UNIVERSITÀ DI CATANIA
Corso di Laurea Triennale in Matematica
Programma di Geometria II
ANNO ACCADEMICO 2016-2017
Docente: Prof. Francesco Russo
I) – Forme bilineari, matrici associate. Forme bilineari simmetriche, loro forma canonica, segnatura, teorema di Sylvester. Prodotto scalare reale o complesso, insiemi ortogonali ed ortonormali, basi:
metodo di Gram-Schmidt. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, disuguaglianza triangolare. Spazi ortogonali, proprietà. Applicazioni che conservano il prodotto scalare, applicazioni (e matrici) unitarie ed
ortogonali, loro proprietà. Matrici ortogonali speciali, loro significato geometrico.
II) – Spazio vettoriale duale, dualità canonica e dualità indotta da un prodotto scalare euclideo o
hermitiano. Endomorfismo trasposto e endomorfismo aggiunto. Endomorfismi autoaggiunti, proprietà
dei loro autovalori e degli autospazi. Matrici associate. Endomorfismi normali. Teorema spettrale per
endomorfismi normali, applicazioni.
III) – Spazio affine, definizione e proprietà. Coordinate dei punti. Sottospazi, loro giacitura. Esempi
di spazi affini. Costruzione di An . Simmetria rispetto ad un punto. Proprietà formali degli spazi affini.
Simplessi. Sottospazi affini, equazioni parametriche e cartesiane. Parallelismo. Sottospazi sghembi.
Intersezione e congiungente di due sottospazi, loro dimensione. Il piano affine. Rette parallele o
incidenti. Fasci di rette. Teorema di Pappo. Teorema di Desargues. Fascio di iperpiani. Cambiamenti
di riferimento in uno spazio affine. Proprietà e matrici associate. Gruppi di trasformazioni. Isomorfismi
tra spazi affini, affinità. Traslazioni, loro gruppo. Omotetie. Costruzione di affinità. Spazi euclidei,
ortogonalità e distanze. Isometrie, casi particolari.
IV) – Spazi proiettivi, definizione e proprietà. Sottospazi, loro equazioni e generatori. Intersezione di
sottospazi proiettivi, congiungente. Formula di Grassmann. Lo spazio Pn . Cambiamento di riferimento
in Pn . Isomorfismo tra spazi proiettivi, proiettività. Costruzione di una proiettività. Punti uniti,
sottospazi uniti. Analisi delle proiettività, cambiamenti di riferimento. Equivalenza proiettiva. Piano
proiettivo. Proiezioni da un punto, cono proiettante. Caso lineare. Proiezione su un iperpiano. Spazio
duale, Ricoprimento affine di uno spazio proiettivo, punti propri e impropri. La grassmanniana delle
rette di P3 , coordinate plükeriane. La quadrica di Klein. Qualche proprietà.
V) – Ipersuperficie affini, loro equazioni. Componenti e decomposizione del polinomio. Ipersuperficie quadriche. Ipersuperficie proiettive, quadriche. Sottospazi lineari massimali contenuti in una
ipersuperficie quadrica, con particolare enfasi al caso della quadrica di Klein. Ipersuperficie deomogeneizzata e viceversa. Intersezione con una retta, molteplicità di intersezione. Punti singolari. Invarianza
proiettiva. Molteplicità di un punto, singolarità nell’origine, ricerca dei punti singolari: caso affine e
caso proiettivo. Caratterizzazione (teorema) dei punti multipli. Cono tangente in un punto, sua equazione. Sistemi lineari di ipersuperficie, loro costruzione. Dimensione di un sistema lineare. Esempi e
applicazioni al caso delle rette incidenti quattro rette dello spazio.
VI) – Proprietà dei polinomi, polinomi omogenei. Formula di Eulero. Omogeneizzazione e deomogeneizzazione. Risultante di due polinomi. Discriminante, radici multiple. Generalizzazioni del
risultante. Teorema di Bézout nella forma debole. Molteplicità di intersezione di due curve algebriche
piane: definizione e proprietà principali. Teorema di Bézout nella forma forte. Flessi di una curva.
Conica polare, caratterizzazione dei flessi. Curva Hessiana, sue proprietà. Le cubiche irriducibili, loro
equivalenza proiettiva: cubica nodale, cuspidale, liscia. Struttura di gruppo su una cubica piana. Polarità rispetto ad una curva. Teorema di reciprocità. Prima polare e tangenti, componenti comuni con
la prima polare. Rette tangenti per un punto. Curve del piano proiettivo, singolarità. Numero massimo di singolarità. Curve irriducibili, numero massimo di singolarità. Curve razionali, loro equazioni
parametriche. Razionalità delle curve irriducibili. Non razionalità delle curve di Fermat.
Se il tempo lo consentirà verrano svolte anche parti del seguente modulo:
0) – Elementi di geometria differenziale di curve nel piano e nello spazio e di superfici nello spazio.
Testi consigliati
a) E. Sernesi: Geometria I, Bollati Boringhieri, Torino
b) E. Sernesi: Geometria II, Bollati Boringhieri, Torino.
c) C. Ciliberto: Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, Torino
d) Appunti di alcuni argomenti dei Capitoli IV, V e VI, disponibili alla pagina internet:
http://www.dmi.unict.it/˜frusso/DMI/Geometria II.html
Materiale Didattico Integrativo
– Compiti assegnati svolti, disponibili sulla pagina internet
http://www.dmi.unict.it/˜frusso/DMI/Geometria II.html
– Liste di Esercizi svolti a Lezione disponibili sulla pagina internet:
http://www.dmi.unict.it/˜frusso/DMI/Geometria II.html
e-mail: [email protected]
Sito web corso: http://www.dmi.unict.it/˜frusso/DMI/Geometria II.html
