GEOMETRIA (lezione I):
• criteri di congruenza e similitudine tra triangoli;
• teoremi di Pitagora ed Eucide;
• circonferenza (angoli al centro e alla circonferenza, tangenti);
• punti notevoli nei triangoli (circocentro, ortocentro, incentro, baricentro);
• teoremi di talete e della bisettrice.
6 pezzi facili
1. Un fabbro sta costruendo una cancellata orizzontale in ferro formata da tante barre verticali,
parallele tra loro, ciascuna delle quali è posizionata a 18 cm di distanza dalle 2 vicine. Il fabbro
collega le estremità di ciascuna coppia di sbarre contigue con una barra incurvata
ad arco di
√
circonferenza collocata nel piano delle sbarre, il cui punto più alto dista 3 3 cm dalla retta
formata dai punti di giuntura tra l’arco di circonferenza e le barre verticali, che passa per le
estremità superiori di tutte le sbarre, e che è perpendicolare alle sbarre stesse. Quanto è lunga
ciascuna delle barrette utilizzate per costruire gli archi?
2. Alice, Berto e Carlo stanno cercando un tesoro. Sapendo che i tre amici si trovano sui vertici
di un triangolo equilatero e che il tesoro si trova in un punto al di fuori del triangolo, a 1 metro
di distanza da Alice e da Berto e 2 metri di distanza da Carlo, quanti metri misura il lato del
triangolo?
3. In una scultura d’arte moderna è rappresentato un cerchio nascosto in parte da un triangolo
equilatero, come
√ in figura: il cerchio ha il diametro lungo quanto l’altezza del triangolo, la
quale misura 6 m. Quanto vale l’area della parte del cerchio non coperta dal triangolo ?
4. Siano ABC un triangolo acutangolo e H il piede dell’altezza relativa al vertice A. Coloriamo
ogni punto P interno al triangolo in questo modo: di rosso, se il vertice più vicino a P è A; di
verde, se il vertice più vicino a P è B; di blu, se il vertice più vicino a P è C. Sapendo che
AH = 35, BH = 21 e CH = 15, quanto misura l’area formata dai punti rossi?
5. Dato un triangolo ABC, si tracci la bisettrice dal vertice A, che incontra il lato BC nel punto
D. Se CD + CA = 12 m, e CD = 13 BC, quanto misura il perimetro del triangolo?
6. Un triangolo isoscele ha base AB di lunghezza 1 m e altezza CH di lunghezza 2 m. Al suo
interno è presente un quadrato che ha un vertice in H, e due vertici sugli altri due lati: calcolarne
l’area.
Sei pezzi meno facili
1. La casa di Arthur Dehn sta per essere distrutta per fare posto ad uno svincolo! Esso ha la forma
di un quadrato ABCD di
√lato 1500 in cui è inscritta una circonferenza Γ. Dal punto E del lato
AB tale che AE = 750 2 parte una strada rettilinea (non sovrapposta ad AB) tangente a Γ,
che interseca in X la retta CD. Quanto misura EX?
2. I Bogon hanno catturato Trillion! Arthur può liberarla con un ordine presidenziale di rilascio
firmato da Jacob, ma prima deve sottostare a un’altra sessione di geometria Bogon. Sia ABC
√
\ = 60◦ . Siano D un punto sul
un triangolo di ortocentro H con AB = 84, AC = 32 3 e BAC
segmento AH tale che 7AD = AH, E un punto sul segmento BH tale che 7BE = BH, F un
punto sul segmento CH tale che 7CF = CH. Quanto vale AB · CF + BC · AD + AC · BE?
Federico Fighera
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3. Il motore a improbabilità crescente ha portato i nostri eroi su Mathratea, ma nel frattempo ha
creato un vaso di fiori e un capodoglio in caduta libera a diversi chilometri dalla superficie del
pianeta. Che evento improbabile! Il povero cetaceo, mentre precipitava, ebbe appena il tempo
di inventare questo problema. Sia ABC un triangolo e siano D e E rispettivamente dei punti
su AB e AC tali che AD = 15 AB e AE = 13 AC. Detta r la parallela a BC passante per A,
siano F l’intersezione tra r e CD, G l’intersezione tra r e BE e P l’intersezione tra CD e
BE. Sapendo che F P = 35, P G = 100 e GF = 117, determinare l’area di BCGF .
4. Nei sogni di Daniele, la capitale dell’impero Matemaya, Etal, ha la forma di un cerchio perfetto
di raggio 4080 metri. I suoi abitanti hanno eretto per la loro difesa quattro torri nei punti A, B, C
e D. Le torri B, C e D stanno sulla circonferenza della città; inoltre AB = BC = 5060 metri
e AD = BD = CD. Quanto dista la torre A dal centro (geometrico) della città?
5. Capitan Disparrow sta studiando la mappa di un tesoro sulla quale sono segnati tre punti A, B
e C, che sono vertici di un triangolo isoscele. La base AB del triangolo misura 3.9 km e
l’angolo al vertice è di 120 gradi. Capitan Disparrow si trova nel punto B e sa che il tesoro
si trova nel punto d’intersezione tra il lato BC e la bisettrice dell’angolo in A. Quanti metri
dovrà percorrere per arrivare al tesoro?
6. I nazgul si avvicinano, e Frobbo nasconde l’anello in un contenitore quadrangolare ABCD di
area 3388 mm2 , in cui AD è perpendicolare ad AB e a CD e tale che 4AB = 7CD. L’anello
calza perfettamente nel contenitore, toccandone tutti e quattro i lati. Quanti millimetri misura
il raggio dell’anello?
Federico Fighera
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