Problemi: quantità di moto - impulso
1.
Due blocchi di massa M e 3M si trovano inizialmente fermi su un piano orizzontale
senza attrito.
Una molla di massa trascurabile è fissata a uno di essi, e i due blocchi vengono
spinti l’uno contro l’altro, con la molla in mezzo. La fune che li tiene uniti viene
bruciata, ed il blocco di massa 3M si muove verso destra con velocità 2.00 m/s.
a) quale è la velocità del blocco di massa M?
b) Trovare l’energia potenziale elastica originaria della molla se M=0.350 kg.
idea chiave:
• conservazione quantità di moto
• conservazione energia meccanica
[sistema isolato, forze conservative]
r
r
pi = p f
a)
0 = MvM + (3M )(2.00 m / s )
vM = −6.00 m / s (moto verso sinistra )
b)
Emecc ,i = Emecc , f
K M , i + K 3 M ,i + U e ,i = K M , f + K 3 M , f + U e , f
1
1
1
0 + 0 + kx 2 = MvM2 + (3M )v32M + 0
2
2
2
1 2 1
1
kx = MvM2 + (3M )v32M = 8.40 J
2
2
2
2.
In un test d’urto, un’auto di massa m=1500 kg urta contro un muro.
La velocità iniziale è vi = -15.0 i m/s e quella finale è vf = 2.60 i m/s.
Se la durata dell’urto è 0.150 s, determinare l’impulso dovuto all’urto
e la forza media esercitata sull’auto.
r
r
r
r
4
pi = mvi = (1500 kg )(−15.0 m / s ) i = −2.25 10 i kg m / s
r
r
r
r
p f = mv f = (1500 kg )(2.6 m / s ) i = 0.39 10 4 i kg m / s
r
r
r r
r
4
4
I = ∆p = p f − pi = (0.39 10 i kg m / s ) − (−2.25 10 i kg m / s )
r
4
= 2.64 10 i kg m / s
Forza media esercitata sull’auto:
r
r
4
r
∆p 2.64 ⋅10 i kg m / s
5
F=
=
= 1.76 10 i N
0.150 s
∆t
3.
Nel gioco del softball una palla da 0.200 kg attraversa la rete a 15.0 m/s
a un angolo di 450 al di sotto dell’orizzontale. La palla viene colpita a 40 m/s
con un angolo di 300 al di sopra dell’orizzontale.
a) qual è . l’impulso applicato alla palla ?
b) se la forza sulla palla aumenta linearmente per ∆t1= 4.00 ms, rimane costante per
20.0 ms, e poi decresce fino a 0 linearmente in altri ∆t3
trovare la massima forza sulla palla.
∆t2=
=
4.00 ms,
rete
450
r
a) I = ∆pr = pr f − pr i
I x = p x , f − p x ,i
x
r
vi
I x = mv f cos(300 ) − (− mvi cos(450 ))
= (0.200 kg )(40.0m / s ) cos(300 ) + (0.200 kg )(15.0m / s ) cos(450 )
= 9.05 N s
I y = p y , f − p y ,i
mv f sin(300 ) − (−mvi sin(450 ))
= (0.200 kg )(40.0m / s ) sin(300 ) + (0.200 kg )(15.0m / s ) sin( 450 )
= 6.12 N s
r
r
r
r
r
I = I x i + I y j = (9.05 i + 6.12 j ) Ns
b)
r r r r
I = I1 + I 2 + I 3
r
1 r
1 r
= Fm ∆t1 + Fm ∆t 2 + Fm ∆t3
2
2
r
r
1
1 r
= Fm (4.00 ms ) + Fm (20.00 ms ) + Fm (4.00 ms )
2
2
r
r
r
2.4 ⋅10 −3 s Fm = (9.05 i + 6.12 j ) Ns
r
r
r
Fm = (377 i + 255 j ) N
F
Fm
I1
∆t1
I 2 I3
∆t 2
∆t 3 t
Problemi: urti in UNA dimensione
4.
Due sfere metalliche sono sospese a cavetti verticali e sono inizialmente a contatto.
La sfera 1, di massa m1 = 30 g , viene lasciata libera dopo essere stata tirata
verso sinistra fino all’altezza h1 = 8.0 cm. Ritornata, cadendo, alla posizione
iniziale subisce un urto elastico contro la sfera 2, di massa m2 = 75 g.
Quale è la velocità v1f della sfera 1 subito dopo l’urto ?
idea chiave:
divido il problema in due parti
1) discesa sfera 1
2) urto fra le due sfere
1) applico principio di conservazione energia meccanica
per il sistema sfera 1 – Terra, mentre la sfera cade
[N.B. la tensione T della corda non compie lavoro essendo sempre
perpendicolare al moto]
Emecc,i = Emecc, f
K1,i + U1,i = K1, f + U1, f
1
m1v12 + 0
2
v1,i = 2 gh1 = 2(9.8m / s 2 )(0.080m) = 1.252 m / s
0 + m1 gh1 =
2) considero urto come unidimensionale:
durante urto i moti delle due sfere sono orizzontali
il sistema è isolato, data la brevità dell’urto ⇒ si conserva quantità di moto
totale, energia cinetica
m1v1,i + m2 v2 ,i = m1v1, f + m2 v2 , f
sfera 1 torna indietro
1
1
1
1
m1v12,i + m2v22,i = m1v12, f + m2v22, f
dopo urto
2
2
2
2
v1, f =
m1 − m2
0.030 kg − 0.075 kg
v1,i =
1.252m / s = − 0.537 m / s
m1 + m2
0.030 kg + 0.075 kg
5.
Un proiettile di massa m1=12.0 g viene sparato su un blocco di legno di m2=100 g,
fermo su una superficie orizzontale. Dopo l’urto il blocco scivola per L=7.50 m
prima di fermarsi.
Se il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e superficie è µd= 0.650,
quale è la velocità del proiettile prima dell’urto ?
idea chiave:
urto completamente anelastico
si conserva quantità di moto
(1) m1v1 = ( m1 + m2 )v2
Durate lo scivolamento la variazione di energia cinetica
viene dissipata per attrito:
∆K = Lattrito
teorema energia cinetica
r r
1
2
0 − (m1 + m2 )v2 = f d ⋅ L = f d L cos(1800 )
2
1
− (m1 + m2 )v22 = − f d L
2
1
(m1 + m2 )v22 = µ d NL = µ d (m1 + m2 ) gL
2
da cui ricavo v2:
v2 = 2 µ d Lg = 2(0.650)(7.50m)(9.8m / s 2 ) = 9.77 m / s
ricavo v1 dalla conservazione della q. di moto (1) :
v1 =
112 g
m1 + m2
9.77 m / s = 91.2 m / s
v2 =
12.0 g
m1
6.
Un esperto di karate picchia un pugno di massa m1=0.70 kg e spezza un’asse di legno di
massa 0.14 kg. Poi spezza una mattonella di calcestruzzo di massa 3.2 kg. Le costanti
elastiche di flessione sono rispettivamente 4.1 104 N/m e 2.6 106 N/m. La rottura avviene
quando l’inarcamento e` pari a d=16mm per l’asse e 1.1 mm per la mattonella.
a) immediatamente prima della rottura, quanta energia viene immagazzinata nei due casi ?
b) che velocita` v1 del pugno e` richiesta per rompere l’asse e la mattonella ?
[assumere la conservazione dell’energia meccanica]
idee chiave:
a) tratto la flessione come la compressione
di una molla per cui vale la legge di Hooke.
b) tratto l’urto come completamente anelastico:
traformo energia cinetica in energia potenziale
elastica
a) energia immagazzinata prima della rottura:
1 2
1
kd legno = (4.1⋅10 4 N / m)(0.016 m) 2 = 5.248 J ≈ 5.2 J
2
2
1 2
1
U = kd mattone
= (2.6 ⋅106 N / m)(0.0011 m) 2 = 1.537 J ≈ 1.6 J
2
2
ho bisogno di maggior energi aper spezzare il legno !!
U=
b) nell’urto completamente anelastico di conserva solo
la quantita` di moto:
m1v1 = (m1 + m2 )v
v=
m1v1
(m1 + m2 )
m1=massa pugno
m2=massa tavola
applico la conservazione dell’energia meccanica
[trascuro variazione di energia potenziale gravitazionale
data la distanza minima percorsa nella flessione]
1
cinetica deve eguagliare energia potenziale
(m1 + m2 )v 2 = U energia
al
termine
della flessione
2
4.2 m / s
legno
1
v1 =
2U (m1 + m2 ) =
5.0 m / s cemento
m1
ho bisogno di maggior velocita` per spezzare il cemento !!!
Aumentando la massa del bersaglio riduco la velocita` v assorbita
e quindi la frazione di energia trasferita nell’urto.
Problemi: urti in DUE dimensioni
7.
Due auto di massa uguale si avvicinano ad un incrocio. Un veicolo viaggia a velocità
13.0 m/s verso est, l’altro verso nord a velocità v2i.
I veicoli si urtano all’incrocio e rimangono incastrati, lasciano delle strisce parallele
sull’asfalto ad un angolo di 550 a nord-est.
Il conducente che procedeva verso nord sostiene
di avere rispettato il limite di velocità di 35 mi/h.
è vero?
idea chiave:
urto completamente anelastico
si conserva quantità di moto
r
r
r
m1v1i + m2 v2i = (m1 + m2 )v f
r
r
r
mv1i + mv2i = 2mv f
m1 = m2 = m
0
asse x: mv 1i + 0 = 2 m v f cos( 55 )
asse y: 0 + mv 2 i = 2 m v f sin( 55 0 )
divido le due equazioni:
v2i
= tg (55 0 )
v1i
v 2 i = v1i tg (55 0 ) = (13 .0 m / s ) tg (55 0 )
km
18 .6 10 − 3 km
= 18 .6 m / s =
= 66 .96
h
1 / 3600 h
mi
0 .6214 mi
= 66 .96
= 41 .6
h
h
Il conducente mentiva!!!
8.
Un protone che si muove con velocità vi i urta elasticamente un altro protone
inizialmente fermo. Dopo l’urto entrambi i protoni hanno la stessa velocità.
Calcolare:
a) la velocità di ciascun protone dopo l’urto in funzione di vi .
b) la direzione dei vettori velocità dopo l’urto.
idea chiave:
urto elastico
si conserva quantità di moto
si conserva energia cinetica
r r
pi = p f
asse x
asse y
p xi = p xf
mvi = mv cos θ + mv cos φ
p yi = p yf
0 = mv sin θ + mv sin φ
dalla eq. asse y ottengo:
sin θ = − sin φ
θ = −φ
impongo la conservazione dell’energia:
1
1
1
mv i2 = mv 2 + mv 2
2
2
2
1
mv i2 = mv 2
2
v
v= i
2
utilizzo ora eq. asse x e ottengo:
vi =
2 v cos θ
vi
v
cos θ + i cos( −θ ) = i
2
2
2
cos θ =
2
2
⇒
θ = 45 0 , φ = − 45 0
Problemi: centro di massa
9.
La molecola d’acqua è fatta di un atomo di ossigeno e due atomi di idrogeno
ad esso legati. L’angolo fra i due legami è 1060. Se i legami hanno una
lunghezza di 0.100 nm, dove si trova il centro di massa della molecola ?
y
0.100
nm
x
0.100
nm
10.
Un sistema di 3 particelle, inizialmente a riposo, è soggetto alle forze
F1=6.0 N, F2=12 N ed F3=14 N , come mostrato in figura.
Quale è l’accelerazione del CM ed in che direzione si muove ?
idea chiave:
4tratto il CM come
particella reale di massa
M=16 kg (massa totale)
4applico tutte le forze esterne al CM
r
r
Fnet = MaCM
r r r
r
F1 + F2 + F3 = MaCM
r r r
r
F1 + F2 + F3
aCM =
M
CM si muove nella stessa direzione
delle forza netta agente sul sistema
determino componenti x ed y della acc. CM:
aCM , x =
aCM , y =
F1, x + F2, x + F3, x
M
F1, y + F2, y + F3, y
M
− 6.0 N + (12 N ) cos(450 ) + (14 N )
=
= 1.03 m / s 2
16kg
0 + (12 N ) sin(450 ) + 0
=
= 0.530 m / s 2
16kg
determino modulo e direzione accelerazione CM:
aCM = (aCM , x ) 2 + (aCM , y ) 2 = 1.16 m / s 2 ≈ 1.2 m / s 2
θ = arctan
aCM , y
aCM , x
= 27 0
