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01CXGBN – Trasmissione numerica
parte 12:
modulazioni m-PAM
1
Modulazioni m-PAM
MODULAZIONI m-PAM
CARATTERISTICHE
1.
2.
3.
4.
Modulazioni in banda-base
Spazio dei segnali monodimensionale
m segnali, equidistanti e simmetrici rispetto all’origine
Informazione associata all’ampiezza dell’impulso p(t) trasmesso:
PAM=Pulse Amplitude Modulation
2
Modulazioni m-PAM: costellazione
M = {si (t ) = α i p(t )}im=1
INSIEME DI SEGNALI
(ampiezze αi di solito equispaziate e simmetriche)
b1(t)=p(t)
Versore
INSIEME DI VETTORI
k = log 2 (m)
(d=1)
M = {s i = (α i ) }im=1 ⊆ R
T = kTb
R=
Rb
k
3
Modulazioni m-PAM: costellazione
Esempio: 4-PAM
M = {s1 = (-3α ) , s 2 = (-α ), s 3 = (+α ) , s 4 = (+3α )} ⊆ R
b1 (t )
s1 = ( −3α )
s 2 = ( −α )
0
s 3 = ( +α )
s 4 = ( +3α )
4
Modulazioni m-PAM: costellazione
Esempio: 8-PAM
M = {s1 = (-7α ) , s 2 = (-5α ), s 3 = (-3α) , s 4 = (-α ), s 5 = (+α ) , s 6 = (+3α ), s 7 = (+5α) , s8 = (+7α )} ⊆ R
b1 (t )
s1 = ( −7α ) s 2 = ( −5α ) s 3 = ( −3α ) s 4 = ( −α )
0
s 5 = ( +α ) s 6 = ( +3α ) s 7 = ( +5α ) s8 = ( +7α )
5
Modulazioni m-PAM: labeling binario
e : Hk ↔ M
È sempre possibile costruire un labeling di Gray
4-PAM:
00 / s1
01/ s 2
( −α )
( −3α )
0
11/ s 3
10 / s 4
( +α )
( +3α )
b1 (t )
8-PAM:
110 / s1
111/ s 2
101/ s 3
100 / s 4
( −7α )
( −5α )
( −3α )
( −α )
0
000 / s 5
001/ s 6
011/ s 7
010 / s8
( +α )
( +3α )
( +5α )
( +7α )
b1 (t )
6
Modulazioni m-PAM: forma d’onda trasmessa
1
p(t ) =
PT (t )
T
Esempio: 4-PAM
uT
1
0
Tb
1
1
2Tb
3Tb
0
4Tb
0
5Tb
1
6Tb
1
7Tb
8Tb
sT (t )
3α T
α T
−α T
−3α T
T
2T
3T
4T
7
Modulazioni m-PAM: forma d’onda trasmessa
Esempio: 4-PAM
p(t ) = RRC α = 0.5
8
Modulazioni m-PAM: banda ed efficienza spettrale
Forma d’onda trasmessa
s(t ) =
+∞
∑ a[n] p(t − nT )
n =−∞
costellazione monodimensionale con baricentro nell’origine
Gs ( f ) = σ a2
P( f )
T
2
= x P( f )
2
x = costante reale
9
Modulazioni m-PAM: banda ed efficienza spettrale
Caso 1:
p(t) = filtro passa basso ideale
R
Banda totale
Efficienza spettrale
Bid =
ηid =
R Rb / k
=
2
2
Rb
= 2k bps / Hz
Bid
10
Modulazioni m-PAM: banda ed efficienza spettrale
Caso 2:
p(t) = RRC con roll off α
Banda totale
Efficienza spettrale
R /k
R
B = (1 + α ) = b (1 + α )
2
2
η=
R (1 + α )
Rb
2k
bps / Hz
=
B (1 + α )
11
Esempio
Esempio
Dato un canale in banda base con banda utile B da 0 a 4000 Hz, calcolare il
massimo traffico Rb che può essere trasmesso con modulazione 256PAM nei due casi di:
•
•
filtro passa basso ideale;
filtro RRC con α=0.25.
Nel primo caso η=16 bps/Hz, quindi
Rb = 64 Kbps.
Nel secondo caso η=12.8 bps/Hz, quindi
Rb = 51.2 Kbps.
12
Modulazioni m-PAM: modulatore
p (t )
e ( )
u T = ( v T [ n ]) +∞
−∞
( a [ n ]) +∞
−∞
s (t ) =
+∞
∑
a [ n ] p ( t − nT )
n = −∞
come la 2-PAM, ma adesso ci sono
m livelli:
a[n] ∈{−(m − 1)α , − (m − 3)α ,..., + (m − 3)α , + (m − 1)α }
13
Modulazioni m-PAM: demodulatore
r (t )
q (t )
ρ1 [ n ]
y (t )
ML
CRITERION
s R [n]
e ( )
v R [n]
t0 + n T
Symbol
synchronization
R = 1/T
come la 2-PAM, ma adesso ci sono
m livelli:
a[n] ∈{−(m − 1)α , − (m − 3)α ,..., + (m − 3)α , + (m − 1)α }
14
Modulazioni m-PAM: diagramma ad occhio
4-PAM,
p(t) = RRC con α =0.5
15
Modulazioni m-PAM: diagramma ad occhio
8-PAM,
p(t) = RRC con α =0.5
16
Modulazioni m-PAM: probabilità di errore
Calcolo delle probabilità di errore esatte
È sempre possibile calcolare le espressioni esatte della SER e della BER
(la costellazione non è GU, ma le regioni di Voronoi sono rettangolari e le
varie probabilità si riescono a calcolare con facilità):
Esempio. Espressione esatta della SER:

m −1
3k Eb
PS (e) =
erfc 
 m2 − 1 N
m
0




L’espressione della Pb(e) dipende dal labeling scelto.
Fissato il labeling si può ottenere in forma esatta.
17
Modulazioni m-PAM: probabilità di errore
Calcolo delle probabilità di errore esatte
sempre possibile
Calcoli facili ma noiosi (soprattutto per la BER)
Si possono calcolare le probabilità di errore
mediante le approssimazioni asintotiche
18
Modulazioni m-PAM: probabilità di errore
Esempio confronto BER 2-PAM e 4-PAM
2 − PAM:
4 − PAM:
 Eb 
1
Pb (e) = erfc 


2
 N0 
 2 Eb 
3
Pb (e) ≈ erfc 


8
 5 N0 
Trascuriamo le molteplicità.
Per avere la stessa BER la modulazione 4-PAM ha bisogno di un rapporto
Eb/N0 superiore di 10 log (2.5) = 4 dB rispetto alla 2-PAM
19
Modulazioni m-PAM: probabilità di errore
Esempio confronto BER 2-PAM e 4-PAM
2-PAM
4-PAM
1
0.1
0.01
1E-3
1E-4
BER
1E-5
1E-6
1E-7
1E-8
1E-9
1E-10
1E-11
1E-12
-5
0
5
10
15
20
25
Eb/N0 [dB]
20
Modulazioni m-PAM: probabilità di errore
Invece di calcolare caso per caso
vediamo se esiste una formula valida per
una generica m-PAM
usiamo le approssimazioni asintotiche
21
Modulazioni m-PAM: probabilità di errore
Calcolo della SER mediante le approssimazioni asintotiche
PS (e) ≈ Amin
 d 
1
erfc 



2
4
N
0


2
min
m
Amin =
∑A
i =1
min,i
m
Amin,i = numero di segnali s j con d E (si s j ) = d min
Amin =
(m − 2)2 + (2)1 m -1
=2
m
m
2
d min
= 4α 2
(m-2) segnali hanno 2 segnali adiacenti e (2) segnali hanno 1 segnale adiacente
22
Modulazioni m-PAM: probabilità di errore
Calcolo dell’energia
2
m/2
1 m
2
m
−1 2
2
2
ES = ∑ [α i ] = ∑ [(2i − 1)α ] =
α
m i =1
m i =1
3
Dove si sono utilizzate le seguenti proprietà’:
x
x
x
i = ( x + 1)
∑
2
i =1
x
2
=
(2
+ 3 x + 1)
i
x
∑
6
i =1
2
Segue:
ES m 2 − 1 2
=
Eb =
α
k
3k
La distanza minima è quindi legata alla
d
2
min
Eb dalla relazione:
12k
Eb
= 4α = 2
m −1
2
23
Modulazioni m-PAM: probabilità di errore
Sostituendo si ha quindi

m −1
3k Eb
PS (e) ≈
erfc 
 m2 − 1 N
m
0




(uguale a quella esatta)
24
Modulazioni m-PAM: probabilità di errore
Calcolo BER mediante le approssimazioni asintotiche
m
 d2
wmin 1
Pb (e) ≈
erfc  min
 4 N0
k 2

wmin,i =
wmin




wmin =
∑
s j :d E ( si , s j ) = d min
(m − 2)2 + 2(1)
m -1
=
=2
m
m
∑w
min,i
i =1
m
d H (ui , u j )
2
d min
= 4α 2
ES m 2 − 1 2
α
=
Eb =
3k
k
Nell’ipotesi di Labeling di Gray, (m-2) segnali hanno 2 segnali adiacenti entrambi a distanza di
Hamming 1, e (2) segnali hanno 1 segnale adiacente a distanza di Hamming 1

m −1
3k Eb
Pb (e) ≈
erfc 
 m2 − 1 N
mk
0




25
Modulazioni m-PAM: probabilità di errore

m −1
3k Eb
Pb (e) ≈
erfc 
 m2 − 1 N
mk
0




Nota: questa approssimazione asintotica non è un upper bound alla vera probabilità di errore
(dovremmo considerare tutti i termini dello union bound), nè un lower bound.
È soltanto una buona approssimazione delle prestazioni asintotiche delle modulazioni m-PAM
(nella regione di alti rapporti segnale-disturbo, ovvero bassi valore di Pb(e), ad esempio
Pb(e)<10-7), valida per i valori di m utilizzati nelle applicazioni pratiche.
26
Modulazioni m-PAM: probabilità di errore
Confronto tra modulazioni
Date due modulazioni M1 e M2, e fissato una BER sufficientemente bassa
(ex: BER≤10-6) da poter ritenere valide le approssimazioni asintotiche,
indichiamo con
 Eb 


 N 0 1
e
 Eb 


 N0 2
i rapporti segnale-disturbo necessari per conseguire questa BER nei due casi.
Si definisce guadagno asintotico il rapporto tra questi due valori, espresso in
dB:
 Eb 


N
0 1

G = 10 log10
 Eb 


N
 0 2
27
Il ruolo della distanza Euclidea minima
Consideriamo ora l’approssimazione asintotica della BER:
 d2
wmin 1
Pb (e) ≈
erfc  min
 4 N0
k 2





Trascuriamo in prima approssimazione le molteplicità (scelta sicuramente
discutibile, ma indispensabile per poter fare i conti carta e penna)
Per avere la stessa BER: stesso argomento radice.
2


d
Possiamo quindi confrontare il parametro
min


E
 b  modulazione
infatti:
2
 Eb 
 d min





N
E
b
0 1
= 10 log10  2  2
G = 10 log10 
 Eb 
 d min 




 N0 2
 Eb 1
28
Il ruolo della distanza Euclidea minima
Per le modulazioni m-PAM abbiamo ricavato:
2
 d min

12k
=


2
E
m
−1
 b  m − PAM
29
Il ruolo della distanza Euclidea minima
Esempio confronto 2-PAM/4-PAM
2-PAM →
2
 d min

= 4


 Eb  2-PAM
4-PAM →
2
 d min

= 1.6


 Eb  4-PAM
Se si confrontano queste due costellazioni si ritrova:
2
 Eb 
 d min



N
 0 4-PAM
 Eb
= 10 log10
G=10log10
2
 Eb 
 d min



N
0

2-PAM
 Eb


4
 2-PAM
= 10 log10
= 10 log10 2.5 = 4 dB
1.6


30
 4-PAM
Il ruolo della distanza Euclidea minima
Esempio confronto 2-PAM e 256-PAM
2
 d min

12k
= 2


 Eb  m − PAM m − 1
256-PAM →
2
 d min

= 1.47e − 3


 Eb  256-PAM
Segue:
2
 Eb 
 d min





N
E
4
 0 256-PAM
 b 2-PAM
= 10 log10
=
= 10 log10 2.5 = 34.4 dB
G=10log10
10
log
10
2
1.47e − 3
 Eb 
 d min 




N
E
 0 2-PAM
 b  256-PAM
31
Modulazioni m-PAM: probabilità di errore
Curve BER da 2-PAM a 256-PAM
2-PAM
4-PAM
8-PAM
16-PAM
32-PAM
64-PAM
128-PAM
256-PAM
1
0.1
0.01
1E-3
1E-4
BER
1E-5
1E-6
1E-7
1E-8
1E-9
1E-10
1E-11
1E-12
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Eb/N0 [dB]
32
Modulazioni m-PAM: trade-off probabilità di errore/efficienza
spettrale
Sia dato un canale in banda-base con una banda utile B.
Al crescere di m=2k cresce l’efficienza spettrale:
ηid = 2k bps / Hz
quindi posso trasmettere una bit rate Rb più elevata.
Sfortunatamente le prestazioni peggiorano:
fissato un valore di BER, il rapporto segnale-disturbo Eb/N0 necessario per
consgeuirlo cresce con m
Trade-off tra efficienza spettrale (cresce con m) e prestazioni
(peggiorano con m)
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Modulazioni m-PAM: trade-off probabilità di errore/efficienza
spettrale
Ex: supponiamo B=4kHz.
Con una 2-PAM (ideale) trasmetto 8 kbps
Con una 256-PAM (ideale) trasmetto 64 kbps.
Tuttavia, fissata una BER richiesta dall’applicazione (ad esempio BER=1e-10),
una 256-PAM richide un rapporto Eb/N0 più grande di 34 dB.
Ad esempio, a parità di potenza trasmessa, la tratta che si riesce a
coprire è molto minore (di un fattore 50!).
34