Nuovi modelli conoscitivi
Premessa: Approfondiremo lo studio del metodo utilizzato dalla matematica per costruire le sue teorie. Infatti, per
comprendere e sviluppare questa disciplina è indispensabile conoscere a fondo il metodo che essa utilizza per sostenere le
sue affermazioni. Apprenderemo alcune nozioni fondamentali che consentiranno di:
- discutere la teoria della deduzione;
- comprendere la sistematizzazione assiomatica di Hilbert della geometria euclidea.
Amplieremo la conoscenza dell’argomento sviluppando:
- le regole di deduzione.
Utilizzeremo quanto appreso per:
- esaminare vari esempi di teorie assiomatiche.
I - TEORIA DELLA DEDUZIONE
Gli studiosi della scienza hanno costruito le loro teorie seguendo differenti metodi di indagine: l’esame di prove ed errori,
l’uso di metodi computazionali, lo sviluppo di specifiche intuizioni ecc. Per confermare una scoperta e renderla
accettabile alla comunità dei matematici è però necessario rispettare, nel procedimento di elaborazione seguito, le regole
del metodo ipotetico-deduttivo, in base alle quali i risultati vengono dimostrati attraverso una catena di ragionamenti che
segue precise norme.
Esempio
Anticamente, egizi e indiani sapevano che un triangolo con i lati proporzionali ai numeri 3, 4 e 5 è rettangolo perché
avevano sperimentato questo fatto innumerevoli volte. Solo i greci, tuttavia, arrivarono a dimostrare che un triangolo i cui
lati a, b e c stanno nella relazione a2 + b2 = c2 è un triangolo rettangolo.
Attraverso una serie innumerevole di verifiche si può accettare empiricamente che una legge abbia un certo campo di
validità, ma non si può escludere che esista una situazione, non ancora individuata, che non la conferma. Per quanto
numerose siano le prove o le verifiche sperimentali, esse non consentono di ottenere gli stessi risultati generali che si
conseguono quando si dimostra una proposizione: infatti, anche una sola verifica che non conferma l’ipotesi è sufficiente
a falsificarla.
ATTENZIONE: Come le sole prove sperimentali non permettono di confermare completa mente una teoria, così
l’esperimento falsificatore non rende falsa l’intera teoria, ma ne indica solamente i limiti di validità.
Esempio
La legge di Hubble esprime la velocità di recessione v delle galassie in funzione della loro distanza l secondo la relazione
v = H· l, dove H è la costante di Hubble.
Per tale costante si sono ottenute misure variabili, che vanno dal valore 120 km/s·Mpc (chilometri diviso secondi per
megaparsec) stabilito nel 1924, al valore 50 km/s·Mpc attualmente noto. Da ciò discende la possibilità di elaborare
differenti teorie cosmologiche: secondo Hubble infatti l’universo è in espansione, mentre i nuovi dati suggeriscono l’idea
che l’universo possa essere sede di continue contrazioni ed espansioni (teoria dell’universo pulsante).
Il metodo d’indagine utilizzato dalla matematica per confermare le proprie proposizioni non è empirico, ma logico, e non
richiede verifica sperimentale. Nei prossimi paragrafi lo studieremo accuratamente.
1. Verità e Dimostrazione
Come è noto, in matematica una proposizione è accettata se è dimostrata.
Intuitivamente si può ritenere che dimostrare una proposizione significhi comprovare che è vera. Se, come è accaduto
talvolta in questo testo, si omette un procedimento dimostrativo, rimane tuttavia sottinteso che la proposizione è
accettabile perché comunque la sua dimostrazione è possibile.
E bene sottolineare il fatto che la verità è un requisito di cui gode o non gode autonomamente una proposizione, una volta
precisato l’insieme degli oggetti a cui si riferisce. Per dimostrare una proposizione, invece, è necessario riferirsi ad altre
proposizioni o enunciati; in questo modo si può decidere se una proposizione è vera attraverso una serie di deduzioni.
Pertanto, una dimostrazione non rappresenta una proprietà di una proposizione, ma esprime delle relazioni tra
proposizioni. Per questo motivo essa può essere corretta o non corretta.
ATTENZIONE Tra verità e dimostrazione corretta non esiste correlazione. Può accadere infatti che una dimostrazione
corretta conduca a conclusioni false e che una dimostrazione scorretta, per puro caso, conduca a una conclusione vera.
Una dimostrazione è considerata corretta quando, applicata a premesse vere, conduce a conclusioni vere. Per valutare la
correttezza di una dimostrazione, i nessi dimostrativi devono essere considerati in se stessi, indipendentemente dalla
verità delle proposizioni alle quali essi vengono applicati.
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Nuovi modelli conoscitivi
Se A e B sono due proposizioni e la proposizione B è dimostrabile a partire da A si scrive A→B.
ATTENZIONE Se vale la relazione A→B, non è detto che sia vera anche la relazione inversa B→A (ciò accade solo in
casi particolari). Inoltre, si considera banale la dimostrazione della proposizione A a partire da A stessa.
Se una proposizione P è dimostrabile a partire dalle proposizioni A1, A2, A3
…An, si scrive: A1, A2, A3 …An →P.
Anche A1, A2, A3 …An devono essere vere e quindi devono essere dimostrate a
partire da altre proposizioni, secondo lo schema di ragionamento della figura a
lato.
Si genera così una regressione che riconduce a proposizioni che a loro volta
richiedono di essere dimostrate per poter essere accettate come vere e costituire
le premesse per le successive conclusioni. La regressione deve comunque avere termine, perché in caso contrario non si
potrebbe mai giungere a conclusioni vere: questo processo infatti non può regredire all’infinito, né riavvolgersi su se
stesso.
La proposizione che viene assunta come immediatamente vera, da cui di scende la catena di ragionamenti in base ai
quali si conclude che la proposizione P dell’albero in figura 1 è vera, è detta assioma. Un assioma non va considerato alla
stregua di una proposizione, che può essere vera o falsa, e non deve neanche essere evidente: è solo necessario che esso
sia assunto come vero. Le deduzioni che si compiono a partire da un assioma sono corrette, se si rispettano le regole della
logica.
Il valore di verità associato a un assioma è relativo: esso può variare al variare del sistema assiomatico. Per esempio,
l’accettazione o meno dell’assioma delle parallele stabilisce il tipo di geometria, rispettivamente euclidea e non euclidea.
Storicamente, la geometria di Euclide assegnava invece agli enunciati immediatamente veri un valore di verità assoluto
sulla base del principio di evidenza: l’enunciato veniva accettato perché evidente e non contrario al senso comune. Questi
enunciati erano denominati postulati. Un esempio di postulato è il seguente: per due punti passano quante curve si
vogliono, ma una sola retta.
ATTENZIONE! L’essenza del metodo assiomatico sta nella scelta degli enunciati immediatamente veri che esplicitano
gli assiomi; questi ultimi costituiscono il punto di partenza delle deduzioni formali che sono condotte all’interno di una
teoria matematica. Pertanto, il valore di verità di una teoria dipende dal valore di verità che viene assegnato agli assiomi
che, come si è detto, è relativo e può variare.
In definitiva, secondo il metodo deduttivo, quando si inizia a costruire una certa disciplina si isola un piccolo gruppo di
espressioni, che appaiono immediatamente comprensibili: esse sono dette termini primitivi o indefiniti della teoria e
sono utilizzate senza spiegarne il significato.
L’enunciato che fissa il significato di un termine si chiama definizione; le espressioni il cui significato è stato descritto
nella definizione si chiamano termini definiti.
Per gli asserti della teoria si procede allo stesso modo: alcune proposizioni sono scelte come assiomi e accettate come
vere senza altra richiesta di evidenza. Ogni altro asserto della teoria verrà considerato vero solo nel caso in cui si sia
riusciti a dimostrarne la verità, usando esclusivamente assiomi, definizioni e proposizioni della disciplina la cui validità
sia stata a priori stabilita. Le proposizioni di questo tipo sono dette teoremi. La validità di un teorema si ottiene attraverso
il procedimento, sviluppato secondo le regole della logica matematica, detto dimostrazione.
Più in generale, se si stabilisce la validità di un enunciato sulla base di altri, il procedimento utilizzato è detto regola di
derivazione o di deduzione o di inferenza. L’enunciato così dedotto è denominato conseguenza, mentre la proposizione
di partenza prende il nome di premessa o ipotesi.
Esprimiamo quanto detto nella forma simbolica S→P, intendendo con S il sistema di assiomi e con P l’enunciato che si
dimostra vero. La dimostrazione che consente di passare da S a P è anche detta deduzione.
In conclusione, indichiamo le tre regole fondamentali che devono essere rispettate affinché una dimostrazione sia corretta:
1. deve esserci una mutua corrispondenza tra simboli e parole utilizzate nel discorso;
2. si devono accettare come veri gli assiomi di partenza, senza alcuna necessità di giustificazione o di evidenza
degli stessi;
3. si devono enunciare regole in base alle quali si decide come e quando una proposizione discende logicamente
da un’altra, ossia si deve avere una reciproca accettazione delle regole di deduzione (vedi approfondimenti).
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