Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi
Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per
righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione gaussiana. Matrice invertibile. Matrice inversa. Matrice elementare. Vettori standard.
Saper fare
• Applicare operazioni elementari su una
matrice.
minare il numero di soluzioni di un sistema lineare.
• Applicare l’algoritmo per
l’inversa di una matrice.
• Ridurre a scala per righe una matrice.
• Calcolare il rango di una matrice.
• Risolvere un sistema
l’eliminazione gaussiana.
lineare
calcolare
• Conoscere le formule per (A−1 )−1 ,
(AB)−1 e (At )−1 .
con
• Riconoscere una matrice elementare.
• Distinguere tra incognite libere e incognite vincolate.
• Trovare l’inversa di una matrice elementare senza fare calcoli.
• Riconoscere il ruolo dei ranghi di matrice completa e incompleta nel deter-
• Elencare le caratterizzazioni di una matrice invertibile.
Vero o Falso?
Determinare quale degli asserti che seguono è vero e quale è falso. Se l’asserto è vero bisogna
dimostrarlo richiamando definizioni o teoremi esposti negli appunti. Se l’asserto è falso bisogna
trovare un controesempio o una spiegazione del perché l’asserto è falso.
• Ogni matrice ha infinite riduzioni a scala
per righe.
• Un sistema lineare Ax = b è compatibile se e solo se b è combinazione lineare
delle colonne di A.
• Ogni matrice ha un’unica forma canonica per righe.
• Se una riduzione a scala della matrice
(A | b) ha una riga nulla, allora il sistema Ax = b ha infinite soluzioni.
• Ogni matrice triangolare superiore è una
matrice a scala per righe.
• Un sistema lineare omogeneo è sempre
compatibile.
• Ogni matrice a scala è una matrice triangolare superiore.
• Un sistema lineare è omogeneo se e solo
se 0 è soluzione del sistema.
• Se la matrice A ha più righe della matrice B, allora A ha rango maggiore o al
più uguale al rango di B.
• Un sistema lineare è compatibile se e
solo se l’ultima colonna della matrice
completa del sistema non è una colonna
pivot.
• Se A e B sono matrici della stessa
taglia, allora rango (A + B) = rango A +
rango B.
• Un sistema lineare che ha più incognite
che equazioni ha infinite soluzioni.
• Se A e B sono matrici per le
quali AB esiste, allora rango (AB) =
(rango A)(rango B).
• Una matrice quadrata A è invertibile se
e solo se le righe di A sono tutte non
nulle.
• Una matrice ha rango 0 se e solo se è la
matrice nulla.
• Se λ è uno scalare non nullo, allora le
matrici A e λA hanno lo stesso rango.
• Se una matrice quadrata ha una riga (o
una colonna) nulla, allora la matrice non
è invertibile.
• Se λ è uno scalare non nullo, allora le
matrici A e λA hanno la stessa forma
canonica per righe.
• Se una matrice quadrata ha due righe
(o due colonne) uguali, allora la matrice
non è invertibile.
1
• Se in una matrice quadrata una riga (o
colonna) è un multiplo di un’altra riga
(o colonna), allora la matrice non è invertibile.
• Se A, B, C sono matrici quadrate di ordine n e BA = 1, AC = 1, allora B = C.
• Se A è una matrice invertibile, la
forma canonica per righe della matrice
(A | 1)−1 è la matrice (1 | A−1 ).
• Il prodotto di matrici elementari è una
matrice elementare.
• Ogni matrice elementare è invertibile.
• Ogni matrice è prodotto di matrici elementari.
• Se A e B sono matrici invertibili dello
stesso ordine, allora A + B è matrice invertibile.
• Se A è matrice m × n ed E è una matrice elementare m × m, allora A ed EA
hanno lo stesso rango.
• Se A e B sono matrici invertibili dello
stesso ordine, allora AB è matrice invertibile.
• Se E1 ed E2 sono matrici elementari, allora E1 E2 = E2 E1 .
• Se A è una matrice invertibile tale che
A2 = A, allora A = 1.
• Se E1 ed E2 sono matrici elementari
dello stesso tipo, allora E1 E2 = E2 E1 .
• Se A è matrice invertibile e B, C sono
matrici tali che AB = AC, allora B =
C.
• Se il sistema lineare Ax = 0 ha soluzioni
non triviali, allora A si può scrivere come
prodotto di matrici elementari.
• Se A è una matrice simmetrica (risp. antisimmetrica) invertibile, allora A−1 è
matrice simmetrica (risp. antisimmetrica).
• Se A è una matrice 3×3 di rango 2, allora
il sistema Ax = b ha infinite soluzioni.
• Se A è una matrice quadrata tale che
An = 0 per qualche intero n > 1, allora
la matrice 1 − A è invertibile.
• Ogni matrice triangolare superiore n × n
è equivalente per righe alla matrice 1n .
Esercizi
Esercizi Trovare una matrice a scala equivalente per righe alla matrice data, calcolarne il rango e
la forma canonica per righe
1.
1 4
−3 4
4.
−2 6
2 1 4
8. 2 −3 4 9.
3 −2 6
2 −1
12. 1 −2
1 −5
2 −2 −1
3 −2 3
15.
1 −1 1
2 −1 2
2
2
3
18.
2
1
2
1
0
3
3
2
1
4
1
5
2
3
7
2
1
1
2 −4
3 2
2.
3.
−3
−4 8
1 −1
0 1 3
2 −1
2 −1 3
5. 0 1 4 6. 3 2 7. 3 1 −2
0 3 5
2 5
2 −2 1
3 7 10
3 −3 6
3
5 −12
2 3 −1 10. 2 −2 4 11. 2
3
−7
1 2 1
6 −6 12
−2 −1
1
3 4
1 −2 1 3
0 1 2 1
1 3 13. 3 −6 2 7 14. 0 3 1 2
0 5
4 −8 3 10
0 2 0 1
3
4 7 4 7
1 −1 −1 2
1
16. 3 5 3 5 17. 3 −2 0 7
0
2 −2 2 −2
2 −1 2 4
2
5 −2 5 −2
4 −2 3 8
1 2 1 2 1 2
2 4 2 −2 5 1
2 4 3 5 5 7
0 4 20.
19. 3 6 2 2
3 6 4 9 10 11
4 8 2 6 −5 7
1 2 4 3 6 9
2
Esercizi Risolvere i seguenti sistemi lineari
2x − y + 3z = 14
3x − y = 1
3x + y − 2z = −1
2x + y + 5z = 4
7x + 2y − 3z = 3
7x − 5y − 8z = −3
5x − y − 2z = 5
x1 + 2x2 − x3 + x4 = 1
2x − 3x + x − x = 2
1
2
3
4
x1 − 5x2 + 2x3 − 2x4 = 1
4x1 + x2 − x3 + x4 = 3
x1 + 2x2 − x3 + x4 = 1
2x1 + 4x2 − 2x3 + 2x4 = 2
5x1 + 10x2 − 5x3 + 5x4 = 5
x1 + x2 + x3 − x4 = 4
x − x − x − x = 2
1
2
3
4
x1 + x2 − x3 + x4 = −2
x1 − x2 + x3 + x4 = −8
2x1 − x2 + 3x3 + x4 − x5 = 11
x1 − 3x2 − 2x3 − x4 − 2x5 = 2
3x1 + x2 − 2x3 − x4 + x5 = −2
x1 + 2x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = −3
5x − 3x − 3x + x + 2x = 2
1
2
3
4
5
x1 + 2x2 + x3 + x4 − 2x5 = 3
x3 + 4x4 − 3x5 = 2
2x1 + 4x2 − x3 − 10x4 + 5x5 = 0
Esercizi Risolvere i seguenti sistemi lineari omogenei
2x + y − z = 0
3x + 2y − z = 0
3x − y − 2z = 0
2x + y − z = 0
x−y−z =0
5x − 4y − z = 0
5x + 2y − 2z = 0
x−y+z =0
3y + 2z = 0
3x − z = 0
5x + y − z = 0
2x1 + x2 − x3 + x4 = 0
x + x + x − x = 0
1
2
3
4
3x
−
x
+
x
−
2x
1
2
3
4 =0
4x1 + 2x2 − x3 + x4
4x1 − 2x2 − x3 − x4 = 0
3x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 0
5x1 − x2 − 2x3 + x4 = 0
Esercizi 1. Studiare, al variare del parametro h, le soluzioni del sistema nelle incognite x, y, z
2x + (h + 1)y − z = 3
3x + (2h − 1)y − z = 3
hx + 2hz = −h2
x + (h − 2)y = 0
(1 + h)x + (h − 2)y + 2hz = −h
2. Discutere il sistema nelle variabili x1 , x2 , x3 , x4
x1 − x2 + 2x4 = b
ax1 + ax2 − 2x4 = c
−ax2 + (a + 1)x4 = a
al variare dei parametri a, b, c ∈ R.
3. Si consideri il sistema lineare Sk nelle incognite x1 , x2 , x3 , x4 a coefficienti reali definito da
x1 + 2kx3 + x4 = 1
2kx + (2k + 1)x = 2k
2
3
Sk :
x1 + 2kx2 + (6k + 2)x3 + x4 = 4k + 2
2kx2 + (2k + 1)x3 + (4k 2 + 2k)x4 = 2k
(a) Al variare di k, calcolare il rango della matrice completa e della matrice incompleta associate
ad Sk .
(b) Determinare i valori di k per i quali il sistema Sk è incompatibile.
(c) Determinare i valori di k per i quali il sistema Sk ammette una sola soluzione e per tali valori
calcolare la soluzione.
3
(d) Determinare i valori di k per i quali il sistema Sk ammette infinite soluzioni e per tali valori
calcolare le soluzioni.
4. Si consideri il sistema
2x1 + x2 − x3 + x4 = 0
x + x + x − x = 0
1
2
3
4
4x
+
2x
−
x
+
x4 = 0
1
2
3
3x1 − x2 + x3 + kx4 = 0
Determinare tutti i valori della costante k per i quali il sistema
(a) non ha soluzioni,
(b) ha infinite soluzioni,
(c) ha un’unica soluzione.
5. Si consideri il sistema
x + y − 2z = 4
3x + 5y − 4z = 16
2x + 3y − az = b
Determinare tutti i valori delle costanti a e b per i quali il sistema
(a) non ha soluzioni,
(b) ha infinite soluzioni,
(c) ha un’unica soluzione.
6. Si consideri il sistema
x − ay = 3
2x + y = 6
−3x + (a + b)y = 1
Determinare tutti i valori della costante k per i quali il sistema
(a) non ha soluzioni,
(b) ha infinite soluzioni,
(c) ha un’unica soluzione.
7. Far vedere che il sistema
x + y + z = a
2x + 3y + z = b
3x + 5y + z = c
ha infinite soluzioni se e solo se a − 2b + c = 0.
8. Che condizioni devono soddisfare a, b, c affinché i sistemi seguenti siano compatibili?
x + 2y + 3z = a
x + y + 2z = a
2x + 5y + 3z = b
x+z =b
x + 8z = c
2x + y + 3z = c
Esercizi Determinare, se possibile, la matrice inversa A−1 delle seguenti matrici A usando l’algoritmo
per il calcolo dell’inversa; verificare che la matrice trovata soddisfa A−1 A = 1n :
1 −1 2
3 5 1
1 2 −3
A = 2 1 11 , A = 1 2 1 , A = 2 6 −2 ,
4 −3 10
2 6 70
−1 1 4
1 −1 2 3
0 −2 −1 −3
2 0 3 −4
2 0
2
1
.
A=
3 −1 7 8 , A = 1 −2 0
2
1 0 3 5
3 −1 −2 0
λ1 0
0
0
0
0
0 λ1
λ 0 0 0
0 λ2 0
0
0 λ2 0
, A = 0
, A = 1 λ 0 0
A=
0
0 λ3 0
0 1 λ 0
0 λ3 0
0
0
0
0 λ4
λ4 0
0
0
0 0 1 λ
dove λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , λ sono scalari non nulli.
Esercizio Sia A una matrice m × n. Una matrice B tale che AB = 1m si dice una inversa destra
4
di A.
a) Dimostrare che se A ha rango m, allora esistono inverse destre di A.
b) Data la matrice
1 3 −1
A=
2 0 1
trovare tutte le inverse destre di A.
Esercizi Trovare matrici elementari che riducono a scala le matrici seguenti
2 −1 1
1 −1
3 1 2
,
, 3 0 2 .
2 3
−1 2 1
1 −1 2
Esercizi Scrivere le matrici seguenti come prodotto di matrici elementari
2 −1 1
1 −1
3 0 2 .
,
2 3
1 −1 2
Esercizio Dimostrare che se (A | b) è la matrice completa di un sistema lineare ed (R | c) è una
sua riduzione a scala, allora R è una riduzione a scala di A.
Esercizio Dimostrare che se R è una riduzione a scala della matrice A, allora (R | 0) è una riduzione
a scala di (A | 0).
Esercizio Sia A una matrice 4 × 3. È possibile che per ogni 4-colonna b il sistema Ax = b sia
compatibile?
Esercizio Per ottenere 100 barili di petrolio al costo di 45$ a barile e con 50g di zolfo per barile si
mescolano tre qualità di greggio. Il costo e il contenuto di zolfo di ciascuna qualità sono dati dalla
tabella seguente
Qualità
Costo per barile
Zolfo per barile
A
50$
30g
B
42$
62g
C
34$
94g
a) Trovare quanto di ciascuna qualità di greggio bisogna miscelare in modo da usare la quantità
minima di C.
b) Trovare quanto di ciascuna qualità di greggio bisogna miscelare in modo da usare la quantità
massima di C.
Esercizio Sia P (x) = ax2 + bx + c. Trovare a, b, c in modo che il grafico del polinomio P (x) passi
a) per i punti (1, 2), (−1, 6) e (2, 3),
b) per il punto (−1, 0) e abbia tangente orizzontale nel punto (2, −9).
Esercizio Supponendo che la matrice dei coefficienti di un sistema lineare compatibile abbia due
colonne uguali, dimostrare che il sistema ha infinite soluzioni.
Esercizio Si consideri il sistema Ax = b e siano a1 , a2 , . . . , an le colonne della matrice A. Si
supponga che b = λaj , per qualche j = 1, 2, . . . , n. Dimostrare che il sistema è compatibile.
Esercizio Sia A = (aij ) una matrice n × n. La traccia Tr A è per definizione la somma degli
elementi diagonali di A
Tr A = a11 + a22 + . . . + ann .
Far vedere che
a) Tr (A + B) = Tr A + Tr B,
b) Tr (λA) = λTr A, ove λ è uno scalare,
c) Tr (AB) = Tr (BA), ove A e B sono matrici m × n e n × m rispettivamente.
Esercizio Siano A una matrice m × n e B una matrice n × m. Sapendo che AB = 1m e BA = 1n ,
dimostrare che m = n.
Esercizio Sia A una matrice quadrata tale che 1 − A sia invertibile. Dimostrare che A(1 − A)−1 =
(1 − A)−1 A.
5
