Proprietà delle funzioni continue in un intervallo
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Esistenza degli zeri e proprietà di Darboux
Teorema 1.1 Sia f : [a, b] → R una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b].
Se f (a)f (b) < 0 allora esiste un punto x0 ∈]a, b[ tale che f (x0 ) = 0
Dimostrazione – Dimostreremo il teorema per dicotomia. Sia c il punto medio di [a, b] e, per
fissare le idee, supponiamo che f (a) > 0 ed f (b) < 0. Se f (c) = 0 allora non c’è più nulla da
dimostrare. Se f (c) 6= 0, esso sarà discorde da uno (e uno solo) dei numeri f (a), f (b). Dei due
intervalli [a, c], [c, b] indichiamo con [a1 , b1 ] quello dei due per il quale i valori di f agli estremi
sono discordi. Se supponiamo, ad esempio, f (c) > 0 allora sarà [a1 , b1 ] = [c, b]. Dividiamo
adesso in due parti l’intervallo [a1 , b1 ] e ripetiamo lo stesso ragionamento di prima. Procedendo
in questo modo (se il processo non si arresta dopo un numero finito di passi, perché il punto
medio dell’ultimo intervallo è uno zero di f ), si costruisce una successione [ak , bk ] di intervalli
chiusi e incapsulati che, per il Teorema di Cantor, ammettono un punto comune x0 . Dato che
bk − ak = b−a
si ha:
2k
b−a
b−a
|ak − x0 | ≤ k
|bk − x0 | ≤ k .
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Quindi entrambe le successioni (ak ), (bk ) convergono ad x0 . La continuità di f implica allora
che
lim f (an ) = f (x0 )
lim f (bn ) = f (x0 ).
k→+∞
k→+∞
Ma f (an ) > 0, quindi f (x0 ) ≥ 0. D’altra parte f (bk ) < 0 e quindi anche f (x0 ) ≤ 0. Non si può
che concludere che f (x0 ) = 0.
Dal Teorema di esistenza degli zeri segue che una funzione continua su un intervallo chiuso
e limitato [a, b] gode della cosiddetta proprietà di Darboux: essa assume tutti i valori intermedi
tra f (a) ed f (b).
Teorema 1.2 (Teorema dei valori intermedi) – Sia f continua nell’intervallo [a, b]. Allora f
assume tutti i valori compresi tra f (a) ed f (b).
Dimostrazione – Se f (a) = f (b) non vi è nulla da dimostrare. Supponiamo che f (a) 6= f (b)
e, per fissare le idee, assumiamo che f (a) < f (b).
Sia c un numero reale con f (a) < c < f (b), e poniamo g(x) = f (x) − c. La funzione g è
continua su [a, b] e risulta g(a) < 0, g(b) > 0. Per il Teorema 1.1 esiste x0 ∈]a, b[ tale che
g(x0 ) = f (x0 ) − c = 0. Ma allora f (x0 ) = c.
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Il Teorema 1.2 ci permette di ottenere informazioni precise sull’insieme immagine f (I) se f è
continua nell’intervallo I.
Teorema 1.3 Sia f continua sull’intervallo I. Allora l’insieme immagine f (I) è un intervallo.
Dimostrazione – Poniamo
α = inf f (x)
x∈I
e
β = sup f (x).
x∈I
(α e β, o uno solo di essi, possono essere eventualmente infiniti). Sia c un numero reale tale
che α < c < β. Per definizione di estremo inferiore, esiste un x1 ∈ I tale che α ≤ f (x1 ) < c.
In modo analogo si prova l’esistenza di un x2 ∈ I tale che c < f (x2 ) ≤ β. Per il Teorema 1.2
dei valori intermedi, applicato all’intervallo di estremi x1 e x2 , esiste allora un punto x0 in tale
intervallo (e dunque in I) tale che f (x0 ) = c. Ne concludiamo che ]α, β[⊆ f (I). Ma oltre ad
]α, β[ , f (I) può contenere solo gli estremi α e β, se questi sono finiti. In ogni caso f (I) è un
intervallo.
Si possono facilmente dare esempi che mostrano che l’immagine di un intervallo I mediante
una funzione continua può essere uno qualunque dei vari tipi di intervalli che conosciamo.
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Il Teorema di Weierstrass
Sia f una funzione continua in un intervallo I. Come si vede mediante semplici esempi essa
può essere limitata (inferiormente, superiormente o entrambi). Anche se f è limitata in I può
succedere che uno o l’altro tra l’estremo superiore e l’estremo inferiore non vengano raggiunti:
cioè, ad esempio, non è detto che esista un punto x0 ∈ I tale che f (x0 ) = sup f .
x
Per esempio la funzione f (x) =
nell’intervallo I = [0, +∞[ è limitata sia inferiomente sia
x+1
superiormente. Precisamente inf f = 0 e sup f = 1. La funzione assume in 0 il valore 0, ma non
x
esiste alcun x ∈ I per cui
= 1. 0 è dunque il minimo dell’insieme f (I) e quindi, si dice
x+1
anche il minimo della funzione, mentre l’insieme f (I) non ha massimo.
Il problema della determinazione dei massimi e minimi di una funzione è rilevante anche
dal punto di vista delle applicazioni e ce ne occuperemo in dettaglio in seguito. Il Teorema di
Weierstrass ci fornisce una condizione sufficiente per l’esistenza del massimo e del minimo di
una funzione, anche se non mette a nostra disposizione alcuno strumento per determinarli.
Teorema 2.1 (Teorema di Weierstrass)– Sia f una funzione continua nell’intervallo chiuso e
limitato I= [a, b]. Allora
(i) f è limitata inferiormente e superiormente;
(ii) esistono due punti xm e xM in [a, b] tali che:
f (xm ) = inf f (x)
x∈[a,b]
e
f (xM ) = sup f (x).
x∈[a,b]
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Dimostrazione – Proviamo la (i). Dimostreremo solo che f è limitata superiormente. Il fatto
che essa è limitata inferiormente si prova in modo simile.
Se f non fosse limitata superiormente, per ogni n ∈ N, esisterebbe un xn ∈ I tale che f (xn ) > n.
Per ogni n ∈ N scegliamo uno di questi xn . Si costruisce cosı̀ una successione (xn ) per la quale
lim f (xn , ) = +∞.
n→+∞
La successione (xn ) esendo contenuta in [a, b] è limitata; quindi, per il Teorema di BolzanoWeierstrass essa ammette una sua sottosuccessione (xnk ) convergente ad un elemento x∗ , che
appartiene ad [a, b] perchè questo è chiuso. Ma allora, per la continuità di f in x∗ , si avrebbe
lim f (xnk ) = f (x∗ ).
k→+∞
Avremmo dunque estratto da una successione divergente una sottosuccessione convergente. Il
che è impossibile.
Proviamo ora (ii) limitandoci a dimostrare che f ammette massimo.
Per la (i), esiste finito sup f . Indichiamolo, per brevità con s. Vogliamo far vedere che
s ∈ f ([a, b]). Per definizione di estremo superiore, fissato un n ∈ N+ , esiste un yn ∈ f ([a, b]) tale
che
1
< yn ≤ s.
(1)
n
Per ogni n scegliamo uno di questi yn . Si costruisce in tal modo una successione (yn ) con
yn = f (xn ) per qualche xn ∈ [a, b]. In modo simile alla dimostrazione della parte (i), dalla
successions limitata (xn ) si può estrarre una sottosuccessione (xnk ) convergente a xM ∈ [a, b].
Dalla (1), segue che
lim f (xn ) = lim yn = s,
s−
n→+∞
n→+∞
e quindi
lim f (xnk ) = s
k→+∞
D’altra parte, per la continuità di f
lim f (xnk ) = f (xM ).
k→+∞
Dall’unicità del limite, si ha allora f (xM ) = s.
È, a questo punto, immediato dimostrare, utilizzando anche il Teorema 1.3, il seguente
Corollario 2.2 L’immagine mediante una funzione continua f si un intervallo chiuso e limitato
è ancora un intervallo chiuso e limitato.
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Continuità della funzione inversa
Sia f una funzione continua ed iniettiva su un intervallo I. Il Teorema 1.3 ci assicura che
J := f (I) è un intervallo. La funzione f −1 è allora ben definita e f −1 : J → I. La domanda che
ci poniamo è la seguente: f −1 è continua in J?
Cominciamo con il considerare il caso in cui I = [a, b]. Per il Corollorio 2.2, J = [c, d] per certi
c, d ∈ R, c < d.
Teorema 3.1 Sia f : [a, b] → R continua e iniettiva. Sia f ([a, b]) = [c, d]. La funzione f −1 :
[c, d] → [a, b] è continua.
Dimostrazione – Sia y ∗ un punto di [c, d] ed (yn ) una arbitraria successione di punti di [c, d]
convergente a y0 . Sia xn = f −1 (yn ) e x∗ = f −1 (y ∗ ). Se dimostriamo che xn → x∗ il teorema
sarà stabilito.
Supponiamo che xn 6→ x∗ . Dalla successione (xn ) si potrà estrarre una sottosuccessione (xnk )
convergente ad un punto x0 ∈ [a, b] con x0 6= x∗ . Per l’iniettività di f , si avrà allora f (x0 ) 6= f (x).
Inoltre dalla continuità di f , f (xnk ) → f (x0 ). Ma f (xnk ) = ynk → y ∗ = f (x∗ ). Avremmo quindi
che la successione f (xnk ) dovrebbe convergere a due limiti distinti.
Corollario 3.2 Siano I, J intervalli di R ed f : I → J continua e iniettiva. Allora f −1 : J → I
è continua.
Dimostrazione – Se y ∗ ∈ J e x∗ = f −1 (y ∗ ) consideriano un qualunque intervallo chiuso e
limitato [a, b] ⊆ J contenente x∗ e sia [c, d] la sua immagine. Non resta che applicare il teorema
precedente alla restrizione di f −1 a [c, d] per stabilire la continuità di f −1 in y ∗ .
Dal Corollario precedente otteniamo, ad esempio, che le funzioni arcsin, arccos, arctan, sett sinh,
sett cosh, sett tanh sono continue nei rispettivi domini.
Come annotazione conclusiva, osserviamo che una funzione continua ed iniettiva definita su
un intervallo I è necessariamente strettamente monotona. Può essere un utile esercizio tentare
di dimostrarlo.
