1977-1978 - Docenti.unina

Anno accademico 1977-1978
Dissertazione:
Illustrare alcuni fatti sperimentali per l’interpretazione dei quali è necessario
supporre che la luce sia un fenomeno di natura ondulatoria ed altri per i quali
occorre considerarla di natura corpuscolare.
I) Un tizio uscendo lascia la cucina chiusa, ma il frigorifero aperto ed in funzione.
Tornando, trova la stanza globalmente più fredda o più calda? Perché?
Si osservi anzitutto che la cucina deve essere considerata come un sistema isolato
con l’unica energia che può entrare quella elettrica che fa funzionare il frigorifero,
che è una pompa di calore che assorbe una quantità di calore 𝑄 dal suo interno e
scarica all’esterno una quantità maggiore. Per funzionare, il motore assorbe
l’energia elettrica 𝐸 ed il frigo scarica in cucina la quantità di calore 𝑄 + 𝐸. Allora,
se si dimentica il frigo con lo sportello aperto ed in funzione, si può dire che la
cucina si riscalda e la sua temperatura sale, dato che si trasferisce l’energia
𝐸 = 𝑃 ∆𝑡 ,
essendo 𝑃 è la potenza del motore del frigo e ∆𝑡 è la durata di funzionamento.
Questa energia non può uscire dalla stanza, avendo supposto il sistema isolato,
ma vi entra dell’energia elettrica che si trasforma in calore che provoca un
aumento di temperatura.
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Per un motivo opposto un condizionatore d’aria assorba calore dall’ambiente da
condizionare e scarica all’esterno la somma del calore assorbito e dell’energia
elettrica consumata.
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II) Il diamante e la grafite sono costituiti di carbonio. Perché si può scrivere con la
grafite e non con il diamante?
La grafite ed il diamante sono due forme allotropiche del carbonio. Gli allotropi
sono particolari stati nei quali si può trovare uno stesso composto chimico. La
grafite è una delle forme nelle quali il carbonio elementare si può trovare in
natura: un altro esempio celebre è il carbone. Chimicamente, si può immaginare
la grafite come un struttura composta da atomi di carbonio in reticolo esagonale,
come mostrato in figura.
Il nome stesso grafite, dal greco «scrivere», non fu coniato in Europa che alla fine
del 1700. Essa è stata utilizzata dagli Aztechi come mezzo di scrittura secoli prima
che Cristoforo Colombo partisse per le Indie e finendo invece ai Caraibi.
Questo minerale, formato solo da atomi di carbonio, si differenzia dal diamante
per la disposizione nello spazio degli atomi. La grafite è organizzata in piani
bidimensionali impilati uno sull’altro, all’interno dei quali i legami fra gli atomi di
carbonio che si trovano sullo stesso piano sono molto forti, mentre quelli che si
stabiliscono fra uno strato e l’altro sono invece molto più deboli (forze di Van der
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Walls). Uno strato monoatomico di questo reticolo viene detto grafene. Di
conseguenza, la grafite tende a far scorrere uno sull’altro gli strati bidimensionali
dei quali è composta, manifestando quindi un grande potere lubrificante. È
proprio questa proprietà che le conferisce le caratteristiche di materiale da
scrittura: appoggiando la punta di una matita su una superficie porosa il primo
strato di minerale vi aderisce, mentre i successivi ci scivolano sopra. Nel
diamante, invece, la struttura tridimensionale del cristallo fa sì che tutti i legami
fra atomi di carbonio siano estremamente forti, tanto da essere il minerale più
duro esistente. Questa struttura, caratterizzata da un reticolo cubico si forma solo
con pressioni e temperature molto elevate, ma quando si trova in condizioni
ordinarie tende spontaneamente a trasformarsi in grafite. Dunque un prezioso
diamante non è «per sempre», ma nel giro di milioni di anni diventerà più
modestamente grafite.
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III) Alla domanda “Qual è il periodo di un pendolo di lunghezza 𝑙?”, un candidato
risponde 𝑇 = 2√𝑔/𝑙 ed un altro 𝑇 = √𝑙/𝑔. Le due risposte sono errate, ma la
prima viene ritenuta peggiore della seconda. Perché?
Il periodo di oscillazione di un pendolo vale
𝑙
𝑇 = 2𝜋√ .
𝑔
Ora, il secondo candidato ha semplicemente dimenticato la costante 2𝜋. Il primo,
invece, ha scritto una relazione che, dal punto di vista dimensionale, è
inconsistente, dato che
𝑔
𝑚 1
1
[ ]= 2∙ = 2.
𝑙
𝑠 𝑚 𝑠
Il primo candidato ha scritto una formula in cui un tempo ha le dimensioni di una
frequenza: ecco perché è più grave di quanto pur erroneamente scritto dal
secondo candidato.
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IV) Un astronauta in orbita, alla richiesta della base di controllare il proprio peso,
risponde che non può perché le bilance a bordo non funzionano. Da Terra gli si
comunica che può servirsi della bilancia a molla di cui dispone (e di cui conosce la
costante elastica), e di un orologio. Come?
L’astronauta a bordo di una navicella spaziale in orbita intorno alla Terra
sperimenta la condizione di assenza di peso, sottoposto com’è all’azione di due
forze uguali e contrarie: la forza peso, dovuta all’attrazione gravitazionale del
nostro pianeta, che tende ad attrarlo verso Terra; la forza centrifuga, dovuta al
moto di rivoluzione del satellite intorno alla Terra, che invece tende ad
allontanarlo. L’astronauta dunque fluttua all’interno del satellite e ha di fatto peso
nullo. Ma la sua massa è la stessa che aveva sulla Terra e lo stesso vale per tutti gli
oggetti che fluttuano intorno a lui. La misura della massa di un corpo viene
normalmente eseguita sulla Terra utilizzando una bilancia, uno strumento cioè
che misura la forza con cui esso viene attratto per gravità verso terra (la forzapeso).
È possibile calcolare la massa di un oggetto, quindi anche quella degli astronauti,
senza una bilancia misurando il periodo di oscillazione dell’oggetto fissato ad una
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molla. Questo metodo introduce due importanti concetti della fisica: l’oscillazione
armonica e la legge di Hooke. La legge di Hooke descrive la grandezza della forza
elastica di una molla. Il movimento risultante è detto moto armonico semplice non
smorzato. In realtà, questo accade solo se le forze di attrito sono trascurabili.
Se la costante elastica della molla è nota, è possibile trovare la massa di un oggetto
misurando il periodo di oscillazione. Il periodo di oscillazione del movimento è il
tempo necessario perché la massa completi un ciclo. Quanto maggiore è la massa
tanto più lungo è il periodo di oscillazione. Questa è una conseguenza dell’inerzia,
la resistenza di un oggetto al cambiamento di velocità. La gravità non influenza il
periodo di un oscillatore armonico. Precisamente, con l’orologio a disposizione si
può misurare il periodo 𝑇 di oscillazione, che è collegato alla massa 𝑚 dalla
relazione
𝑚
𝑇 2
𝑇 = 2𝜋√
→ 𝑚 = 𝑘( ) ,
𝑘
2𝜋
essendo 𝑘 la costante elastica della molla.
Il metodo descritto è utilizzato anche sulla Stazione Spaziale Internazionale (ISS),
una stazione spaziale dedicata alla ricerca scientifica e che si trova in orbita
terrestre bassa, gestita come progetto congiunto da cinque diverse agenzie
spaziali: la statunitense NASA, la russa RKA, l’europea ESA, con tutte le agenzie
spaziali correlate, la giapponese JAXA e la canadese CSA. Il misuratore di massa
corporea sfrutta la proprietà del moto armonico per misurare la massa degli
astronauti. Un astronauta con massa maggiore vibrerà più lentamente di un
collega con massa minore.
La struttura della stazione, con i suoi oltre cento metri di intelaiatura, copre
un’area maggiore di qualsiasi altra stazione spaziale precedente, tanto da
renderla visibile dalla Terra a occhio nudo. Le sezioni di cui è composta sono
gestite da centri di controllo missione a terra, resi operativi dalle agenzie spaziali
che partecipano al progetto.
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La ISS fornisce una struttura per condurre esperimenti che richiedono una o più
condizioni anomale che risultano essere presenti sulla stazione. I principali campi
di ricerca comprendono la ricerca sull’uomo, la Medicina Spaziale, la Biologia, con
esperimenti biomedici e sulle biotecnologie, la Fisica, compresa la Meccanica dei
Fluidi e la Meccanica Quantistica, la Scienza dei Materiali, l’Astronomia, inclusa la
Cosmologia, e la Meteorologia.
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1) Su di un vagone di 5 𝑡𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙𝑙𝑎𝑡𝑒, mobile su supporti senza attrito, sono piazzati
una mitragliatrice e un bersaglio (in grado di assorbire i colpi) distanti fra loro
5 𝑚. La mitragliatrice comincia a sparare 10 proiettili di 100 𝑔 al secondo, aventi
velocità iniziale di 500 𝑚/𝑠. Di conseguenza il vagone si muove.
(𝑎) In che direzione, e perché?
(𝑏) Si descriva il moto istantaneo fra uno sparo e l’altro.
(𝑐) Qual è la velocità media risultante? Quale ne è l’interpretazione in termini del
baricentro vagone–proiettili?
Si osserva preliminarmente che l’unica forza agente sul vagone 𝑀 = 5000 𝑘𝑔 e
sui proiettili 𝑚 = 0.1 𝑘𝑔 è la forza di gravità, che è verticale ed è equilibrata dalla
reazione dei supporti sui cui poggia il vagone. Dunque, per quel che riguarda gli
spostamenti orizzontali, non essendo presenti forze né attriti, la quantità di moto
si conserva.
(𝑎) Si supponga, per semplicità, che un solo proiettile venga sparato e che sia
diretto in maniera concorde all’asse delle ascisse di un sistema di riferimento
solidale con i binari. Essendo la quantità totale di moto orizzontale nulla prima
dello sparo, tale resta anche durante lo sparo, per cui
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0 = −(𝑀 − 𝑚)𝑣 + 𝑚𝑉 → 𝑣 =
𝑚
𝑉,
𝑀−𝑚
laddove con 𝑣 e 𝑉 = 500 𝑚/𝑠 si sono indicati i moduli della velocità del vagone e
del proiettile. Il segno meno nel primo addendo è dovuto al fatto che il vagone si
muove in direzione opposta alla direzioni di sparo del proiettile ed è
indispensabile per imporre la conservazione della quantità di moto. Dunque, si ha
𝑣=
𝑚
0.1
𝑚
𝑚
𝑉=
∙ 500
≅ 0.01 .
𝑀−𝑚
5000 − 0.1
𝑠
𝑠
Si noti come si ininfluente la massa 𝑚 al denominatore, vista la sproporzione tra
la massa del vagone e quella del proiettile
𝑀≫𝑚.
(𝑏) Il carrello si sposta in direzione opposta a quella del proiettile, finché che il
proiettile non colpisce il bersaglio. Appena il proiettile colpisce il bersaglio,
solidale con il vagone, deposita tutta la sua energia cinetica, che viene trasformata
in calore secondo un urto perfettamente anelastico: il proiettile ed il vagone si
fermano. Si noti, tuttavia, che il centro di massa non si è spostato, dato che la
distribuzione della massa nel sistema è cambiata, ma il carrello è traslato.
(𝑐) Se il vagone rimanesse fermo, un proiettile impiegherebbe il tempo
∆𝑡 =
5𝑚
= 0.01 𝑠
500 𝑚/𝑠
per raggiungere il bersaglio. Questo tempo si può considerare un limite superiore,
dato che, seppur di poco, il vagone rincula, avvicinando il bersaglio al proiettile,
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che impiegherà per questo sicuramente un tempo più piccolo. Dato che il ritmo di
sparo è di 10 proiettili al secondo, quando parte il secondo proiettile, il primo ha
già raggiunto il bersaglio: ciò vuol dire che ci sarà in volo sempre un solo proiettile
per volta. Nell’intervallo di tempo ∆𝑡 la velocità del carrello sarà pari a
𝑣 ≅ 0.01
𝑚
.
𝑠
Pertanto, ripetendosi il fenomeno con un periodo 𝑇 = 0.1 𝑠, si può determinare la
velocità media, che è pari a
𝑣𝑀 =
0.01 ∙ 𝑣 + 0 ∙ 0.09
𝑚
= 0.001𝑣 ≅ 10−5
.
0.1
𝑠
Un osservatore posto nel baricentro, che rimane fermo durante tutto il tempo
degli spari per la conservazione della quantità di moto, vede la carrozza traslare
alla sua sinistra con la velocità media calcolata. Indipendentemente da come
vengono sparati i proiettili, il vagone, che si è supposto fermo prima degli spari,
non può spostarsi di un tratto maggiore della sua lunghezza.
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2) Si vuole misurare la velocità angolare 𝜔 di un corpo cilindrico rotante
verticalmente attorno al proprio asse. Per questo viene vincolata sulla base
inferiore del cilindro, nel punto di intersezione con l’asse di rotazione, un’asta
rigida sottile di massa trascurabile e lunghezza 𝐿 la quale porta all’altra estremità
una sfera di massa 𝑀.
Il vincolo è tale da trasmettere completamente all’asta il moto di rotazione, ma da
permettere all’asta di formare un angolo qualunque a con l’asse del cilindro.
Quando il cilindro non ruota, 𝛼 = 0, cioè l’asta assume la posizione verticale. Si
porta il cilindro in rotazione con velocità angolare 𝜔 e si osserva che l’asta
descrive un cono con vertice nel vincolo e apertura a che dipende da 𝐿 e da 𝜔, per
cui dalla misura di 𝛼 è possibile determinare 𝜔.
(𝑎) Perché l’asta si solleva dalla posizione di equilibrio quando il cilindro è posto
in rotazione?
(𝑏) Determinare la relazione che intercorre fra 𝛼, 𝜔 e 𝐿.
(𝑐) Tale relazione è valida solo se 𝜔 > 𝜔, dove 𝜔 dipende da 𝐿. Trovare 𝜔 e darne
un’interpretazione.
Prima di discutere i tre punti proposti dall’esercizio, è necessario fare qualche
richiamo sul pendolo conico, che è in sostanza costituito da una massa 𝑀,
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collegata ad un’asta inestensibile di lunghezza 𝐿 e di massa trascurabile, che si
muove a velocità angolare 𝜔 costante, descrivendo una circonferenza di raggio
𝑟 = 𝐿 sin 𝛼, come suggerisce la figura riportata di seguito.
Le uniche forze che agiscono sulla massa 𝑀 sono il peso 𝑃 = 𝑀𝑔 e la tensione 𝑇
della fune. Queste forze, affinché la massa pendolare 𝑀 si muova di moto circolare
uniforme, devono avere per risultante la forza centripeta 𝐹 = 𝑀𝜔2 𝑟.
Si vuole dimostrare che l’angolo 𝛼 di apertura dell’asta non dipende dalla massa
pendolare, ma solamente dalla lunghezza 𝐿 del filo e dalla velocità angolare 𝜔.
Dal momento che
⃗⃗ ,
𝐹⃗ = 𝑃⃗⃗ + 𝑇
deve risultare che
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{
𝑇 sin 𝛼 = 𝑀𝜔2 𝑟 ,
𝑇 cos 𝛼 = 𝑀𝑔 .
Dividendo membro a membro e semplificando, si ricava
𝜔2 𝑟
𝜔2 𝐿 sin 𝛼
tan 𝛼 =
=
𝑔
𝑔
→ cos 𝛼 =
𝑔
,
𝜔2𝐿
che dimostra che 𝛼 non dipende dalla massa 𝑀. Un esempio concreto lo si può
osservare notando che in una giostra l’apertura del seggiolino non dipende dalla
massa di chi vi sta seduto ma dalla velocità angolare della giostra. Se si esplicita la
pulsazione, si ottiene la relazione che consente la sua determinazione
sperimentale, una volta determinato l’angolo di apertura del pendolo
𝜔=√
𝑔
.
𝐿 cos 𝛼
Ricavando invece l’angolo 𝛼, si può scrivere che
𝛼 = cos −1
𝑔
,
𝜔2𝐿
che è un’espressione definita solo se
𝑔
𝑔
√
≤
1
→
𝜔
≥
=𝜔.
𝜔2𝐿
𝐿
Al di sotto della pulsazione 𝜔, la rotazione produce sempre un angolo 𝛼 = 0, dato
che la tensione nell’asta non riesce a vincere la gravità del corpo. Per pulsazioni
superiori, il pendolo si apre anche di angoli elevati, tendenti all’angolo retto, come
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dimostra la figura che segue, in cui si è riportato in ascisse il rapporto
adimensionale 𝑥 = 𝜔/𝜔, mentre in ordinate vi è l’angolo
2
𝜔
𝛼 = cos −1 ( ) ,
𝜔
espresso in radianti.
Dopo queste premesse, si passa all’esercizio.
(𝑎) Perché l’asta si solleva dalla posizione di equilibrio quando il cilindro è posto
in rotazione? La ragione risiede nella tensione del filo che, quando è
sufficientemente grande, è in grado di sollevare la massa 𝑀, vincendo la forza di
gravità.
(𝑏) Determinare la relazione che intercorre fra 𝛼, 𝜔 e 𝐿. Da quanto precede risulta
cos 𝛼 =
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𝑔
.
𝜔2𝐿
(𝑐) Tale relazione è valida solo se 𝜔 > 𝜔, dove 𝜔 dipende da 𝐿. Trovare 𝜔 e darne
un’interpretazione. Si è già mostrato che
𝜔=√
𝑔
𝐿
e che, al di sotto di questa pulsazione, la tensione nell’asta non è sufficiente a
vincere la forza di gravità.
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3) Una scatola chiusa presenta 5 morsetti 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, e contiene all’interno una
batteria di resistenza interna trascurabile e forza elettromotrice 𝑉. Ciascun
morsetto è connesso, attraverso una resistenza, ad un polo della batteria.
Si vuole, senza aprire la scatola, conoscere come sono connessi i morsetti ai poli.
Mediante un voltmetro (di resistenza praticamente infinita) si misura la d.d.p. fra
i diversi morsetti e si trova:
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐷 = 𝑉𝐶 − 𝑉𝐷 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐸 = 0 𝑣𝑜𝑙𝑡 ;
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐸 = 𝑉𝐶 − 𝑉𝐵 = 𝑉𝐷 − 𝑉𝐵 = 𝑉𝐷 − 𝑉𝐸 = 𝑉𝐶 − 𝑉𝐸 = 10 𝑣𝑜𝑙𝑡 .
Si ripetono le misure shuntando il voltmetro con una resistenza 𝑅 = 10 Ω, cioè
collegando una resistenza di 10 Ω fra i suoi terminali, e si trova:
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐷 = 𝑉𝐶 − 𝑉𝐷 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐸 = 0 𝑣𝑜𝑙𝑡 ;
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐸 = 10 𝑣𝑜𝑙𝑡 ;
𝑉𝐶 − 𝑉𝐵 = 𝑉𝐶 − 𝑉𝐸 = 5 𝑣𝑜𝑙𝑡 ;
𝑉𝐷 − 𝑉𝐵 = 𝑉𝐷 − 𝑉𝐸 = 2 𝑣𝑜𝑙𝑡 .
Determinare la f.e.m. della batteria e il modo in cui i morsetti sono connessi ai poli
della batteria.
Sulla penta-polo vengono effettuati due insiemi di misure: le prime con il solo
voltmetro ideale; le secondo con un resistore di resistenza nota. Si nota subito che
alcune di esse sono inutili. Ad esempio, dal primo esperimento si sa che
𝑉𝐴 − 𝑉𝐶 = 0 , 𝑉𝐴 − 𝑉𝐷 = 0 .
Se si sottrae la seconda misura alla prima, si ottiene
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𝑉𝐶 − 𝑉𝐷 = 0 ,
che ì discende dunque dalle prime due. Considerando con attenzione il primo
insieme di dati, si conclude che la topologia della rete è quella riportata nella
figura che segue e che
𝑉 = 10 𝑣𝑜𝑙𝑡 .
Per uniformare la grafia ed evitare errori di interpretazione il Sistema Internazionale prevede
alcune norme per la scrittura delle unità di misura e dei relativi simboli. Le unità di misura
dovrebbero essere scritte per esteso se inserite in un testo discorsivo; la scrittura deve essere
in carattere tondo minuscolo e si devono evitare segni grafici come accenti o segni diacritici. Ad
esempio si deve scrivere ampere e non ampère o Ampère. Per raggruppare le cifre della parte
intera di un valore a tre a tre partendo da destra bisogna utilizzare lo spazio. Ad esempio
1 000 000 o 342 142 (in altri sistemi si scrive 1,000,000 o 1.000.000). Come separatore tra
parte intera e parte decimale si usa la virgola, ad esempio 24,51. Nel 2003 il CGPM concesse di
usare il punto nei testi in inglese, concessione poi estesi anche agli altri paesi.
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Il secondo insieme di misure è ottenuto ponendo un resistore 𝑅 = 10 Ω tra i due
morsetti indicati. In tal modo,
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 10 𝑣𝑜𝑙𝑡
vuol dire che il resistore 𝑅, posto tra i morsetti 𝐴 e 𝐵, chiude con il generatore una
maglia, in cui i resistori 𝑅𝐴 , 𝑅𝐵 , 𝑅 sono in serie e, quindi, circola una corrente che
è pari a
𝐼=
𝑉
,
𝑅 + 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
da cui si ricava
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑅𝐼 = 𝑉
𝑅
→ 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 0 .
𝑅 + 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
Similmente, si ottiene
𝑉𝐴 − 𝑉𝐸 = 10 𝑣𝑜𝑙𝑡 → 𝑅𝐴 + 𝑅𝐸 = 0 Ω .
Già da queste prime due relazioni, poiché che una resistenza non può essere
negativa, si deduce che
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 = 𝑅𝐸 = 0 Ω .
Esaminando in maniera analoga le altre misure, non è difficile concludere che
𝑅𝐶 = 𝑅 = 10 Ω , 𝑅𝐷 = 4𝑅 = 40 Ω
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ed il circuito equivalente finale è mostrato nella figura che segue.
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