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ISTITUZIONI DI MATEMATICA per SFP, a.a.2011/12
DIARIO DELLE LEZIONI
1
quinta settimana
martedi 6 dicembre: conferenza di Anna Cerasoli dal titolo la matematica serve!
giovedi 8 dicembre: festa.
2
sesta settimana
Richiami sulle relazioni di equivalenza, esempi.
Costruzione dei numeri interi come classi di equivalenza di coppie di numeri naturali, allo scopo di
costruire l’opposto rispetto alla operazione di somma.
Definizione di operazioni binarie sugli interi come classi di equivalenza: la somma e la moltiplicazione. Si osservi che esse sono ben definite: al cambiare del rappresentate all’interno della classe
di equivalenza degli addendi per la somma, dei fattori per il prodotto, la classe di equivalenza del
risultato non cambia.
L’elemento neutro per la somma e per il prodotto, l’opposto per la somma.
L’insieme dei numeri interi un insieme ordinato con la relazione ≤ (che risulta essere ben definita
rispetto alle classi di equivalenza), ma non totalmente ordinato (non é vero che ogni sottoinsieme
ammette un minimo).
3
settima settimana
L’insieme dei numeri Naturali si immerge dentro l’insieme dei numeri interi con una funzione
iniettiva f , che associa al numero naturale n la classe della coppia (n, 0), inoltre, la definizione
di somma e prodotto negli interi é coerente con quella sui naturali (vuol dire che se opero sui
naturali e poi applico f ottengo lo stesso rusultato che trovo prima applicando f e poi operando
sulle classi di equivalenza in Z). Dunque ora siamo pronti per introdurre la notazione standard
di n per (n, 0), e −n = (0, n). Le proprietá delle operazioni sugli interi, gli interi con l’operazione
binaria di somma sono un gruppo, gli interi con le operazioni binarie di somma e prodotto sono
un anello.
Definizione di valore assoluto, disuguaglianza triangolare.
Didattica: importanza delle proprietá delle operazioni nella pratica didattica e nel calcolo orale.
Un errore diffuso: la proprietá dissociativa. Imparare a calcolare coi numeri negativi in una quarta
primaria: la linea dei numeri si estende coi numeri negativi: non solo le temperature, ma la linea
del tempo. Quanti anni fa ha regnato l’ultimo re degli assiri Assurbanipal (668-631 a.C)?
La relazione ”‘essere multiplo”’ é una relazione di ordine, non totale.
La divisione euclidea tra numeri naturali e tra numeri interi: dalla distribuzione equa di a caramelle
a b bambini, con resto, alla espressione formale a = bq + r, valida anche per ”‘un numero negativo
di bambini”’. Perché b non puó essere nullo.
La divisione con resto e lo sviluppo decimale di una frazione: verso l’ampliamento dei numeri interi
ai numeri razionali.
Esercitazioni. Un numero si dice primo ammette solo divisori non banali, equivalentemente, se
quando divide un prodotto allora divide uno dei fattori.
3.1
NOTE
– Gruppi e Anelli
Ricordando la generale regola di buon senso che vuole che ogni cosa degna di essere ricor1
data debba avere un suo proprio nome, l’essenza delle operazioni somma e prodotto definite
sull’insieme dei numeri interi e delle loro proprietá viene ”‘isolata”’ dai matematici e astrattamente codificata all’interno di una definizione formale di ”‘struttura algebrica”’, pronta
ad essere riutilizzata su oggetti apparentemente diversi dagli insiemi di numeri, ma che per
certi versi si comportano come tali (vedremo ad esempio che l’insieme delle traslazioni del
piano, o delle rotazioni del piano attorno a un punto fisso ha uan sua operazione interna
di ”‘somma”’, due movimenti si possono ”‘sommare”’ facendo agire prima uno poi l’altro,
esattamente come l’insieme dei numeri. Analogamente l’insieme delle simmetrie di una figura
piana, o solida, assomiglia ai numeri interi, dotati della loro operazione di somma)
Un gruppo un insieme X munito di una operazione binaria (ovvero: due dati in imput, uno
in output) +, che ha le stesse proprietá della somma per i numeri interi, cioé:
0. + é associativa: dati a, b, c in X, si ha (a + b) + c = a + (b + c).
1. esistenza dell’elemento neutro: esiste in X un elemento neutro e (lo zero in Z) rispetto
all’operazione +, cio tale che a + e = e + a = a per ogni a appartenente a X (lo zero per gli
interi).
2. esistenza dell’inverso: ad ogni elemento a di X associato un elemento b, detto inverso di
a , tale che a + b = b + a = e.
Si noti che i naturali non sono un gruppo con l’operazione di somma (né di prodotto), perché
non ci sono gli inversi per la somma.
Non é richiesta, nella definizione di gruppo , la proprietá commutativa:
3. commutativa: dati a, b in X, si ha a + b = b + a.
Se vale 3 allora il gruppo si dice gruppo commutativo (in generale, non é affatto scontato che
l’ordine di applicazione di due procedure consecutive si possa scambiare ottenendo lo stesso
risultato: provate a mettervi prima le scarpe e poi i calzini..)
Se un gruppo commutativo (x, +) ha anche una altra operazione che indichiamo con ∗, allora,
se valgono due proprietá il dato (X, +, ∗) guadagna il nome di anello. Queste proprietá che
si aggiungono con la seconda operazione sono:
4. ∗ é associativa: dati a, b, c in X, allora (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
5. ∗ é distributiva rispetto alla somma: dati a, b, c in X, allora a ∗ (b + c) = (a ∗ b) + (a ∗ c) e
(a + b) ∗ c = (a ∗ c) + (b ∗ c).
Si osservi dunque che nel caso generale la seconda operazione ∗ gode di vita propria, e non
é definita a partire dalla prima operazione +, con la quale si chiede solo che possa ”‘ben dialogare”’ attraverso la richiesta della proprietá distributiva, la quale ci permette di lavorare
agevolmente nei calcoli. Si vede quindi che la moltiplicazione intesa come ”‘somma ripetuta”’,
definizione valida sui numeri naturali, pur essendo estremamente intuitiva, e facilmente rappresentabile ai bambini con gli schieramenti di righe e colonne di oggetti numerabili, perde
di significato quando solo si prova ad estenderla ai numeri interi (cosa significa ripetere un
numero negativo di volte una somma?). In effetti i numeri naturali non costituiscono né un
gruppo né tantomeno un anello!
Esempio banale:
un insieme con un solo elemento {1} un gruppo: basta definire l’operazione 1 + 1 = 1 (verificare le proprietá 0,1,2!).
teorema A:
L’insieme dei numeri interi, con l’operazione di somma, é il piú piccolo gruppo che contiene
insieme dei numeri naturali, con l’operazione di somma.
teorema B:
L’insieme dei numeri interi, con le operazioni di somma e prodotto usuali, é il piú piccolo
anello che contiene insieme dei numeri naturali, con le operazioni di somma e prodotto usuali.
2
– La relazione ”‘essere multiplo”’ é una relazione di ordine, non totale.
Ricordiamo che in Euclide i numeri sono intesi come segmenti, egli usa lespressione ”‘misurare” per considerare la relazione di divisibilitá tra numeri: ”‘a misura b”’ significa a|b.
Notare anche che per Euclide il numero é legato allidea di molteplicit‘a, tanto che lunit‘a non
esiste: i numeri iniziano da 2. Questo ovviamente comporta diverse difficoltá tecniche nella
spiegazione di teoremi e risultati.
– La divisione euclidea
Il nocciolo non é il semplice algoritmo della divisione, ma l’eistenza e unicitá della rappresentazione del numero a secondo la sua migliore approssimazione con un multiplo di
b: seguendo Euclide, diciamo che stiamo confrontando grandezze tra loro. E’ importante
dunque nell’insegnamento dell’algoritmo della divisione, coltivare l’abitudine di scrivere esplicitamente l’espressione a = bq + r.
La dimostrazione si effettua prima per a e b numeri naturali, con l’uso del principio del
minimo, e poi si estende, grazie alle proprietá algebriche delle operazioni, ai numeri interi.
L’algoritmo della divisione con la virgola ha un significato completamente diverso dalla divisione euclidea: stiamo uscendo dai numeri interi ed entrando nei numeri decimali, ovvero nei
numeri razionali, stiamo cioé rispondendo a una diversa domanda: non é piú ”‘la migliore approssimazione possibile, con resto tra un numero -il divindendo- e un multiplo di un numero
dato - il divisore - nel tentativo di misurare il ”‘rapporto intero”’ (con l’approssimazione
misurata dal valore del resto), ma si cerca il ”‘rapporto esatto”’ tra due grandezze. dati
a = 17, b = 3, allora la divisione euclidea con resto di a con b fornisce l’espressione 17 = 5.3+2,
dunque
17/3 = 3 + 2/3 = 3 + (1/10)(10 ∗ 2/3)
che corrisponde, nellalgoritmo della divisione, allazione di aggiungere una cifra decimale 0
in coda al dividendo, e la virgola nel quoziente. Posso iterare il procedimento e dividere per
il divisore 3 il resto 2 moltiplicato per 10, poi continuare a dividere ogni volta il resto che
trovo. Il procedimento puó terminare, se nell’iterazione incontro un resto nullo, ma anche non
terminare, come nel nostro esempio, perché il resto 2 compare ad ogni passo della procedura,
all’infinito: in effetti 2/3 = 0, 666666... = 0, 6.
3.2
ESERCIZI
– Dimostrare che 5 divide 5 e divide 15, ma non divide 12.
– E’ vero che se a|bc allora a|b oppure a|c? se si, dimostrarlo, altrimenti esibire un controesempio.
– Nei numeri interi, se accade che a|b e b|a cosa si puó concludere su i numeri a e b?
– Operare le seguenti divisioni euclidee con resto:
235 : 27;
−2463 : 43;
235 : (−27);
−2543 : (−11)
– ”‘Equazioni diofantee”’ (Diofanto di Alessandria III-IV sec. d.C.)
Una equazione con coefficienti numeri interi si dice diofantea quando si cercano le soluzioni
appartenenti all’insieme dei numeri interi.
Per quali interi n si ha n + 2|3n + 12?
Svolgimento.
Ricordiamo che, per qualunque scelta di n, il divisore n + 2 e il dividendo 3n + 12 devono
essere numeri interi, e osserviamo che n + 2|k(n + 2) per ogni intero k. Dunque, se n ‘e tale
che n + 2|3n + 12, allora n + 2|3n + 12 + k(n + 2), qualunque sia lintero k Vogliamo scegliere
k in modo che 3n + 12 + k(n + 2) si riduca ad un numero, non compaiano cioé né k né n. A
quel punto, si tratterebbe solo di elencare i divisori di tale numero, e confrontare tale elenco
3
con n + 2. Ponendo k = −3 , 3n + 12 + k(n + 2) = 3n + 12 − 3(n + 2) = 3(n − n) + 12 − 6 = 6.
Pertanto se n ‘e tale che n + 2|3n + 12, allora n + 2|3n + 12 − 3(n + 2), ossia n + 2|6. I
divisori di 6 sono {1, 2, 3, 6, −1, −2, −3, −6}. Quindi n + 2 deve essere uno di questi numeri.
Pe trovare n basta aggiungere 2 a ciascun numero della lista e verificare se ciascuno di essi é
soluzione o meno del problema posto.
– Per quali interi n si ha n − 5|3n + 17?
– Per quali interi n si ha 2n − 3|6n + 5?
– Per quali interi n si ha 2n − 3|5n + 7?
Suggerimento: notare che in questo caso 5 non é multiplo di 2 quindi non posso procedere
come nell’esempio sopra illustrato, ma se 2n − 3|5n + 7 allora 2n − 3|h(5n + 7) per ogni intero
h, e dunque 2n − 3|h(5n + 7) + k(2n − 3) per ogni scelta di h e k, devo quindi trovare due
numeri h e k in modo tale che una volta sostituiti nella espressione h(5n + 7) + k(2n − 3),
facciano sparire n...
– Trovare le coppie di numeri interi (n, m) tali che mn−3m−n = 5, ovvero le soluzioni (intere)
dell’equazione diofantea
mn − 3m − n = 5
(m(n − 3) = n + 5 equivale a trovare tutti gli interi n tali che n − 3|n + 5, e poi trovare il
numero m corrispondente..)
– Risolvere lequazione diofantea 3ab + 5b = 11 + 2a.
– Determinare gli sviluppi decimali delle frazioni 9/10, 17/6 , 12/16 1/11
Buon Natale
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