Appello del 16 gennaio 2004 - INFN

Appello del 16-01-2004 – Statistica e Probabilità
Laurea specialistica in Ingegneria Meccanica e dei Materiali
Esercizio 1
Una fabbrica produce componenti elettronici. Questi escono da due linee di produzione, A e B, nelle
proporzioni del 30% e 70% rispettivamente. La probabilità di trovare un pezzo difettoso prodotto dalla
linea A è del 10%, contro il 17% per la linea B.
(a) Qual è la probabilità che un chip scelto a caso sia difettoso?
I chip vengono venduti in confezioni di 10 pezzi, e all’interno di ogni singola confezione si trovano
pezzi prodotti dalla stessa linea (o A o B). Una di queste confezioni viene ispezionata e risulta
contenere un solo pezzo difettoso. Supponendo che il numero di pezzi difettosi nella confezione si
possa modellizzare con una variabile aleatoria binomiale e che quindi la probabilità di trovare una
scatola con un chip difettoso sia B10, p (1) , dove p è la probabilità che il singolo pezzo sia difettoso:
(b) Calcolare la probabilità che la confezione esaminata provenga dalla linea A.
(c) Qual è invece la probabilità che essa provenga dalla linea B? Quale delle due eventualità è più
probabile?
Cognome e nome ________________________________________ Matricola________________
1a
Via Saragat, 1 – I-44100 Ferrara
1b
1c
2a
3a
3b
3c
Telefono (39)-0532-294800
3d
4a
4b
4c
Telefax (39)-0532-294863
Esercizio 2
La tabella seguente mostra i risultati di un’indagine, condotta su di un campione di 32 donne, volta a
determinare una possibile relazione esistente tra il colore dei capelli e degli occhi.
Colore degli occhi
azzurri
non azzurri
Colore dei capelli
biondi
non biondi
8
3
5
16
A causa del numero apparentemente limitato di donne che mostrano di avere occhi azzurri e capelli
non biondi, si vuole verificare se esista o meno una dipendenza tra questi caratteri somatici. Si vuole
pertanto verificare se una donna con i capelli non biondi abbia minor probabilità di avere gli occhi
azzurri rispetto ad una con i capelli biondi.
(a) Si formuli un’adeguata ipotesi statistica e la si verifichi effettuando il Test di Fisher Esatto.
Cognome e Nome _______________________________________Matricola _________________
Esercizio 3
Sia X una variabile aleatoria con densità di probabilità:
 2x −x
 e ϑ
fX ( x) =  ϑ
0

2
se
x>0
altrimenti
dove ϑ è un parametro reale ( ϑ > 0 ).
+∞
(a) Calcolare media e moda di X. Può essere utile il risultato:
∫e
0
− ax 2
dx =
π
2 a
Si consideri ora la variabile aleatoria ottenuta tramite la trasformazione Y = X 2 .
(b) Calcolare la funzione densità di probabilità per Y. Dire di che variabile aleatoria si tratta e da quali
parametri è caratterizzata.
(c) Calcolare la funzione di distribuzione cumulativa per Y.
−
X2
Si consideri infine la trasformazione Z = e ϑ .
(d) Di che variabile aleatoria si tratta? Calcolare la funzione densità di probabilità per Z. Per quali
valori risulta definita?
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Esercizio 4
Un’inchiesta su 320 famiglie con 5 figli ha rivelato la distribuzione riportata nella tabella seguente.
Numero di maschi e di
femmine
Numero di
famiglie
5 maschi
0 femmine
18
4 maschi
1 femmina
56
3 maschi
2 femmine
110
2 maschi
3 femmine
88
1 maschio
4 femmine
40
0 maschi
5 femmine
8
Supponendo che ogni singola nascita (sia maschile che femminile) sia una variabile aleatoria
bernoulliana di parametri p = q = 1 / 2 e che le nascite siano s-indipendenti tra di loro:
(a) Calcolare il valore del χ2 della distribuzione dei dati osservati.
(b) Quanti vincoli ha il problema considerato?
(c) Calcolare il livello di significatività del test del χ2 . Può il risultato giustificare l’ipotesi che le
nascite maschili e femminili (in famiglie con 5 figli) sono equiprobabili?
Cognome e Nome _______________________________________Matricola _________________