Equazione d`onda per il campo elettromagnetico (slide)

Equazione d’onda per il campo elettromagnetico
Leggi fondamentali dell’elettromagnetismo.
I campi elettrici sono prodotti da cariche elettriche e da campi magnetici
variabili.
Corrispondentemente l’intensità del campo elettrico E è determinata da due
leggi:
- legge di Gauss
il flusso dell’intensità del campo elettrico attraverso una
superficie chiusa S è proporzionale alla carica totale racchiusa da questa
superficie;
- legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica
l’integrale del campo
elettrico lungo un cammino chiuso è proporzionale alla variazione nell’unità
di tempo del flusso magnetico concatenato con questo cammino.
La legge di Gauss nel vuoto è espressa da
dove ε0 = 8,85⋅10-12 farad/m, En è la componente di E
perpendicolare all’elemento di area dS (positiva se E punta
verso l’esterno rispetto alla superficie chiusa S), V è il volume
racchiuso dalla superficie S e ρ è la densità volumica di carica
elettrica.
In presenza di un dielettrico, oltre all’effetto delle cariche
«libere» si dovrà considerare l’effetto della polarizzazione del
dielettrico.
La polarizzazione è descritta dal vettore polarizzazione P:
risultante dei momenti di dipolo elettrico delle singole molecole
contenute nell’unità di volume.
Il campo elettrico prodotto dai dipoli molecolari è uguale al
campo prodotto da una carica distribuita con densità ρp che
soddisfa la seguente equazione:
Si tratta quindi di una legge di Gauss per il campo elettrico
dovuto alle cariche di polarizzazione.
Indicando con ρ la densità delle sole cariche elettriche «libere»,
possiamo scrivere
oppure
La legge dell’induzione di Faraday è espressa da
dove S è una superficie limitata dalla curva chiusa s, Bn è la
componente dell’induzione magnetica B parallela all’elemento
di area dS, e Es è la componente di E parallela all’elemento di
curva ds. La direzione positiva della perpendicolare alla
superficie S e il senso positivo di percorrenza della curva s sono
legati fra loro dalla stessa relazione che lega l’avanzamento e il
senso di rotazione di una vite destrogira.
La legge di Gauss per il campo magnetico è espressa da
Commento: il flusso di B attraverso ogni superficie chiusa è
sempre nullo, a causa della mancanza di un
equivalente magnetico della carica elettrica.
I campi magnetici sono prodotti da correnti elettriche e da campi
elettrici variabili:
- legge della circuitazione di Ampère
campi magnetici dovuti a correnti elettriche,
dove µ0 = 4π⋅10-7 henry/m e jn è la componente normale a dS del vettore j che
rappresenta la densità di corrente;
- effetti magnetici dei campi elettrici variabili, descritti tramite un campo elettrico
equivalente ad una corrente elettrica la cui densità jE è proporzionale alla variazione
nell’unità di tempo del campo elettrico.
Così, quando ci sono campi elettrici variabili oltre alle correnti elettriche, la legge
della circuitazione del campo magnetico diviene la legge di Ampère-Maxwell
In presenza di dielettrici e di materiali con proprietà magnetiche,
oltre alla corrente dovuta al moto di cariche libere, dobbiamo
considerare altri due tipi di correnti.
- In primo luogo ogni variazione della polarizzazione di un mezzo con
caratteristiche di dielettrico produce una corrente la cui densità jp è uguale alla
variazione nell’unità di tempo del vettore polarizzazione P:
- In secondo luogo vi sono correnti dovute al moto di elettroni lungo le loro orbite
atomiche o molecolari ed alla rotazione degli elettroni intorno ai loro assi (spin).
A queste correnti microscopiche sono dovute le proprietà magnetiche della
materia, che sono di solito descritte dal vettore magnetizzazione M. Eccettuato il
caso delle sostanze ferromagnetiche, la magnetizzazione è molto piccola ed ha
un effetto trascurabile sulla propagazione delle onde elettromagnetiche. Per
evitare inutili complicazioni, qui trascuriamo le correnti microscopiche che
dànno luogo alla magnetizzazione, ottenendo per la legge di Ampère-Maxwell:
Possiamo esprimere le equazioni di Maxwell in una forma più conveniente,
definendo due vettori ausiliari, cioè lo spostamento elettrico
e l’intensità del campo magnetico
Con queste notazioni otteniamo:
Le equazioni
hanno validità generale e permettono di descrivere anche i casi in cui
si tiene conto della magnetizzazione. Purché per il vettore H (intensità
del campo magnetico) si usi la seguente definizione:
Nelle sostanze isotrope e per campi elettrici costanti o lentamente variabili, i
vettori P ed E sono, di solito, paralleli fra loro e proporzionali in modulo l’uno
all’altro. Anche il vettore D è perciò proporzionale al vettore E e vale dunque la
seguente equazione:
dove ε è una quantità scalare indipendente da E, chiamata permettività dielettrica
del mezzo. Nei mezzi non omogenei ε può variare da punto a punto. Nel vuoto
essa si riduce alla costante ε0 già definita. La quantità
è detta costante dielettrica.
I campi elettromagnetici sono in grado di produrre sviluppo di calore e di
compiere lavoro contro forze meccaniche o chimiche, il che significa che il
campo elettromagnetico possiede energia. Questa energia è distribuita nello
spazio con densità u data da
dove i punti stanno ad indicare prodotti scalari.
Onde elettromagnetiche piane nei dielettrici isotropi ed omogenei
Consideriamo un campo elettromagnetico in una regione dello spazio occupata da
un dielettrico isotropo ed omogeneo. Supponiamo che la densità di carica ρ e la
densità di corrente elettrica j siano dovunque nulle. Le equazioni di Maxwell
divengono allora
In questo caso le equazioni di Maxwell assumono una forma simmetrica rispetto ad
E e H, se si scambia ε con -µ0
Onde elettromagnetiche piane nei dielettrici isotropi ed omogenei
Scegliamo un sistema arbitrario di coordinate cartesiane, x, y, z; ci proponiamo di
provare che esiste una soluzione delle equazioni di Maxwell tale che l’intensità del
campo elettrico E e l’intensità del campo magnetico H dipendano solo dal tempo t e
dalla coordinata x.
Consideriamo adesso l’equazione:
Poiché, secondo la nostra ipotesi, E è
costante in questo piano, l’integrale di E
lungo il contorno di S è nullo, e quindi
Inoltre Hx ha lo stesso valore in tutti i punti
della superficie S. Ciò implica
Si consideri adesso l’equazione
In modo analogo si può dimostrare che
Applichiamo ora la legge dell’induzione di Faraday, espressa dall'
equazione
al rettangolo ABCD formato da due segmenti infinitesimi paralleli all’asse x (AB e
CD) e da due segmenti di lunghezza h paralleli all’asse y (BC e DA). Sia x la
coordinata secondo l’asse x del segmento DA e x + dx quella del segmento BE.
Secondo la nostra ipotesi, E ha un valore costante E(x) lungo il segmento DA, e un
valore costante diverso E(x+dx) lungo il segmento BE.
Primo membro dell’equazione:
- Lato BC: Ey(x +dx)⋅ h;
- Lato DA: - Ey(x) ⋅ h;
- Lato CD: - x⋅ dx ( x è un opportuno
valore medio di Ex lungo il segmento
infinitesimo CD);
- Lato AB: x⋅ dx ( x ha lo stesso valore
che ha nel termine corrispondente al lato
CD, poiché Ex dipende solo da x).
Riscriviamo l’equazione e proseguiamo il calcolo dell’integrale a primo membro:
I due termini corrispondenti a CD e AB si elidono a vicenda e si ottiene:
o anche
L’integrale a secondo membro dell’equazione è dato da
E, quindi, dall’equazione integrale si ricava
Sempre dall’equazione
seguendo un procedimento analogo, ma considerando questa volta il rettangolo
EFGH con lati paralleli agli assi z e x, otteniamo
Inoltre dall’equazione
possiamo ricavare due equazioni simili a quelle appena ottenute, in cui ε
sostituisce -µ0 ed i vettori E ed H vengono scambiati fra loro:
Consideriamo adesso le equazioni integrali
e scegliamo una superficie chiusa S a forma di parallelepipedo A B C D A'B'C'D'
,
con lati paralleli agli assi coordinati. Siano x e x+dx le coordinate secondo l’asse x
dei due piani (A B C D e A'B'C'D'
) perpendicolari all’asse x.
Siano h e k le lunghezze dei lati paralleli agli assi y e z, rispettivamente.
Il flusso di E attraverso A'B'C'D'è Ex(x +dx)hk. Il flusso di E attraverso A B C D è
-Ex(x)hk. Così il flusso totale uscente dalle superfici opposte del parallelepipedo
perpendicolari all’asse x è
Poiché E dipende solo da x, i flussi di E attraverso le due superfici A A B B e
D D C C si elidono a vicenda (uguali in modulo e opposti in segno). La stessa
.
cosa avviene per i flussi attraverso le superfici B C C B'e A D D A'
Quindi da
si ottiene
Analogamente da
si ricava
Riassumendo i risultati ottenuti possiamo scrivere il seguente sistema di
equazioni differenziali:
Le equazioni precedenti sono state ottenute assumendo che E ed H fossero
indipendenti da y e z. Con procedimento analogo si possono generalizzare al caso
in cui E e H dipendono da tutte e tre le coordinate spaziali x, y e z:
Tali equazioni possono essere scritte in modo più compatto:
Ritornando al caso particolare in cui E e H dipendono solo da x, le equazioni
indicano che le componenti x di E e di H sono costanti sia nel tempo che nello spazio.
Poiché non ci interessano campi elettrici o magnetici statici, possiamo supporre che
Inoltre notiamo che le due equazioni contenenti Ey e Hz
sono indipendenti da quelle per Ez e Hy
Per ottenere un’espressione matematica per la dipendenza di Ey ed Hz da x e t,
differenziamo l’equazione (g) rispetto ad x e l’equazione (f) rispetto a t:
Eliminando
tra queste due equazioni, si ottiene
Questa è la ben nota equazione differenziale del moto ondoso in una dimensione.
Possiamo verificare facilmente che qualsiasi funzione della forma
soddisfa questa equazione, purché la costante
sia scelta opportunamente.
Infatti, con differenziazioni successive si ottiene
Dove il puntino e i due puntini su f1 indicano, rispettivamente, la derivata prima e
la derivata seconda della funzione f1 rispetto al suo argomento (t - x/ ).
Sostituendo adesso la soluzione f1 nell’equazione d’onda e utilizzando le relazioni
ottenute per le derivate seconde, si ha
f1 è quindi una soluzione dell’equazione d’onda se soddisfa la seguente relazione:
Se adesso sostituiamo
in
si ottiene
Infine, a meno di un eventuale campo magnetico Hz costante, si ha
Questa soluzione descrive un’onda elettromagnetica piana che si propaga nella
direzione positiva dell’asse x, tale che il vettore intensità del campo elettrico E sia
ovunque parallelo all’asse y e il vettore intensità di campo magnetico H sia
ovunque parallelo all’asse z. L’onda è perciò polarizzata linearmente. Le direzioni
di E ed H sono legate al verso di propagazione dalla regola della vite destrogira.
Onda polarizzata linearmente che si propaga nella direzione positiva dell’asse x.
E è parallelo all’asse y, mentre H è parallelo all’asse z.
Le due equazioni (7-26) che contengono Ez ed Hy possono essere trattate in
maniera simile. Eliminando Hy si ottiene l’equazione differenziale
Quest’equazione ammette una soluzione del tipo
Infine, con procedimento analogo a quello seguito per Ey e Hz, si trova
Le equazioni
e
rappresentano un’onda elettromagnetica piana, polarizzata linearmente, che si
propaga nella direzione positiva dell’asse x, tale che E sia parallelo all’asse z e H
sia parallelo all’asse y (verso negativo).
- La soluzione più generale corrispondente ad un’onda piana che si propaga nella
direzione positiva dell’asse x è una sovrapposizione delle due soluzioni appena
discusse.
- In una tale onda le componenti y e z di E e H sono diverse da zero
contemporaneamente.
- Le direzioni di E e H cambiano, in generale, col tempo e con la posizione;
l’onda quindi non è polarizzata linearmente.
- E e H in un dato punto e in un dato istante sono sempre perpendicolari tra loro,
come si può vedere calcolando il prodotto scalare di E e H:
L’equazione
oltre a
, ammette anche soluzioni della forma
(onda che si propaga nel verso
negativo dell’asse x)
dove è ancora dato da
Infine per il campo magnetico si trova
Le equazioni
descrivono un’onda piana, polarizzata linearmente, che si propaga nella direzione
negativa dell’asse x tale che il vettore intensità di campo elettrico E sia dovunque
parallelo all’asse y e il vettore intensità di campo magnetico H sia dovunque parallelo
all’asse z.
Analogamente l’equazione
Per il corrispondente campo magnetico si ha
In questo caso Ez e Hy descrivono
un’onda piana, polarizzata
linearmente, che si propaga
nella direzione negativa
dell’asse x, tale che il vettore
intensità di campo elettrico E
sia dovunque parallelo
all’asse z e il vettore intensità
di campo magnetico H sia
dovunque parallelo all’asse y.
ha una soluzione della forma
- La soluzione più generale corrispondente ad un’onda piana che si propaga nella
direzione negativa dell’asse x è una sovrapposizione delle due soluzioni appena
discusse.
- In una tale onda, le componenti y e z di E e H sono diverse da zero
contemporaneamente.
- Le direzioni di E e H cambiano, in generale, col tempo e con la posizione; l’onda
quindi non è polarizzata linearmente.
- Anche in questo caso E e H in un dato punto e in un dato istante sono sempre
perpendicolari tra loro.
- Infine la soluzione più generale delle equazioni di Maxwell, in cui E e H
dipendano solo da x e t, corrisponde alla sovrapposizione di due onde piane che
viaggiano in direzioni opposte lungo l’asse x.
Vettore di Poynting
- Si consideri un volume delimitato da una superficie cilindrica, il cui asse sia
parallelo all’asse x, e da due superfici piane S1 ed S2 perpendicolari a quest’asse.
- Sia A l’area di S1, uguale a quella di S2, e siano x1 ed x2 le loro coordinate secondo
l’asse x.
- Per semplicità supporremo Ez=0, Hy=0, cioè considereremo un’onda polarizzata
linearmente.
- Poiché Ey e Hz dipendono solo da x, l’energia elettromagnetica totale contenuta
nel volume cilindrico è
Energia del campo elettromagnetico
La variazione di U nell’unità di tempo è data da
che, insieme a
dà
e infine
- L’equazione appena trovata indica che la variazione nell’unità di tempo
dall’energia contenuta nel volume cilindrico è uguale alla quantità di energia che
entra nell'
unità di tempo in questo volume attraverso la superficie piana S1 posta
unità di tempo il volume
in x1, meno la quantità di energia che abbandona nell'
attraverso la superficie piana S2 posta in x2.
- Così, indicando con Sx il flusso di energia per unità di area, si ottiene
- Per un’onda il cui vettore elettrico è parallelo all’asse z e il cui vettore magnetico
è parallelo all’asse y, si ha
- Un’onda piana qualsiasi viaggiante nel verso positivo dell'
asse x può essere
considerata come la sovrapposizione di due onde i cui vettori elettrici siano
paralleli all’asse y e all’asse z rispettivamente. Perciò l’espressione generale per il
flusso di energia per unità di area dovuto ad un’onda che viaggia nel verso
positivo del l’asse x è
Vettore di Poynting
I risultati presentati finora sono casi particolari del teorema di Poynting:
per un campo elettromagnetico il flusso di energia per unità di area e unità di
tempo è rappresentato dal vettore
chiamato vettore di Poynting.