LUOGHI GEOMETRICI Ricordiamo che il luogo geometrico è un insieme di punti che godono di una determinata proprietà. I più noti luoghi geometrici sono: la circonferenza, l'asse di un segmento, la bisettrice di un angolo. • Luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento AB . Se A( x1 ; y1 ) e B( x2 ; y2 ) sono gli estremi del segmento e P( x; y ) il generico punto dell'asse a, A B P a essendo PA = PB possiamo scrivere: ( x − x1 ) + ( y − y1 ) 2 2 = ( x − x2 ) + ( y − y2 ) 2 2 Elevando ambo i membri al quadrato otteniamo l'equazione dell'asse. • Bisettrice di un angolo: luogo dei punti del piano equidistanti dai lati lati dell'angolo. Siano r : ax + by + c = 0 ed s : a'x +b' y + c' = 0 angoli e P( x; y ) il generico punto di una delle due bisettrici, le rette che formano gli r P s R b2 S b1 Dovendo essere PR = PS possiamo scrivere l'equazione: che equivale alle equazioni: (ax + by + c) a '2 + b ' 2 a 2 + b2 Esse rappresentano le equazioni delle due bisettrici. ax + by + c a 2 + b2 = = ± (a ' x + b ' y + c ') a'x +b' y + c' a '2 + b ' 2 • Luoghi geometrici dipendenti da un parametro Consideriamo questo caso facendo riferimento al seguente esercizio: Data la circonferenza γ : x2 + y 2 − 2x − 3 = 0 determinare il luogo descritto dal punto medio M della generica corda passante per l'origine. A B x2 + y 2 − 2 x − 3 = 0 Per deteminare i punti A e B consideriamo il sistema: y = mx e ricaviamo (1 + m 2 ) x 2 − 2 x − 3 = 0 da cui 1± ∆ 1 + m2 1± ∆ y = m 2 1+ m x= ∆ = 4 + 3m 2 4 1 1+ ∆ 1− ∆ + xM = 2 1 + m 2 1 + m 2 Il punto medio M della generica corda avrà coordinate: 1 1+ ∆ 1− ∆ y = 2 m 1 + m 2 + 1 + m 2 1 x= 1 + m2 Le equazioni parametriche del luogo sono quindi: m y= 1 + m2 Ricavando il parametro m dalla prima e sostituendo nella seconda otteniamo l'equazione algebrica del luogo: x2 + y 2 − x = 0 .