Sommario di teoria dei circuiti

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B
Sommario di teoria dei circuiti
B.1 Introduzione
B.2 Prima legge
di Kirchhoff
I dispositivi utilizzati nei sistemi elettronici sono descritti normalmente mediante circuiti
equivalenti. Lo studio delle prestazioni e il progetto di apparati elettronici richiedono pertanto la conoscenza dell’analisi circuitale. Questa appendice contiene un riepilogo dei teoremi fondamentali sui circuiti e delle tecniche di analisi normalmente impiegate nello studio di sistemi elettronici.
La prima legge di Kirchhoff, anche nota come legge di Kirchhoff per le correnti afferma
che la somma algebrica delle correnti che confluiscono a un nodo è nulla. Cioè
In 0
in cui con In dove n 1, 2, 3, . . . , è indicata ciascuna delle correnti ed N è il numero
di rami che convergono al nodo considerato.
ESEMPIO B.1
Calcolo delle correnti in due resistenze in parallelo Per il circuito rappresentato in Fig. B.1 determinare le correnti I1 e I2.
Figura B.1 Partizione di corrente in due resistenze
Nodo 1
IS
120 mA
IS
R1
4 k
I2 I1
R2
8 k
VS
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2
Appendice B
Sommario di teoria dei circuiti
Applicando la prima legge di Kirchhoff al nodo 1 si ottiene
SOLUZIONE
IS I1 I2 0
o
IS I1 I2
(B.1)
Poiché le resistenze R1 e R2, sono sottoposte alla stessa tensione VS, si può scrivere VS R1I1 R2I2,
da cui si ottiene I2 R1I1 ⁄ R2. Sostituendo questa nell’Eq. (B.1) si trova
R2 R1
R1
IS I1 I1 I1
R2
R2
dalla quale si ricava la corrente I1 in R1
R2
I1 IS
R1 R2
(B.2)
8 k
120 mA 80 mA
4 k 8 k
Allo stesso modo, sostituendo I1 R2I2 ⁄ R1 nell’Eq. (B.1) e semplificando, si ottiene la corrente I2
in R2 nella forma
R1
I2 IS
R1 R2
(B.3)
4 k
120 mA 40 mA
4 k 8 k
NOTA:
Le Eq. (B.2) e (B.3) forniscono la partizione della corrente nei due resistori. L’insieme
delle due equazioni definisce la regola del partitore di corrente.
ESEMPIO B.2
Calcolo delle correnti in tre resistenze in parallelo Determinare le correnti I1, I2 e I3 nel circuito
in Fig. B.2.
Figura B.2
Partizione di corrente in tre resistenze
Nodo 1
IS
120 mA
IS
R1
2 k
I1
I3 I2
R2
4 k
R3
6 k
VS
SOLUZIONE
La corrente IS fornita dal generatore si divide nelle tre correnti I1 in R1, I2 in R2 e I3 in R3. Applicando la legge di Kirchhoff per le correnti al nodo 1 si ottiene
IS I1 I2 I3 0
o
IS I1 I2 I3
(B.4)
Poiché le resistenze R1, R2 e R3, sono sottoposte alla stessa tensione VS, si può scrivere VS R1I1 R2I2 R3I3, che fornisce I2 R1I1 ⁄ R2 e I3 R1I1 ⁄ R3. Sostituendo queste ultime nell’Eq. (B.4), si
ottiene
R1R2 R2R3 R3R1
R1
R1
IS I1 I1 I1 I1
R2R3
R2
R3
da cui si ricava la corrente I1 in R1 nella forma
1 ⁄ R1
R2R3
I1 IS IS
1 ⁄ R1 1 ⁄ R2 1 ⁄ R3
R1R2 R2R3 R3R1
4 k 6 k
120 mA 65.45 mA
2 k 4 k 4 k 6 k 6 k 2 k
(B.5)
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Paragrafo B.3
Seconda legge di Kirchhoff
3
Sostituendo I1 R2I2 ⁄ R1 e I3 R2I2 ⁄ R3 nell’Eq. (B.4) si ottiene la corrente I2 in R2 come
1 ⁄ R2
R1R3
I2 IS IS
1 ⁄ R1 1 ⁄ R2 1 ⁄ R3
R1R2 R2R3 R3R1
(B.6)
2 k 6 k
120 mA 32.73 mA
2 k 4 k 4 k 6 k 6 k 2 k
Allo stesso modo, sostituendo I1 R3I3 ⁄ R1 e I2 R3I3 ⁄ R2 nell’Eq. (B.4) si ottiene l’espressione
della corrente I3 in R3
1 ⁄ R3
R1R2
I3 IS IS
(B.7)
1 ⁄ R1 1 ⁄ R2 1 ⁄ R3
R1R2 R2R3 R3R1
2 k 4 k
120 mA 21.82 mA
2 k 4 k 4 k 6 k 6 k 2 k
B.3 Seconda legge
di Kirchhoff
La seconda legge di Kirchhoff, anche nota come legge di Kirchhoff per le tensioni, afferma
che la somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla. Cioè
Vn 0
in cui con Vn con n 1, 2, 3, . . . , è indicata la tensione su ciascuno dei rami del percorso ed N è il numero di rami che costituiscono la maglia considerata.
ESEMPIO B.3
Calcolo delle tensioni su due resistenze in serie Per il circuito rappresentato in Fig. B.3 determinare le tensioni VS e V1 rispettivamente sulle resistenze R1 ed R2.
Partizione di tensione in due resistenze
Figura B.3
IS
VS 24 V
I
SOLUZIONE
R1
4 k
V1
R2 V V
2
O
8 k
Applicando la seconda legge di Kirchhoff alla maglia I si ottiene
VS V1 V2 0
o
VS V1 V2
(B.8)
Poiché le resistenze R1 ed R2, sono percorse dalla medesima corrente IS, è possibile scrivere V1 R1IS
e V2 R2IS. Sostituendo le espressioni di V1 e V2 nell’Eq. (B.8) si ottiene
VS V1 V2 R1IS R2IS (R1 R2)IS
dalla quale si ricava la corrente IS
VS
IS R1 R2
24
2 mA
4 k 8 k
Perciò la tensione V1 su R1 è
R1
V1 R1IS VS
R1 R2
4 k
24 8 V
4 k 8 k
(B.9)
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Pagina 4
Appendice B
Sommario di teoria dei circuiti
Allo stesso modo, la tensione V2 su R2 si scrive
R2
V2 R2IS VS
R1 R2
(B.10)
8 k
24 16 V
4 k 8 k
Le Eq. (B.9) e (B.10) forniscono la partizione di tensione su due resistenze solo
quando la corrente che le percorre è la stessa, cioè quando esse sono collegate in serie.
L’insieme delle due equazioni è anche detto regola del partitore di tensione.
ESEMPIO B.4
Studio di un circuito con un generatore di corrente controllato in corrente Per il circuito rappresentato in Fig. B.4, valutare le correnti IB, IC e IE e la tensione VC. Assume RTh 15 k, r 1 k,
RC 2 k, RE 500 , F 100, VCC 30 V e VTh 5 V.
Figura B.4
Circuito con un generatore di corrente controllato in corrente
RTh
RC
IB
r
VTh
V1
bF IB
vC
Nodo 1 I
SOLUZIONE
RE
VE
IE
IC
VCC
II
Applicando la legge di Kirchhoff per le correnti al nodo 1 si ottiene
IE IB IC IB IB (1 F)IB
(B.11)
Dalla legge di Kirchhoff per le tensioni applicata alla maglia I si trova
VTh RThIB r IB REIE RThIB r IB RE(1 F)IB
dalla quale si ricava
VTh
IB RTh r RE(1 F)
(B.12)
5
75.19 A
15 k 1 k 500 (1 100)
La corrente IC, che dipende solo da IB, può essere ricavata dalla
FVTh
IC IB RTh R RE(1 F)
100 5
7519 A
15 k 1 k 500 (1 100)
Quindi
IE IB IC 75.19 A 7519 A 7594 A
e
VC VCC ICRC 30 7519 A 2 k 14.96 V
(B.13)
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Paragrafo B.4
Teorema di sovrapposizione degli effetti
5
La tensione VE può essere ricavata dalla
VE RE IE RE(IC IB) RE(F IB IB) RE IB(1 F)
Essendo IC F IB, si ottiene
VE RE IB(1 F) RE IC(1 F) ⁄ F
Così RE offre una resistenza RE(1 F) alla corrente IB nella maglia I e una resistenza RE(1 F) ⁄ F
alla corrente IC nella maglia II. Perciò RE può essere scomposta o “riflessa” nella maglia I e nella
maglia II, modificandone il valore in modo che la tensione VE risulti invariata sia nella maglia I, sia
nella maglia II. Questo procedimento è schematizzato in Fig. B.5.
Figura B.5 Scomposizione della resistenza RE
IB
RTh
IC
RC
bF IB
r
VTh
B.4 Teorema
di sovrapposizione
degli effetti
ESEMPIO B.5
(1 bF)RE
vC
VE
VE
1 b b R
F
F
VCC
E
Il teorema di sovrapposizione degli effetti afferma che in una rete lineare la corrente in un
elemento circuitale o la tensione ai suoi capi è uguale alla somma algebrica delle correnti
o delle tensioni prodotte indipendentemente da ciascun generatore. Per calcolare l’effetto
di ciascuno dei generatori, gli altri generatori indipendenti devono essere disattivati, cortocircuitando i generatori di tensione e lasciando aperti quelli di corrente. Devono tuttavia
essere considerate le resistenze dei generatori disattivati.
Calcolo della tensione d’uscita mediante il teorema di sovrapposizione degli effetti Il circuito
in Fig. B.6 comprende un generatore di tensione continua VDC 10 V e un generatore di tensione
alternata vac 15 sin (377t), R1 2 k ed R2 3 k. Calcolare la tensione d’uscita vO, applicando
il teorema di sovrapposizione degli effetti.
Figura B.6
Circuito per l’Esempio B.5
R1
vac
~
VDC
SOLUZIONE
i
R2
vO
VDC 10 V, vac 15 sin (377t), R1 2 k ed R2 3 k. Il circuito equivalente in corrente continua con il solo generatore VDC è riportato in Fig. B.7(a); la tensione d’uscita dovuta a VDC è
R2
3k
VO1 VDC 10 6 V
R1 R2
2k3k
In Fig. B.7(b) è rappresentato il circuito equivalente in corrente alternata con il solo generatore vac
la tensione d’uscita dovuta a vac è
R2
3k
vo2 vac 15 sin (377t) 9 sin (377t)
R1 R2
2k3k
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Appendice B
Figura B.7
Sommario di teoria dei circuiti
Circuiti equivalenti per l’Esempio B.5
R1
R1
I1
VDC
R2
VO1
(a) Circuito equivalente
con il solo generatore 1
~
vac
i2
R2
vo2
(b) Circuito equivalente
con il solo generatore 2
Perciò la tensione d’uscita risultante vO è data dalla somma delle tensioni prodotte in uscita da ciascuno dei generatori. Dunque
vO VO1 vo2 6 9 sin (377t) 3 [2 3 sin (377t)]
ESEMPIO B.6
Calcolo della tensione d’uscita mediante il teorema di sovrapposizione degli effetti In Fig. B.8
è rappresentato un circuito con tre tensioni d’ingresso VS1, VS2 e VS3. Calcolare la tensione d’uscita VO, utilizzando il teorema di sovrapposizione degli effetti. Assumere R1 2 k, R2 4 k,
R3 6 k, VS1 10 V, VS2 12 V e VS3 15 V.
Figura B.8
Circuito per l’Esempio B.6
R3
R2
VS3
Nodo 1
R1
VS2
VS1
SOLUZIONE
VO
Il circuito equivalente con il solo generatore VS1 è rappresentato in Fig. B.9(a). Applicando la regola
del partitore di tensione, è possibile calcolare la tensione d’uscita dovuta a VS1 come
R2 R3
4k6k
VO1 VS1 10 5.45 V
2 k (4 k 6 k)
R1 R2 R3
In Fig. B.9(b) è rappresentato il circuito equivalente con il solo generatore VS2 la tensione d’uscita
dovuta a questo è
R1 R3
2k6k
VO2 VS2 12 3.27 V
4 k (2 k 6 k)
R2 R1 R3
Il circuito equivalente con il solo generatore VS3 è rappresentato in Fig. B.9(c); la tensione d’uscita
dovuta a VS3 è
R1 R2
2k4k
VO3 VS3 15 2.73 V
6 k (2 k 4 k)
R3 R1 R2
Perciò la tensione d’uscita risultante VO può essere ricavata sommando i contributi dovuti ai tre generatori:
VO VO1 VO2 VO3 5.45 3.27 2.73 11.45 V
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Paragrafo B.5
Figura B.9
Circuito equivalente per l’Esempio B.6
R1
VS1
I1
7
Teorema di Thevenin
R2
R2
R3
VO1
(a) Circuito equivalente
con il solo generatore VS1
VS2
R3
I2
R1
R3
VS3
VO2
I3
R1
(b) Circuito equivalente
con il solo generatoreVS2
R2
VO3
(c) Circuito equivalente
con il solo generatore VS3
Un approccio alternativo consiste nell’applicare la legge di Kirchhoff per le correnti e ricavare VO come
Somma delle correnti entranti nel nodo 1 se esso fosse a potenziale nullo
VO Somma delle conduttanze collegate al nodo 1
VS1 ⁄ R1 VS2 ⁄ R2 VS3 ⁄ R3
10 ⁄ 2 k 12 ⁄ 4 k 15 ⁄ 6 k
11.45 V
1⁄2k1⁄4k1⁄6k
1 ⁄ R1 1 ⁄ R2 1 ⁄ R3
B.5 Teorema
di Thevenin
Il teorema di Thevenin afferma che rispetto a due terminali qualsiasi rete lineare – in corrente continua o in corrente alternata – può essere sostituita con un circuito equivalente costituito da un generatore di tensione con una resistenza (o impedenza) in serie. Questo teorema viene utilizzato comunemente per calcolare la tensione (o corrente) in una rete
lineare con uno o più generatori. Permette inoltre di concentrarsi su una specifica porzione
del circuito, sostituendo la rimanente parte con un circuito equivalente. Nel caso di circuiti
in regime sinusoidale, il valore delle reattanze dipende dalla frequenza, per cui il teorema
di Thevenin vale frequenza per frequenza.
In Fig. B.10(a) è rappresentato un generico circuito in corrente continua; il circuito
equivalente di Thevenin è riportato in Fig. B.10(b). La procedura da seguire per determinare il generatore di tensione equivalente VTh e la resistenza equivalente RTh è la seguente:
Passo 1. Definire la porzione di circuito rispetto alla quale si desidera la rappresentazione
di Thevenin e individuarne i terminali, come in Fig. B.10(a).
Passo 2. Rimuovere questa porzione di circuito. In Fig. B.10(a) deve essere rimossa la resistenza di carico RL.
Passo 3. Individuare i terminali della rimanente porzione (i terminali a e b in figura).
Passo 4. Determinare la tensione a vuoto VTh tra i terminali a e b.
Passo 5. Disattivare tutti i generatori indipendenti (i generatori di tensione devono essere
cortocircuitati e quelli di corrente devono essere lasciati aperti). Applicare una tensione di
prova VX tra i terminali a e b. Il rapporto tra la tensione VX e la corrente IX fornisce la resistenza RTh.
Figura B.10
a
IL
VS
(a) Generica rete
IL
Rete resistiva
dc
RL
b
ESEMPIO B.7
RTh
a
Circuito equivalente
di Thevenin
Carico
VTh
RL
b
Carico
(b) Equivalente di Thevenin
Circuito equivalente di Thevenin Rappresentare il circuito rappresentato in Fig. B.11(a) con il
suo equivalente di Thevenin, secondo lo schema in Fig. B.11(b). Assumere VCC 12 V, R1 15 k
ed R2 7.5 k.
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Appendice B
Sommario di teoria dei circuiti
Figura B.11 Circuito per l’Esempio B.7
RTh
a
R1
a
VCC
VTh
VTh
R2
b
b
(a) Circuito
SOLUZIONE
(b) Equivalente di Thevenin
La tensione a circuito aperto, che è la tensione di Thevenin tra i terminali a e b, può essere ricavata
con la regola del partitore di tensione espressa dall’Eq. (B.10). Dunque
R2
VTh VCC
R1 R2
(B.14)
7.5 k
12 4 V
15 k 7.5 k
Se il generatore VCC viene spento e un generatore di prova VX è applicato tra i terminali a e b, si ottiene il circuito per il calcolo di RTh rappresentato in Fig. B.12. RTh è il parallelo di R1 ed R2. Dunque
RTh VX ⁄ IX R1 R2
(B.15)
15 k 7.5 k 5 k
Circuito per il calcolo della resistenza RTh
Figura B.12
R1
a
IX
VX
R2
b
ESEMPIO B.8
RTh
Circuito equivalente di Thevenin Rappresentare il circuito in Fig. B.13(a) con il suo equivalente
di Thevenin. Assumere VCC 12 V, VA 9 V, R1 15 k ed R2 7.5 k.
Figura B.13 Circuito per l’Esempio B.8
RTh
a
R1
a
VTh
VCC
R2
VA
VTh
b
b
(a) Circuito
(b) Equivalente di Thevenin
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Paragrafo B.5
9
Teorema di Thevenin
Poiché nella rete sono presenti due generatori di tensione, VCC e VA, applicheremo il teorema di sovrapposizione degli effetti per determinare VTh. Il circuito equivalente con il generatore VCC disattivato è riportato in Fig. B.14(a). Con la regola del partitore di tensione si calcola il contributo alla tensione d’uscita dovuto a VCC:
SOLUZIONE
R2
7.5 k
VO1 VCC 12 4 V
R1 R2
15 k 7.5 k
Disattivando invece il generatore VCC e lasciando attivo VA si ottiene invece il circuito in Fig. B.14(b);
le tensione d’uscita dovuta a VA è
R1
15 k
VO2 VA 9 6 V
15 k 7.5 k
R1 R2
La tensione d’uscita risultante, che è poi VTh, può essere ricavata sommando i due contributi già
determinati
VTh VO VO1 VO2
R2
R1
VCC VA
R1 R2
R1 R2
(B.16)
4 6 10 V
Disattivando entrambi i generatori VA e VCC e applicando un generatore di prova VX tra i terminali
a e b, si ottiene il circuito mostrato in Fig. B.14(c), utile per il calcolo della resistenza RTh. Quest’ultima è data dal parallelo di R1 ed R2. Dunque
RTh VX ⁄ IX R1 R2
(B.17)
15 k 7.5 k 5 k
Figura B.14
Circuiti equivalenti
R1
R1
a
a
VCC
R2
VO1
VO2
IX
VX
R2
R2
VA
b
(b) Circuito equivalente
con il solo generatore VA
b
(a) Circuito equivalente
con il solo generatore VCC
ESEMPIO B.9
R1
a
RTh b
(c) Circuito per il calcolo
di RTh
Rappresentazione di un circuito mediante il teorema di Thevenin Rappresentare il circuito mostrato in Fig. B.15 mediante il circuito equivalente di Thevenin. Assumere Ri 1.5 k, RC 25 k,
F 50, hr 3 104 e Vs 5 mV.
(a) Calcolare i parametri del circuito equivalente di Thevenin.
(b) Verificare i risultati con PSpice/SPICE.
Figura B.15 Circuito per l’esempio B.9
Ri
a
I
s
Vs
~
Vi
I
I2
~
hrVo
bF Is
RC
Vo
b
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Appendice B
SOLUZIONE
Sommario di teoria dei circuiti
(a) Si ha Ri 1.5 k, RC 25 k, F 50, hr 3 104 e Vs 5 mV. La tensione d’uscita Vo
tra i terminali a e b è
Vo I2RC F IsRC
(B.18)
La corrente d’ingresso Is può essere ricavata applicando la seconda legge di Kirchhoff alla maglia I
come
Vs hrVo
Is Ri
(B.19)
Sostituendo Is dall’Eq. (B.19) nell’Eq. (B.18) si ottiene la tensione d’uscita Vo
F RC
VTh Vo Vs
Ri F hr RC
(B.20)
50 25 k 5 m
5.5556 V
1.5 k 50 3 104 25 k
La resistenza di Thevenin RTh può essere ricavata dal circuito in Fig. B.16, ottenuto cortocircuitando
il generatore indipendente Vs e utilizzando il generatore di prova Vx. Detta Ix la corrente erogata da
quest’ultimo si ha
hrVx
Is Ri
(B.21)
Vx
Ix F Is RC
(B.22)
Sostituendo Is dall’Eq. (B.21) nell’Eq. (B.22) si ottiene
Ri F hrRC
Vx
F hrVx
Ix Vx
RiRC
RC
Ri
dalla quale si ottiene la resistenza di Thevenin RTh
RiRC
Vx
RTh Ix
Ri F hr RC
(B.23)
1.5 k 25 k
33.33 k
1.5 k 50 3 104 25 k
Figura B.16 Circuito per il calcolo della resistenza di Thevenin
Ri
I2
Is
~
Ix
hrVx
b F Is
Vx
RC
RTh
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Paragrafo B.6
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Teorema di Norton
Figura B.17 Circuito per la simulazione con PSpice
1
2
R
1.5 k
Is
E1
~
Vs
4
3
3
104
vo
F1
50Is
Vx
0V
RC
25 k
Vo
Rin
RTh
(b) Il circuito per la simulazione con PSpice è riportato in Fig. B.17. Segue la descrizione del circuito.
Esempio B.9 Circuito equivalente di Thevenin
VS 1 0 DC 5MV
RI 1 2 1.5K
E1 2 3 4 0 3.0E-4 ; generatore di tensione controllato in tensione
VX 3 0 DC 0V
; generatore di prova per il calcolo della resisten
F1 4 0 VX 50
; generatore di corrente controllato in corrente
RC 4 0 25K
.TF V(4) VS
; analisi della funzione di trasferimento
.END
Seguono i risultati delle simulazione:
NODE
( 1)
VOLTAGE
.0050
NODE
( 2)
VOLTAGE
-.0017
NODE
( 3)
VOLTAGE
0.0000
NODE
( 4)
VOLTAGE
-5.5556
VTh Vo V(4) 5.5556 V
****
SMALL-SIGNAL CHARACTERISTICS
Guadagno A Vo ⁄ Vs 1111
V(4)/VS=-1.111E+03
Rin Vs ⁄ Is 1.125 k
INPUT RESISTANCE AT VS=1.125E+03
R Th 33.33 k
OUTPUT RESISTANCE AT V(4)=3.333E+04
B.6 Teorema di Norton
Il teorema di Norton afferma che rispetto a due terminali qualsiasi rete lineare – in corrente
continua o in corrente alternata – può essere sostituita con un circuito equivalente costituito da un generatore di tensione con una resistenza (o impedenza) in parallelo. Il circuito
equivalente di Norton può essere ottenuto dal circuito equivalente di Thevenin; la relazione
tra i due è riassunta nella Fig. B.18. La resistenza di Norton RN è uguale alla resistenza di
Thevenin R Th e la corrente di Norton è la corrente di cortocircuito tra i terminali d’interesse.
RTh
Figura B.18
Circuiti equivalenti
di Thevenin e di Norton
a
a
VTh
RL
b
(a) Equivalente di Thevenin
VTh
RTh
IN
RN RTh
b
(b) Equivalente di Norton
RL
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Appendice B
B.7 Teorema
del massimo
trasferimento
di potenza
Sommario di teoria dei circuiti
Nei circuiti elettronici spesso è necessario trasferire sul carico la massima potenza possibile. Consideriamo il circuito in Fig. B.19, che potrebbe rappresentare il circuito equivalente di Thevenin di una rete più complessa. La potenza PL trasferita sulla resistenza di carico RL può essere ricavata dalla
2
VTh
PL I 2LRL RL
RTh RL
V 2Th
RL
1
2
RTh
RTh
(1 RL ⁄ RTh)
(B.24)
Per un determinato circuito, VTh ed RTh sono fissi. Pertanto la potenza PL sul carico dipende dalla resistenza RL. Ponendo RL uRTh, l’Eq. (B.24) diventa
V 2Th
u
PL RTh (1 u)2
u
P
(1 u)2
in cui P V 2Th ⁄ RTh. Normalizzando PL rispetto a P, si ottiene la potenza normalizzata
Pn nella forma
PL
u
Pn P
(1 u)2
Figura B.19
Circuito equivalente
di Thevenin con carico
resistivo
(B.25)
RTh
IL
~
VTh
RL
In Fig. B.20 è riportato l’andamento della potenza normalizzata Pn in funzione di u.
Si vede che la potenza Pn è massima per u 1, cioè per RTh uRL RL. Il valore di RL
Pn
Figura B.20
Andamento della potenza
normalizzata Pn
in funzione del rapporto u
0.25
0.20
0.15
Pn 0.10
V P
RTh
2
Th
0.05
0
0
0.5
1 1.5
RL RTh
2
2.5
3
u
RL
RTh
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Paragrafo B.8
Transitori nei circuiti del primo ordine
13
per il quale si ha il massimo trasferimento di potenza può essere determinato anche imponendo la condizione dPL ⁄ dRL 0. Dall’Eq. (B.24)
dPL
(RTh RL)2 2RL(RTh RL)
V 2Th 0
dRL
(RTh RL)4
(RTh RL)2 2RL(RTh RL) 0
da cui
RL RTh
Poiché RTh non può essere negativa si ottiene infine
RL RTh
(B.26)
Così si ha il massimo trasferimento di potenza quando la resistenza di carico RL è pari alla
resistenza di Thevenin RTh della rete. Per il circuito equivalente di Norton in Fig. B.18(b),
il massimo trasferimento di potenza sul carico si ha quando
R N RL
(B.27)
Sostituendo RL dall’Eq. (B.26) nell’Eq. (B.24) si ottiene la massima potenza Pmax trasferita sul carico
V 2Th
V 2Th RL
Pmax 4RL
4R2L
(B.28)
La potenza d’ingresso Pin erogata dal generatore Vs è
V 2Th
V 2Th
Pin RTh RL
2RL
(B.29)
Così il rendimento in condizioni di massimo trasferimento di potenza è
Pmax
V 2Th
2RL
100% 100% 50%
4RL
Pin
V 2Th
Dunque il rendimento è del 50% in condizioni di massimo trasferimento di potenza. Nei
circuiti elettronici la potenza trasferita è generalmente piuttosto contenuta e un’elevata efficienza non è pertanto un obiettivo primario. Nei sistemi di potenza essa è invece un parametro di grande importanza.
B.8 Transitori
nei circuiti
del primo ordine
Risposta al gradino
dei circuiti RC serie
La risposta transitoria fornisce, in funzione del tempo, l’andamento della tensione (o corrente) di uscita conseguente all’applicazione di una determinata sollecitazione in ingresso
(tensione o corrente). Per valutare le prestazioni di un circuito elettronico, generalmente si
impiega la risposta a una sollecitazione a gradino, perché essa permette di ricavare informazioni anche sulla risposta a sollecitazioni impulsive o a onda quadra.
Consideriamo il circuito RC serie rappresentato in Fig. B.21(a), sollecitato con una tensione d’ingresso a gradino VS. La tensione d’uscita vO è prelevata sul condensatore C. Per
t 0, la corrente di carica i nel condensatore può essere ricavata da:
1
VS vR vC Ri C
i dt vC (t 0)
con tensione iniziale sul condensatore vC (t 0) 0.
(B.30)
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Pagina 14
Appendice B
Sommario di teoria dei circuiti
vS
Figura B.21
VS
Circuito RC serie
vR i
0
R
vs
vO vC
C
vO
VS
0.628VS
t
Pendenza VS/t
0
VS
t
t RC
(a) Circuito RC
(b) Risposta al gradino
Utilizzando la tecnica della trasformata di Laplace, (di cui in Tab. B.1 sono riassunte
alcune proprietà), è possibile riportare l’Eq. (B.30) nel dominio s di Laplace:
VS
1
RI(s) I(s)
s
Cs
che, risolta, porta all’espressione della corrente I(s)
VS
VS
I(s) sR 1 ⁄ C
R(s 1 ⁄ )
(B.31)
in cui RC è la costante di tempo del circuito.
Tabella B.1
Trasformate di Laplace
di uso più frequente
f(t)
F(s)
1
1
s
t
1
2
s
et
1
s
sin t
cos t
f (t)
f (t)
s2 2
s
s2 2
sF(s) F(0)
s2F(s) sF(s) F(0)
La trasformata inversa dell’Eq. (B.31) fornisce la corrente attraverso il condensatore,
nel dominio del tempo:
VS
i(t) et ⁄ R
(B.32)
La tensione d’uscita vO(t), che è la tensione ai capi del condensatore, può essere espressa
nella forma
1 t
1 t VS t ⁄ e
i dt dt VS(1 et ⁄ )
vO(t) C 0
C 0 R
A regime (t ), l’Eq. (B.32) fornisce
i(t ) 0
(B.33)
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Paragrafo B.8
Transitori nei circuiti del primo ordine
15
Dall’Eq. (B.33),
vO(t ) VS
(B.34)
Per t , l’Eq. (B.33) fornisce
vO(t ) VS(1 e1) 0.632VS
(B.35)
La pendenza della tangente alla curva vO(t) in t 0 può essere ricavata dall’Eq. (B.33):
dvO
VS
VS
VS
et ⁄ dt t0
R
C
t0


(B.36)
L’andamento della risposta al gradino è riportato in Fig. B.21(b).
Risposta al gradino
dei circuiti CR serie
In un circuito CR serie la tensione d’uscita è prelevata sulla resistenza R invece che sulla
capacità C, come si vede in Fig. B.22(a). La tensione d’uscita vO, che è la tensione sulla
resistenza, può essere ricavata dall’Eq. (B.32). Dunque
vO(t) Ri(t) VSet ⁄ (B.37)
che, a regime (t ), fornisce
i(t ) 0
vO(t ) 0
Per t , dall’Eq. (B.37) si ottiene
vO(t ) VSe1 0.368VS
(B.38)
Dall’Eq. (B.37) si ricava il valore della pendenza della tangente alla curva vO(t) in t 0:
VS
VS
dvO
VS
et ⁄ dt t0
RC
t0


(B.39)
In Fig. B.22(b) è rappresentato l’andamento della tensione vO(t) dovuta a una sollecitazione a gradino.
vS
Figura B.22
VS
SRisposta al gradino
di un circuito CR serie
0
vC VS
C
vO vR
i
R
vO vR
VS
t
Pendenza VS/t
0.368VS
0
t
t RC
(a) Circuito CR serie
Risposta all’impulso
dei circuiti RC serie
(b) Risposta al gradino
Una tensione impulsiva vS di durata T, rappresentata in Fig. B.23(a), è applicata al circuito in
Fig. B.21(a). La risposta a questa sollecitazione dipende dal rapporto tra la costante di tempo
del circuito e la durata dell’impulso T. Considereremo tre casi: T, T e T.
Nel primo caso 1, T, la tensione d’uscita vO(t) raggiunge quasi il valore a regime
VS e il condensatore si carica esponenzialmente approssimativamente alla stessa tensione
VS. Quando la tensione d’ingresso vS(t) torna a zero, per t T, la tensione d’uscita (sul
condensatore) vO(t) decade esponenzialmente a zero, come è mostrato in Fig. B.23(b). L’area sottesa dalla forma d’onda in ingresso è uguale a quella sottesa dalla forma d’onda in
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16
Appendice B
Sommario di teoria dei circuiti
Figura B.23 Risposta all’impulso del circuito RC serie
vO vC
vS
VS
VS
Pendenza VS/t
t T
0
T
(a) Ingresso
vO vC
t
tr
t2
t
VS
V1
tT
0.1VS
0
td
T
(c) Tensione d’uscita per t T
vO vC
Pendenza VS/t
VS
0.9VS
0
T
t
tf
(b) Tensione d’uscita per t T
t T
Pendenza VS/t
0
t
T
(d) Tensione d’uscita per t T
uscita. Il tempo di salita tr (da rise time) è definito come il tempo necessario perché la tensione d’uscita vada dal 10% al 90% del valore finale. Si definisce invece tempo di discesa
tf (da fall time) il tempo necessario perché la tensione d’uscita vada dal 90% al 10% del
valore iniziale. Il ritardo td (da delay time) è invece il tempo che occorre perché la tensione
d’uscita vada da 0 al 10% della tensione finale.
Per t t1 td, vO(t) 0.1VS; per t2, vO(t) 0.9VS. Così dall’Eq.(B.33) si ottiene
0.1VS VS(1 et1 ⁄ )
et1 ⁄ 0.9
t1 ln (0.9)
e
0.9VS VS(1 et 2 ⁄ )
et 2 ⁄ 0.1
t2 ln (0.1)
Il tempo di salita tr, uguale al tempo di discesa tf, è dato da
tr tf t2 t1
ln (0.1) ln (0.9) ln (9) 2.2
(B.40)
Nel secondo caso, T, tr e tf sono molto minori di T. L’andamento della tensione d’uscita vO(t) somiglia molto più a quello della tensione in ingresso, rispetto al caso precedente,
come si vede in Fig. B.23(c). Questa condizione è generalmente soddisfatta se si ha 10 T.
Nel caso in cui, T, la tensione vO(t) non ha tempo sufficiente per raggiungere il
valore a regime VS. La tensione d’uscita per t T è V1, che è molto minore di VS, come
si vede in Fig. B.23(d). La tensione d’uscita inizia quindi a scendere verso lo zero, prima
di raggiungere il valore di regime. Così la tensione d’uscita non riproduce, con il suo andamento, quella d’ingresso. Tuttavia la tensione d’uscita è approssimativamente l’integrale
nel tempo di vS(t) e il sistema si comporta pertanto come un integratore. Cioè
1 t
V dt
vO(t) 0 S
per T
Perché tutto questo sia verificato deve essere almeno 10T.
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Paragrafo B.8
ESEMPIO B.10
SOLUZIONE
17
Transitori nei circuiti del primo ordine
Uso di PSpice/SPICE per tracciare l’andamento della risposta di un circuito RC a una sollecitazione impulsiva Tracciare l’andamento della tensione d’uscita del circuito in Fig. B.21(a), per
0.1 ms, 1 ms e 5 ms, in risposta a una sollecitazione costituita da un impulso di tensione di ampiezza vS VS 1 V e durata T 2 ms.
Figura B.24 Circuito RC
Per 0.1 ms, con C 0.1 F, si ottiene
R ⁄ C 0.1 ms ⁄ 0.1 F 1 k
Per 1 ms, con C 0.1 F, si ha
R ⁄ C 1 ms ⁄ 0.1 F 10 k
Per 5 ms, ancora con C 0.1 F,
per la simulazione con PSpice
Parametri:
RVAL 1 k
VS
1V
R
{RVAL}
C
0.1 F
R ⁄ C 5 ms ⁄ 0.1 F 50 k
Il circuito per la simulazione con PSpice è rappresentato in Fig. B.24. Segue la sua descrizione.
Esempio B.10 Risposta all’impulso del circuito RC serie.
VS1 1 0 PULSE (0V 1V 0 1NS 1NS 2MS 4MS)
; tensione impulsiva
; in ingresso
R1 1 2 1K
C1 2 0 0.1UF
VS2 3 0 PULSE (0V 1V 0 1NS 1NS 2MS 4MS)
R2 3 4 10K
C2 4 0 0.1UF
VS3 5 0 PULSE (0V 1V 0 1NS 1NS 2MS 4MS)
R3 5 6 50K
C3 6 0 0.1UF
.TRAN 0.1MS 4MS
; analisi del transitorio
.PROBE
.END
Figura B.25
Diagrammi di vO(t) per l’Esempio B.10
I diagrammi PSpice della tensione d’uscita vO(t) sono riportati in Fig. B.25 per tre valori della costante di tempo. Più è breve la costante di tempo , del circuito, più rapidamente la tensione d’uscita
sale e ritorna a zero.
NOTA:
È possibile usare la direttiva PSpice Parametric per la variabile R per variare la costante
di tempo.
Risposta all’impulso
dei circuiti CR serie
Una tensione impulsiva vS di durata T, rappresentata in Fig. B.26(a), è applicata in ingresso
al circuito in Fig. B.22(a). La risposta del sistema dipende dal rapporto tra la costante di
tempo e la durata T. Consideriamo tre casi: T, T e T.
Nel primo caso, T, la tensione sul condensatore vC(t) comincia ad aumentare esponenzialmente, mentre la tensione d’uscita vO(t) diminuisce esponenzialmente a partire da VS.
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Pagina 18
Appendice B
Sommario di teoria dei circuiti
vS
Figura B.26
Risposta all’impulso
del circuito CR serie
vO
VS
VS
Pendenza VS/t
t T
0
t
T
0
t
T
(a) Ingresso
VS
vC
Pendenza VS/t
VS
tT
vC
VS
0
t
T
vO
VS
t T
Pendenza VS/t
Pendenza VS/t
0
t
T
(c) Uscita per t T
vO
0
t
VS
tT
VS
V
Pendenza VS/t
0
(b) Uscita per t T
V
t T
t
T
vC
Pendenza VS/t
0
T
V
V
t T
t
(d) Uscita per t T
La situazione è rappresentata in Fig. B.26(b). Per t T, la tensione d’ingresso vS scende
bruscamente a zero e il condensatore si scarica esponenzialmente, attraverso la resistenza
R e il generatore vS. La tensione d’uscita vO diminuisce esponenzialmente da un valore negativo a zero.
Nel secondo caso, T, la tensione d’uscita vO(t) diminuisce esponenzialmente
verso lo zero, raggiungendo il valore di regime. Durante l’intervallo 0 t T, il condensatore si carica esponenzialmente, raggiungendo praticamente il valore di regime VS. Per
t T, il condensatore si scarica esponenzialmente attraverso la resistenza R e il generatore
vS. La tensione d’uscita vO(t) diminuisce esponenzialmente da un valore negativo verso lo
zero. In Fig. B.26(c) è rappresentato l’andamento di vO(t) e vC(t).
Nel terzo caso, quando T, la tensione d’uscita diminuisce solo di una piccola
quantità. La porzione della curva esponenziale che rappresenta vO da t 0 a t T ha andamento pressoché lineare, come si vede in Fig. B.26(d). La variazione della tensione d’uscita vO rispetto al valore iniziale può essere ricavata, approssimativamente, ancora dalla
Fig. B.26(d); si ottiene
VS
V T
(B.41)
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Paragrafo B.8
19
Transitori nei circuiti del primo ordine
La variazione relativa S (da sag) della tensione d’uscita è
VST ⁄ T
V
T
S RC
VS
VS
ESEMPIO B.11
SOLUZIONE
(B.42)
Uso di PSpice/SPICE per tracciare l’andamento della risposta di un circuito CR a una sollecitazione impulsiva Tracciare l’andamento della tensione d’uscita del circuito in Fig. B.22(a), per
0.1 ms, 1 ms e 5 ms, in risposta a una sollecitazione costituita da un impulso di tensione di ampiezza vS VS 1 V e durata T 2 ms.
Figura B.27 Circuito CR
per la simulazione con PSpice
Per 0.1 ms, con C 0.1 F, si ottiene
R ⁄ C 0.1 ms ⁄ 0.1 F 1 k
Per 1 ms, con C 0.1 F, si ha
R ⁄ C 1 ms ⁄ 0.1 F 10 k
Per 5 ms, ancora con C 0.1 F, si ha
Parametri:
RVAL 1 k
VS
1V
C
0.1 F
R
{RVAL}
R ⁄ C 5 ms ⁄ 0.1 F 50 k
Il circuito per la simulazione con PSpice è rappresentato in Fig. B.27. Segue la sua descrizione.
Esempio B.11 Risposta all’impulso del circuito CR serie.
VS1 1 0 PULSE (0V 1V 0 1NS 1NS 2MS 4MS) ; tensione impulsiva
; in ingresso
R1 2 0 1K
C1 1 2 0.1UF
VS2 3 0 PULSE (0V 1V 0 1NS 1NS 2MS 4MS)
R2 4 0 10K
C2 3 4 0.1UF
VS3 5 0 PULSE (0V 1V 0 1NS 1NS 2MS 4MS)
R3 6 0 50K
C3 5 6 0.1UF
.TRAN 0.1MS 4MS
; analisi del transitorio
.PROBE
.END
Figura B.28 Diagrammi di vO(t) per l’Esempio B.11
I diagrammi PSpice della tensione d’uscita vO(t) per tre valori della costante di tempo, sono riportati
in Fig. B.28.
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Pagina 20
Appendice B
ESEMPIO B.12
Sommario di teoria dei circuiti
Risposta all’impulso del circuito RC parallelo Un generatore di corrente iS IS, con l’andamento rappresentato in Fig. B.29(a), alimenta il parallelo di una resistenza R e un condensatore C
con C 0.1 F ed R 100 k, come si vede in Fig. B.29(b). La durata dell’impulso in ingresso è
T 0.5 ms. Determinare (a) la corrente istantanea iC(t) attraverso il condensatore C, (b) la corrente
istantanea iR(t) attraverso la resistenza R, per t < 0.5 ms e (c) la variazione relativa S della corrente
nel condensatore.
Figura B.29 Circuito RC parallelo pilotato da un generatore di corrente
IS
i1
iR
i1
R
100 k
i1 IS
0
0.5
C
0.1 F
t (ms)
(a) Andamento della corrente
in ingresso
SOLUZIONE
iC
(b) Circuito
La trasformata di Laplace del gradino di corrente di ampiezza IS è IS ⁄ s.
(a) Per la regola del partitore di corrente, la trasformata della corrente IC nel condensatore è
IS
IS
s
R
s
IC(s) IS(s) IS(s) R 1 ⁄ Cs
s 1 ⁄ RC
s 1 ⁄ RC
s
s 1 ⁄ RC
1
IS s 1 ⁄ RC
(B.43)
Antitrasformando si ottiene
iC(t) ISet ⁄ (B.44)
con RC.
(b) La corrente iR(t) nella resistenza è
iR(t) IS iC(t) IS(1 et ⁄ )
(B.45)
(c) RC 100 103 0.1 106 10 ms e T 0.5 ms. Dunque, T, per cui, dall’Eq. (B.42), si ottiene
S T ⁄ 0.5 ⁄ 10 5%
Risposta al gradino
dei circuiti RL serie
In Fig. B.30(a) è rappresentato un circuito RL serie pilotato da una tensione a gradino. La
tensione d’uscita vO è prelevata ai capi dell’induttanza L. La corrente i attraverso questa
può essere ricavata dalla
di
VS vL vR L Ri
dt
(B.46)
con valore iniziale della corrente nell’induttanza i(t 0) 0. Nel dominio s, di Laplace,
l’Eq. (B.46) diventa
VS
LsI(s) RI(s)
s
che, risolta in I(s), fornisce
VS
VS
VS 1
1
I(s) s(sL R)
R s
(s 1 ⁄ )
Ls(s 1 ⁄ )
(B.47)
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Paragrafo B.9
21
Circuiti risonanti
Figura B.30
VS
R
0.632 VS
R
Risposta al gradino
di un circuito RL serie
i
Pendenza VS/t
0
R
VS
t
t
vO
vR i
VS
t L/R
vL L
vO vL
Pendenza VS/t
0.368VS
0
(a) Circuito RL
t
t
(b) Risposta al gradino
in cui L ⁄ R è la costante di tempo del circuito RL. Antitrasformando l’Eq. (B.47) si ottiene l’andamento nel tempo della corrente
VS
i(t) (1 et ⁄ )
R
(B.48)
L’Eq. (B.48) può essere utilizzata per valutare la tensione d’uscita vO(t) ai capi dell’induttanza L:
di
vO(t) vL(t) L VSet ⁄ dt
(B.49)
A regime (t ),
vO(t) 0
i(t) VS ⁄ R
dall’Eq. (B.49)
dall’Eq. (B.48)
Se l’uscita è presa sulla resistenza R, la tensione vO(t) diventa
vO(t) vR(t) Ri(t) VS(1 et ⁄ )
(B.50)
A regime (t ), vR(t) VS e i(t) VS ⁄ R.
A regime la corrente attraverso l’induttanza è VS ⁄ R. Se la tensione d’ingresso viene
bruscamente annullata, sull’induttanza si produce una tensione negativa, che si oppone alla
variazione di corrente, che può danneggiare l’induttore. Per questa ragione un circuito RL serie non
viene pilotato con un segnale a gradino (o impulsivo), a meno che non sia prevista una protezione
contro gli inconvenienti che potrebbero derivare dal transitorio di tensione prodotto dall’induttanza.
NOTA:
B.9 Circuiti risonanti
L’impedenza effettiva di un circuito RLC è funzione della frequenza e la tensione o la corrente sono massime per una determinata frequenza fn, detta frequenza di risonanza o frequenza naturale. Alla risonanza, l’energia assorbita in ogni istante da uno degli elementi
reattivi (per esempio l’induttanza L) è esattamente uguale a quella ceduta dall’altro elemento reattivo (la capacità C). L’energia pulsa da un elemento reattivo all’altro e un circuito senza elementi dissipativi (resistenza) non assorbe altra energia reattiva dalla sorgente. La potenza media in ingresso, che è la potenza dissipata nell’elemento resistivo, è
massima alla risonanza. Esistono due tipi di circuiti risonanti: circuiti risonanti serie e circuiti risonanti parallelo.
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Pagina 22
Appendice B
Figura B.31
Sommario di teoria dei circuiti
C
RS
Circuito RLC
risonante serie
I
jXC
RCl
Vs
~
L
jXL
Avvolgimento
Circuito risonante
serie
In Fig. B.31 è rappresentato un circuito risonante serie RLC; RCl rappresenta la resistenza
dell’avvolgimento e RS quella della sorgente. Detta R RCl RS, l’impedenza serie complessiva Z del circuito è data da
Z R j(XL XC)
(B.51)
La risonanza serie si ha quando
XL XC
(B.52)
L’Eq. (B.52) può essere riscritta
L 1 ⁄ C
cioè
2fnL 1 ⁄ (2fnC )
dalla quale si ricava la frequenza di risonanza serie fn
1
fn 2L
C
(B.53)
In condizioni di risonanza, l’impedenza Zn vale
Zn Z R
(B.54)
Un circuito risonante serie è caratterizzato generalmente mediante un fattore di qualità QS, definito come il rapporto tra la potenza reattiva immagazzinata nell’induttanza o nella
capacità e la potenza media dissipata nella resistenza in condizioni di risonanza. Dunque
Potenza reattiva
Qs Potenza media
2fnL
XL
I2XL
2
R
R
I R
per una reattanza induttiva
(B.55)
XC
I2XC
1
2
R
2fnCR
I R
per una reattanza capacitiva
(B.56)
Il fattore di qualità QCl di un induttore è invece il rapporto tra la potenza reattiva immagazzinata nell’induttore stesso e la potenza dissipata nella resistenza RCl, dell’avvolgimento che lo costituisce. Allora
Potenza reattiva
XL
QCl Potenza dissipata
RCl
Il valore efficace della tensione VL sull’induttanza L in condizioni di risonanza può essere
ricavato dalla
XLVs
XLVs
VL QsVs
R
Zn
(B.57)
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Paragrafo B.9
23
Circuiti risonanti
Il valore efficace della tensione VC sulla capacità C in condizioni di risonanza può essere
ricavato dalla
XLVs
XC V s
VC QsVs
R
Zn
(B.58)
In molti circuito elettronici, il fattore di qualità Qs è alto, di valore compreso tra 80 e 400.
Per esempio, se Vs 30 V e Qs 80, allora VC VL 80 30 2400 V e tutti i componenti del circuito sono sottoposti a questa tensione. Così un progettista deve prestare attenzione per proteggere il circuito da questi valori elevati di tensione sui condensatori o sugli induttori.
Circuiti risonanti
parallelo
In Fig. B.32(a) è rappresentato un circuito RLC risonante parallelo. Il segnale in ingresso
è generalmente fornito da un generatore di corrente. Questo tipo di circuito è usato frequentemente nei circuiti con elementi attivi come i transistori, che si comportano in modo
abbastanza simile a generatori di corrente. Sostituendo l’impedenza RL serie con un parallelo equivalente, si ottiene il circuito in Fig. B.32(b), nel quale l’ammettenza YRL equivalente alla resistenza RC1 in serie con la reattanza jXL, è data da
RCl
XL
1
1
1
YRL j j 2
2
2
2
RCl jXL
Rp
Xp
RCl XL
RCl XL
R2Cl X2L
Rp RCl
con
(B.59)
R2Cl X2L
Xp XL
(B.60)
In condizioni di risonanza,
X p XC
Sostituendo in quest’ultima l’espressione di Xp ricavata dall’Eq. (B.60) si ottiene
R2Cl X2L
XC
XL
R2Cl X2L XCXL
X2L XCXL R2Cl
L
X2L R2Cl 1 ⁄ 2
CL
XL R2Cl
C
cioè
Figura B.32
(B.61)
a
Circuito RLC
risonante parallelo
a
Ip
Is
Ip
RCl
Is
C
RS
L
jXC
Is
RS
jXp
jXC
Vp
jXL
b
Sorgente
Rp
b
ZTh
(a) Circuito parallelo
Sorgente
ZTh
(b) Circuito equivalente
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Pagina 24
Appendice B
Sommario di teoria dei circuiti
dalla quale si ottiene la frequenza di risonanza parallelo fp, che è
1⁄2
L
1
fp R2Cl
2 L C
CR2Cl 1 ⁄ 2
1
1
L
2L
C
CR2Cl 1 ⁄ 2
fn 1 L
(B.62)
(B.63)
Così la frequenza di risonanza parallelo fp, che dipende dalla resistenza dell’avvolgimento
RCl, è inferiore alla frequenza di risonanza serie fn. Nell’ipotesi (CR2Cl ⁄ L) 1 cioè
C
RCl L
⁄ e RCl 0, dall’Eq. (B.63) si ottiene
fp fn
Il fattore di qualità Qp del circuito risonante parallelo RLC può essere valutato come il rapporto tra la potenza reattiva e la potenza reale alla risonanza. Cioè
V 2p ⁄ Xp
(RS Rp)
Qp Xp
V 2p ⁄ (RS Rp)
(B.64)
in cui Vp è la tensione sui rami del parallelo.
ESEMPIO B.13
SOLUZIONE
Calcolo della frequenza risonante parallelo Nel circuito risonante parallelo in Fig. B32(a) si ha
RCl 47 , L 5 mH, C 50 pF, RS 20 k e la corrente del generatore è Is 6 mA. Calcolare
(a) la frequenza di risonanza parallelo fp, (b) la tensione Vp sul circuito risonante alla risonanza, (c)
il fattore di qualità QCl della bobina e (d) il fattore di qualità Qp del circuito risonante.
RCl 47 , L 5 mH, C 50 pF, RS 20 k e Is 6 mA.
(a) Dall’Eq. (B.53) si ricava
10
3 50
10
12
] 318.3 kHz
fn 1 ⁄ [2 5
Dall’Eq. (B.63):
fp 318.3 103 [1 50 1012 472 ⁄ (5 103)]1 ⁄ 2 318.3 kHz
(b) È noto che
XL 2 fpL 2 318.3 103 5 103 9999.7 Dall’Eq. (B.59) si ottiene la resistenza effettiva Rp del circuito risonante
Rp [472 9999.72] ⁄ 47 2127.6 k
Il valore efficace Ip della corrente nel circuito parallelo è
RS
20 k 6 mA
Ip Is 55.876 A
RS Rp
20 k 2127.6 k
e
Vp IpRp 55.876 A 2127.6 k 118.88 V
(c) Si ottiene semplicemente
QCl XL ⁄ R 9999.7 ⁄ 47 212.8
(d) Dall’Eq. (B.60), la reattanza induttiva totale Xp del circuito parallelo è
Xp [472 9999.72] ⁄ 9999.7 9999.92 e
RS Rp 20 2127.6 ⁄ (20 2127.6) 19.81 k
Dall’Eq. (B.64) si ricava Qp 19 810 ⁄ 9999.92 1.98.
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Pagina 25
Paragrafo B.10
B.10 Risposta
in frequenza
dei circuiti
del primo
e del secondo
ordine
Risposta in frequenza dei circuiti del primo…
25
Per caratterizzare circuiti quali amplificatori e filtri si utilizzano generalmente segnali sinusoidali. La risposta in frequenza si riferisce all’uscita di un sistema lineare sollecitato
con una sinusoide. Se una tensione sinusoidale
vs(t) Vm sin t
(B.65)
di valore di picco Vm e pulsazione viene applicata a un circuito lineare, la tensione in
uscita vo(t) anch’essa sinusoidale, ha in generale ampiezza differente da quella di vs(t) e risulta sfasata rispetto a questa. Essa avrà espressione
vo(t) Vp sin (t )
(B.66)
in cui Vp è il valore di picco della tensione d’uscita. Se f è la frequenza, allora
2 f
In Fig. B.33 è rappresentato un esempio della relazione tra ingresso e uscita in un amplificatore.
vs
FIGURa B.33
Esempio di tensioni
d’ingresso e di uscita
sinusoidali
vs Vm sin vt
Vm
vo Vp sin (v t f)
Vp
0
p
2p
u vt
f
Se si indicano con Vs( j) e Vo( j) i valori efficaci delle tensioni d’ingresso e di
uscita, rispettivamente, in funzione della frequenza, il guadagno in tensione è definito
Vo( j)
G( j) Vs( j)
(adimensionale)
(B.67)
G( j) è una funzione complessa, caratterizzata quindi da un modulo e una fase. Il modulo
G( j) fornisce il rapporto tra le ampiezze dell’uscita e dell’ingresso, mentre la fase di
G( j) indica la relazione di fase tra vs e vo. Il modulo e la fase vengono generalmente rappresentati su un diagramma in funzione della frequenza, con quest’ultima grandezza riportata in scala logaritmica. Il modulo è normalmente espresso in decibel (dB):
Ampiezza in dB 20 log10G( j)
Prenderemo in considerazione le risposte in frequenza di circuiti RC passa basso e
passa alto del primo ordine e di circuiti del secondo ordine RLC serie e parallelo.
Circuiti RC passa
basso del primo
ordine
In Fig. B.34(a) è rappresentato un tipico circuito RC passa basso. La tensione d’uscita vo
è prelevata sul condensatore C. Ricordando che l’impedenza di quest’ultimo, nel dominio
di Laplace, è 1 ⁄ Cs. e utilizzando la legge del partitore di impedenze, il guadagno in tensione G(s) può essere scritto nella forma
Vo(s)
1
1 ⁄ Cs
G(s) Vs(s)
1 sRC
R 1 ⁄ Cs
Nel dominio della frequenza, s j e
1
1
G( j) 1 jRC
1 j
(adimensionale)
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Pagina 26
Appendice B
Sommario di teoria dei Circuiti
Figura B.34
20 log
Circuito RC passa basso
del primo ordine
0
G( jv)
(dB)
K
3 dB
0.1
10
R
vs
~
C
30
vo
20 dB/decade
o
6 dB/ottava
20
i
v
(scala log)
vo
10
5.7
0
f
1
(a) Circuito passa basso
10
v
(scala log)
vo
45
5.7
90
(b) Risposta in frequenza
con RC. Così è possibile valutare il modulo G(j) del guadagno in tensione
1
1
G( j) 2 1⁄2
[1 () ]
[1 ( ⁄ o)2]1 ⁄ 2
(B.68)
tan1 () tan1 ( ⁄ o)
(B.69)
e la fase con o 1 ⁄ RC 1 ⁄ .
Per o,
G( j) 1
20 log10G( j) 0
0
e
Perciò, a basse frequenze, il diagramma del modulo è una retta orizzontale a 0 dB. Per
o, invece,
G( j) o ⁄ 20 log10G( j) 20 log10 (o ⁄ )
⁄ 2
e
Per o,
G( j) 1 ⁄ 2
20 log10G( j) 20 log10 (1 ⁄ 2) 3 dB
e
⁄ 4
Consideriamo valori di frequenze per cui 1 o. Per 1, il modulo è 20 log10
(o ⁄ 1), mentre per 101 esso è 20 log10 (o ⁄ 101). La variazione del modulo tra
1 e 101 è allora
20 log10 (o ⁄ 101) 20 log10 (o ⁄ 1) 20 log10 (1 ⁄ 10) 20 dB
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Pagina 27
Paragrafo B.10
27
Risposta in frequenza dei circuiti del primo…
Se invece la frequenza raddoppia 21, la variazione del modulo è
20 log10 (o ⁄ 21) 20 log10 (o ⁄ 1) 20 log10 (1 ⁄ 2) 6 dB
I diagrammi della risposta in frequenza sono riportati in Fig. B.34(b). L’intervallo tra due
frequenze che siano una doppia dell’altra è detto ottava; se invece le due frequenze differiscono per un fattore 10, l’intervallo corrispondente è detto decade. Così per un aumento
di frequenza pari a una decade, il modulo della risposta diminuisce di 20 dB. Il diagramma
del modulo (o dell’ampiezza) è pertanto una linea retta con pendenza di 20 dB/decade o
di 6 dB/ottava. Il diagramma del modulo è allora caratterizzato da due asintoti che si incontrano in corrispondenza della pulsazione d’angolo (o di taglio) o. La differenza tra
l’ampiezza reale e il valore asintotico (letto cioè sul diagramma costituito dai due asintoti e detto perciò diagramma asintotico) è massima in corrispondenza della pulsazione
d’angolo. L’errore può essere valutato calcolando il guadagno per o. Si ottiene,
) 3 dB. L’errore ha andamento simmetrico riG( j) 1 ⁄ 2 e 20 log10 (1 ⁄ 2
spetto alla pulsazione di taglio. Quest’ultima è anche nota come pulsazione a –3 dB.
Il circuito in Fig. B.34(a) lascia passare solo le componenti frequenziali a più bassa
frequenza e la risposta diminuisce alle alte frequenze. Un circuito con una risposta di questo tipo è detto circuito passa basso. La funzione guadagno (anche detta funzione di trasferimento) di un circuito passa basso ha espressione generale
K
G(s) 1 s ⁄ o
(B.70)
in cui K è il valore del guadagno per 0 (o guadagno in corrente continua). Un circuito
passa basso ha (a) un guadagno finito a frequenze molto basse, tendenti a zero e (b) uscita
nulla per frequenze molto alte, tendenti all’infinito.
ESEMPIO B.14
SOLUZIONE
Impiego di PSpice/SPICE per tracciare il diagramma della risposta in frequenza di un circuito
RC passa basso Ricavare con PSpice/SPICE il diagramma della risposta in frequenza del circuito
RC passa basso rappresentato in Fig. B.34(a). Assumere Vm 1 V (di picco, in alternata), R 10 k
e C 0.1 F. La frequenza f varia da 1 Hz a 100 kHz.
Il circuito da simulare è riportato in Fig. B.35. Segue la sua descrizione.
Esempio B.14 Risposta in frequenza del circuito RC passa basso
VM 1 0 AC 1V
; ingresso in c.a., valore di picco 1 V
R 1 2 10k
C 2 0 0.1UF
.AC DEC 100 1HZ 100kHz ; analisi in c.a. da f = 1 Hz a 100 kHz
; con scansione lineare e 100 punti per decade
.PROBE
.END
I diagrammi dell’ampiezza e della fase della risposta sono riportati in Fig. B.36; da queste si ottiene,
per la frequenza a 3 dB, fo 161 Hz.
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Pagina 28
Appendice B
Sommario di teoria dei Circuiti
Figura B.36 Diagrammi della risposta
in frequenza (Esempio B.14)
Figura B.35 Circuito RC
passa basso per la simulazione
con PSpice
VS
1V ~
R
10 k
C
0.1 F
Circuiti CR passa
alto del primo ordine
In Fig. B.37(a) è rappresentato un circuito CR passa alto. La tensione d’uscita vo è prelevata sulla resistenza R. Utilizzando la legge del partitore di tensione, si può scrivere l’espressione del guadagno in tensione G(s) nel dominio di Laplace nella forma
Vo(s)
R
sRC
G(s) R 1 ⁄ Cs
Vs(s)
1 sRC
(adimensionale)
Nel dominio della frequenza, s j e
jRC
j
G( j) 1 jRC
1 j
con RC. Così il modulo della risposta in frequenza G( j) può essere scritto
⁄ o
G( j) 2 1⁄2
[1 ( ⁄ o)2]1 ⁄ 2
[1 () ]
Figura B.37
(B.71)
G( jv)
(dB)
K
3 dB
20 log
Circuito CR passa alto
del primo ordine
v
(scala log)
vo
0
10
10
vs
~
C
i
R
vo vR
20 dB/decade
o
6 dB/ottava
20
30
5.7
f
90
(a) Circuito passa alto
45
5.7
0
0.1
1
10
(b) Risposta in frequenza
v
(scala log)
vo
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Paragrafo B.10
Risposta in frequenza dei circuiti del primo…
29
mentre la fase di G( j) è
⁄ 2 tan1 ( ⁄ o)
(B.72)
con o 1 ⁄ RC 1 ⁄ .
Per o,
G( j) o
20 log10 G( j) 20 log10 (o)
e
/2
Perciò se la frequenza aumenta di una decade, l’ampiezza varia di 20 dB. Il diagramma
dell’ampiezza è dunque una linea retta con la pendenza di 20 dB/decade o 6 dB/ottava.
Per o,
G( j) 1
20 log10 G( j) 0
e
0
Perciò alle frequenze più alte, il diagramma del modulo è una linea orizzontale a 0 dB. Per
o,
G( j) 1 ⁄ 2
20 log10 (1 ⁄ 2) 3 dB
e
⁄4
I diagrammi della risposta in frequenza sono riportati in Fig. B.37(b).Questo circuito
lascia passare solo le componenti frequenziali a più alta frequenza e la risposta diminuisce
alle basse frequenze. Un circuito con una risposta di questo tipo è detto circuito passa alto.
La funzione guadagno di un circuito passa alto ha espressione generale
sK
G(s) 1 s ⁄ o
(B.73)
in cui il termine Ko rappresenta il guadagno per pulsazione (o frequenza) infinita.
Un circuito passa alto ha (a) uscita nulla per frequenze molto basse, tendenti a zero e (b)
un guadagno finito a frequenze molto alte, tendenti a infinito.
ESEMPIO B.15
SOLUZIONE
Impiego di PSpice/SPICE per tracciare il diagramma della risposta in frequenza di un circuito
CR passa alto Ricavare con PSpice/SPICE il diagramma della risposta in frequenza del circuito
CR passa alto rappresentato in Fig. B.37(a). Assumere Vm 1 V (di picco, in c.a.), R 10 k e
C 0.1 F. La frequenza f varia da 1 Hz a 100 kHz.
Il circuito da simulare è riportato in Fig. B.38. Segue la sua descrizione.
Esempio B.15 Risposta in frequenza del circuito CR passa alto
VM 1 0 AC 1V
; ingresso in c.a., valore di picco 1 V
C 1 2 0.1UF
R 2 0 10k
.AC DEC 100 1HZ 100kHz ; analisi in c.a. da f = 1 Hz a 100 kHz
; con scansione logaritmica e 100 punti per decade
.PROBE
.END
I diagrammi dell’ampiezza e della fase della risposta sono riportati in Fig. B.39; da queste si ottiene,
per la frequenza a 3 dB, fo 157 Hz.
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Pagina 30
Appendice B
Sommario di teoria dei Circuiti
Figura B.38 Circuito CR
passa alto per la simulazione
con PSpice
Figura B.39 Diagrammi della risposta
in frequenza (Esempio B.15)
C
0.1 F
VS
1V ~
R
10 k
Circuiti RLC serie
del secondo ordine
In Fig. B.40 è rappresentato un circuito RLC serie. La tensione d’uscita vo è prelevata sulla
resistenza R. Mediante la legge del partitore di tensione si può calcolare il guadagno in tensione (o la funzione di trasferimento) nel dominio s (di Laplace):
Vo(s)
sR ⁄ L
R
G(s) R sL 1 ⁄ Cs
Vs(s)
s2 sR ⁄ L 1 ⁄ LC
(adimensionale)
(B.74)
Detti n 1 ⁄ L
C
la pulsazione naturale (in rad/s) e R ⁄ (2L) il fattore di smorzamento, l’Eq. (B.74) può essere riscritta
2 s
G(s) s2 2s 2n
(B.75)
Definiamo
R
R
L
C
2L
n
2
C
L
il rapporto di smorzamento. L’Eq. (B.75) diventa allora
2ns
G(s) 2
s 2ns 2n
(adimensionale)
(B.76)
in cui assumeremo che sia 1. (Si noti che non è necessariamente minore di 1, ma è stato
considerato minore di 1 in questo caso). Nel dominio della frequenza (ponendo cioè s j)
j2 ⁄ n
2n j
G( j) 2
2 ( )2 j2 1
( j) 2n( j) n
⁄ n
⁄ n
j2 ⁄ n
1 j2 ⁄ n ( ⁄ n)2
Figura B.40 Circuito RLC serie
L
C
I
Vs
~
R
Vo VR
(B.77)
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Paragrafo B.10
31
Risposta in frequenza dei circuiti del primo…
Definiamo la pulsazione normalizzata u ⁄ n. L’Eq. (B.77) può essere semplificata
j2u
G( j) 1 j2u u2
Il modulo G( j) può essere espresso
2u
G( j) [(1 u2)2 (2u)2]1 ⁄ 2
(B.78)
e la fase di G(j) è
2u
⁄ 2 tan1 1 u2
(B.79)
A basse frequenze u 1,
G( j) 2u
20 log10 G( j) 20 log10 (2u)
⁄2
e
Perciò a basse frequenze il diagramma del modulo è una linea retta con la pendenza di
20 dB/decade o 6 dB/ottava. Per u 1, G( j) 1 solo se
e
1
20 log10 G( j) 0 dB
0
Per u 1,
2
G( j) 2u ⁄ u 2 ⁄ u
20 log10 G( j) 20 log10 (2) 20 log10 (u) 20 log10 (u)
e
⁄ 2
Perciò alle alte frequenze il diagramma dell’ampiezza è una linea retta con la pendenza di
20 dB/decade o 6 dB/ottava. Il diagramma reale potrà essere anche molto diverso da
quello asintotico e l’errore dipenderà dal fattore di smorzamento . I diagrammi del modulo e della fase della risposta in frequenza del circuito RLC serie sono rappresentati in
Fig. B.41.
Se la tensione d’uscita del circuito RLC serie scende sotto il 70 % del suo valore
massimo, l’uscita può essere considerata trascurabile. La frequenza di taglio è quella frequenza per la quale il modulo del guadagno scende sotto il 70.7% del suo valore massimo
G( j)max 1. Così in corrispondenza delle pulsazioni di taglio di taglio dall’Eq.
(B.78) si ottiene:
2u
1
0.707 G( j) 2 2
2 1⁄2
2
[(1 u ) (2u) ]
cioè
⁄
2(2u) [(1 u2)2 (2u)2]1 2
Elevando al quadrato primo e secondo membro si ricava
2(2u)2 (1 u2)2 (2u)2
cioè
(2u)2 (1 u2)2
(B.80)
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Pagina 32
Appendice B
Figura B.41
Sommario di teoria dei Circuiti
Risposta in frequenza di un circuito RLC serie
G( jv)
d 0.1
0.4
1.0
0
f
1
v
u
vn
1
v
u
vn
d 0.1
0.4
q
1.0
0
q
Le possibili soluzioni dell’Eq. (B.80) sono
2u1 1 u21
u21
e
2u1 1 0
2u2 (1 u22
u22)
u22
(B.81)
1
2u2 1 0
(B.82)
Risolvendo quest’ultima si ottiene
2
u2 1
Poiché la frequenza non può essere negativa, la pulsazione superiore di taglio normalizzata
u2 è data da
2
u2 1
(B.83)
e la pulsazione di taglio superiore 2 è
2 u 2 n
(B.84)
Risolvendo invece l’Eq. (B.81) si ottiene
2
u1 1
dalla quale si otterrebbero un valore positivo e uno negativo per u1. Scartando ancora una
volta il valore negativo, la pulsazione inferiore di taglio normalizzata u1 è data da
2
u1 1
(B.85)
e la pulsazione di taglio inferiore 1 è
1 u 1 n
(B.86)
La banda passante BW di un amplificatore, definita come l’intervallo di frequenze su
cui il guadagno rimane costante entro un margine di 3 dB (29.3%) del suo valore massimo,
è data allora dalla differenza tra le frequenze di taglio superiore e inferiore. Perciò la banda
passante BWs di un circuito RLC serie può essere ricavata da
BWs 2 1 n(u2 u1) 2n R ⁄ L
(in rad/s)
(B.87)
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Pagina 33
Paragrafo B.10
Risposta in frequenza dei circuiti del primo…
33
da cui
1 R
BWs f2 f1 2 L
(in Hz)
(B.88)
Dall’Eq. (B.55), R ⁄ L 2fn ⁄ Qs. Così l’Eq. (B.88) può essere riscritta
fn
1 R
1 2fn
BWs (B.89)
Qs
2 L
2 Qs
dalla quale è evidente che maggiore è il valore Qs, più stretta è la banda passante BWs e
viceversa. È possibile dimostrare che l’Eq. (B.89) può essere anche applicata per calcolare
l’ampiezza della banda passante BWp di un circuito risonante parallelo. Dunque
fp
BWp Qp
(B.90)
in cui fp è la frequenza di risonanza parallelo nell’Eq. (B.63) e Qp è il fattore di qualità di
un circuito risonante parallelo, definito nell’Eq. (B.64).
ESEMPIO B.16
SOLUZIONE
Calcolo della risposta in frequenza di un circuito RLC serie Nel circuito RLC serie riportato in
Fig. B.40 si ha R 50 , L 4 mH e C 0.15 F.
(a) Determinare la frequenza risonante serie fn, il fattore di smorzamento , il fattore di qualità Qs,
le frequenze di taglio e la banda passante BWs.
(b) Utilizzare PSpice/SPICE per tracciare i diagrammi dell’ampiezza e della fase della tensione d’uscita per R 50 , 100 e 200 . e per frequenze tra 100 Hz e 1 MHz. Assumere Vm 1 V di
picco (in alternata).
(a) R 50 , L 4 mH e C 0.15 F, per cui
n 1 ⁄ L
C
105 ⁄ 4
.5
1 40 825 rad/s
La frequenza risonante serie è
fn n ⁄ 2 40 825 ⁄ 2 6497.5 Hz
Poiché R ⁄ (2L) 50 ⁄ (2 4 103) 6250, il rapporto di smorzamento è
⁄ n 6250 ⁄ 40 825 0.1531
Dall’Eq. (B.55) si ricava
Qs nL ⁄ R 40 825 4 103 ⁄ 50 3.266
Per la frequenza di taglio inferiore, le Eq. (B.85) e (B.86) forniscono
u1 1
2 0.1531 1
0.1
5312 0.85855
1 u1n 0.85855 40 825 35 050.4 rad/s
Così
f1 35050.4 ⁄ 2 5578 Hz
Per la frequenza di taglio superiore, dall’Eq. (B.83) e dall’Eq. (B.84) si ottiene
u2 1
2 0.1531 1
0.1
5312 1.16475
2 u2n 1.16475 40 825 47 551 rad/s
Così
f2 47551 ⁄ 2 7568 Hz
Dall’Eq. (B.89), si ricava la banda passante
BWs f2 f1 fn ⁄ Qs 6497.5 ⁄ 3.266 1989.4 Hz
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34
Pagina 34
Appendice B
Sommario di teoria dei Circuiti
(b) In Fig. B.42 è riportato il circuito RLC serie per la simulazione con PSpice. Segue la descrizione
del circuito.
Esempio B.16 Risposta in
Vm1 1 0 AC 1V
L1 1 2 4MH
C1 2 3 0.15UF
R1 3 0 50
Vm2 4 0 AC 1V
L2 4 5 4MH
C2 5 6 0.15UF
R2 6 0 100
Vm3 7 0 AC 1V
L3 7 8 4MH
C3 8 9 0.15UF
R3 9 0 200
.AC DEC 100 100HZ 1MEGHz
frequenza di un circuito RLC serie
; ingresso in c.a., valore di picco 1 V
; ingresso in c.a., valore di picco 1 V
; ingresso in c.a., valore di picco 1 V
; analisi in c.a. da 100 Hz a 1 MHz
; con scansione logaritmica e 100 punti per decade
.PROBE
.END
Figura B.42 Circuito RLC serie per la simulazione con PSpice
C
0.15 F
Parametri:
RVAL 50
VS
1V ~
L
4 mH
R
{RVAL}
I diagrammi PSpice del modulo e della fase (dal file EXB-16.SCH) sono riportati in Fig. B.43.
Dal diagramma ottenuto con R 50 si ricava f1 5578 Hz, f2 7568 Hz, fn 6457 Hz e
BWs f2 f1 1990 Hz.
Figura B.43 Diagrammi della risposta in frequenza (Esempio B.16)
Circuiti RLC
parallelo del secondo
ordine
In Fig. B.44 è rappresentato un circuito RLC parallelo. La tensione d’uscita vo è prelevata
sul parallelo delle tre impedenze. La funzione di trasferimento G(s) Vo(s) ⁄ Is(s) nel dominio s di Laplace è l’impedenza equivalente Z(s).
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Paragrafo B.10
Risposta in frequenza dei circuiti del primo…
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Figura B.44
Circuito RLC parallelo
L
Is
C
R
Vo
RCl 0
La funzione
1
1
1
sL R s2LCR
sC Z(s)
R
sL
sRL
s2 s ⁄ RC 1 ⁄ LC
s⁄C
(in siemens, o mho)
permette di ricavare la funzione di trasferimento G(s)
Vo(s)
s⁄C
G(s) Z(s) 2
Is(s)
s s ⁄ RC 1 ⁄ LC
s ⁄ RC
R 2
s s ⁄ RC 1 ⁄ LC
(ohm)
(B.91)
Detti n 1 ⁄ L
C
la pulsazione di risonanza (rad/s) e 1 ⁄ (2RC) il fattore di smorzamento, l’Eq. (B.91) può essere riscritta
2 s
G(s) R s2 2s 2n
(ohm)
(B.92)
Detto
1
1
L
C
n
2RC
2R
L
C
(B.93)
il rapporto di smorzamento, l’Eq. (B.92) diventa
ns
G(s) R 2
s 2ns 2n
(ohm)
(B.94)
in cui assumeremo ancora una volta che si abbia 1. (Si noti che non è necessariamente minore di 1, ma è stato considerato minore di 1 in questo caso). Il secondo membro
dell’Eq. (B.94) è R ⁄ 2 moltiplicato per l’Eq. (B.76). Seguendo il procedimento già esposto
per le (B.78) e (B.79), è possibile ricavare l’espressione dell’ampiezza G( j)
2uR
G( j) 2 2
[(1 u ) (2u)2]1 ⁄ 2
(ohm)
(B.95)
e della fase di G( j)
2u
⁄ 2 tan1 1 u2
(B.96)
I diagrammi del modulo e della fase per il circuito RLC parallelo sono riportati in
Fig. B.45. Si ha, per il valore massimo del modulo di G( j)max Z( j)max 1. In
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36
Appendice B
Sommario di teoria dei Circuiti
20 log G( jv) (dB)
FIGURa B.45
Risposta in frequenza
di un circuito RLC
parallelo
d 0.1
0.4
0
1
0.1
v
u
10 vn
1.0
10
20
30
f
d 0.1
0.4
q
1.0
0
0.1
v
u
10 vn
1
q
corrispondenza delle frequenze di taglio il modulo del guadagno si riduce al 70.7 % del
suo valore massimo R. Così l’Eq. (B.95) fornisce
R
2uR
0.707R G( j) 2 2
2 1⁄2
2
[(1 u ) (2u) ]
da cui segue
2(2u) [(1 u2)2 (2u)2]1 ⁄ 2
Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene
2(2u)2 (1 u2)2 (2u)2
e quindi
(2u)2 (1 u2)2
(B.97)
che è uguale all’Eq. (B.80). Per determinare 1 e 2, è possibile utilizzare le relazioni dall’Eq. (B.81) all’Eq. (B.86). Quindi la banda passante di un circuito RLC risonante parallelo è
BWp 2 1 n(u2 u1) 2n
1
2 2R
NOTA:
ESEMPIO B.17
C RC
L
C
L
1
1
(in rad/s)
(B.98)
In un circuito parallelo si ha, BWp 1 ⁄ RC; per un circuito serie, BWs R ⁄ L.
Calcolo della risposta in frequenza di un circuito RLC parallelo Per il circuito in Fig. B.44 si
ha R 50 , L 4 mH e C 0.15 F.
(a) Valutare la frequenza di risonanza fp, il rapporto di smorzamento , le frequenze di taglio, l’ampiezza di banda BWp e il fattore di qualità Qp del circuito.
(b) Utilizzare PSpice/SPICE per tracciare i diagrammi dell’ampiezza e della fase della tensione d’uscita per R 50 , 100 e 200 . La frequenza f varia da 100 Hz a 100 kHz. Assumere Im 1 A
di picco (in alternata).
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Paragrafo B.10
SOLUZIONE
Risposta in frequenza dei circuiti del primo…
37
(a) R 50 , L 4 mH, C 0.15 F e Im 1 A di picco; dunque
n 1 ⁄ L
C
105 ⁄ 4
.5
1 40 825 rad/s
La frequenza di risonanza parallelo è
fp n ⁄ 2 40 825 ⁄ 2 6497.5 Hz
Essendo 1 ⁄ (2RC) 1 ⁄ (2 50 0.15 106) 66.667 103, il rapporto di smorzamento è
⁄ n 66.667 103 ⁄ 40 825 1.633
Per la pulsazione di taglio inferiore, le Eq. (B.85) e (B.86) forniscono
u1 1
2 1.633 1
1.6
332 0.28186
1 u1n 0.28186 40 825 11 507 rad/s
Così
f1 11 507 ⁄ 2 1831 Hz
Per la pulsazione di taglio superiore, dalle Eq. (B.85) e (B.86) si ottiene
2 1.633 1
1.6
332 3.54786
u2 1
2 u2n 3.54786 40 825 144 841 rad/s
Così
f2 144 841 ⁄ 2 23 052 Hz
Dall’Eq. (B.98), per la banda passante si ottiene
BWp f2 f1 1 ⁄ 2nRC 21 220 Hz
Mediante l’Eq. (B.90) si ottiene infine il fattore di qualità
Qp fp ⁄ BWp 6497.5 ⁄ 21 220 0.3062
(b) In Fig. B.46 è riportato il circuito per la simulazione con PSpice. Segue la descrizione del circuito.
Esempio B.17 Risposta in frequenza di un circuito RLC parallelo
IM1 0 1 AC 1A ; ingresso in c.a., valore di picco 1 A
L1 1 0 4MH
C1 1 0 0.15UF
R1 1 0 50
IM2 0 2 AC 1A ; ingresso in c.a., valore di picco 1 A
L2 2 0 4MH
C2 2 0 0.15UF
R2 2 0 100
IM3 0 3 AC 1A ; ingresso in c.a., valore di picco 1 A
L3 3 0 4MH
C3 3 0 0.15UF
R3 3 0 200
.AC DEC 100 100HZ 1MEGHZ
.PROBE
.END
Figura B.46 Circuito RLC parallelo per la simulazione con PSpice
Parametri:
RVAL 50
Im 1A ~
IAC R
{RVAL}
L
4 mH
C
0.15 F
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Appendice B
Sommario di teoria dei Circuiti
I diagrammi PSpice del modulo e della fase (dal file EXB-17.SCH) sono riportati in Fig. B.47.
Dal diagramma ottenuto con R 50 si ricava f1 1834 Hz, f2 22.56 kHz, fp 6457 Hz e
BWp f2 f1 20 726 Hz.
Figura B.47
B.11 Costanti di tempo
dei circuiti
del primo ordine
Diagrammi della risposta in frequenza (Esempio B.17)
Abbiamo visto che il transitorio e la risposta in frequenza dei circuiti del primo ordine dipendono dalla loro costante di tempo. La costante di tempo di un circuito RC è RC,
mentre quella di un circuito RL è L ⁄ R. Molti circuiti hanno tuttavia più di due componenti; in questo caso la costante di tempo può essere determinata valutando la resistenza
e la capacità effettiva del circuito. La procedura da seguire è la seguente:
Passo 1. Cortocircuitare i generatori di tensione e aprire quelli di corrente.
Passo 2. Se nel circuito sono presenti più condensatori (o induttori), ma un solo resistore,
determinare la capacità (o l’induttanza) vista dal resistore.
Passo 3. Se nel circuito sono presenti più resistori, ma un solo elemento capacitivo (o induttivo), determinare la resistenza vista dalla capacità (o dall’induttanza).
ESEMPIO B.18
Calcolo della costante di tempo Nel circuito riportato in Fig. B.48 si ha R1 R2 R3 6 k e
C 0.1 F. Determinare (a) la costante di tempo , (b) la pulsazione di taglio o e (c) l’ampiezza
della panda passante BW.
Figura B.48 Circuito per l’Esempio B.18
R1
vs
~
SOLUZIONE
R2
C
R3
vo
Con il generatore cortocircuitato, la resistenza vista dal condensatore C è il parallelo di R1 R2 ed R3.
La resistenza equivalente R è data da
1
1
1
1
R
R1
R2
R3
da cui
R R1 ⁄ 3 6 k ⁄ 3 2 k
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Paragrafo B.11
Costanti di tempo dei circuiti del primo ordine
39
(a) La costante di tempo è
CR 2 k 0.1 F 0.2 ms
(b) La pulsazione di taglio è
o 1 ⁄ 1 ⁄ 0.2 ms 5000 rad ⁄ s da cui segue fo 795.8 Hz
(c) Per 0, il condensatore è un ramo aperto e la tensione d’uscita ha valore finito. A frequenza
molto alta, tendente all’infinito ( ), il condensatore è cortocircuitato e la tensione d’uscita diventa nulla. Questo è allora un circuito passa basso con f1 0 ed f2 fo 795.8 Hz. Così la banda
passante è
BW f2 f1 795.8 Hz
ESEMPIO B.19
SOLUZIONE
Calcolo della costante di tempo Nel circuito riportato in Fig. B.49 si ha R1 R2 R3 10 k
e C1 0.1 F. Determinare (a) la costante di tempo e (b) la pulsazione di taglio o.
Con il generatore cortocircuitato, la resistenza vista dal condensatore è la somma di R1 e (R2 R3).
Dunque,
R R1 (R2 R3) 10 k 10 k 10 k 15 k
Figura B.49 Circuito per l’Esempio B.19
R1
C1
vs
~
R3
R2
vo
(a) La costante di tempo è
CR 15 k 0.1 F 1.5 ms
(b) La pulsazione di taglio è
o 1 ⁄ 1 ⁄ 1.5 ms 667 rad/s da cui segue fo 106 Hz