Circuiti accoppiati

CAP.IV
TRASFORMAZIONE E CONVERSIONE DELL’ENERGIA ELETTRICA
(Estratto per il Corso di Introduzione ai Circuiti – Accademia Aeronautica – AA 2013/2014)
§IV.1 Richiami sul trasformatore ideale
Si definisce trasformatore ideale il doppio bipolo, caratterizzato dalle relazioni
v1 (t )  a v2 (t )
(IV.1.1)
1
i1 (t )   i2 (t )
a
(il coefficiente a - detto rapporto di trasformazione- è numero reale diverso da zero). Tale
doppio bipolo può essere letto quindi come trasformatore di tensione e/o di corrente.
1
i1
v1
1’
a
1
2
i1
i2
v2
2’
a
2
i2
e2
v1
1’
2’
Fig.IV.1.1 – Il trasformatore ideale
Nella definizione di trasformatore ideale, non interessa l’evoluzione temporale delle
tensioni e delle correnti. In particolare, esse possono essere costanti (regime stazionario)
oppure variabili in modo qualsiasi nel tempo (condizione quasi stazionaria); quindi, in
generale,
1
p1ass (t )  v1 (t )  i1 (t )  av 2 (t )  ( )i2 (t )  v 2 (t )  i2 (t )   p 2 ass (t )  p 2er (t ) (IV.1.2)
a
Possiamo quindi affermare che il trasformatore ideale è trasparente alla potenza
istantanea.
Il trasformatore ideale è convenzionalmente rappresentato come in fig.IV.1.1. Avuto
riguardo alla proprietà di trasparenza alle potenze, è diffuso l’uso di considerare la
convenzione dell’utilizzatore alla porta 1 e quella del generatore alla porta 2.
Il trasformatore ideale è anche un trasformatore di resistenze; infatti se si collega
(fig.IV.1.2) un resistore di resistenza R alla porta 2, la resistenza equivalente alla porta 1
vale:
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.1
Req1 
1
i1
v1
1’
a
v1
av2
v
e

 a 2 2  a 2 2  a 2 Ru (IV.1.3)
i1  i2 
i2
i2
 
 a
2
1
i2
i1
Ru
v2
2’
v1
a
2
i2
Ru
e2
1’
2’
Fig.IV.1.2 – Trasformazione di resistenze
Dalle (IV.1.3) si nota che, qualunque sia il valore ed il segno di a, la resistenza vista dal
primario si ottiene moltiplicando semplicemente il valore della resistenza collegata al
secondario per un numero positivo, pari al quadrato del rapporto di trasformazione.
In questo modo si può realizzare, con una scelta opportuna di a, la condizione di
adattamento per il massimo trasferimento di potenza sul carico. Considerata la resistenza
interna (equivalente) R* del generatore collegato al primario, dovrà essere
a
R*
(IV.2.4)
R
La costruzione di un componente con le caratteristiche del trasformatore ideale non è
semplice; si pongono tuttavia numerose soluzioni di interesse ingegneristico per la
realizzazione di trasformatori di tensione, trasformatori di corrente, adattatori che possono
avvicinarsi alle condizioni di funzionamento da trasformatore ideale nel caso di grandezze
variabili (in condizioni quasi-stazionarie).
La realizzazione di tali componenti per il funzionamento anche in regime stazionario
comporta l’uso di amplificatori operazionali (a loro volta realizzabili attraverso dispositivi
elettronici).
In condizioni dinamiche, in particolare in regime sinusoidale, possono essere utilizzati
circuiti magneticamente accoppiati per la realizzazione di trasformatori reali il cui
funzionamento è collegabile al modello del trasformatore ideale (vedi §IV.1.2). Come si
vedrà nei prossimi paragrafi, opportune condizioni ed ipotesi permettono di considerare
praticamente realizzato un trasformatore ideale.
In regime sinusoidale, le caratteristiche del trasformatore ideali si riscrivono
V1  aV2
1 (IV.2.5);
I1   I 2
a
oltre alla ”trasparenza” alla potenza istantanea, è verificata anche la trasparenza alla
potenza complessa:
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.2
~
~
 1~ 
P1ass  V1 I 1  aV2   I 2   V2 I 2  P2 er
 a 
(IV.2.6);
e quindi la trasparenza alla potenza media ed alla potenza reattiva;
un’impedenza Ż=R+jX posta al secondario è vista al primario come
Z1eq  a 2 Z
(IV.2.7)(1);
la condizione di adattamento si ottiene considerando la (IV.2.4) e la condizione
complementare
X *  a 2 X
a
R*

R
(IV.2.7) (2).
X*
X
Il trasformatore ideale è un doppio bipolo adinamico.
IV.2 Doppi bipoli dinamici – Circuiti magneticamente accoppiati
Si consideri un doppio bipolo ed una relazione del tipo
di1
di
 M 12 2
dt
dt
di
di
v 2  M 21 1  L2 2
dt
dt
v1  L1
(IV.2.1)
Tale relazione è tipica del mutuo induttore ideale; in tale componente possono essere
considerati i flussi di campo magnetico concatenati con due circuiti: il flusso concatenato
con un circuito avrà un contributo collegato alla corrente del primo circuito (flusso di
autoinduzione) ed un contributo legato alla corrente dell’altro circuito (flusso di mutua
induzione):
 1  L1i1  M 12i2
 2  M 21i1  L2 i2
(IV.2.2)
1
Nell’impedenza “vista” dal primario si deve tener conto quindi di una variazione del modulo, ma non
dell’argomento (quindi, ad esempio, una impedenza ohmico-induttiva sarà vista a monte del trasformatore
ideale, ancora come una impedenza ohmico-induttiva)
Per questa ragione si è usato spesso tale connessione per realizzare (in elettronica) un adattamento
dell’impedenza. Caso tipico è un altoparlante che per funzionare con la massima potenza deve essere
adattato all’amplificatore (come ben sanno gli appassionati di audio ad alta fedeltà).
2
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.3
Si può dimostrare che i due coefficienti di mutua sono uguali (3).
L’accoppiamento magnetico tra due circuiti di coefficienti di autoinduzione L 1, L2 e mutua
induzione M è valutato dal coefficiente di accoppiamento k=M/√ L1L2. Tale coefficiente è in
valore assoluto non superiore all’unità, dovendo essere non negativa l’energia magnetica,
funzione quadratica delle correnti, con parametri L1, L2,M .
Nel caso sia M 2  L1 L2 (condizione di accoppiamento perfetto, k=±1) l’energia magnetica
wm (i1 , i2 ) 
1 2 1 2
L1i1  L2 i2  Mi1i2
2
2
(IV.2.3)
diventa un quadrato perfetto di un binomio
 L
1
1
L 
Wm  L1i12  L2i22  Mi1i2   1 i1  k 2 i2 
2
2
2 
 2
2
(IV.2.4)
in tal caso, per infinite coppie di valori delle intensità di corrente non nulle


 i1   k L2 i2 

L1 

(IV.2.5)
l’energia magnetica totale risulta nulla, ossia il campo magnetico è nullo in tutto lo spazio;
tale condizione può essere praticamente realizzata con due solenoidi lunghi e sottili
addossati, separati da un sottile strato di isolante.
Si vedrà più avanti che il mutuo induttore ideale è un doppio bipolo dinamico del secondo
ordine, riducibile ad uno del primo ordine nel caso di accoppiamento perfetto.
Due circuiti accoppiati possono essere studiati in regime sinusoidale con il modello del
doppio bipolo, matrice Z
V1  jL1 I 1  jMI 2
V2  jMI 1  jL2 I 2
jL1
Z 
jM
(IV.2.6)
jM
jL2
Si consideri che il flusso Φ21 del campo di induzione magnetica B1 prodotto da una spira (o avvolgimento) γ1 interessata
da corrente di intensità i1 e concatenato con una linea chiusa (spira o avvolgimento) γ2, ossia attraverso una superficie
Sγ orlata dalla linea γ è, per il teorema di Stokes, pari alla circuitazione del potenziale vettore A (definito dalla relazione
3
B=rot A):
calcolato
  i t dl 
i
t t
 21  M 21i1   A1 t 2 dl2    0 1  1 1   t 2dl2  0 1   1 2 dl1 dl2 . Allo stesso modo può essere


4  1 r12 
4  2  1 r12
2
2 
12  M 12i2   A 2 t1 dl1 . Si deduce che i due coefficienti di mutua sono uguali. Allo stesso risultato si
2
perviene considerando che l’energia magnetica associata ad una coppia di valori (i 1,i2) è funzione solo di questi valori e
quindi il differenziale dWM  M 12i1di2  M 21i2 di1 deve risultare esatto, ossia deve essere M 12  M 21 .
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.4
Nel caso di accoppiamento perfetto, il doppio bipolo è equivalente ad un trasformatore
ideale con un induttore L1 [L2] in parallelo sulla prima [seconda] porta.
Infatti dalle (IV.2.6) si ricava
M
I2
V1
jL1 I1  jMI 2 L1 I1  MI 2 L1
L1



V2
jMI1  jL2 I 2 MI1  L2 I 2 M I  L2 I
1
2
M
I1 
(IV.2.7)
Se risulta M 2  L1 L2 (accoppiamento magnetico perfetto) dalle (IV.2.6)-(IV.2.7) si ha
V1 L1
v t 

 j 0  a  j 0  1  a    0
V2 M
v1 t 
V1
I
 I 0  I 1  2  I 1  I 1'
jL1
a
(IV.2.8)
Le tensioni alle porte sono in rapporto “reale” (ossia in fase od in opposizione a seconda
del segno di a) come nel trasformatore ideale; le intensità di corrente non rispettano la
corrispondente caratteristica del trasformatore ideale, ma si mette in evidenza un termine
dipendente dalla tensione alla porta 1 che può essere interpretato come “intensità di
corrente a vuoto” quando cioè la seconda porta è “aperta”. 4
1 i1
i’1
L1
v1
a
2
i2
v2
i0
1’
2’
Fig.IV.2.1 – Rete equivalente in caso di accoppiamento perfetto (a=L1/M)
La (IV.2.8) suggerisce l’adozione della rete equivalente di fig. IV.2.1.
Un doppio bipolo ad accoppiamento magnetico perfetto è quindi equivalente in regime
sinusoidale ad un trasformatore di tensione; esso non è trasparente alla potenza reattiva; per
quanto riguarda le correnti, rispetto ad un trasformatore ideale, è presente la corrente a
vuoto alla prima [seconda] porta. Tale corrente a vuoto è nulla se alla seconda [prima]
porta è collegato un bipolo cortocircuito: in tal caso il doppio bipolo si comporta come un
trasformatore (ideale) di corrente, ma ambedue le tensioni sono nulle.
4
Vale qui e nel seguito che le due porte sono del tutto interscambiabili (basta scambiare tutti i pedici).
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.5
Il diagramma vettoriale simbolico relativo al funzionamento di tale doppio bipolo a vuoto
è rappresentato in fig. IV.2.2, quello in condizioni di carico generico in fig. IV.2.3. Sarà
precisato nel seguito il significato del vettore simbolico associato al flusso d’induzione Φ.
i’1=0
1 i1
i2=0
L1
v1
V1
2
a
V2
v2
I 0  I1
i0=i1

2’
1’
Fig.IV.2.2 – Rete equivalente in caso di accoppiamento perfetto a vuoto (a>1)
1
V1
I1
I 1'
L1
V1
a
2
I2
V2
V2
Z u
I0
1’
 I2
u
I1'
I1
I0

I2
2’
Fig.IV.2.3 – Rete equivalente in caso di accoppiamento perfetto sotto carico (a>1; carico ohmicoinduttivo: angolo di potenza  u compreso tra 0 e  )
2
L’intensità della corrente a vuoto è tanto più piccola (rispetto ad i1 ed i2 ) quanto più
grande è la reattanza ωL1 rispetto al modulo di Z1eq=a2Zu. Per realizzare valori elevati di L1
si possono realizzare avvolgimenti con elevato numero di spire e disponendoli intorno a
nuclei di materiale ferromagnetico (vedi §IV.3).
Se l’accoppiamento non è perfetto si può considerare la scomposizione (a valori non
negativi) L1=L1‘+L1” e L2= L2‘+L2“ tali che tra L1 “ e L2“ vi sia la condizione di
accoppiamento perfetto. Una delle due induttanze L’ può essere scelta ad arbitrio (ad
esempio nulla). Quindi la scomposizione ha un grado di libertà.
Le (IV.2.6) possono essere riscritte come
V1  jL'1 I1  V1*  jL"1 I 1  jMI 2
V2  jL'2 I 2  V2*  jMI1  jL"2 I 2
(IV.2.9)
La rete equivalente diventa quella di fig.IV.2.4.
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.6
L'1
1
I 1'
1* I 1
*
1
V1
V
L'2
2*
a
I2
V2*
"
1
L
V2
Z u
I0
1’
2
2*’
1*’
2’
Fig.IV.2.4 – Rete equivalente generica in caso di accoppiamento non perfetto ( a  L
"
1
M
)
Un doppio bipolo circuito accoppiato ad accoppiamento non perfetto è in genere del
secondo ordine (5).
Per valutare la condizione di accoppiamento magnetico nel caso ad esempio di
trasformatori reali, costituiti ad esempio da due avvolgimenti di N1 e N2 spire, si
definiscono i flussi medi di auto e mutua induzione
11 
 N1
N1
 21m 

i2 0
 21
N2
i2 0
L1i1
N1
 22 
M i1

N2
N 2
N2
12m 

i1 0
12
N1
i1 0
L2i2
N2
M i2

N1
(IV.2.10)
,
i coefficienti di dispersione magnetica
 1d 
 2d 
11   21m
11
 22  12m
 22
L1i1 M i1

M N1
N1
N2

 1
L1i1
L1 N 2
N1
(IV.2.11)
L2i2 M i2

M N2
N
N1
 2
 1
L2i2
L2 N1
N2
e le induttanza di dispersione
L1d   1d L1  L1 
L2 d
M N1
N2
M N2
  2 d L2  L2 
N1
(IV.2.12)
5
Anche se in fig.IV.2.4 compaiono tre induttanze, esse non sono indipendenti tra loro e possono essere
ridotte a due indipendenti (ad es. ponendo L’1=0).
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.7
Si ricava anche che
M2
1  1d 1   2d  
 k2
L1L2
(IV.2.13)
La condizione di accoppiamento perfetto si realizza quando
i due coefficienti di
dispersione sono nulli, oppure quando sono di segno opposto e di valore opportuno (ad
esempio se il primo avvolgimento ha una spira, la seconda ha due spire di cui una copre la
metà della spira del primo avvolgimento: i coefficienti di dispersione valgono 0,5 e -1).
Se nello schema equivalente di fig. IV.2.4, relativo all’accoppiamento non perfetto, si
sceglie come L’ il valore dell’induttanza di dispersione, si ottiene lo schema ed il
diagramma vettoriale simbolico di fig. IV.2.5, in quanto, per la (IV.2.13)
L'1  L1d   1d L1  L1 
M N1
N2
; L"1  L1 1   1d  
M N1
N2
;a
L"1 N 1 M

M N2 M
L L 1   1d 1   2 d 
M
M
L"2  " 
 1 2
 L2 1   2 d ; L'2  L2  L"2   2 d L2  L2 d
L1
L1 1   1d 
L1 1   1d 
1
L1d
2
2
1* I 1
I 1'
V1*
V1
L1 1  1d 
L2 d
a
2*
I2
V2*
 jL2 d I 2
2
1*’
V1*
*
2
V
V2
Z u
I0
1’
 jL1d I 1
V1
2*’
u
V2 I '
1
I2
(IV.2.14)
 I2
I0
I1

2’
Fig.IV.2.5 – Rete equivalente con induttanze di dispersione
§IV.3 I circuiti magnetici – I materiali ferromagnetici
La soluzione del problema generale della magnetostatica, in presenza di correnti
libere e materiali ferromagnetici, risulta particolarmente complessa. Fortunatamente, in
molte applicazioni di interesse applicativo, si ottengono ottime soluzioni, attraverso
un'analisi simile a quella sviluppata per i circuiti elettrici in condizioni stazionarie. E'
possibile, cioè, condurre lo studio facendo riferimento a parametri globali, analoghi a
quelli che, nel caso del campo di corrente stazionario (tensioni, correnti, resistenze, ecc.),
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.8
consentono una notevole semplificazione del modello e una valutazione più immediata
delle grandezze di interesse. I principi sui quali tale analogia si basa e le limitazioni del
modello saranno illustrate nel seguito.
Si ricorda che la circuitazione del campo d’induzione magnetica B vale

 B  t dl     J  
o
o
S
E 
  n dS  (legge di Ampère-Maxwell)
t 
(IV.3.1)
Si considerino condizioni quasi-stazionarie magnetiche (modello QSM), in cui si
trascura la densità di corrente di spostamento
 B  t dl    J  n dS
o
(IV.3.2)
S
E’ opportuno separare i contributi al campo d’induzione magnetica B delle correnti
nei conduttori o delle correnti di convezione ( densità di corrente “libera” JL ) dalle correnti
equivalenti al moto degli elettroni negli atomi e nelle molecole (densità di
corrente”vincolata” Jv) e quindi introdurre l’intensità del campo magnetico H (collegabile
alle sole correnti libere) e la intensità di magnetizzazione M (collegabile alle sole correnti
vincolate). M risulta essere il momento risultante di dipolo magnetico per unità di volume.
 B  t dl    J
o
L
 J v   n dS  o  H  M   t dl

S
 H  t dl   J
L
 n dS
(IV.3.3)
S
 M  t dl   J
v
 n dS
S
§IV.3.1 Legge di Hopkinson per i circuiti magnetici
Consideriamo un avvolgimento di N spire “compatte e serrate” distribuite uniformemente su
un supporto a forma di anello (toro) (fig. IV.3.1.1)
Applicando la seconda delle (IV.3.3) si verifica subito che il campo H ha struttura circolare ed
è nullo all’esterno dell’avvolgimento, mentre all’interno vale
H ( r ) r rr 
1
2
NI
2r
(IV.3.1.1)
se il toro è sottile, possiamo considerare il campo praticamente uniforme all’interno e pari al
campo sull’asse
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.9
H ( r ) r r r 
1
2
NI
NI

(IV.3.1.2)
2r0  0
r1
r0
I
A
r2
B
Fig. IV.3.1.1 – Avvolgimento toroidale di N spire
Si supponga che il supporto non sia di materiale ferromagnetico (ossia si considerino
trascurabili gli effetti delle correnti vincolate).
Il toro costituisce chiaramente un tubo di flusso del vettore B; il flusso di questo tubo di
flusso può essere considerato pari al flusso Φ concatenato con la singola spira. Il flusso di B
concatenato con le N spire ed il coefficiente di autoinduzione valgono
N 2 I  S
 N  N  0
2r0
N 2 S
 L  0
(IV.3.1.3)
2r0
Se in un avvolgimento toroidale si volesse tener conto della variazione del campo con il
raggio di una spira quadrata di altezza b, il coefficiente di autoinduzione potrebbe essere
calcolato nel modo seguente (fig.IV.3.1.2):
b
Fig. IV.3.1.2 – Sezione trasversale del toro
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.10
N1 0 N
L

I
I
0 N bNI
0bN 2 r2
S HdS  I r 2r dr  2 ln r1 (IV.3.1.4)
r2
1
Dalla (IV.3.3) si ricava
B S
dl
 t dl   
 
0 S
0 S

 H  t dl  NI   
(IV.3.1.5)
Un tubo di flusso del vettore B viene anche definito come circuito magnetico; la (IV.3.1.5)
prende il nome di legge (di Hopkinson) per i circuiti magnetici semplici: la circuitazione del
campo H (forza magnetomotrice) è pari al flusso di B per la riluttanza del tubo di flusso (6).
L’analogia con un circuito elettrico semplice è immediata
 H  t dl  NI   
  E  t dl  e  R I

(IV.3.1.6)
Analogamente cioè a quanto avviene per il campo densità di corrente J in un conduttore
immerso in un mezzo isolante in condizioni stazionarie (per cui definiamo circuiti elettrici
elementari interessati da un’intensità di corrente i pari al flusso di J attraverso una sezione
e, più in generale, reti elettriche), si possono considerare i tubi di flusso del campo
magnetico B interessati dal flusso , come circuiti magnetici elementari, ovvero se
riconosciamo una più ampia distribuzione di B, come reti magnetiche.
La riluttanza magnetica va quindi attribuita al circuito magnetico o ad un tratto (ramo) di
circuito magnetico; il suo reciproco viene denominato permeanza. Si comprende a questo
punto, come nelle situazioni del tipo descritto, le due leggi fondamentali della
magnetostatica possono essere presentate in forma "circuitale", in cui le forze magnetomotrici
Ni prendono il posto delle f.e.m., i flussi  prendono il posto delle intensità di corrente e le
riluttanze R prendono il posto delle resistenze. Alla luce di questa analogia la (IV.3.1.6)
viene spesso indicata come legge di Ohm per i circuiti magnetici.
Ai circuiti magnetici possono essere estese per analogia gli elementi delle reti elettriche (nodi,
maglie, ….) e le proprietà “circuitali” (scomposizione, equivalenza, …).
Per chiarire meglio tale analogia si può far riferimento allo schema mostrato in fig.
IV.3.1.3, dove compaiono due tratti in aria (traferri) di spessore δ1 e δ2. Il circuito magnetico
6
La riluttanza dell’anello toroidale in materiale amagnetico (omogeneo) vale

2 r0
0 S
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.11
può essere studiato, in prima approssimazione, trascurando le riluttanze dei tratti in ferro,
considerando il circuito elettrico associato (corrispondenze in tab. IV.1):
Tab. IV.1
E
Ni
R1
1 =1/µ0S1
R2
2 =2/µ0S2
I

i1 
1
i2
2
avendo indicato rispettivamente con  il flusso che interessa la colonna sulla quale sono
avvolte le N spire e 1 2 i flussi nelle due colonne verticali.
i
 
N
S
µ
0

S1
1
a)
µ -> •
i
i
E
2
R2
i
1
R1
b)
fig. IV.3.1.3 – Analogia tra circuiti magnetici e circuiti elettrici
Le considerazioni sviluppate in precedenza consentono in prima approssimazione di
affrontare l'analisi dei circuiti magnetici tipici di alcune macchine elettriche quali i
trasformatori.
Dalla legge di Hopkinson si ricava anche che considerando i flussi medi di due circuiti
accoppiati, si può stabilire una relazione tra coefficienti di auto e mutua induzione e
riluttanze “equivalenti”
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.12
L1 
 N1
i1

i2 0
 N2
N11 N1 N1i1 N12


; L2 
i1
i11
1
i2

i1 0
 N2
N 22
; M
2
i1

i2 0
N 2 21m N 2 N1i1 N 2 N1


i1
i11
1 (IV.3.1.7)
Il flusso medio di mutua induzione viene anche chiamato flusso principale. La differenza tra
il flusso medio di autoinduzione e del flusso principale viene classificato come flusso
disperso e, come siè visto, ad esso è associata l’ induttanza di dispersione.
§IV.3.2 Comportamento dei materiali ferromagnetici
Nel caso dei materiali ferromagnetici (tra i più comuni: ferro, nickel, cobalto, loro leghe e
composti) assumono rilevanza il comportamento collettivo (allineamento magnetico) degli
atomi di materiali in regioni significative (detti domini di Weiss, delle dimensioni anche
superiori al decimo di millimetro).
Si consideri nuovamente un anello di materiale ferromagnetico su cui è predisposto un
avvolgimento di N spire (fig. IV.3.1.1). Il campo H all’interno dell’anello vale ancora
H ( r ) r rr 
1
2
NI
NI

(IV.3.2.1)
2r0
l
mentre all’esterno è nullo. Alimentando l’avvolgimento con intensità di corrente I
(proporzionale ad H), aduna variazione di corrente in un certo intervallo di tempo
corrisponderà una variazione del flusso di B e quindi una tensione valutabile ai morsetti A-B;
integrando nel tempo per valori di I crescenti fino ad un valore I max si può ricavare una
relazione tra B ed H del tipo in fig. IV.3.2.1 (7).
B
saturazione
Hmax
H=NI/l
Fig.IV. 3.2.1 Caratteristica B-H di un materiale ferromagnetico
Il campo di induzione può essere letto come
7
In realtà la curva (B,H) non è continua, ma frammentata dal meccanismo “a scatto” dell’allineamento,
corrispondente al rumore acustico noto come “effetto Barkhausen”( Barkhausen ,1919).
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.13
B  o ( H  M )  o (
NI
M)
l
(IV.3.2.2)
con M (intensità di magnetizzazione) crescente fino al valore Ms di saturazione corrispondente
al miglior allineamento degli atomi nei domini di Weiss (il valore di B al “ginocchio” della
saturazione è nell’intervallo 1.5-2 T, vedi tab.IV.2).
La circuitazione del campo lungo l’asse del toro (nel ferro) risulta
B
 
Il termine
Ml
 t dl  NI  Ml
(IV.3.2.3)
o
assume il significato di totale corrente molecolare equivalente concatenata
con la linea  . Con tale linea saranno concatenate le correnti elementari determinate dalle
particelle (di raggio medio r0) poste a distanza non superiore ad r0 dalla linea  . Se la
densità di particelle è n, il numero totale di particelle coinvolte è (n r02l); detta im
l’intensità di corrente elementare, per la totale corrente molecolare equivalente vale la
relazione
J
0
l  nr02l  im  n m l  Ml
(IV.3.2.4)
dove m è il momento elementare; pertanto M è il momento magnetico risultante per unità
di volume (detto anche intensità di magnetizzazione).
I valori di saturazione sono riportati nella tab.IV.2
TAB.IV.2 – Saturazione di materiali ferromagnetici
Materiale
Intensità di Magnetizzazione Ms [A/m]
μ 0Ms [T]
Ferro
1.7 106
2.1
Ferro-cobalto
1.9 106
2.4
Acciaio temprato
1.4 106
1.7
Cobalto
1.4 106
1.7
Nickel
0.48 106
0.6
Magnetite
0.50 106
0.6
Se vi fosse linearità tra M e B , si potrebbe scrivere
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.14
B  μ o H  βB  B 
μo
H  μ rμ 0 H  μ H (IV.3.2.5)
1β
con  permeabilità magnetica assoluta e r permeabilità relativa potrebbe.
In realtà il meccanismo di allineamento degli atomi nei domini è tutt’altro che “lineare” e
presenta una saturazione. Per cui è necessario ricavare sulla caratteristica B-H la
permeabilità differenziale
 d H  
dB
  rd 0 (IV.3.2.6)
dH
La permeabilità differenziale relativa varia da circa 250 per bassi valori di H (permeabilità
iniziale) ad un massimo di diverse migliaia (può raggiungere anche le centinaia di
magliaia per materiali speciali anisotropi a grani orientati) per poi tornare a valori unitari
alla saturazione.
Oltre a questa marcata non linearità, l’allineamento del magneti per azione del campo non
ha natura elastica, per cui si ha il fenomeno dell’ isteresi magnetica: al diminuire delle
intensità di corrente cioè di H fino ad annullarsi, il campo B descrive un’altra traiettoria ed
il materiale esibisce una induzione residua Br (se Br risulta superiore a 0,4T il materiale
viene classificato come magnete permanente o “duro”). Per un ciclo completo di H, non si ha
un ciclo di isteresi chiuso (fig. IV.3.2.2); il ciclo di isteresi si assesta dopo numerosi cicli di
H (fig. IV.3.2.3). L’area del ciclo di isteresi assestato rappresenta la perdita (in calore) per
unità di volume del materiale ferromagnetico.
La potenza dissipata per isteresi per unità di volume può essere valutata con la
espressione semi-empirica (di Steinmetz)
p[ W / m 3 ]    BM1,6
(IV.3.2.7)
Nelle forniture di materiale ferromagnetico viene usualmente fornita la cifra di perdita,
intendendosi con questa indicare la perdita per isteresi per unità di peso (per lamierini di
macchine rotanti tale cifra è circa 4 W/kg per l’induzione massima di 1 T)
Per i materiali a bassa induzione residua (“dolci”) si definisce una curva di
magnetizzazione “normale” (convenzionale) rappresentata dal luogo dei vertici dei cicli di
isteresi assestati decrescenti. Su tale curva si definisce una permeabilità differenziale
“normale”.
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.15
B
saturazione
Hmax
H=NI/l
Fig.IV. 3.2.2 Ciclo di isteresi non assestato
B
saturazione
Hmax
H=NI/l
Fig. IV. 3.2.3 Ciclo di isteresi assestato
Nella fig. IV.3.2.4 è riportata, in scala semilogaritmica, la curva di magnetizzazione normale di una
lega industriale al ferro silicio a grani orientati.
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.16
Fig.IV. 3.2.4 Caratteristica di magnetizzazione normale
In campo elettronico, considerando un punto di lavoro base tra quelli rappresentati nella
curva “normale” di fig. IV.3.2.4, ha interesse considerare un comportamento prevedibile
analiticamente da parte del ferro rispetto a piccole variazioni di H e di B (piccoli segnali);
ha interesse cioè considerare variazioni così piccole dei campi che il ciclo si chiude
“subito” cioè il ferro ha un comportamento reversibile (fig.IV.3.2.5). Si definisce quindi la
permeabilità reversibile come
B
 rev H  
H
B
Curva
“normale”
rev
Ciclo
reversibile
ΔB
ΔH
H=NI/l
Fig.IV. 3.2.5 Permeabilità reversibile
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.17
§IV.3.3 Elettromagneti (facoltativo)
Si si pratica nell’anello un taglio sottile di spessore δ (fig. IV.3.9) si crea un “traferro” accessibile, in
cui il campo magnetico può essere di valore notevole.
δ
r1
r2
r0
I
A
B
Fig.IV. 3.9 Anello ferromagnetico con traferro
Infatti, in presenza di taglio la struttura rappresenta ancora ragionevolmente un tubo di flusso; le
linee di B sono praticamente normali e continue alla superficie di separazione ferro-aria al traferro .
Ne consegue che il campo H è trascurabile nel ferro e quindi discontinuo al traferro. Per
rendersene conto basta considerare la legge di Hopkinson
 H  t dl  NI   H  t dl  
Fe
H  t dl 
traferro
 Hdl H   
0
traferro
 Btraferro  0
traferro
NI

(IV.3.17)
Si può ottenere quindi (in prima approssimazione) il valore desiderato di B al traferro alimentando
l’avvolgimento su ferro (8).
In realtà gli elettromagneti si realizzano con strutture componibili quale quella mostrata in fig.
IV.3.10. In prima approssimazione, se il ferro lavora ad elevata permeabilità differenziale (lontano
dalla saturazione) e se trascuriamo gli effetti degli spigoli, trattasi ancora di un tubo di flusso di B,
per cui tali strutture vengono nella pratica chiamati “circuiti magnetici” .
8
La distribuzione di campo magnetico nel ferro (lontano dalla saturazione) non varia quasi per niente se le N spire
sono concentrato in un tratto limitato della periferia dell’anello.
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.18
i
N

fig. IV.3.10 – Struttura di un elettromagnete
La mappa del campo magnetico dimostra la consistenza di tale approssimazione (fig. IV.3.11)

x
x
x
Ni

1

L
fig. IV.3.11 – Elettromagnete reale
Indicata con L la lunghezza della colonna, si può comunque osservare che, se il traferro ha
dimensioni trascurabili rispetto a L (e, quindi, rispetto allo sviluppo complessivo della
struttura in ferro), il campo nell'aria, al di fuori del traferro, è trascurabile rispetto al valore
che esso assume nel traferro. Questa considerazione induce, allora, a trattare i sistemi del
tipo in esame, introducendo un'ulteriore approssimazione che consiste nel trascurare del
tutto il campo in aria (al di fuori del traferro). Ci si riconduce, cioè, ad una situazione nella
quale il campo B è “incanalato” nel ferro e prolungato nel traferro, il quale costituisce,
sostanzialmente un tubo di flusso (circuito magnetico). Si osservi, in particolare, che mentre
H è quasi nullo nel ferro, B si mantiene ivi limitato.
Una analisi più approfondita dei campi in presenza materiale ferromagnetico, con
particolare riguardo alle interfacce, è presentata nel paragrafo successivo.
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.19
§IV.3.3.1 Comportamento del campo magnetico alla superficie di separazione fra un mezzo a
permeabilità molto elevata e l'aria (facoltativo)
Sia
 la superficie di separazione fra un materiale (1) caratterizzato da una
permeabilità µ1 ed un mezzo (2) di permeabiltà µ2 come schematicamente indicato in fig.IV.3.3.1.1.
Supponiamo che le due permeabilità siano legate da una relazione del tipo µ1>> µ2 , come avviene,
ad esempio, quando il materiale 1 è costituito da un materiale ferromagnetico e il mezzo 2 è l'aria
(µ2=µ0) L’approssimazione consiste nel considerare µ1/µ2 -> ∞: tale ipotesi evidentemente non
corrisponde ad alcuna situazione fisicamente realizzabile, ma può costituire una prima
approssimazione per sistemi fisici di notevole interesse applicativo che comprendano materiali
ferromagnetici. Si noterà inoltre che tale ipotesi di consentirà di separare con successo lo studio
del problema della soluzione del campo all'interno e all'esterno del materiale ferromagnetico.

n
1
2
1
2
fig. IV.3.3.1.1
Per studiare il comportamento del campo nel passaggio dal mezzo 1 al mezzo 2,
cominciamo ad esaminare le due configurazioni di principio rappresentate in fig. IV.3.3.1.2a e fig.
IV.3.3.1.2b: in esse, O è la traccia di un conduttore filiforme rettilineo perpendicolare al piano del
foglio, percorso da una corrente i. Nel caso (a), il mezzo a permeabilità infinita (che nel seguito per
brevità sarà denominato "ferro") è costituito da una struttura toroidale interrotta in corrispondenza
di un traferro di spessore ; nel caso (b), invece, si ha un toro che si concatena con il conduttore
interessato dalla corrente i.
Prima di esaminare il comportamento dei campi H e B in corrispondenza della superficie di
separazione  fra ferro e aria, si ricorda che, per due mezzi a permeabilità diversa, in generale
risulta:
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.20
n . [B(2)-B(1)] = Bn2- Bn1 = 0
(1)
n x [H(2)-H(1)] = Ht2-Ht1 = K
(2)
Si suppone, inoltre, che in questo caso sulla superficie di separazione non sia localizzata alcuna
corrente superficiale libera K, ovvero K=0.
Le relazioni suddette possono essere riscritte nella forma seguente:
µ1Hn1 - µ2Hn2 = 0
(3)
(Bt1/µ1) - (Bt2/µ2) = 0 (4)
Per studiare le due situazioni sopra schematizzate imponiamo, inoltre, la condizione di regolarità
all'infinito.
µ ->•
1
µ ->•
1
O
µ
1
O

0
2
µ0
1
2
µ0
2
b)
a)
fig. IV.3.3.1.2
Caso (a)
Nell'aria il campo di induzione B sarà senz'altro limitato; ne consegue che la componente
normale di B, Bn2, risulta limitata (e quindi anche Hn2); per la (1), anche la Bn1 risulterà limitata e,
data la caratteristica B-H del ferro, ne consegue che Hn1=0. In questa situazione osserviamo
dunque che nel ferro il problema può essere studiato sulla base del seguente modello:
rot H = 0 ; divH = 0
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.21
D'altra parte il ferro costituisce un dominio semplicemente connesso nel quale l'ipotesi di
irrotazionalità di H consente di introdurre un potenziale scalare, dal quale far discendere tale
campo. Avremo cioé H = grad e all'interno del ferro il problema risulta descritto da:

 = 0
Hn1= ∂/∂n=0
Si tratta dunque di risolvere un problema di Neumann la cui soluzione risulta peraltro banale.
Infatti, su  risulta  = cost che implica  = costante all'interno e, di conseguenza, H= grad= 0 nel
ferro. L'ipotesi µ -> ∞ dà, dunque, origine ad un problema che risulta formalmente simile a quello
relativo alla determinazione del campo elettrico E all'interno di un conduttore perfetto ( ->∞).
La soluzione di questo problema consente inoltre di affrontare anche il problema esterno. Infatti,
per la (2), Ht1=Ht2=0 e poichè Bt2=µ0Ht2 anche la componente tangente di B nell'aria risulterà
nulla. Ciò implica che il campo B emerge perpendicolarmente da  nell'aria, dove le equazioni
risultano:
divB = 0 ;
rot B = µ0Jlib
con la condizione al contorno del tipo Bt2=0.
Resta a questo punto da determinare l'andamento di B all'interno del ferro. Tale ultimo problema
può essere affrontato sulla base della conoscenza di B ottenuto dalla soluzione di del problema
esterno:
divB = 0 ; rot B = 0
con la condizione al contorno del tipo Bn1=G(P), con G(P) funzione di punto, ricavabile dalla
soluzione del problema esterno. Bt1 risulterà indeterminata (in ogni caso limitata o nulla) dovendo
essere nulla la Ht1.
Una tabella riassuntiva servirà a chiarire gli andamenti delle componenti tangenti e normali di H e
B per la configurazione in esame (Tabella I).
Un disegno qualitativo delle linee di B all'interfaccia è quello rappresentato in fig. IV.3.3.1.3.
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.22
Tabella I
Ferro (1)
Aria (2)
Ht
0
0
Hn
0
limitata
Bt
indeterminata
0
Bn
limitata
limitata
1
Ferro
B

2
Aria
B
fig. IV.3.3.1.3
Caso b)
Si osserva che in questa configurazione, essendo il dominio non semplicemente connesso,
non è possibile introdurre un potenziale scalare per il campo magnetico. Notiamo, peraltro, che in
applicazioni di notevole rilievo, come ad esempio nel caso del trasformatore, il dominio toroidale
concatena una corrente quasi nulla. Ciò consente di ritornare ad una situazione simile a quella
descritta nel caso a). Una valutazione delle componenti dei campi B ed H può peraltro essere
ottenuta sulla base delle seguenti considerazioni.
La componente tangente di H nell'aria, Ht2, si mantiene limitata su dovendo soddisfare la legge
di Ampère; si avrà, quindi che anche Ht1, per la (2), si manterrà limitata. Poichè µ1 -> ∞, essendo
Ht1 limitata, ne consegue che Bt1 risulterà illimitata. La componente tangente di B nell'aria, Bt2,
risulterà, invece, limitata (Bt2=µ0Ht2). Essendo B limitato nell'aria si mantiene limitata la sua
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.23
componente normale Bn2 che è continua all'interfaccia (Bn2=Bn1): per la (3), risulta, dunque, nulla
la componente normale Hn1 nel ferro. Da queste posizioni discende, inoltre, che Hn2 deve
risultare limitata (Hn2=Bn2/µ0). Le singole componenti dei campi H e B possono pertanto essere
valutate secondo lo schema sintetico riportato nella Tabella II.
Tabella II
Ferro (1)
Aria (2)
Ht
limitata
limitata
Hn
0
limitata
Bt
illimitata
limitata
Bn
limitata
limitata
Un disegnoo qualitativo delle linee di H all'interfaccia è quello rappresentato in fig. IV.3.3.1.4.
1
F erro

H
H
2
Aria
fig. IV.3.3.1.4
La configurazione di fig. 2a) è tipica delle applicazioni nelle quali è necessario poter disporre di un
assegnato valore di campo di induzione magnetica nella regione del traferro (ad esempio negli
elettromagneti).
La configurazione in cui il ferro ha struttura toroidale (del tipo di fig. 2b) risulta, come già
accennato, di notevole interesse nei casi in cui esso è concatenato con correnti uguali e opposte. In
tali casi (si pensi ad esempio al caso del trasformatore in cortocircuito), pur essendo il ferro
completamente chiuso, in esso, il campo magnetico si mantiene nullo, dovendo rispettare la legge
di Ampère.
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.24
§IV.3.4 Le correnti parassite nel ferro (facoltativo)
Si consideri un cilindro di materiale conduttore di lunghezza Δz, di raggio r* e di resistività η,
immerso in un campo uniforme B(t)=B sen ωt diretto lungo l’asse del conduttore (fig. IV.3.4.1).
Considerata una generica circonferenza coassiale γ di raggio r, il flusso concatenato con tale linea
ed il valore efficace della relativa f.e.m. indotta valgono
r*
r
γ
dr
fig. IV.3.4.1 – Cilindro metallico (correnti indotte)
   r   B M r 2 sin t
et   
d
dt
 B M r 2 cos t  E 
EM
2

B M r 2
2
Ad ogni linea γ si può associare un conduttore elementare di spessore infinitesimo dr, la cui
conduttanza equivalente (per conduzione “azimutale”) vale
dr  
1 z  dr
 2r
cui si può associare una dissipazione elementare
2
1  B M r 2  z  dr  2BM2 z 3

dP  E  dr   

r dr

4
2  2r
2
La potenza dissipata totale vale
2
1  B M r 2  z  dr  2BM2 z r * 4

P   dP   


2

r
16
2


0
0
r*
r*
quella per unità di volume
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.25
 2 BM2 r * 2
P
p 2 
R z
16
Le correnti indotte vengono dette correnti di Focault (se non volute, come nel ferro dei
trasformatori, vengono dette parassite) producono quindi delle perdite proporzionali al
quadrato della frequenza, al quadrato dell’induzione massima, al quadrato del raggio (o,
in generale, di una larghezza equivalente) ed inversamente proporzionale alla resistività
del materiale.
Per ridurre quindi tali perdite si procede quindi a costruire il nucleo di ferro attraverso
lamierini isolati tra di loro, in modo da presentare una larghezza d (collegabile ad r*)
molto limitata. Per l’impiego ad alta frequenza (es antenne) si preferisce usare ferro ad
elevata resistività quali ossidi di ferro sinterizzati (ferriti) che presentano tuttavia bassa
induzione limite e elevata perdita per isteresi.
Si è visto quindi che le perdite nel ferro per isteresi (formula di Steinmetz) sono
proporzionali ad una potenza dell’induzione massima nel ferro pari a 1.6, mentre le
perdite per correnti parassite sono proporzionali al quadrato dell’induzione massima nel
ferro. In una struttura ferromagnetica semplice possiamo far riferimento al flusso di
induzione principale e quindi possiamo schematizzare con accettabile approssimazione le
perdite nel ferro con un resistore RFe sottoposto alla tensione V*1, dando luogo allo schema
di fig. IV.3.4.2
1
L1d
I1
I
V1 L1 1  1d
1’
I 1'
I Fe
*
1
V
RFe
a
L2 d
I2
V2*
2
V2
Z u
I0
2’
Fig. IV.3.4.2 – Schematizzazione delle perdite nel ferro
In tale schema individuiamo la “corrente di magnetizzazione” Iμ (collegata al flusso principale) e la
corrente IFe (collegata alle perdite nel ferro).
E’ chiaramente da sottolineare che, oltre all’approssimazione introdotta, vi sarebbe anche da tener
conto della consistente non-linearità della caratteristica magnetica, che porta a tensioni e correnti
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.26
distorte, di cui gli schemi “lineari” proposti non possono tener conto; si dovrà quindi procedere ad
una opportuna analisi armonica nel dominio del tempo (scomposizione in serie di Fourier) delle
grandezze in esame, che esula dai limiti di questo corso.
§IV.3.5 Le perdite nel rame (facoltativo)
Nel trasformatore reale gli avvolgimenti in rame danno luogo a perdite, schematizzabili
come in fig. IV.3.5.1, PCu  R1 I 1  R2 I 2
2
V1
 R1 I 1
V1*
 jL1d I 1  jL2 d I 2
V2*
1
 I2
L1d
I1
V1*
V1
I1
V2
 u I1'
2
a
L1 1  1d 
R1
I2
V2*
R2

I2
L2 d
2
V2
Z u
I0
1’
I0
I 1'
2’
Fig. IV.3.5.1 Schematizzazione perdite nel rame
A vuoto le perdite nel rame valgono
PCu 0  R1 I 102
L’intensità di corrente a vuoto è molto minore di quella nominale o di funzionamento
ordinario del trasformatore (eccetto i TV o trasformatori voltmetrici) per cui si può parlare
di una resistenza equivalente
PCu  R1e I 12  R2 e I 22
R1e  R1  a 2 R2
R2 e  R2 
R1
a2
La resistività dei materiali impiegati negli avvolgimenti (in genere, rame) dipende dalla
temperatura di lavoro. Questa dipende sia dalle condizioni ambientali che dalle condizioni
di funzionamento; inoltre non è uniforme. Può essere assunta una temperatura di
riferimento o fattori correttivi (vedi Norme CEI-CENELEC) per la valutazione dei
parametri equivalenti in prove mirate (vedi prova di corto circuito).
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.27
Considerando che i coefficienti di dispersione sono in genere molto inferiori all’unità, si
usano frequentemente gli schemi equivalente semplificati di fig. IV.3.5.2, in cui vengono
riportati anche i parametri corrispondenti alle perdite nel ferro.
1
I 1'
I1
L2 d 
a
L1d
a2
V1
2
I2
"
L1
V1
V2
Z u
L"2
R1
a)
R2+R1/a2
*
2
L1d
a2
2
I2
V2
V
I 02
I0
1’
L2 d 
1
1’
2’
b)
R2+R1/a2
Fig. IV.3.5.2 – Schemi semplificati: a) parametri longitudinali da un lato, parametri trasversali
dall’altro; b) tutti i parametri da un lato
----------------------
Cap. IV – Trasformazione e conversione dell’energia elettrica - pag.28
2’