ESERCIZI PER CASA – PRIMA E SECONDA SETTIMANA Universit

ESERCIZI PER CASA – PRIMA E SECONDA SETTIMANA
Università degli Studi di Trento – Corso di Laurea in Matematica
Corso di Teoria dei Gruppi – A.A. 2013/14
26 febbraio 2014
Inversi in un monoide. (1) Mostrate che, in un monoide, se il prodotto ab è invertibile allora a ha
un inverso destro e b ha un inverso sinistro.
(2) Costruite un esempio di elementi a, b di un monoide tali che ab sia invertibile, ma ba non lo sia.
[Suggerimento: Per trovare un esempio potete scegliere come monoide quello delle mappe di un insieme in
se stesso. Ci vorrà un insieme infinito, ad esempio i numeri naturali.]
I gruppi di ordine quattro. Mostrate che ci sono, a meno di isomorfismo, esattamente due gruppi di
ordine quattro, direttamente scrivendo le possibili tabelle di moltiplicazione.
[Suggerimento:
Se il gruppo ha un elemento di ordine quattro allora è ciclico (e ricordate che due gruppi
ciclici dello stesso ordine sono isomorfi). Altrimenti il gruppo è 1, a, b, c con ciascuno di a, b, c avente ordine due.
Mostrate che c’è un solo modo di completare la tabella di moltiplicazione in modo da avere un gruppo.]
Sottogruppi finiti. Sia G un gruppo e H un suo sottoinsieme finito. Mostrate che H è un sottogruppo
se e solo se h1 h2 ∈ H per ogni h1 , h2 ∈ H.
[Suggerimento: Questo fatto è stato già dimostrato in classe, ma è istruttivo darne una dimostrazione diversa:
fissato un elemento h di H, considerate la mappa di H in se stesso data da x 7→ hx e usate il Lemma dei cassetti.]
Intersezioni ed unioni. Siano H e K due sottogruppi del gruppo G.
(1) Mostrate che l’intersezione H ∩ K è un sottogruppo di G.
(2) In generale l’unione di sottogruppi non è un sottogruppo. Infatti, mostrate che se l’unione H ∪K
è un sottogruppo di G, allora H ⊆ K oppure H ⊇ K.
[Suggerimento:
allora hk... ]
Ad esempio, procedendo per assurdo, siano h ∈ H \ K (l’insieme differenza) e k ∈ K \ H,
Prodotto di sottogruppi. Se H e K sono sottogruppi finiti di un gruppo (arbitrario) G, mostrate che
il numero di elementi del prodotto HK = {hk : h ∈ H, k ∈ K} (che non è in generale un sottogruppo)
è dato da |HK| = |H| · |K|/|H ∩ K|.
[Suggerimento: Se g ∈ G, quante soluzioni (h, k) ∈ G × G ha l’equazione hk = g?]
Ancora prodotto di sottogruppi. Siano H e K due sottogruppi di un gruppo G. Mostrate che il
prodotto HK è un sottogruppo se e solo se HK = KH.
Gruppi di ordine pari. Mostrate che un gruppo di ordine pari ha sempre (almeno) un elemento di
ordine due.
[Suggerimento:
Considerate la mappa g 7→ g −1 . ]
Ordine di un elemento di un gruppo quoziente. Se N E G e g ∈ G, mostrate che l’ordine
dell’elemento gN del gruppo quoziente G/N divide l’ordine di g.
Affinità della retta. Per a, b ∈ R definiamo la mappa τa,b : R ∈ R come xτa,b = ax + b (che è
un’affinità).
(1) Mostrate che G = {τa,b : a 6= 0} forma un gruppo rispetto alla composizione di mappe (che,
ricordo, noi preferiamo scrivere da sinistra a destra). (È il gruppo affine della retta.)
(2) Mostrate che H = {τa,0 : a 6= 0} (le omotetie) è un sottogruppo di G, che K = {τ1,b : b ∈ R} (le
traslazioni) è un sottogruppo normale di G, che H ∩ K = 1, e che HK = G.
(3) Fissato b ∈ R, calcolate H τ1,b = (τ1,b )−1 Hτ1,b cioè dite quali sono i suoi elementi.
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Sottogruppi normali. Dimostrate le affermazioni seguenti.
(1) Il centro Z(G) di un gruppo G si definisce come l’insieme degli elementi di G che commutano
con ogni altro elemento di G, cioè Z(G) = {z ∈ G : zg = gz per ogni g ∈ G}. Mostrate che Z(G) E G
(cioè che Z(G) è un sottogruppo normale di G).
(2) Se H ≤ G e N E G, allora HN ≤ G. Se poi anche H E G, allora HN E G.
(3) Se H ≤ G e N E G, allora H ∩ N ≤ H. Se poi anche H E G, allora H ∩ N E G.
Radici complesse dell’unità.
(1) Mostrate che il gruppo unitario U (1) := {z ∈ C : |z| = 1} ≤ C∗ è isomorfo al gruppo quoziente
R/Z.
[Suggerimento: Definite un omomorfismo di R su U (1) e poi usate il Teorema fondamentale sugli
omomorfismi.]
(2) Mostrate che se G è un gruppo abeliano, allora gli elementi di G che hanno ordine finito formano
un sottogruppo (detto il sottogruppo di torsione).
[Suggerimento: Se g, h ∈ G hanno ordini m ed n, che ordine può avere gh?]
(3) Trovate tutti gli elementi di ordine finito di C∗ , mostrando che appartengono a U (1). Mostrate
che il sottogruppo da essi formato (cioè il sottogruppo di torsione di C∗ , ovvero di U (1)) è
isomorfo al gruppo quoziente Q/Z.
(4) Mostrate che, per ogni intero positivo n, il gruppo U (1) ha esattamente un sottogruppo di ordine
n, e questo è ciclico.
[Suggerimento: Usate il teorema di Lagrange e notate che ogni elemento di ordine un divisore di n è
radice dell’equazione z n = 1.]
Omomorfismi. Sia ψ : G → H un omomorfismo di gruppi.
(1) Mostrate che l’immagine Kψ di un sottogruppo K di G è un sottogruppo di H.
(2) Mostrate che la controimmagine Lψ −1 = {g ∈ G : gψ ∈ L} di un sottogruppo L di H è un
sottogruppo di G.
(3) Mostrate che se L è un sottogruppo normale di H allora la sua controimmagine Lψ −1 è un
sottogruppo normale di G.
(4) Mostrate con un esempio che l’immagine di un sottogruppo normale di G non è necessariamente
un sottogruppo normale di H.
Prodotto diretto di gruppi. Se H e K sono gruppi, il loro prodotto diretto (esterno) è il prodotto
cartesiano H × K = {(h, k) : h ∈ H, k ∈ K} dotato dell’operazione componente per componente, cioè
(h1 , k1 ) · (h2 , k2 ) := (h1 h2 , k1 k2 ).
(1) Verificate che il gruppo prodotto diretto H × K contiene sottogruppi H̄ = H × 1 e K̄ = 1 × K
isomorfi ad H e K, rispettivamente.
(2) Mostrate che H̄ e K̄ sono sottogruppi normali, che H × K = H̄ K̄ e che H̄ ∩ K̄ = 1.
(3) Viceversa, mostrate che se un gruppo G ha sottogruppi normali H e K tali che G = HK e
H ∩ K = 1 cioè, come si dice, G è prodotto diretto interno dei suoi sottogruppi H e K, allora G è
isomorfo al prodotto diretto (esterno) H × K.
[Suggerimento: In Algebra Lineare dovreste aver visto implicazioni analoghe per la somma diretta di spazi
vettoriali. In più qui c’è solo da stare attenti all’eventuale non commutatività (quindi sottogruppi normali, ecc.).
Per la parte (3) serve mostrare che nella situazione descritta, cioé quella di un prodotto diretto interno, ciascun
elemento di H commuta con ciascun elemento di K; per farlo notate che h−1 k−1 hk = h−1 hk = (k−1 )h k.]
Esempi di prodotti diretti (e non).
(1) Esprimete ciascuno dei seguenti gruppi (abeliani), almeno in un modo, come prodotto diretto (interno) di due sottogruppi propri (cioè diversi dall’intero
gruppo): (a) C∗ (i complessi non nulli, con la moltiplicazione);
(b) Q>0 (i numeri razionali positivi, con la moltiplicazione);
(c) Z/15Z (le classi resto modulo 15, con l’addizione).
(2) Spiegate perché Z (il gruppo degli interi, con l’addizione) non può essere il prodotto diretto di
due sottogruppi propri.
(3) Spiegate perché Q (il gruppo dei razionali, con l’addizione) non può essere il prodotto diretto di
due sottogruppi propri.
[Suggerimento: Per Q>0 usate la fattorizzazione unica di un numero intero positivo, e quindi anche di un
numero razionale. Per Z ricordate quali sono i suoi sottogruppi.]