scheda-di-lavoro_le-equazioni

...UN PÒ DI DEFINIZIONI

IL VALORE ATTRIBUITO ALL’INCOGNITA CHE RENDE VERA L’UGUAGLIANZA SI CHIAMA SOLUZIONE
 DUE EQUAZIONI SI DICONO EQUIVALENTI QUANDO HANNO LA STESSA SOLUZIONE.
 IN UN’EQUAZIONE: 2 x  3  5
LA
x È CHIAMATA INCOGNITA,
IL 2 È CHIAMATO COEFFICIENTE DELL’INCOGNITA,
IL 3 E IL 5 SONO CHIAMATI TERMINI NOTI
 IN BASE ALLA POSIZIONE DELL’INCOGNITA LE EQUAZIONI SONO:
 INTERE
SE L’INCOGNITA È PRESENTE SOLO NEI NUMERATORI
ESEMPIO:
3x  1  2  2 x
OPPURE
2 x
 3x
7
 FRATTE SE L’INCOGNITA È ANCHE NEI DENOMINATORI
ESEMPIO: 4 x 
2
2x  1
OPPURE
1 x
1

1 x x 1
 IN BASE AI COEFFICIENTI LE EQUAZIONI SONO:
 NUMERICHE SE I COEFFICIENTI SONO TUTTI NUMERI
3x  1  2  2 x
 LETTERALI SE COMPAIONO ALTRE LETTERE OLTRE L’INCOGNITA
3x  a  2  ax
IN UNA EQUAZIONE L'ESPRESSIONE SCRITTA A SINISTRA DEL SEGNO = PRENDE IL NOME DI PRIMO MEMBRO,
MENTRE QUELLA SCRITTA A DESTRA DEL SEGNO = PRENDE IL NOME DI SECONDO MEMBRO.
LE EQUAZIONI SI DISTINGUONO IN DETERMINATE, INDETERMINATE, IMPOSSIBILI
EQUAZIONE DETERMINATA (O POSSIBILE)
L’EQUAZIONE DETERMINATA E' L'EQUAZIONE VERA CHE AFFERMA CIOE' UN FATTO VERO ED UNICO:
AMMETTE UNA SOLA SOLUZIONE
ESEMPI:
x+1=2
SOLUZIONE x = 1
x3 = 9
SOLUZIONE x = 3
x-5=0
SOLUZIONE x = 5
EQUAZIONE IMPOSSIBILE
E' L'EQUAZIONE CHE AFFERMA UN FATTO FALSO,
NON AMMETTE NESSUNA SOLUZIONE.
ESEMPI:
y+1=y-1
NON ESISTE NESSUN VALORE CHE, SOSTITUITO
ALLA Y, FA SÌ CHE SOMMANDO AD Y IL VALORE 1
OTTENIAMO IL VALORE DI Y - 1.
x2 = - 4
NESSUNA POTENZA DI INDICE PARI PUÒ ESSERE UN
NUMERO NEGATIVO.
EQUAZIONE INDETERMINATA
E' L'EQUAZIONE CHE AFFERMA UN FATTO VERO
AMMETTE INFINITE SOLUZIONI
ESEMPI:
E' EVIDENTE CHE TALE EQUAZIONE È VERIFICATA
QUALUNQUE VALORE DIAMO ALLA X.
3X - 2 = 3X -2
IN PRATICA, L’EQUAZIONE INDETERMINATA CORRISPONDE ALL’IDENTITÀ
QUANDO IMPAREREMO A SVOLGERE SCOPRIREMO CHE SE LA
SOLUZIONE TROVATA SARÀ: :
x = NUMERO EQUAZIONE DETERMINATA (O POSSIBILE)
0 = NUMERO EQUAZIONE IMPOSSIBLE
0=0
EQUAZIONE INDETERMINATA (O IDENTITÀ)
1° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
SE SI AGGIUNGE O SI SOTTRAE LO STESSO NUMERO AI DUE MEMBRI DI UN’EQUAZIONE, SI OTTIENE UN’EQUAZIONE
EQUIVALENTE.
(OVVERO L’EQUAZIONE OTTENUTA AVRÀ LA STESSA SOLUZIONE)
ESEMPIO:
x-6=0
SOLUZIONE:
x=6
AGGIUNGO +2 A ENTRAMBI I MEMBRI
OTTENGO
x-6+2=0 +2
x-4=+2
SOLUZIONE:
x=6
DAL PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DERIVANO CONSEGUENZE MOLTO UTILI PER LA RISOLUZIONE
DELLE EQUAZIONI:

REGOLA DELLA SOPPRESSIONE DEI TERMINI UGUALI: SE NEI DUE TERMINI DI UN’EQUAZIONE
FIGURA UNO STESSO TERMINE ESSO PUÒ ESSERE SOPPRESSO.
ESEMPIO:

2X + 2 – 5X = 10 – 5X
REGOLA DEL TRASPORTO DEI TERMINI: IN UN’EQUAZIONE È POSSIBILE TRASPORTARE UN TERMINE
DA UN MEMBRO ALL’ALTRO PURCHÉ SI CAMBI DI SEGNO.
ESEMPIO: 5X + 3 = 4 DIVENTA
5X = 4 - 3
GRAZIE AL 1° PRINCIPIO È POSSO USARE QUESTA REGOLA:
POSSO TRASPORTARE UN TERMINE DA UNA PARTE ALL'ALTRA DELL'UGUALE, MA CHI SALTA L'UGUALE
CAMBIA DI SEGNO
HTTP://LNX.SINAPSI.ORG/WORDPRESS/2011/01/12/EQUAZIONI-RISOLTE-CON-LA-BILANCIA/
HTTP://LNX.SINAPSI.ORG/WORDPRESS/2009/11/04/IMPARA-LE-EQUAZIONI-CON-LA-BILANCIA/
2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA
MOLTIPLICANDO
O DIVIDENDO PER LO STESSO NUMERO I DUE MEMBRI DI UN’EQUAZIONE, SI OTTIENE
UN’EQUAZIONE EQUIVALENTE
(OVVERO L’EQUAZIONE OTTENUTA AVRÀ LA STESSA SOLUZIONE)
ESEMPIO:
3x = 6
SOLUZIONE:
x=2
DIVIDO PER 3 ENTRAMBI I MEMBRI
OTTENGO:
3x = 6
3
3
x=2
SOLUZIONE:
x=2
DAL SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DERIVANO CONSEGUENZE MOLTO UTILI PER LA RISOLUZIONE
DELLE EQUAZIONI:

REGOLA DEL CAMBIAMENTO DI SEGNO: CAMBIANDO IL SEGNO A TUTTI I TERMINI DI
UN’EQUAZIONE, SI OTTIENE UN’ EQUAZIONE EQUIVALENTE.
ESEMPIO:  3 x  4  10 È EQUIVALENTE A
 3 x  4  10

REGOLA DELLA SOPPRESSIONE DEI DENOMINATORI NUMERICI: MOLTIPLICANDO CIASCUN TERMINE
DELL’EQUAZIONE PER IL M.C.M. DEI DENOMINATORI SI OTTIENE UN’EQUAZIONE EQUIVALENTE, MA
SENZA DENOMINATORI.
ESEMPIO:
x x
 2
3 4
MOLTIPLICO CIASCUN TERMINE PER 12 CHE È IL M.C.M. TRA I DENOMINATORI
x
x
 1 2 4   1 2 3  2  12
3 1
4 1
4 x  3 x  24
RISOLUZIONE DI UN'EQUAZIONE DI PRIMO GRADO AD UNA INCOGNITA
EQUAZIONI RIDOTTE IN FORMA NORMALE
LAVORIAMO SU UN ESEMPIO: HO L'EQUAZIONE
2X - 4 = 8
PER RISOLVERLA DEVO TRASFORMARLA IN
:
ax = b
IN TERMINI MATEMATICI, SI DICE “RIDURRE LA FRAZIONE IN FORMA NORMALE”
UNA FRAZIONE SI DICE RIDOTTA LA FRAZIONE IN FORMA NORMALE” QUANDO RISULTA DEL TIPO:
ax = b
QUANDO LA FRAZIONE È “RIDOTTA IN FORMA NORMALE”
ax = b
DIVIDO ENTRAMBI I MEMBRI PER a:
(2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA)
DA CUI:
ax b

a a
x
b
a
LA SOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE RIDOTTA IN FORMA NORMALE
È UGUALE AL QUOZIENTE TRA IL TERMINE NOTO E IL COEFFICIENTE DELL’INCOGNITA
x
TERMINE_NOTO
COEFFICIENTE_DELL' INCOGNITA
RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE CON SOLI TERMINI INTERI
TORNIAMO ALLA NOSTRA EQUAZIONE
2X - 4 = 8
PER RISOLVERLA DEVO TRASFORMARLA IN
ax = b

QUINDI IL PRIMO TERMINE DA ELIMINARE É - 4

PER FARLO APPLICO LA REGOLA DEL TRASPORTO DEI TERMINI
2x = 8 + 4
2x = 12
ADESSO LA FRAZIONE È
“RIDOTTA IN FORMA NORMALE”
2X = 12
DIVIDO ENTRAMBI I MEMBRI PER 2:
(2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA)
OVVERO:
x
TERMINE_ NOTO
COEFFICIENTE
x
12
2
x6
VERIFICA DELLA SOLUZIONE DI UN'EQUAZIONE
E' POSSIBILE CONTROLLARE SE HAI RISOLTO CORRETTAMENTE UN'EQUAZIONE.
L’UGUAGLIANZA È VERA SOLO SE AL POSTO DELLA
x METTO LA SOLUZIONE CORRETTA.
QUINDI POSSO FARE LA VERIFICA SOSTITUENDO NELL'EQUAZIONE DI PARTENZA LA SOLUZIONE TROVATA AL
POSTO DELLA X.
PROVIAMO A VERIFICARE LA SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE PRESA IN ESAME:

ATTRIBUIAMO ALL’INCOGNITA IL VALORE 6:
2X - 4 = 8
2·6 - 4 = 8
12 - 4 = 8
8=8
L'UGUAGLIANZA E' VERA QUINDI HO RISOLTO CORRETTAMENTE L'EQUAZIONE.
RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE CON TERMINI FRAZIONARI
HO L'EQUAZIONE
x x
 2
3 4
PER RISOLVERLA DEVO TRASFORMARLA IN : ax
=b
QUINDI DEVO ELIMINARE I DENOMINATORI
PER FARLO APPLICO LA “REGOLA DELLA SOPPRESSIONE DEI DENOMINATORI NUMERICI”
 CALCOLO IL MINIMO COMUNE MULTIPLO DEI DENOMINATORI:
m.c.m. = (3;4)=12
 MOLTIPLICO CIASCUN TERMINE PER 12
x
x
 1 2 4   1 2 3  2 12
3 1
4 1
 OTTENGO UN’EQUAZIONE EQUIVALENTE, MA SENZA DENOMINATORI.
4 x  3 x  24
x  24
http://www.matematicamenit/esercizi_svolti/equazioni/55_esercizi_svolti_su_equazioni_e_pro
blemi_di_primo_grado_200903235223/
http://www.mathubi.com/equazioni/EquazioniSenzaFrazioni_MathUbi.pdf
http://www.mathubi.com/equazioni/test/equazioni.htm
PROVA A TROVARE L’EQUAZIONE RISOLUTIVA E SVOLGERE I SEGUENTI PROBLEMI
1. TROVA UN NUMERO CHE SOMMATO AI SUOI 3/2 DIA 50
2. TROVARE UN NUMERO SAPENDO CHE LA SOMMA DEI SUOI 2/3 CON IL NUMERO 15 E' UGUALE AI 3/2 DEL NUMERO
STESSO
3. TROVARE IL NUMERO TALE CHE AGGIUNGENDO 40 AI SUOI 3/5 DA' PER SOMMA IL DOPPIO DEL SUO ANTECEDENTE
4. SI TOGLIE 20 DA UN NUMERO ED ALLA META' DELLA DIFFERENZA SI AGGIUNGE LA QUARTA PARTE DEL NUMERO, SI
OTTIENE COSI' LO STESSO NUMERO DIMINUITO DI 25. QUAL'E' IL NUMERO?
5. DIVIDERE IL NUMERO 36 IN DUE PARTI TALI CHE LA PRIMA SUPERI DI 6 IL DOPPIO DELLA SECONDA
6. TROVARE DUE NUMERI CONSECUTIVI SAPENDO CHE LA SOMMA DELLA META' DEL MINORE COL DOPPIO DEL
MAGGIORE E' 27
7. DUE NUMERI DIFFERISCONO DI 5; DIVIDENDO LA LORO SOMMA PER 6 SI OTTIENE COME QUOZIENTE 4 E COME
RESTO 1 . TROVARE I DUE NUMERI
8. IL RAPPORTO DI DUE NUMERI E' 2/3; DIVIDENDO LA LORO SOMMA PER 10 SI OTTIENE LO STESSO RISULTATO CHE
SOTTRAENDO 15 DAL MINORE. TROVARE I DUE NUMERI
9. LA SOMMA DEL NUMERATORE E DEL DENOMINATORE DI UNA FRAZIONE E' 8, AGGIUNGENDO 15 AD ENTRAMBI SI
OTTIENE UNA FRAZIONE EQUIVALENTE A 10/9. QUAL'E' LA FRAZIONE DI PARTENZA?
10. IN UN NUMERO DI DUE CIFRE LA CIFRA DELLE DECINE SUPERA DI 2 IL DOPPIO DELLA CIFRA DELLE UNITA'.
SCAMBIANDO LE CIFRE FRA LORO SI OTTIENE UN NUMERO INFERIORE DI 36 AL NUMERO DATO. TROVARE IL
NUMERO
11. IN UNA FAMIGLIA DI 4 PERSONE IL PADRE E LA MADRE HANNO LA STESSA ETA', CHE E' TRIPLA DI QUELLA DEL
FIGLIO; LA SORELLINA E' NATA 5 ANNI DOPO IL FIGLIO, DETERMINARE LE ETA' ATTUALI DEI COMPONENTI DELLA
FAMIGLIA SAPENDO CHE FRA DUE ANNI LA SOMMA DELLE LORO ETA' SARA' 83 ANNI.
12. IN UN CORTILE CI SONO POLLI E CONIGLI: IN TOTALE CI SONO 40 TESTE E 130 ZAMPE. QUANTI SONO I POLLI E
QUANTI I CONIGLI?
13. IN UN SALVADANAIO CI SONO 20 MONETE, ALCUNE DA UN EURO ED ALCUNE DA DUE EURO; SE CI FOSSERO
QUATTRO MONETE DA UN EURO IN PIU', IL VALORE DELLE MONETE DA UN EURO SAREBBE LO STESSO DI QUELLO
DELLE MONETE DA DUE EURO. QUANTE SONO LE MONETE DA UN EURO E DA DUE EURO?
14. DOBBIAMO RIPARTIRE LA SOMMA DI 2000 EURO FRA TRE PERSONE, IN MODO CHE LA PRIMA ABBIA 100 EURO PIU'
DELLA SECONDA E LA SECONDA 200 EURO PIU' DELLA TERZA. TROVA LE TRE SOMME
15. CON UNA CERTA QUANTITA' DI VINO SI POSSONO RIEMPIRE 4 RECIPIENTI UGUALI, OPPURE 6 RECIPIENTI UGUALI,
DELLA CAPACITA' DI 12 LITRI INFERIORE AI PRECEDENTI. TROVARE LA QUANTITA' DI VINO
16. POLICRATE, TIRANNO DI SAMO, AVENDO CHIESTO A PITAGORA QUANTI ALUNNI AVESSE, EBBE QUESTA RISPOSTA:
"META' STUDIA LA MATEMATICA, LA QUARTA PARTE STUDIA I FENOMENI DELLA NATURA E LA SETTIMA PARTE
MEDITA IN SILENZIO, INOLTRE VI SONO TRE DONNE".
QUANTI ERANO GLI ALLIEVI?