Analisi Matematica II - Dipartimento di Matematica e Fisica

ANALISI MATEMATICA II
a.a. 2016-2017
Insegnamento: Analisi Matematica II (mutuato dal CdL in Matematica)
Docenti: Emma D’Aniello
CFU
ORE
Settore Scientifico - Disciplinare: MAT/05
10=8Le+2E
88=64Le+24E
Obiettivi formativi: Fare acquisire agli studenti una buona conoscenza della teoria e delle
applicazioni del calcolo differenziale per funzioni di più variabili, delle serie di funzioni, del calcolo
integrale per funzioni di più variabili, delle forme differenziali e degli integrali curvilinei, e delle
equazioni differenziali.
Propedeuticità: Analisi Matematica I
Modalità di svolgimento: Lezioni ed esercitazioni in aula
Modalità di accertamento del profitto: superamento di una prova scritta e di una prova orale
Legenda: L= Lezioni, E= Esercitazioni, La= Attività di Laboratorio.
PROGRAMMA
Successioni e Serie di Funzioni. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Teorema sulla continuità
del limite. Teorema sull’inversione dei limiti (s.d.). Criterio di Cauchy uniforme. Teorema di passaggio al limite sotto il
segno di integrale. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata. Convergenza uniforme e monotonia.
Teoremi del Dini I e II (s.d.).
Serie di funzioni: convergenza puntuale, convergenza uniforme e convergenza totale. Criterio di Cauchy per le serie.
Criterio di Cauchy uniforme per le serie. Teorema sulla continuità della somma. Teorema di integrazione per serie.
Teorema di derivazione per serie.
Serie di potenze. Raggio di convergenza. Teorema di Cauchy-Hadamard. Teorema di D’Alembert. Teorema di CauchyHadamard e Teorema di D’Alembert con il limite massimo. Teorema sul raggio di convergenza della serie derivata.
Teorema di derivazione e di integrazione delle serie di potenze. Teoremi di Abel I e II (s.d.).
Serie di Taylor e di Mac Laurin. Funzioni C ∞ e funzioni analitiche. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor.
Sviluppo delle funzioni elementari.
Funzioni periodiche. Polinomi trigonometrici. Serie trigonometriche.
Convergenza puntuale di una serie
trigonometrica. Serie di Fourier. Sviluppabilità in serie di Fourier. Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval.
Coefficienti di Fourier della serie derivata.
Teorema sulla convergenza puntuale di una serie di Fourier. Teorema sulla convergenza uniforme delle serie di Fourier.
Teorema sull’integrazione termine a termine di una serie di Fourier (s.d.).
Spazi vettoriali. Spazi metrici e spazi pseudometrici. Topologia in Rn. Spazi vettoriali.
Richiami di calcolo vettoriale: prodotto scalare di vettori e ortogonalità. Prodotto vettoriale in R3. Prodotto scalare.
Disuguaglianza di Schwartz. Norma di un vettore.
Spazi metrici e spazi pseudometrici.
Elementi di topologia in Rn. Insiemi chiusi. Insiemi aperti. Punti interni. Punti di frontiera. Punti di accumulazione.
Punti isolati.
Richiami di geometria analitica nel piano e nello spazio: sottospazi vettoriali, rette e piani, alcuni esempi di coniche e di
quadriche.
Successioni in Rn. Successioni convergenti. Successioni divergenti. Successioni limitate.
Funzioni di più variabili a valori reali. Componenti delle funzioni vettoriali.
Funzioni scalari. Limiti e continuità. Segno. Coordinate polari nel piano e coordinate polari nello spazio (coordinate
sferiche). Teorema di Weierstrass. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Cantor. Teorema degli zeri.
Teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Teorema ponte . Studio del segno di una funzione. Grafici e insiemi di
livello.
Calcolo differenziale. Derivate parziali. Derivate successive. Il teorema di Schwarz. Gradiente. Differenziabilità.
Continuità delle funzioni differenziabili. Teorema del differenziale. Regola di derivazione delle funzioni composte
(s.d.). Derivate direzionali. Differenziabilità e derivate direzionali: formula del gradiente, direzioni di massima e di
minima crescita. Derivate direzionali. Derivate di ordine superiore al primo. Cenni sull’equazione di Laplace. Matrice
Hessiana. Teorema di Lagrange e funzioni a gradiente nullo in un aperto connesso. Gradiente di una funzione radiale.
Ortogonalità del gradiente con le curve di livello. Funzioni omogenee. Formula di Eulero. Gradiente di una funzione
omogenea. Funzioni definite mediante integrali. Continuità della funzione integrale. Derivabilità della funzione
integrale. Formula di Taylor di ordine 2 con resto in forma di Lagrange e in forma di Peano.
Estremi locali. Matrici definite positive, definite negative, semidefinite positive, semidefinite negative, matrici
indefinite. Autovalori di matrici simmetriche. Minimo e massimo autovalore di una matrice simmetrica.
Caratterizzazione delle matrici simmetriche definite, semidefinite e indefinite tramite gli autovalori (s.d.).
Forme quadratiche in Rn. Caratterizzazione delle matrici definite (s.d.). Caratterizzazione delle matrici simmetriche 2x2
definite (s.d.)
Estremi locali: massimi relativi e minimi relativi. Condizione necessaria al primo ordine: Teorema di Fermat.
Condizione sufficienti per gli estremi relativi (dimostrazione per n=2).
Ricerca di massimi e minimi assoluti di funzioni di due o tre variabili.
Funzioni convesse. Locale Lipschitzianità delle funzioni convesse (s.d.). Criterio di convessità per le funzioni
differenziabili (s.d.). Criterio di convessità per le funzioni C2 (s.d.).
Epigrafico.
Caratterizzazione della convessità delle forme quadratiche (s.d.).
Funzioni armoniche: principio del massimo ed equazione di Laplace. Teorema di unicità per il problema di Dirichlet.
Funzioni implicite e Teorema del Dini. Funzioni implicite: definizione ed esempi. Primo Teorema del Dini
sull’esistenza e unicità della funzione implicita (s.d.): condizione necessaria ma non sufficiente, esempi e controesempi.
Secondo Teorema del Dini sulla derivabilità della funzione implicita (s.d.). Il Teorema del Dini per una equazione in n
incognite (s.d).
Ottimizzazione. Problemi con vincoli per funzioni di due variabili. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Curve. Curve semplici, aperte, chiuse, regolari e generalmente regolari (regolari a tratti). Versore normale e versore
tangente. Curve cartesiane. Retta tangente. Curve equivalenti e diffeomorfismi. Lunghezza di una curva regolare.
Teorema di rettificabilità delle curve C1. Curve equivalenti. Curve orientate. Ascissa curvilinea e parametrizzazione
canonica.
Esempi di curve: strofoide, elica cilindrica, cardioide, asteroide.
Integrale curvilineo di prima specie. Baricentro.
Forme differenziali. Forme differenziali lineari Forme differenziali esatte: primitiva di una forma differenziale.
Teorema di integrazione delle forme differenziali. Teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte. Forme
differenziali chiuse in un rettangolo aperto. Forme differenziali chiuse in aperti semplicemente connessi. Domini stellati
rispetto ad un punto. Teorema di Poincarè.
Integrale curvilineo di seconda specie: interpretazione fisica mediante i campi di forze. Lavoro di un campo
conservativo.
Divergenza e rotore. Campi irrotazionali.
Integrali doppi e tripli. Integrali doppi. Domini normali. Area di domini normali. Funzioni limitate su domini normali.
Somme integrali inferiori e somme integrali superiori. Integrabilità delle funzioni continue su domini normali (s.d.).
Proprietà degli integrali doppi.
Formule di riduzione per gli integrali doppi su domini normali. Formula di cambiamento di variabili (s.d.) ed esempi di
trasformazioni ammissibili. Volume dell’ellissoide. Formule di Gauss-Green nel piano ed applicazioni. Teorema della
divergenza e la formula di Stokes nel piano.
Integrali doppi generalizzati.
Integrali tripli. Domini normali. Volume di domini normali. Formule di riduzione per gli integrali tripli su domini
normali (s.d.). Formula di cambiamento di variabili (s.d.) ed esempi di trasformazioni ammissibili.
3
Superfici e integrali di superfici. Superfici regolari di R : esempi, grafico di una funzione e superfici di rotazione.
Piano tangente e versore normale. Superfici equivalenti. Area di una superficie. Integrale di superficie. Flusso di un
campo vettoriale attraverso una superficie.
Teorema della divergenza in R3 . Teorema del rotore in R3 .
Equazioni differenziali. Equazioni differenziali ordinarie di ordine n, equazioni differenziali in forma normale
normale. Problema di Cauchy. Definizione di soluzione locale e globale, esplicita ed implicita. Definizione di integrale
generale. Equazione integrale associata ad un problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità locale (s.d.). Teorema
di esistenza e unicità globale (s.d.). Equazioni differenziali lineari ordinarie del primo e del secondo ordine.
(s.d.) senza dimostrazione
Fanno parte integrante del programma esempi e controesempi, esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati
BIBLIOGRAFIA
• N.FUSCO - P.MARCELLINI - C.SBORDONE, Analisi Matematica due, Liguori Ed.
• M. BRAMANTI, C.D. PAGANI, S. SALSA, Analisi Matematica due Zanichelli Ed.
• S. SALSA, A. SQUELLATI, ESERCIZI di Matematica. Calcolo infinitesimale (volume 1 e volume 2)
Zanichelli.
• P.MARCELLINI - C.SBORDONE, Esercitazioni di Matematica (Volume I (parte prima e parte seconda) e
volume II (parte prima e parte seconda)Liguori Ed
• M. BRAMANTI, C.D. PAGANI, S. SALSA, Calcolo infinitesimale e algebra lineare Zanichelli Ed.
• N.FUSCO - P.MARCELLINI - C.SBORDONE, Analisi Matematica due, Liguori Ed