Modulazioni m-QAM

01CXGBN – Trasmissione numerica
parte 19:
modulazioni m-QAM
1
Modulazioni m-QAM: caratteristiche
1. Modulazioni in quadratura Æ modulazioni in banda-passante
2. Costellazione bi-dimensionale: m segnali disposti sul piano.
Soluzione tipica: segnali disposti sui vertici di un reticolo.
3. Informazione associata all’ampiezza e alla fase della portante.
2
Modulazioni m-QAM: costellazione
INSIEME DI SEGNALI
INVILUPPO NON COSTANTE
M = { si (t ) = Ai p(t ) cos(2π f 0t − ϕi ) }
m
i =1
3
Modulazioni m-QAM: costellazione
M = { si (t ) = Ai p(t ) cos(2π f 0t − ϕi ) }im=1
Possiamo scrivere:
si (t ) = ( Ai cos ϕi ) p(t ) cos(2π f 0t ) + ( Ai sin ϕi ) p(t ) sin(2π f 0t )
Chiaramente, ci sono due versori
b1 (t ) = p(t ) cos(2π f 0t )
b2 (t ) = p (t ) sin(2π f 0t )
4
Modulazioni m-QAM: costellazione
INSIEME DI SEGNALI
VERSORI
M = {si (t ) = Ai p(t ) cos(2π f 0t − ϕi ) }im=1
b1 (t ) = p(t ) cos(2π f 0t )
b2 (t ) = p(t ) sin(2π f 0t )
INSIEME DI VETTORI
M = {s i = (α i , βi ) }im=1 ⊆ R 2
α i = Ai cos ϕi
βi = Ai sin ϕi
5
Modulazioni m-QAM: costellazione
In teoria: i punti della QAM possono essere disposti ovunque nel piano
Ci concentriamo su quelle ottenute ponendo i segnali sui vertici di un reticolo
quadrato (più usate in pratica).
6
Modulazioni m-QAM: costellazione
QAM con i segnali disposti sui vertici di un reticolo quadrato.
Per m quadrato (m=q2) si costruiscono come
prodotto cartesiano di due q-ASK (PAM)
[ 16-QAM = 4-ASK x 4-ASK ]
[ 64-QAM = 8-ASK x 8-ASK ]
[ 256-QAM = 16-ASK x 16-ASK ]
7
Modulazioni m-QAM: costellazione
QAM con i segnali disposti sui vertici di un reticolo quadrato.
Per m non quadrato di solito si costruiscono come
sottoinsieme della modulazione quadrata successiva
[ 8-QAM da una 16-QAM ]
[ 32-QAM da una 64-QAM]
[ 128-QAM da una 256-QAM ]
8
Modulazioni m-QAM: costellazione
m quadrato
Esempio: 16-QAM
9
Modulazioni m-QAM: costellazione
m quadrato
Esempio: 16-QAM=4-ASK x 4-ASK
( A, A)
( A)
( A)
10
Modulazioni m-QAM: costellazione
m quadrato
Esempio: 64-QAM
11
Modulazioni m-QAM: costellazione
Esempio: 8-QAM ⊆ 16-QAM
m non quadrato
12
Modulazioni m-QAM: costellazione
Altro esempio: 8-QAM ⊆ 16-QAM (scelta non univoca)
m non quadrato
13
Modulazioni m-QAM: costellazione
Esempio: 32-QAM ⊆ 64-QAM (scelta non univoca)
m non quadrato
14
Modulazioni m-QAM: labeling binario
e : Hk ↔ M
È possibile costruire un labeling di Gray
(questo se i segnali sono disposti sui vertici di un reticolo, in generale (Ai e φi qualsiasi) non è detto)
1001/ s 3
1000 / s 2
0001/ s 7
0000 / s 6
−3a
−a
0101/ s11
b1 (t )
3a
a
1010 / s1
0010 / s 5
a
0100 / s10
1011/ s 0
0011/ s 4
3a
0110 / s 9
0111/ s8
1110 / s13
1111/ s12
b0 (t )
−a
1101/ s15
1100 / s14
−3a
15
Modulazioni m-QAM: labeling binario
e : Hk ↔ M
011
001
101
000
100
010
011
110
111
001
000
100
101
010
110
111
16
Modulazioni m-QAM: forma d’onda trasmessa




sT (t ) =  ∑ α [n]p (t − nT )  cos(2π f 0t ) +  ∑ β [n]p(t − nT )  sin(2π f 0t )
 n

 n

con
k = log 2 m
i (t ) = ∑ α [n]p (t − nT )
n
COMPONENTE I (in fase)
T = kTb
q(t ) = ∑ β [n]p (t − nT )
n
COMPONENTE Q (in quadratura)
17
Modulazioni m-QAM: costellazione
Si noti che sono costellazioni con inviluppo non costante
(problemi con amplificatori in saturazione)
Esempio 16-QAM
18
Esempio: forma d’onda trasmessa
16- QAM
1
p(t ) =
PT (t )
T
f 0 = 2 Rb
1001/ s 3
1000 / s 2
0001/ s 7
0000 / s 6
−3a
−a
0101/ s11
b1 (t )
3a
a
1010 / s1
0010 / s 5
a
0100 / s10
1011/ s 0
0011/ s 4
3a
0110 / s 9
0111/ s8
1110 / s13
1111/ s12
b0 (t )
−a
u T = 0010001111010110
1101/ s15
1100 / s14
−3a
19
Esempio: forma d’onda trasmessa
0011
0010
0110
1101
6
4
2
0
-2
-4
-6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t/T
9
10
11
12
13
14
15
16
20
Esempio: componenti I e Q
COMPONENTE I (in fase)
COMPONENTE Q (in quadratura)
i (t ) = ∑ α [n]p (t − nT )
q(t ) = ∑ β [n]p (t − nT )
n
n
uT
0
0
Tb
0
1
2Tb
3Tb
0
4Tb
0
5Tb
1
6Tb
1
7Tb
8Tb
i (t )
3a
a
T
2T
T
2T
q (t )
a
21
Modulazioni m-QAM: banda ed efficienza spettrale
Ogni simbolo
α[n] e β[n] ha durata temporale
T = kTb
Forma d’onda trasmessa




s (t ) =  ∑ α [n]p(t − nT )  cos(2π f 0t ) +  ∑ β [n]p(t − nT )  sin(2π f 0t )
 n

 n

Gs ( f ) = z  P( f − f 0 ) + P( f + f 0 )

2
2


z∈R
22
Modulazioni m-QAM: banda ed efficienza spettrale
Caso 1:
p(t) = filtro passa basso ideale
− f0
1/RT
Banda totale
(caso ideale)
Efficienza spettrale
(caso ideale)
Bid = R =
ηid =
f0
1/RT
Rb
k
Rb
= k bps / Hz
Bid
23
Modulazioni m-QAM: banda ed efficienza spettrale
Caso 2:
p(t) = filtro RRC con roll off α
Banda totale
Rb
B = R(1 + α ) =
(1 + α )
k
Efficienza spettrale
Rb
k
bps / Hz
η=
=
B (1 + α )
− f0
f0
1 R(1+α)
(1 + α )
T
1R(1+α)
(1 + α )
T
24
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
Costellazioni m-QAM:
¾ “a reticolo”
¾ quadrate m=q2 (4-QAM, 16-QAM, 64-QAM, 256-QAM, 1024-QAM,...)
16-QAM
64-QAM
Calcolo prestazioni (BER/SER vs. Eb/N0)
25
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
Costellazioni m-QAM:
¾ “a reticolo”
¾ quadrate m=q2
Calcolo SER/BER esatto:
sempre possibile
(regioni Voronoi “rettangolari”)
facile per SER
noioso per BER
26
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
Costellazioni m-QAM:
¾ “a reticolo”
¾ quadrate m=q2
Calcolo SER/BER approssimato:
molto facile
 d2
Amin
PS (e) ≈
erfc  min
 4 N0
2





 d2
1 wmin
Pb (e) ≈
erfc  min
 4 N0
2 k





valido per
alti valori Eb/N0 = bassi valori probabilità
27
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
ALTERNATIVA
Costellazioni m-QAM:
¾ “a reticolo”
¾ quadrate m=q2
( 3α )
( A, A)
q2-QAM = prodotto Cartesiano
due q-ASK (q-PAM) ortogonali
(α )
( −α )
( −3α )
Prestazioni uguali a q-PAM costituente
( −3α ) ( −α )
(α )
( 3α )
28
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
Costellazioni m-QAM:
¾ “a reticolo”
¾ quadrate m=q2
Prestazioni uguali a q-PAM costituente
4-QAM = 2-PAM
16-QAM = 4-PAM
64-QAM = 8-PAM
256-QAM = 16-PAM
1024-QAM = 32-PAM
29
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
Costellazioni m-QAM:
¾ “a reticolo”
¾ quadrate m=q2
Prestazioni uguali a q-PAM costituente
1
Calcolo esatto su q-PAM
(regioni Voronoi “rettangolari”)
2
Calcolo approssimato su q-PAM
Valido asintoticamente
30
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
4-QAM = 2-PAM
01
00
 Eb 
1
Pb (e) = erfc 

2
 N0 
11
10
0
1
31
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
16-QAM = 4-PAM
 2 Eb 
3
Pb (e) ≈ erfc 

8
 5 N0 
32
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
64-QAM = 8-PAM
 1 Eb 
7
Pb (e) ≈ erfc 

24
 7 N0 
33
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
q2-QAM = q-PAM
q2-QAM
Espressione generale
approssimazione asintotiche
ricavata per le costellazioni PAM

Eb 
m −1
3k
Pb (e) ≈ 2
erfc 



2
m
1
N
−
(
)
mk
0


q-PAM
34
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
4-QAM
16-QAM
64-QAM
256-QAM
1024-QAM
1
0.1
0.01
1E-3
1E-4
1E-5
BER
1E-6
1E-7
1E-8
1E-9
1E-10
1E-11
1E-12
1E-13
1E-14
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
Eb/N0 [dB]
Al crescere di
m aumenta l’efficienza spettrale ma peggiorano le prestazioni
35
Modulazioni m-QAM: confronto con m-ASK
1. CONFRONTO QAM / ASK
Una modulazione
m-QAM (m=q2) e una modulazione m-ASK hanno:
¾
la stessa efficienza spettrale
¾
la
m-QAM ha prestazioni migliori (nettamente, per m grande),
perché si comporta come una q-PAM
16-QAM = 4-PAM
16-ASK=16-PAM
64-QAM = 8-PAM
64-ASK=64-PAM
256-QAM = 16-PAM
256-ASK=256-PAM
36
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PSK
2. CONFRONTO QAM / PSK
Una modulazione
m-QAM (m=q2) e una modulazione m-PSK hanno:
¾
la stessa efficienza spettrale
¾
la
m-QAM ha prestazioni migliori (migliore distribuzione dei segnali
nel piano, distanza minima maggiore)
37
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PSK
m − PSK


Eb
1
2π 
Pb (e) ≈ erfc  k
sin   


k
N
m


0


m − QAM

Eb 
m −1
3k
Pb (e) ≈ 2
erfc 



2
m
1
N
−
(
)
mk
0


Trascuro le molteplicità
 Eb 
 Eb 

 ≈

N
N
 0 PSK  0 QAM


3


2
 2(m − 1) sin (π / m ) 
38
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PSK
 Eb 
 Eb 

 ≈

 N 0 PSK  N 0 QAM


3


2
 2(m − 1) sin (π / m ) 
m = 16
4.20 dB di differenza
m = 64
9.96 dB di differenza
39
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PSK
16-QAM vs. 16-PSK
1001/ s 3
1000 / s 2
b1 (t )
3a
1010 / s1
1011/ s 0
0100
0001/ s 7
0000 / s 6
a
0010 / s 5
0101
0011
0001
1100
0011/ s 4
1101
−3a
0101/ s11
−a
a
0100 / s10
0110 / s 9
3a
0111/ s8
−a
b0 (t )
0111
0000
1111
0010
1011
0110
1001
1000 1010
1101/ s15
1100 / s14
1110 / s13
1110
1111/ s12
−3a
 2 Eb 
3
Pb (e) ≈ erfc 

8
 5 N0 

Eb 
1
Pb (e) ≈ erfc  0.152


N0 
4

differenza = 4.20 dB
40
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PSK
16-QAM vs. 16-PSK
16-PSK
16-QAM
1
0.1
0.01
1E-3
1E-4
1E-5
BER
1E-6
1E-7
1E-8
1E-9
1E-10
1E-11
1E-12
1E-13
1E-14
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Eb/N0 [dB]
m = 16
4.20 dB di differenza
41
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
(non quadrate)
Costellazioni m-QAM:
¾ “a reticolo”
¾ non quadrate m ≠ q2 (8-QAM, 32-QAM, 128-QAM, 512-QAM,...)
8-QAM
Caso
32-QAM
m non quadrato: si devono fare i conti caso per caso
42
Modulazioni m-QAM: probabilità di errore
Caso
m non quadrato: si devono fare i conti caso per caso
 d2
wmin 1
Pb (e) ≈
erfc  min
 4 N0
k 2





2
d min
= 4α 2
wmin =
001
−3α
101
8-QAM
(non quadrate)
000
−α
100
010
011
α
3α
110
111
4(3) + 4(2) 5
=
8
2
2(9α 2 +α 2 +α 2 + 9α 2 ) + 8α 2
ES =
= 6α 2
8
ES 6α 2
Eb =
=
= 2α 2
k
3
 1 Eb 
5
Pb (e) ≈ erfc 
 2 N 
12
0 

43
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PSK
(non quadrate)
8-QAM vs. 8-PSK


Eb
1
2π 
sin   
Pb (e) ≈ erfc  3


3
8
N


0


8 − PSK
8 − QAM
 1 Eb 
1
Pb (e) ≈ erfc 


3
 2 N0 
Trascuro le molteplicità
 Eb 
 Eb 

 ≈

N
N
 0 PSK  0 QAM


1


2
 6sin (π / 8 ) 
0.56 dB di vantaggio per la 8-QAM
44
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PSK
(non quadrate)
8-QAM vs. 8-PSK
0.56 dB di differenza
8-PSK
8-QAM
1
0.1
0.01
1E-3
1E-4
1E-5
BER
1E-6
1E-7
1E-8
1E-9
1E-10
1E-11
1E-12
1E-13
1E-14
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Eb/N0 [dB]
La costellazione 8-PSK non ha però problemi con amplificatori in saturazione
45
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PSK
(non quadrate)
Nota: esiste una costellazione 8-QAM, ottenuta a partire dalla 16-QAM
che ha prestazioni migliori di quella
considerata e consegue un guadagno maggiore rispetto alla 8-PSK.
esercizio: verificare
46
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PAM
3. CONFRONTO QAM / PAM
Supponiamo di avere a disposizione un canale in banda-base
di banda B
B
47
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PAM
Normalmente scegliamo di utilizzare una modulazione in banda-base,
ad esempio una q=2k-PAM.
B
48
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PAM
Come alternativa, potremmo pensare di utilizzare una modulazione in bandatraslata, ad esempio una m-QAM, con portante posizionata a frequenza
f0=B/2.
B
49
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PAM
Visto che:
•
la banda a disposizione è la stessa
•
la PAM ha efficienza spettrale doppia (a parità di filtro di
trasmissione usato nei due casi)
Æ la QAM da utilizzare è una m=2k’-QAM con k’=2k
Di conseguenza, abbiamo due alternative:
•
•
Una modulazione q-PAM
Una modulazione q2-QAM con portante f0=B/2
50
Modulazioni m-QAM: confronto con m-PAM
Due alternative:
•
•
Una modulazione q-PAM
Una modulazione q2-QAM con portante f0=B/2
L’efficienza spettrale è la stessa.
Le prestazioni sono le stesse.
La perdita di efficienza causata dalla modulazione (che fa rientrare la parte
negativa dello spettro) la recuperiamo con la modulazione in quadratura.
51
Modulazioni m-QAM: modulatore
Modulatore costellazione q2-QAM quadrata
11100001
1101101100010110
p(t)
e
cos(2πf0t)
S/P
90
sin(2πf0t)
e
01110110
p(t)
(esempio: 16-QAM = 4-ASK x 4-ASK
Un simbolo = 4 bit, due sul canale I e due sul canale Q)
52
Modulazioni m-QAM: demodulatore
Demodulatore costellazione q2-QAM quadrata
p(t)
11100001
CAMPIONATORE
Voronoi
e-1
cos(2πf0t)
1101101100010110
RECUPERO
SINCRONISMO
di SIMBOLO
90
P/S
sin(2πf0t)
CAMPIONATORE
p(t)
Voronoi
e-1
01110110
RECUPERO
PORTANTE
In ricezione la decisione può essere effettuata in modo del tutto separato
su canale I e canale Q
53
Modulazioni m-QAM: modulatore (non quadrate)
Modulatore costellazione QAM generica, non quadrata
p(t)
(αn)
cos(2πf0t)
k
e
90
sin(2πf0t)
(βn)
p(t)
54
Modulazioni m-QAM: modulatore (non quadrate)
Demodulatore costellazione QAM generica, non quadrata
p(t)
CAMPIONATORE
cos(2πf0t)
DECISORE
A MINIMA
DISTANZA
EUCLIDEA
(VORONOI)
RECUPERO
SINCRONISMO
di SIMBOLO
90
e-1
k
sin(2πf0t)
CAMPIONATORE
p(t)
RECUPERO
PORTANTE
55
Modulazioni m-QAM: diagramma ad occhio
16-QAM p(t) = filtro RRC α=0.5
[ coordinate +3,+1,-1,-3]
Canale I
Canale Q
56
Modulazioni m-QAM: diagramma ad occhio
64-QAM p(t) = filtro RRC α=0.5
[ coordinate +7,+5,+3,+1,-1,-3,-5,-7]
Canale I
Canale Q
57
Modulazioni m-QAM: applicazioni pratiche
Molte applicazioni pratiche:
•
Ponti radio terrestri (fino a 128-QAM) e (più raramente) satellitari (fino
a 16-QAM)
•
Modem telefonici (standard V90: 33600 bps in uplink, 1024-QAM).
•
Modem ADSL (modulazione OFDM, fino a 256-QAM su ogni portante
affiancata, DVB-T, DAB).
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