ESERCIZIO 1. (a) Costruendo alberi di derivazione, si verifichi che

ESERCIZIO 1.
(a) Costruendo alberi di derivazione, si verifichi che le formule
(φ ∨ ψ ⇒ χ) ⇒ (φ ⇒ χ) ,
φ ⇒ ¬(ψ ∨ χ) ⇒ ¬(φ ⇒ ψ)
sono teoremi della logica proposizionale.
(b) Costruendo tavole di verità o valutazioni, si verifichi che le formule
p ⇒ (q ∨ r) ∨ ¬p ,
(p ⇒ q) ∨ (p ∧ q)
non sono tautologie della logica proposizionale.
(c) Sia Γ = {p , p ⇒ q , q ⇒ r , ¬r}. Si definisca un sottoinsieme Γ0 ⊆ Γ non
vuoto e consistente.
ESERCIZIO 2.
(a) Costruendo un albero di derivazione, si verifichi che la formula
∃xφ(x) ⇒ ∃x φ(x) ∨ ψ(x)
é un teorema della logica del primo ordine.
(b) Si verifichi che la formula
∀x1 ∀x2 x1 < x2 ⇒ ∃y(x1 < y < x2 )
é valida in (Q, <).
(c) Si enunci la definizione di struttura per un linguaggio del primo ordine.
ESERCIZIO 3.
(a) Si definiscano funzioni ricorsive f : N → N e g : N × N × N → N tali che la
funzione ricorsiva h : N × N → N definita da
h(m, 0) = f (m)
h(m, n + 1) = g(m, n, h(m, n))
soddisfi h(m, n) = mn , per ogni m , n ∈ N.
(b) Si dimostri che l’insieme {n ∈ N | n é multiplo di 3} é ricorsivamente
enumerabile.
ESERCIZIO 4.
(a) Siano a1 ⊆ b1 e a2 ⊆ b2 . Si dimostri che a1 ∩ a2 ⊆ b1 ∩ b2 .
(b) Siano κ, λ cardinali. Si dimostri che κ · λ = λ · κ.
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