Appello del 15-03-2005 - INFN

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Appello del 15-03-2005 – Statistica e Probabilità
Laurea specialistica in Ingegneria Meccanica e dei Materiali
Esercizio 1
Il 60% degli studenti di un liceo sono maschi e il 40% femmine. L’80% delle ragazze fuma, mentre
l’80% dei ragazzi non fuma.
(a) Quanto vale la probabilità che uno studente scelto a caso risulti maschio e fumatore?
(b) Incontrando lungo il corridoio uno studente, qual è la probabilità che sia un fumatore?
(c) Sapendo invece che uno studente fuma, quanto vale la probabilità che sia un ragazzo?
1a
1b
1c
2a
2b
2c
2d
3a
3b
3c
4a
4b
4c
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Esercizio 2
Sia X una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ > 0 . Si consideri la v.a. ottenuta mediante la
seguente trasformazione:
Y = a − b ⋅ ln (λX )
con X > 0 , − ∞ < a < +∞ , b > 0 .
(a) Scrivere la funzione di ripartizione e la funzione densità di probabilità per Y. Per quali valori di Y
risultano definite?
(b) Verificare la condizione di normalizzazione.
(c) Calcolare moda e mediana di Y.
(d) Dire se esiste la funzione generatrice dei momenti per la v.a. Y.
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Esercizio 3
Un’indagine a campione rivela che il quoziente d’intelligenza di 16 studenti abitanti in un’area di una
città ha una media pari a 107 con una deviazione standard di 10, mentre il quoziente d’intelligenza di
14 studenti di un’altra area della città ha una media di 112 con una deviazione standard di 8. Si assuma
che la variabile aleatoria “quoziente di intelligenza” sia simmetrica.
(a) Esiste una differenza significativa tra i quozienti d’intelligenza dei due gruppi al livello di
significatività del 99%?
(b) Cosa si può dire di questa differenza al livello del 95%?
(c) Costruire un intervallo di confidenza al 90% per la varianza del quoziente di intelligenza degli
studenti abitanti nella prima area menzionata.
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Esercizio 4
Un biologo misura la lunghezza delle code di un campione di 86 criceti, ottenendo i dati riportati in
tabella:
Intervallo
[mm]
51.5 – 55.5
55.5 – 57.5
57.5 – 59.5
59.5 – 61.5
61.5 – 63.5
63.5 – 65.5
65.5 – 69.5
Frequenze osservate
4
11
18
21
20
9
3
La media e la deviazione standard dei valori ottenuti sono rispettivamente 60.5 mm e 3.0 mm. Al fine
di verificare se i dati ottenuti seguono una distribuzione di tipo gaussiano, si esegua il test del χ 2 .
(a) Indicare quanti vincoli ha il sistema considerato e qual è il numero minimo di classi necessarie per
il calcolo del χ 2 , giustificando la risposta.
(b) Scegliere un opportuno raggruppamento degli intervalli indicati e calcolare il valore del χ 2 della
distribuzione
(c) Calcolare, sulla base della suddivisione scelta nel punto precedente, il livello di significatività del
test del χ 2 , discutendo il risultato.
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