Esame di Algebra 1 7 febbraio 2017 Esercizio 1. Siano A, B insiemi

Esame di Algebra 1
7 febbraio 2017
Esercizio 1. Siano A, B insiemi e A1 , A2 sottoinsiemi di A tali che A = A1 ∪ A2 e
A1 ∩ A2 = ∅. Sia ϕ : A → B un’applicazione. Ricordiamo che per ogni sottoinsieme
X di A la restrizione di ϕ ad X è l’applicazione ϕ|X : X → B definita da ϕ|X (x) =
ϕ(x) per ogni x ∈ X. Si dimostri che l’applicazione ϕ : A → B è iniettiva se e solo se
valgono le seguenti condizioni
(a) ϕ|A1 : A1 → B è iniettiva;
(b) ϕ|A2 : A2 → B è iniettiva;
(c) ϕ(A1 ) ∩ ϕ(A2 ) = ∅.
Esercizio 2. Siano (A, ≤), (B, ≤) insiemi parzialmente ordinati. Definiamo la
relazione ≤ su A × B in questo modo: (a, b) ≤ (a0 , b0 ) se e solo se o a 6= a0 e a ≤ a0 ,
oppure a = a0 e b ≤ b0 .
(a) Si provi che (A × B, ≤) è un insieme parzialmente ordinato (detto il prodotto
lessicografico di (A, ≤) e (B, ≤)).
(b) Se A = N e B = R sono rispettivamente l’insieme dei numeri naturali e quello dei
numeri reali ordinati con il loro ordine usuale, il prodotto lessicografico A × B è bene
ordinato?
Esercizio 3. Siano G ed H gruppi e G×H il loro prodotto diretto (ossia il prodotto
cartesiano di G ed H con la moltiplicazione per componenti).
(a) Si dimostri che G × {1H } e {1G } × H sono sottogruppi normali di G × H, che la
loro intersezione è il sottogruppo identico di G × H e che il loro prodotto è G × H.
(b) Viceversa, sia L un gruppo con due sottogruppi normali N ed N 0 tali che N ∩ N 0 =
{1L } e N N 0 = L. Si dimostri che il prodotto diretto N × N 0 è isomorfo a L.
Esercizio 4. (a) Si dica cosa si intende per caratteristica di un anello R con identità.
(b) Sia M2 (Z) l’anello delle matrici 2 × 2 ad elementi interi ed
a b R=
a,
b,
c
∈
Z
.
0 c Si dimostri che
di M2 (Z).
R è sottoanello
0 6d (c) Sia I =
d ∈ Z . Si dimostri che I è ideale di R.
0 0 (d) Si calcoli la caratteristica dell’anello quoziente R/I.
Esercizio 5. (a) Si enunci il teorema di Ruffini.
(b) Si dimostri il teorema di Ruffini.
Ogni risposta deve essere giustificata.
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