Vediamo dove siamo arrivati con i nostri insiemi
numerici ...
3^ puntata
Concetti matematici importanti trovati
le scorse lezioni
v
OPERAZIONE IN UN INSIEME
v
IN QUALUNQUE INSIEME NUMERICO
DIVISORE SEMPRE DIVERSO DA ZERO
v
CORRISPONDENZA BIUNIVOCA
v
INSIEME INFINITO
v
NUMERABILITA’
Riepilogo operazioni
N
Z
Addizione interna
si
si
Sottrazione interna
no
si
Moltiplicazione interna
si
si
Divisione interna
no
no
?
?
Esigenza dell’introduzione di un
nuovo insieme numerico
Due precise situazioni ci spingono ad ampliare l'insieme Z: una
di carattere pratico, un'altra di carattere più teorico.
Ø i numeri interi non ci permettono di eseguire la suddivisione in
parti di un intero o di eseguire sempre le misure (di un terreno,
di un oggetto,ecc...) partire da una unità di misura prefissata.
I razionali relativi
Ø D'altra parte nell'insieme Z non è possibile effettuare la
divisione tutte le volte che il dividendo non è multiplo del
divisore.
Si procede, quindi, ad ampliare l'insieme numerico degli interi
relativi aggiungendo anche dei nuovi numeri .
1
I numeri Razionali Relativi Q
Rappresentazione dei Q
Il nuovo ampliamento dell'insieme dei numeri,
è l’insieme dei numeri razionali
(dal latino ratio = rapporto).
Esso viene indicato con il simbolo Q
(iniziale di quoziente)
Possiamo rappresentarli in due modi diversi:
v come rapporto tra due numeri interi, il
secondo dei quali diverso da 0. Ogni
numero razionale quindi può essere
espresso mediante una frazione a/b, di
cui a è detto il numeratore e b il
denominatore
v Oppure con numeri decimali limitati o
se illimitati periodici
Un po’ di nomenclatura
Uno strano numero periodico
•
•
•
•
Proprietà invariantiva delle frazioni
Frazioni equivalenti
Frazione riducibili e irriducibili
Confronto fra frazioni
• Numero decimale periodico
Alcuni chiarimenti
Un numero razionale lo posso rappresentare
con tante diverse frazioni, che però sono tutte
equivalenti fra loro
Es .+ 1/2 oppure +3/6 oppure +25/50….
individuano lo stesso numero razionale
Un numero razionale è un insieme di frazioni
equivalenti.
Una frazione non è un numero, ma un modo di
rappresentare un numero Q
il numero 84756,333...
Esso presenta una caratteristica molto singolare:
il nome (italiano) di ogni sua cifra significativa è
composto da tante lettere quant'è il valore della
cifra seguente (procedendo da sinistra verso
destra): otto 4, quattro 7, sette 5, cinque 6, sei 3,
tre 3, tre 3, e cos ì via (all'infinito).
dalle frazioni ai decimali e viceversa
• I numeri decimali, limitati soprattutto, ci paiono
più ‘normali’
• Dalle medie abbiamo imparato a trasformare
qualunque frazione in numero decimale e
viceversa
Es.:
4/5 = 0.8
2.3 = 23/10
43-4 39
13
0.4(3)= ------- = ----- = ---90
90
30
2
• Estendere un dominio con l'introduzione di nuovi
simboli, in modo tale che le leggi che valgono nel
dominio originario continuino a valere nel dominio più
esteso, è uno degli aspetti del caratteristico
procedimento matematico di generalizzazione.
• L’ estensione del concetto di numero diviene possibile
con la creazione di nuovi numeri sotto forma di simboli
astratti, come 0, - 2, e 3/4.
• Oggi, che li trattiamo come cose ovvie, ci riesce
difficile credere che fino al secolo XVII non venisse
generalmente attribuita loro la stessa legittimità dei
numeri interi positivi, e che fossero usati, se
necessario, con una certa dose di dubbio e di
preoccupazione.
• Responsabile di questa esitazione a compiere un
passo inevitabile fu la tipica tendenza umana di
tenersi al «concreto», come è dimostrato dai numeri
naturali. Soltanto nel regno dell'astratto si può creare
un sistema aritmetico soddisfacente.
• Una frazione egizia (o egiziana ) è una
frazione scritta sotto forma di somma di frazioni
unitarie cioè con numeratore unitario( e tutti i
denominatori diversi).
• Ogni frazione può essere espressa come
frazione egizia, il cui nome deriva appunto dal
fatto che questa notazione veniva usata dagli
egizi, ai quali permetteva di semplificare i
calcoli, dato il loro sistema di numerazione
• Ad esempio, la frazione 3/4 scritta sotto forma
di frazione egizia è
3/4= 1/2 + 1/4
• La notazione egizia continuò ad essere usata anche
nella Grecia e nel Medioevo. Un importante testo
medievale sull'argomento è contenuto nel Liber Abaci
(1202) di Fibonacci. Esso ci dà alcune informazioni
sull'uso di questo tipo di notazione, ed introduce alcuni
argomenti importanti anche per gli studi moderni.
Il testo contiene anche alcune indicazioni su come
trasformare le frazioni in frazioni egizie.
Es. 7/12 =4/12 + 3/12= 1/3+1/4
• Ma ancora oggi vari studi vengono fatti sulle frazioni
egizie e varie congetture sono state fatte(congetture di
Erdos-Strauss… )
Noterelle storiche
Gli egiziani conoscevano molto bene i
numeri i numeri razionali, il cui studio era
direttamente connesso con la religione.
Qui accanto i termini della progressione
geometrica rappresentati da geroglifici e
opportunamente disposti rappresentano
l’occhio di Horus.
•
•
•
Sommando tutti i pezzi, si ottengono 63/64, e non 64/64.
Gli egiziani dicevano che il 1/64 mancante sarebbe venuto fuori grazie a una
magia di Thot!
La prima apparizione di questo tipo di frazioni si ebbe in cinque antichi
papiri, tra cui il papiro di Mosca; mentre metodi verificati per scrivere le
frazioni egizie comparirono per la prima volta nel papiro di Rhind.
Applicazione delle frazioni egizie
Apparentemente ci pare una inutile complicazione ma
pensiamo il seguente problema:
• Dividere 5 mele fra 8 ragazzi
se volete dividere 5 mele in parti uguali fra 8 ragazzi,
dividereste forse tutte le mele in 8 parti e ne dareste
5 ad ogni ragazzo?
Dovreste fare 7*5=35 tagli.
Visto che: 5/8 = 1/2+1/8, è più pratico dividere 4 mele
a metà e una in 8 parti e consegnare mezza mela e
un ottavo di mela ad ogni ragazzo.
In tutto abbiamo fatto 11 tagli.!!!
Caratteristiche di Q
• Preso un qualunque numero razionale non
è possibile determinarne il precedente ed
il successivo. Anzi presi due numeri
razionali qualunque ne esiste sempre uno
(e quindi infiniti) tra di essi compreso.
• E’ un insieme denso
3
ordinamento
• Q è un insieme totalmente ordinato
• Presi comunque due numeri razionali
distinti si può sempre stabilire quale è il
maggiore e quale il minore. Quindi
ancora rappresentabili su di una retta
(anche se non esauriscono i punti della
retta)
• l'insieme Q non possiede né un primo né un
L'ordine è compatibile con le operazioni:
• se a < b e c < d, allora a + c < b + d
• se a < b e c >0, allora ac < bc
• se a < b e c < 0, allora ac > bc
Quest’ultima proprietà è spesso causa di errori!!
Ricordiamoci che se moltiplichiamo ambedue i
membri di una diseguaglianza per un numero
negativo, cambia il verso della diseguaglianza
Es.
2<5
Ma
-2 > -5
ultimo elemento
Quanti sono gli elementi di Q?
Infiniti!
Ma più o meno degli interi?
Cantor ha dimostrato in maniera ingegnosa che
l’insieme dei razionali è numerabile
Data “la densità” dei razionali può sembrare
impossibile che i due insiemi abbiamo la “stessa
dimensione”, ma Cantor dimostrò che basta
“disporli e contarli” nel modo seguente:
L’insieme numerico i cui elementi sono
elencati nella tabella , a causa delle evidenti
ripetizioni (1/1,2/2,…,1/2, 2/4,…) non
rappresenta l’insieme Q , ma contiene più
elementi di Q.
Con il procedimento ideato da Cantor si
dimostra che questo insieme “più grande” è
numerabile, pertanto si può concludere che
anche Q è numerabile.
1
1
1
2
3
1
2
6
1
3
1
1
1
−
−
1 5
2
3
4
9
2
2
2
1
2
3
2 10
2
2
−
−
−
1
2
3
11
L
L
L
−
7
8
1
4
−
1
4
2
4
−
2
4
L
L
L
L
L
G.Cantor
(1845-1918)
A proposito dei suoi risultati
sull’infinto,disse
“Lo vedo ma non ci credo.”
4
Biografia di Cantor
Cantor nacque a San Pietroburgo,nel 1845 figlio di un mercante
danese, e di una musicista russa. Poi la famiglia si trasferì in
Germania e così continuò la sua educazione presso le scuole
tedesche.
Durante la seconda met à della sua vita soffrì di attacchi di
depressione, che compromisero seriamente la sua abilit à di
matematico e lo costrinsero a ripetuti ricoveri. La scoperta del
paradosso di Russel lo portò a una crisi nervosa da cui non si
seppe più riprendere. Cominciò allora a leggere testi di
letteratura e di religione, in cui sviluppò il suo concetto
d’infinito assoluto che identificò con Dio.
Morì ad Halle, a 73 anni, in miseria in un ospedale psichiatrico.
L. Kronecker giudicò le sue scoperte « prive di senso» .
L'innovativa teoria degli insiemi (1874-1884), osteggiata
durante la vita del suo creatore, è stata completamente
accettata dai matematici moderni, che hanno riconosciuto la
grandezza delle sue scoperte sugli insiemi infiniti
A Cantor è stato intitolato il cratere Cantor sulla Luna.
• Non illudetevi però che tutti gli insiemi
numerici possano essere posti in
corrispondenza biunivoca fra loro.
• L’infinito ci riserverà ancora sorprese….
Addizione
La definizione di addizione in Z deve essere tale da
essere compatibile con la stessa operazione in N e in Z
perciò:
2
3
5
+ ----- + ---- = + --- ovvero +2.0+3.0=+5.0
1
1
1
per quanto riguarda i segni valgono le stesse date per Z
• se sono due numeri concordi la loro somma è un
numero ancora concorde con valore assoluto uguale alla
somma dei valori assoluti
• se sono due numeri discordi la loro somma è un numero
con il segno concorde con quello col valore assoluto
maggiore e valore assoluto uguale alla differenza dei
valori assoluti
Parliamo di operazioni in Q
Per quanto riguarda il valore assoluto,dobbiamo
distinguere
•
•
Se abbiamo una rappresentazione con i decimali
in tal caso valgono le stesse leggi dei naturali:
l’unica attenzione deve essere quella di sommare
sempre unità dello stesso ordine
Se abbiamo una rappresentazione con le frazioni
basta ricondursi sempre a frazioni con lo stesso
denominatore e poi il risultato è una frazione con lo
stesso denominatore e numeratore somma dei
numeratori
• Formalmente
Se a/b , c/d ? Q : ( a/b) + (c/d) = (ad +bc)/bd ;
•
Notiamo che l’ operazione è ben definita cioè che
se invece di a/b utilizziamo un ’altra frazione per
rappresentare la stessa classe (ad esempio 3a/3 b ), il
risultato delle operazioni è sempre lo stesso, infatti:
(3a/3b ) + (c/d) =(3ad + 3bc)/3bd = (ad +bc)/bd ;
Esempi
1/3+ 4/5 = 5/15 + 12/15 = 17/15 ;
5/6 + (-1/2) = [5+(-3)]/6 = 2/6= 1/3 ;
3/4 + 2/5 = (15+8)/20= 23/20 ma anche 6/8+6/15=138/120=23/20
5
Proprietà dell’addizione
giochino
l’addizione è un'operazione interna a Q.
•
Un sultano in punto di morte chiama a sé i suoi tre figli e dice loro che
lascerà i suoi 11 cavalli in eredità.
Valgono le seguenti proprietà
1. propriet à commutativa :
Per qualsiasi a,b ? Q:
a+b=b+a .
2. propriet à associativa
Per qualsiasi a,b,c ? Q:
(a+b)+c=a +(b+c).
3. esistenza dell’ elemento neutro
l'elemento neutro per l'addizione è lo 0, infatti per esso vale:
Per qualsiasi a ? Q:
a+0= a .
4. Esistenza dell’opposto
Per qualsiasi a ? Q, esiste un altro numero a’ ? Q:
tale che
a + a’ = 0 .
ovvero per ogni numero razionale esiste il suo opposto
Nel suo articolo "Le frazioni egiziane e la teoria dei
numeri" pubblicato su Le Scienze n.126 Martin
Gardner scrive:
•
Il primo figlio potr à prendere 1/2 dei cavalli;
•
il secondo figlio potr à prendere 1/4 dei cavalli;
•
il terzo figlio potr à prenderne 1/6.
Quando muore, i suoi legali si domandano come sia possibile eseguire
queste eccentriche istruzioni. Dopo tutto i cavalli valgono ben poco quando
vengono divisi in parti!
Come si può risolvere il problema?
soluzione
In realt à ce ne sono solo sette.
Sono le sette soluzioni dell'equazione diofantea
n / (n+1) = 1/a + 1/b + 1/c
Il rompicapo è apparso in molte forme differenti e
naturalmente può essere generalizzato a un numero
maggiore di figli e di cavalli prestati e poi restituiti.
Se ci fermiamo alla storia nella sua forma tradizionale
con tre figli e un cavallo prestato, sorge una questione
interessante.
Quante variazioni sono possibili del numero dei cavalli
da spartire e dell'insieme di tre frazioni secondo cui
spartirli indicato nel testamento del padre?
Si potrebbe pensare che ce ne siano in numero infinito,
invece….
dove a, b e c sono interi positivi distinti, a è minore di b, b è minore di c e n+1 è il minimo
comune multiplo di a, b e c.
E' facile dimostrare che a dev 'essere uguale a 2. Se a
è maggiore di 2, allora il pi ù piccolo minimo comune
multiplo per a, b e c è 12, che si ottiene quando a è
uguale a 3, b è uguale a 4 e c è uguale a 6. Quindi
n / (n+1) deve essere almeno 11/12. Ma la somma
di 1/3 + 1/4 + 1/5 è 47/60, che è meno di 11/12 e,
se si aumentano i denominatori, la somma è ancora
minore. Quindi a non è maggiore di 2 e quindi a è
uguale a 2. Analogamente si dimostra che b deve
essere 3 o 4 e, con queste informazioni non è difficile
determinare tutti i possibili valori di c. La tabella dà il
valore di n (il numero iniziale di cavalli da dividere) e
i denominatori delle sette variazioni possibili del
rompicapo:
Sottrazione
Moltiplicazione
• In Q è un’operazione sempre possibile.
Abbiamo già detto che non distinguiamo
più fra le operazioni di addizione e
sottrazione e parliamo genericamente di
somma algebrica, per la quale valgono le
solite proprietà
Anche questa è un’operazione sempre possibile in Z
La definizione di moltiplicazione in Q deve essere tale
da essere compatibile con la stessa operazione in Z
e con le proprietà che vogliamo valgano ancora in Q,
perciò:
per quanto riguarda i segni valgono le stesse
regole date per Z
• se sono due numeri concordi il loro prodotto è un
numero positivo
• se sono due numeri discordi il loro prodotto è un
numero negativo
6
Per quanto riguarda il valore assoluto
distinguiamo
• se abbiamo una rappresentazione con i decimali
in tal caso valgono le stesse leggi dei naturali con
l’unica attenzione di tener conto della virgola
Proprietà della moltiplicazione
1.
2.
3.
• Se abbiamo una rappresentazione con le frazioni
il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per
numeratore il prodotto dei numeratori e per
denominatore il prodotto dei denominatori
Se a/b , c/d ? Q : (a/b) (c/d) = ac/bd ;
proprietà commutativa :
Per qualsiasi a,b ? Q:
propriet à associativa
Per qualsiasi a,b,c ? Q:
esistenza dell’ elemento neutro ;
Per qualsiasi a ? Q:
a*1=a.
4.
legge di annullamento del prodotto:
se moltiplichiamo un qualsiasi numero razionale per 0, il prodot to è nullo e viceversa.
a*0= 0*a= 0
5.
proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:
(a+b)*c = a*c + b*c
6.
esistenza dell’inverso
Per qualsiasi a? 0 e a ? Q, esiste un altro numero a’ ? Q:
tale che
a * a’ = +1 .
ovvero per ogni numero razionale esiste il suo inverso o reciproco
Es.:
Divisione
• Si può fare sempre purchè il divisore sia diverso da 0.
• Ricordo che lo zero può essere rappresentato con
numeratore 0 in Q con una qualsiasi delle frazioni
0/1,0/5, 0/34,.. mentre espressioni come 1/0, 2/0 3/0,
0/0, ecc. saranno per noi simboli privi di significato.
• Per quanto riguarda i segni valgono le stesse regole
del prodotto.
Elevamento a potenza
E’ un' operazione che associa ad una coppia di numeri
a e n - detti rispettivamente base ed esponente
Consideriamo in questo ambito numerico n ? N
• se n>1
a n = a* a* a …..*a (per n volte)
• se n = 1 , per ogni a
a1 = a,
• se n = 0 , per ogni a?0
a0 = +1,
• se n < 0 , per ogni a ?0
an = 1/a-n
a*b=b*a .
(a*b)*c=a*(b*c)
-3 * (-1/3) = +1
• Per quanto riguarda i valori assoluti se i numeri sono espressi
sotto forma decimale valgono le regole in N, con attenzione
all’uso della virgola.
• Diversa la situazione se la rappresentazione è sotto forma di
frazione .
Poichè anche in Q definiamo la divisione come l'operazione
inversa del prodotto, avremo allora che per fare
a/b : c/d
(cioè per ottenere un numero q che moltiplicato per c/d dia a/b)
basterà moltiplicare a/b per l'inverso di c/d ,
cioè fare q = a/b * d/c, infatti si ha:
q * c/d = (a/b * d/c) c/d = a/b * (d/c * c/d) = a/b * 1 = a/b
Naturalmente in tutto questo deve essere c/d diverso da 0,
cioè c diverso da 0
(ricordiamo che b e d non sono 0 per definizione).
Giustificazione definizione potenza
ad esponente negativo
• a 3 : a 5 = a 3-5 = a -2
• Ma
a*a*a
1
1
------------ = ------ = ---a*a*a*a*a
a*a
a2
• E perciò
1
-------- = a -2
a2
cioè 3-2= 1/ 3 2 = 1/9
7
Proprietà delle potenze
bibliografia
( continuano a valere le stesse di N)
•
•
•
•
•
prodotto di potenze di uguale
base
a na m=an+m
quoziente di potenze di uguale
base
a n : a m=an-m
potenza di una potenza
(a n) m=a nm
prodotto di potenze con uguale
esponente
anbn=(ab) n
•
•
•
G.Spirito La costruzione matematica Ed. Oberon
Courant-Robbins Che cos’è la matematica ? Boringhieri
C. B.Boyer Storia della matematica Oscar Studio Mondadori
•
•
•
•
http:// math.unipa.it/~grim/FP_FondMatI_05.pdf
http://www2.polito.it/didattica/ polymath/htmlS/info/Numeri/Set06/Numeri.htm
http:// progettomatematica.dm.unibo.it/insieminumerici/insiemey.htm
http://www.racine.ra.it/lcalighieri/pescetti/ricerca_infinito_2004_05/somm_car
dinal/transfin.htm
http://www.marianotomatis.it/index.php ?id=blog&section=enigmi&url=53#sol
ution
•
quoziente di potenze con uguale
esponente
an : bn=(a : b)n
8
