneo

x1 3 + x2 7 + x3 20 = −7
Dunque x1 , x2 , x3 esistono se e solo se questo sistema e’ compatibile.
L’ultimo esempio illustra il fatto che l’equazione (1) nasconde un sistema lineare, ossia e’ un modo piu’ semplice di scrivere un sistema lineare di m equazioni e n incognite.




a1i
b1
 a2i 
 b2 




 a3i 
 b3 




Ecco piu’ esplicitamente: scriviamo le colonne Ai = 
 e B =  ..  .
..

 . 

.




 am−1 i 
 bm−1 
am i
bm
Dunque l’equazione (1) si scrive come:

 

a1i
b1
 a2i   b2 

 

n
 

X 
 a3i   b3 
xi 
 =  ..  .
..

  . 
.
i=1

 

 am−1 i   bm−1 
am i
bm
Cosı̀ si arriva al seguente sistema lineare:

a1 1 x 1 + a1 2 x 2 + · · · + a1 n x n = b 1




a2 1 x 1 + a2 2 x 2 + · · · + a2 n x n = b 2

a3 1 x 1 + a3 2 x 2 + · · · + a3 n x n = b 3
S=


.
.
.
................................



am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + am n x n = b m
Proposizione 1.5. L’equazione x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn An = B ha soluzione se e solo
se il sistema lineare S e’ compatibile.
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Geometria
Geometria Lingotto.
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Spazi Vettoriali
Dall’inizio del corso si e’ vista l’importanza dell’operazione + “somma” (tra righe,
colonne, equazioni, etc.,) e la moltiplicazione per un numero c (di solito chiamato
coefficiente). Usando somme e coefficienti si arriva al concetto di combinazione lineare:
c1 A1 + c2 A2 + · · · + cn An . La struttura matematica che permette di sommare e moltiplicare per numeri si chiama spazio vettoriale e si la denota con la lettera V. Detto
in parole semplice uno spazio vettoriale e’ un insieme V dove e’ possibile sommare due
elementi e moltiplicare un elemento per un numero c, tale che una combinazione lineare
c1 A1 + c2 A2 + · · · + cn An tra numeri ci e elementi Ai di V sia ancora un elemento di V.
Ecco qualche esempio conosciuto.
Esempio 2.1. L’insieme Rn = {(x1 , x2 , · · · , xn ) : xi ∈ R} e’ uno spazio vettoriale.
Cioe’, se A1 , A2 , · · · , An ∈ Rn e c1 , c2 , · · · , cn ∈ R allora la combinazione lineare c1 A1 +
c2 A2 + · · · + cn An appartiene a Rn .


a1
 a2 


 a3 
Esempio 2.2. L’insieme Cn = {
 : ai ∈ R} delle colonne con n elementi e’
 .. 
 . 
an
uno spazio vetoriale. Cioe’, se A1 , A2 , · · · , An ∈ Cn e c1 , c2 , · · · , cn ∈ R allora la combinazione lineare c1 A1 + c2 A2 + · · · + cn An appartiene a Cn .
Esempio 2.3. L’insime Rn = {(a1 a2 · · · an ) : ai ∈ R} delle righe con n elementi
e’ uno spazio vetoriale. Cioe’, se A1 , A2 , · · · , An ∈ Rn e c1 , c2 , · · · , cn ∈ R allora la
combinazione lineare c1 A1 + c2 A2 + · · · + cn An appartiene a Rn .
2.1
Definizione astratta di spazio vettoriale
Dall’inizio del corso la parola ”numero” ha voluto significare numero reale. Ma conosciamo, o abbiamo sentito parlare, di altri numeri, cioe’ complessi, razionali, etc. Oggi
il computer usa numeri binari, cioe’ 1 + 1 = 0. Dunque esistono molti classi di numeri e allora ci puo’ capitare di trovare combinazioni lineari c1 A1 + c2 A2 + · · · + cn An
dove i coefficienti non sono piu’ numeri reali. Un esempio di questo e’ il gioco All Lights 1 .
Dunque, nella definizione generale di spazio vettoriale si deve precisare l’insieme K
dei numeri 2 in anticipo, ossia dove prendiamo i coefficienti c1 , c2 , · · · . Ecco la definizione.
1
2
http://javaboutique.internet.com/AllLights/
Un insieme di numeri K si chiama campo numerico
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Geometria
2.1 Definizione astratta di spazio vettoriale
Geometria Lingotto.
Definizione 2.4. Un insieme V, un campo numerico K, una somma + tra elementi di
V, cioe’ se A, B ∈ V allora A + B ∈ V, una moltiplicazione . tra i numeri di K e gli
elementi di V, cioe’ se c ∈ K e A ∈ V allora c.A ∈ V e’ uno spazio vettoriale 3 se i
seguenti otto assiomi sono soddisfatti:
S1. Per ogni scelta di A, B, C ∈ V si ha: (A + B) + C = A + (B + C).
S2. Per ogni scelta di A, B ∈ V si ha: A + B = B + A.
S3. Esiste un elemento O ∈ V tale che: A + O = A per ogni A ∈ V.
4
S4. Per ogni A ∈ V esiste B tale che A + B = 0.
P1. Per ogni A ∈ V si ha 1.A = A, dove 1 ∈ K.
P2. Per ogni A ∈ V si ha (a.b).A = a.(b.A) per ogni scelta di a, b ∈ K.
D1. Per ogni A ∈ V si ha (a + b).A = a.A + b.A per ogni scelta di a, b ∈ K.
D2. Per ogni a ∈ K si ha a.(A + B) = a.A + a.B per ogni scelta di A, B ∈ V.
E’ importante sapere che lo scopo degli otto assiomi e’ quello di permetterci di “lavorare” facilmente con le combinazione lineari. Ecco qualche esempio.
Esempio 2.5. L’assioma S1. ci permette di non usare le parentesi, altrimenti non
sarebbe chiaro se le seguenti combinazioni lineari sono uguali o pure no:
?
(c1 A1 + c2 A2 ) + c3 A3 = c1 A1 + (c2 A2 + c3 A3 );
cioe’ serve un assioma per chiarire questo dubbio. L’assioma S2. serve per assicurare
che l’ordine della somma di una combinazione lineare non e’ importante, cioe’ da’ lo
stesso risultato
c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = c3 A3 + c1 A1 + c2 A2 .
L’assioma S3. ci permette di mettere zero al posto di tutti i coefficienti e trovare quello
che ci aspettiamo, cioe’ la combinazione banale o nulla come un elemento di V. L’assioma
S4. ci permete di passare combinazioni lineari dal lato destro al sinistro (o vicerversa)
di una equazione tra combinazioni lineari.
3
Di solito si dice che V e’ uno K-spazio vettoriale.
Attenzione: L’elemento O ∈ V si chiama diversamente a seconda la natura dello spazio vettoriale,
ad esempio, elemento neutro, vettore nullo, vettore zero, funzione nulla, vettore banale, colonna banale,
riga banale,etc.
4
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5
Geometria
Geometria Lingotto.
Insomma, ogni assioma coglie una proprieta’ (molto semplice) delle combinazioni
lineari tra numeri (coefficienti) e vettori 5 .
3
Altri esempi di spazi vettoriali
Abbiamo visto che le colonne e le righe (di n elementi) sono uno spazio vettoriale. Ecco
due generalizzazioni:
R∞ := {(a1 a2 · · · ) : ai ∈ R}, cioe’ l’insieme delle righe con infiniti elementi.
Scrivendo a = (ai ) ∈ R∞ per denotare una riga con infiniti elementi, la somma si
definisce come (componente a componente) a + b := (ai + bi ) e il prodotto con un numero r ∈ R r.a := (rai ).


a1
 a2 


Analogamente C∞ := { a }, cioe’ l’insieme delle colonne con infiniti elementi.
 3 
..
.
i
Scrivendo a = (a ) ∈ C∞ per denotare una colonna con infiniti elementi la somma si
definisce come (componente a componente) a + b := (ai + bi ) e il prodotto con un numero r ∈ R r.a := (rai ).
3.1
Matrici e tensori: gli indici servono per sommare componente a componente
Guardando il caso delle colonne e le righe ci si rende conto che la cosa importante e’ l’
“indice”, cioe’ per sommare e moltiplicare abbiamo sommato gli elementi con lo stesso
sottoindice. Dunque approfittando di questa osservazione si vede che l’insieme Mn,m
delle matrici con n righe e m-colonne e’ uno spazio vettoriale. Ecco come si definisce
la somma e il prodotto: si usa l’osservazione precedente, cioe’ se a, b ∈ Mn,m sono due
matrici la loro somma si definisce come a + b := (ai j + bi j ), dove a = (ai j ) e b = (bi j ).
Se r e’ un numero allora r.a := (r.ai j ).
I tensori si definiscono in modo analogo, cioe’ generalizzando l’idea e usando 3,4,5,etc
indici. Ad esempio prendiamo lo spazio vettoriale dei tensori con tre indice (tijk ). La
somma si definisce come s + t := (si j k + ti j k ) e se r e’ un numero allora r.t := (rtijk )
5
Un vettore e’ (per definizione) un elemento di V , cioe’ se A ∈ V allora A e’ un vettore.
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Geometria
3.2 Bits, bytes e computers, cioe’ spazi vettoriali su Z2
3.2
Geometria Lingotto.
Bits, bytes e computers, cioe’ spazi vettoriali su Z2
La definizione di spazio vettoriale permette di usare numeri diversi dei numeri reali. Il
computer usa i numeri binari, cioe’ Z2 = {0, 1}, dove 1 + 1 = 0, etc. Gli elementi di
Z2 = {0, 1} si chiamano bits. Possiamo allora definire colonne, righe, matrici, tensori,
etc, con numeri in Z2 . Ad esempio, lo spazio R8 = {(a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 ) : ai ∈ Z2 } e’
forse lo spazio vettoriale piu’ importante della informatica. E’ cosi’ importante che i suoi
vettori hanno un nome particolare: si chiamano bytes. Il famoso codice ASCII usa R8
per rappresentare l’alfabeto e i simboli piu’ usati del linguagio. Ad esempio, la lettera
“a” e’ il vettore (meglio dire “byte”) (0 1 1 0 0 0 0 1), la virgola “,” e’ (0 0 1 0 1 1 0 0),
etc. Se uno interpreta i bytes come le cifre dei numeri scritti in base 2 allora e’ facile
vedere che la lettera ”a” corrisponde al numero 97 e la virgola “,” corresponde al numero
44. Allora e’ naturale aspettarsi che la lettera “b” corresponda al numero 98. Infatti
e’ cosi’, poiche’ la lettera “b” e’ rappresentata del byte (0 1 1 0 0 0 1 0). Notare che
98 = 0.27 + 1.26 + 1.25 + 0.24 + 0.23 + 0.22 + 1.21 + 0.20 .
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Geometria