Elementi di Logica Matematica, Logica, Logica I, Logica II – Prova

Elementi di Logica Matematica, Logica, Logica I, Logica II – Prova scritta del 23/2/2012
Istruzioni generali
- Si scriva chiaramente su ogni foglio protocollo nome, cognome, numero di matricola e il nome
dell’esame che si intende sostenere.
- La prova deve essere svolta individualmente e non è consentito l’utilizzo di calcolatrici, l’uso di
telefoni cellulari, la consultazione di libri, appunti o dispense. La violazione di queste regole
comporterà l’invalidazione della prova scritta.
- La discussione delle prove scritte e la registrazione dei voti avverranno a partire dalle 9:00 di
domani, in un’aula del Dipartimento di Matematica e Informatica ancora da determinare.
Istruzioni per Elementi di Logica Matematica e Logica
- Il voto della prova è dato dalla formula V = min{VA , 15} + min{VB , 15}, ove VA e VB sono i
punteggi ottenuti nella Parte A e nella Parte B. La lode viene assegnata se V = 30 e VA + VB > 30.
- La durata della prova è di tre ore.
Istruzioni per Logica I e Logica II
- Per chi vuole sostenere solo Logica I o solo Logica II. Si svolgano solo gli esercizi della Parte A (per
Logica I) o della Parte B (per Logica II). La durata della prova è un’ora e mezza. Il voto dell’esame
è ottenuto raddoppiando il punteggio ottenuto. La lode viene assegnata se il voto supera 30.
- Per chi vuole sostenere sia Logica I che Logica II. Si svolgano prima gli esercizi della Parte A (per
Logica I) e poi gli esercizi della Parte B (per Logica II). Per ciascuna parte si ha a disposizione
un’ora e mezza. Nel caso non si superi Logica I, la prova di Logica II non sarà valutata. Per ciascun
esame, il voto è calcolato raddoppiando il punteggio ottenuto nella parte ad esso corrispondente.
La lode viene assegnata se il voto supera 30.
Parte A
Esercizio 1.
(a) Costruendo alberi di derivazione, si dimostri che
{ϕ ⇒ ψ1 ∨ ψ2 } ` (ϕ ∨ ψ1 ) ∧ (ϕ ∨ ψ2 )
{¬(ϕ ⇒ (ψ1 ∨ ψ2 ))} ` (¬ψ1 ∧ ¬ψ2 ) ⇒ ¬ϕ .
[3]
(b) Si consideri l’insieme
Γ = {s ⇒ ¬(¬q ∨ ¬r) , ¬p ∧ s , p ⇒ q ∧ ¬s}
Si dimostri che Γ è coerente, ma Γ ∪ {q ⇒ p ∧ ¬s} è incoerente.
[3]
(c) Sia P = {p, q, r, s}. Si definisca un insieme di formule proposizionali Γ ⊆ Frm(P ) tale che
sia Γ che {¬ϕ | ϕ ∈ Γ} sia coerente.
[3]
Esercizio 2.
(a) Costruendo alberi di derivazione (e spiegando esplicitamente perché le condizioni delle regole
per i quantificatori applicate sono soddisfatte), si dimostri che
` ∀xϕ(x) ∧ ψ ⇒ ∀x(ϕ(x) ∧ ψ) , ove x ∈
/ FV(ψ),
{∀x(ϕ(x) ⇒ ψ(x) ∧ χ(x)) , ∀x¬ψ(x)} ` ¬∃xϕ(x) .
[3]
(b) Sia L il linguaggio degli ordini parziali. Si verifichi che la formula di L
∀x∀y(x < y ⇒ ∃z1 ∃z2 (z1 < x < y < z2 ))
è valida nell’ordine parziale (Z, <).
[3]
(c) Si enunci il Teorema di Compattezza.
[2]
Parte B
Esercizio 3.
(a) Si definiscano funzioni ricorsive f : N → N e g : N × N × N → N tali che la funzione ricorsiva
h : N × N → N definita da
h(m, 0) =def
h(m, n + 1) =def
f (m) ,
g(m, n, h(m, n)) ,
sia tale che h(m, n) = m2n+1 per ogni m, n ∈ N. Si giustifichi la risposta.
[3]
(b) Si scriva un programma per macchine a registri che calcoli la funzione f : N → N definita
da
( n
se n è divisibile per 3,
3 ,
f (n) =
0,
altrimenti .
Si dia una breve spiegazione della definizione del programma.
(c) Si dia la definizione dell’insieme delle funzioni ricorsive.
[3]
[3]
Esercizio 4.
(a) Si enunci l’Assioma di Fondazione.
[3]
(b) Si dimostri che per ogni coppia di insiemi A e B si ha che P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B).
[2]
(c) Siano κ, λ1 , λ2 cardinali. Si dimostri che λκ1 · λκ2 ≤ (λ1 · λ2 )κ .
[3]