Carica e scarica di un condensatore. Risposta di un circuito RC in

L. Gratton
Appunti per il corso di Laboratorio di Fisica per le Scuole Superiori
Carica e scarica di un condensatore.
Risposta di un circuito RC in regime di “onda quadra”.
Teoria
Abbiamo il seguente circuito.
Quando il deviatore viene posizionato su 1 il circuito viene chiuso sulla pila; su R circola corrente finché il
condensatore C si è completamente caricato. Dal momento che il condensatore si è caricato la corrente cessa di fluire
attraverso R. Se con il condensatore carico il deviatore viene posizionato su 2 il condensatore si scarica attraverso R:
fluisce corrente nel verso opposto al caso precedente, finché il condensatore si scarica completamente.
La legge di Ohm per il circuito nel caso della carica è:
q (t )
V = Ri(t ) +
C
Nb. La tensione applicata al circuito per mezzo della pila è costante.
Ricordando la relazione tra i e q
dq(t )
i (t ) =
dt
si potrebbe ricavare la relazione che lega la corrente al tempo. Tuttavia è più conveniente operare in altro modo.
Se si deriva rispetto al tempo la relazione si ottiene:
di (t ) i
0=R
+
dt
C
La soluzione dell’equazione differenziale è:
i = ke − at
Dove a viene determinata sostituendo la soluzione nell’equazione differenziale:
k
0 = − Rake − at + e − at
C
Da cui si ottiene:
1
a=
RC
Notare che RC ha le dimensioni di t.
Per determinare k si impongono le condizioni iniziali: per t=0 si ha infatti:
V = Ri(0)
Da cui:
V
i(0) = = k
R
Quindi la corrente decresce nel tempo secondo la legge:
t
i (t ) =
V − RC
e
R
La quantità τ=RC è la costante di tempo caratteristica del circuito.
Se si pone il deviatore nella posizione 2 la legge di Ohm fornisce:
q (t )
0 = Ri(t ) +
C
derivando questa relazione si ottiene la stessa equazione differenziale precedente, pertanto la soluzione è la stessa.
Adesso possiamo chiederci cosa si misura ai capi rispettivamente della resistenza e del condensatore.
Nel nostro caso misureremo una differenza di potenziale per mezzo dell’oscilloscopio, pertanto potremo scrivere per la
V(t)R:
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V (t ) R = Ri(t ) = Ve
−
t
RC
Mentre per la V(t)C
V (t ) C = V − V (t ) R = V 1 − e
−
t
RC
L’andamento di i(t) e di V(t)C sono rappresentati nella figura seguente.
Può essere interessante conoscere il valore della carica sulle placche del condensatore istante per istante durante la
carica o la scarica. Si procede nel modo seguente.
q (t ) = CV (t ) C = VC 1 − e
2
−
t
RC
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Proposta sperimentale
Si potrebbe studiare il circuito con un Tester e un cronometro ma è in questo caso necessario utilizzare componenti che
forniscano una costante di tempo sufficientemente grande da permettere una misura agevole.
Se si utilizza un oscilloscopio si possono scegliere valori di resistenze e di capacità molto più piccoli. In questo caso
non si può utilizzare un deviatore a mano ma si utilizza un generatore opportuno di tensione che possa simulare
l’apertura e la chiusura del circuito. Noi utilizzeremo un segnale periodico la cui forma d’onda e ciò che si osserva è
schematizzato nella figura seguente.
In realtà il segnale fornito dal generatore è quello in figura a, tuttavia il risultato ai fini della misura è analogo a quello
che si ottiene partendo dal un segnale quale quello in figura b (che corrisponderebbe al circuito da cui siamo
partiti).come si vede osservando le figure a’ e b’, per ottenere le quali è necessario scegliere opportunamente le
frequenze di lavoro del generatore e dell’oscilloscopio.
La misura proposta consiste nel fornire un valore il più accurato possibile per la capacità del condensatore a partire dal
valore noto del resistore e dalle misure della costante di tempo fatte con l’oscilloscopio.
Per fare ciò si assembla il seguente circuito.
Quando si inserisce l’oscilloscopio bisogna prestare grande attenzione a come si effettuano i collegamenti. I cavi
BNC infatti hanno sempre lo schermo esterno a massa.
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Si consiglia di effettuare le misure tra i punti B e C del circuito ma di confrontare anche ciò che accade tra i punti A e B.
IMPORTANTE: in questo caso bisogna smontare il circuito e riassemblarlo come segeue altrimenti i cavi BNC
metterebbero a terra o il punto A o il punto B a seconda di come viene effettuata la connessione.
Ovviamente una volta riassemblato il circuito la misura va effettuata ancora tra B e C.
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