GLI INSIEMI

G LI
1
INSIEMI
Per ricordare
H
Un insieme eÁ un raggruppamento di oggetti, detti elementi, da considerarsi in modo collettivo; tali oggetti sono individuati mediante una proprietaÁ
che li accomuna, detta proprietaÁ caratteristica.
Un insieme si indica con una lettera maiuscola dell'alfabeto, mentre i suoi
elementi, quando intesi in senso generale, con una lettera minuscola.
Esso si puoÁ rappresentare:
Figura 1
per elencazione, mediante l'elenco dei suoi elementi racchiusi in una
parentesi graffa: A ˆ f0,1,2,3,4,5g
graficamente mediante i diagrammi di Eulero-Venn (figura 1)
mediante
la proprieta
Á caratteristica dei suoi elementi:
Aˆ x2Njx5
H
H
Figura 2
Un insieme che non contiene elementi si dice insieme vuoto e si indica con
il simbolo 1.
Se un insieme B ha come elementi alcuni (o tutti) gli elementi di un insieme
A, si dice che B eÁ sottoinsieme di A e si scrive:
B A se c'eÁ qualche elemento di A che non appartiene a B (figura 2)
B A se non si puoÁ escludere a priori che B coincida con A.
Se A ˆ f1,2,3,4,5g e B ˆ f2,3,4g, allora
B A;
uno studente della 1A e B ˆ y j y e
uno studente mase A ˆ x j x e
schio della 1Ag, allora B A percheÁ non si puoÁ escludere che nella 1A
ci siano solo studenti maschi.
Quando B coincide con A oppure B eÁ l'insieme vuoto, si dice che B eÁ un
sottoinsieme improprio di A; in tutti gli altri casi si parla di sottoinsieme
proprio.
L'insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi propri e impropri di un
insieme A si chiama insieme delle parti di A e si indica con il simbolo
P …A †.
Fra due insiemi A e B si possono eseguire le seguenti operazioni:
intersezione A \ B : eÁ l'insieme i cui elementi appartengono contemporaneamente ad A e a B (figura 3)
Se A \ B ˆ 1, si dice che A e B sono insiemi disgiunti.
unione A [ B : eÁ l'insieme i cui elementi appartengono ad A, a B o ad
entrambi (figura 4)
Figura 3
Figura 4
4
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differenza A B : eÁ l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B (figura 5)
Se B eÁ sottoinsieme di A, l'insieme A B prende il nome di insieme
complementare di B rispetto ad A e si indica con il simbolo BA oppure
semplicemente B quando eÁ noto quale sia l'insieme A.
Figura 5
prodotto cartesiano A B : eÁ l'insieme delle coppie …x,y † che hanno come primo elemento un elemento
di A e comesecondo elemento un ele
mento di B : A B ˆ …x,y † j x 2 A, y 2 B
H
Esso si rappresenta mediante una tabella a doppia entrata o graficamente nel piano cartesiano come in figura 6.
Figura 6
Se gli elementi di un insieme A possono essere ripartiti in n sottoinsiemi Bi
in modo che:
nessun sottoinsieme sia vuoto
tutti i Bi siano a due a due disgiunti
l'unione dei Bi sia l'insieme A
si dice che i Bi costituiscono una partizione dell'insieme A.
E SERCIZI
DI
C ONSOLIDAMENTO
1 Rappresenta per elencazione e mediante la loro proprietaÁ caratteristica i seguenti insiemi:
a. numeri interi compresi fra 2 e 5 o ad essi uguali
b. lettere della parola insieme
c. divisori di 30
2 Siano dati due insiemi qualsiasi A e B ; se A [ B ˆ A quali delle seguenti affermazioni sono vere?
a. A ˆ 1
b. B ˆ 1
c. A \ B ˆ B
d. B A
‰c:; d: Š
3 Siano dati due insiemi qualsiasi A e B; se A \ B ˆ A quali delle seguenti affermazioni sono vere?
a. A B
b. B A
c. A [ B ˆ B
d. A ˆ 1
‰a:; c:Š
4 Dati i generici insiemi A e B, se A
a. A B
b. B A
B ˆ 1 quali delle seguenti affermazioni sono vere?
c. A \ B ˆ A
d. A [ B ˆ B
‰a:; c:; d: Š
5 Sia N l'insieme dei numeri naturali e Z l'insieme dei numeri interi relativi. Definisci
‰a: numeri interi positivi o nulli; b. numeri interi negativiŠ
a. Z \ N
b. Z N
6 Dati i seguenti insiemi A ˆ fx 2 N j x > 3g, B ˆ fx 2 N j x < 22g, C ˆ fx 2 N j x eÁ multiplo di
5g, calcola:
a. A [ B
b. A \ B
c. …A \ B† \ C
‰a: N; b: fx 2 N j 3 < x < 22g; c: f5; 10; 15; 20gŠ
7 Dati gli insiemi A ˆ f1; 3; 5; 7g, B ˆ f1; 5; 10; 15g, C ˆ f2; 4; 6; 8; 10g calcola:
‰a: 1; b: f1; 2; 4; 5; 6; 8; 10g; c. f10gŠ
a. A \ B \ C
b. …A \ B† [ C
c. …B A† \ C
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5
8 Dati gli insiemi A ˆ fx 2 N j x < 11 e x eÁ parig, B ˆ fx 2 N j 7 < x < 13g, C ˆ fx 2 N j x eÁ divisore di 12g calcola:
a. …A [ B†
b. A \ B
c. …A \ C† \ B
d. …B \ C† [ A
‰a: f0; 2; 4; 6; 8; 9; 10; 11; 12g; b. f8; 10g; c. 1; d. f0; 2; 4; 6; 8; 10; 12gŠ
9 L'insieme A ha 7 elementi mentre B ne ha 9. Se A \ B ha 3 elementi quanti elementi ha A [ B?
‰13Š
10 Sia N l'insieme dei numeri naturali, D l'insieme dei multipli di 2 e T l'insieme dei multipli di 3.
Definisci:
a. N T D
b. T \ D ‰a. i naturali che non sono multipli neÁ di due neÁ di tre; b. i multipli di seiŠ
11 Considera l'insieme A ˆ fx 2 N j 4 x 20g e i suoi sottoinsiemi B e C formati rispettivamente dai multipli di 3 e di 4, calcola:
a. B \ C
b. …A B† C
c. …A C† \ B
d. …A B† \ C
‰a: f12g; b. f5; 7; 10; 11; 13; 14; 17; 19g; c. f6; 9; 15; 18g; d. f4; 8; 16; 20gŠ
12 Dati gli insiemi A ˆ fx 2 N j x eÁ divisore di 6g, B ˆ fx 2 Z j
la:
a. A [ B
b. A \ B \ C
c. A B
1 x 1g, C ˆ f1; 3; 7g, calcod. B
…A \ C†
‰a: f 1; 0; 1; 2; 3; 6g; b. f1g; c. f2; 3; 6g; d. f 1; 0gŠ
13 Dati gli insiemi A ˆ fx 2 Z j 4 < x < 4g, B ˆ fx 2 N j x < 5g, C ˆ fx 2 Z j x eÁ divisore di
15g, calcola:
a. …A [ B† C
b. A \ B
c. C A
d. …A C† \ B
‰a: f 2; 0; 2; 4g; b. f0; 1; 2; 3g; c. f 15; 5; 5; 15g; d. f0; 2gŠ
14 Dati gli insiemi A ˆ fx 2 N j x eÁ divisore di 9g, B ˆ fx 2 N j x eÁ multiplo di 5g,
C ˆ fx 2 N j 5 x 10g, calcola:
a. …A C† \ B
b. …A [ B† \ C
c. A \ B
d. C A
‰a: 1; b. f5; 9; 10g; c. 1; d. f5; 6; 7; 8; 10gŠ
15 Considera l'insieme A ˆ fx 2 N j 1 x 20g e i suoi sottoinsiemi B e C formati rispettivamente dai multipli di 3 e di 5, calcola:
a. B \ C
b. …A B† C
c. …A C† \ B
d. …A B† \ C
‰a: f15g; b. f1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14; 16; 17; 19g; c. f3; 6; 9; 12; 18g; d. f5; 10; 20gŠ
16 Dati gli insiemi A ˆ fx 2 Z j 3 < x < 3g, B ˆ fx 2 N j x < 5g, C ˆ fx 2 Z j x eÁ divisore di
4g, calcola:
a. A \ B
b. C A
c. …A C† \ B
d. …A [ B† C
‰a: f0; 1; 2g; b. f 4; 4g; c. f0g; d. f0; 3gŠ
17 Dati gli insiemi A ˆ fx 2 N j x eÁ divisore di 30g, B ˆ fx 2 N j x eÁ multiplo di 10g,
C ˆ fx 2 N j 10 x 20g, calcola:
a. A \ B
b. …A [ B† \ C
c. A B
d. …B \ C† A
‰a: f10; 30g; b. f10; 15; 20g; c. f1; 2; 3; 5; 6; 15g; d. f20gŠ
18 Dato l'insieme A ˆ f3; 5; 8; 11; 14g e il suo sottoinsieme B ˆ fx 2 A j x eÁ parig, trova il comple‰f3; 5; 11gŠ
mentare di B rispetto ad A.
19 Dato l'insieme A ˆ f2; 6; 7; 10; 13g e il suo sottoinsieme B ˆ fx 2 A j x eÁ primog, trova il com‰f6; 10gŠ
plementare di B rispetto ad A.
20 Dato l'insieme A ˆ f3; 5; 6; 8; 9g e il suo sottoinsieme B ˆ fx 2 A j x eÁ multiplo di 3g, trova il
‰f5; 8gŠ
complementare di B rispetto ad A.
6
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21 Dato l'insieme I ˆ f2; 3; 4; 9; 10g stabilisci se si crea una partizione di I considerando i seguenti
sottoinsiemi:
a. A ˆ fx 2 I j x eÁ parig, B ˆ fx 2 I j x eÁ disparig
b. A ˆ fx 2 I j x eÁ multiplo di 2g, B ˆ fx 2 I j x eÁ primog
c. A ˆ fx 2 I j x eÁ multiplo di 2g, B ˆ fx 2 I j x eÁ multiplo di 3g
d. A ˆ fx 2 I j x 3g, B ˆ fx 2 I j x 3g
‰si, no, si, noŠ
22 Dati i due insiemi A ˆ f1; 2; 3g, B ˆ f1; 2g costruisci A B e rappresenta i suoi elementi in tutti
‰f…1; 1†; …1; 2†; …2; 1†; …2; 2†; …3; 1†; …3; 2†gŠ
i modi che conosci.
23 Sia A B ˆ f…2; 1†; …2; 4†; …3; 1†; …3; 4†g, risali ad A e B.
‰A ˆ f2; 3g; B ˆ f1; 4gŠ
24 A e B sono due insiemi composti da sei uomini e quattro donne rispettivamente; in quanti modi
‰24Š
si possono formare quattro coppie?
25 Due gruppi di 4 tennisti ciascuno vogliono sfidarsi. Se ogni tennista di un gruppo deve incontrare tutti i tennisti dell'altro gruppo una sola volta, quante sfide ci saranno? Come si possono rap‰16Š
presentare tali sfide e che operazione insiemistica ti puoÁ aiutare?
26 Dato A ˆ f1; 2; 3g scrivi l'insieme delle parti di A.
‰f1; f1g; f2g; f3g; f1; 2g; f1; 3g; f2; 3g; AgŠ
27 Scrivi l'insieme A che ha come insieme delle parti f1; f4g; A; f7gg.
‰f4; 7gŠ
28 Scrivi l'insieme A che ha come insieme delle parti ff5g; f6g; A; f5; 2g; 1; f2g; f6; 5g; f2; 6gg.
‰f2; 5; 6gŠ
E SERCIZI
DI
A PPROFONDIMENTO
1 Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi:
a. A ˆ fx 2 N j x ˆ 2n 5; 1 n 10; n 2 Ng
b. B ˆ x 2 Z j x ˆ n2 2n ‡ 3; n 8; n 2 N
c. C ˆ x 2 Q j x ˆ a ‡ 1 ; 4 a < 5; a 2 Z
a 8
2 Stabilisci se sono vere o false le seguenti relazioni:
a. f1; 0g ˆ f0; 1g
b. …2; 3† ˆ f2g f3g
c. …2; 3†; …3; 2† ˆ f2g f3g
V
F
V
F
V
F
d. f1; 7g ˆ …1; 7†
V
F
e. 0 2 1
V
F
‰V, V, F, F, FŠ
3 Dato l'insieme A ˆ fx 2 Z j x ˆ 15 3n; n 2 Ng, stabilisci quali fra le seguenti relazioni sono
vere:
a. 12 2 A
b. f6g 2 A
c. 1 A
d. f0; 6g A
e. A fmultipli di 3 positivi e negativig
‰a:; d:; e:Š
4 Con riferimento ad una certa scuola primaria, definiamo A l'insieme degli alunni di tutte le pri-
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7
me, B l'insieme di tutti gli alunni maschi, C l'insieme degli alunni della prima A. Indica quali
sono gli elementi dei seguenti insiemi:
a. A \ B
e. C \ B
2
b. A [ C
f. A [ B
d. A \ B
h. B [ C
c. A C
g. A \ B \ C
3
a: gli alunni maschi di tutte le prime; b: gli alunni di tutte le prime;
6
7
6 c: gli alunni di tutte le prime tranne la prima A; d: gli alunni maschi che non sono in prima; 7
6
7
6
7
6 e: le alunne femmine della prima A; f: le alunne femmine che non sono in prima;
7
4
5
g: gli alunni maschi della prima A; h: gli alunni che sono maschi, sono in prima A o entrambi
5 Dati tre insiemi A, B, C esprimi in termini insiemistici le parti indicate nelle seguenti figure:
…A \ C † [ …B \ C †; C
…A [ B†; …A [ B†
C; …A
C† [ …A \ B†
6 Dati i generici insiemi A e B, sappiamo che A B e che A \ B ˆ 1. Indica quali fra le seguenti
affermazioni sono vere.
a. A ˆ B
b. A ˆ 1
c. B ˆ 1
d. …B A† ˆ B
‰b:; d:Š
7 E' dato un insieme A di palline; definiamo i seguenti sottoinsiemi di A: B eÁ l'insieme delle palline
rosse, C l'insieme delle palline nere, D l'insieme delle palline di vetro.
1.
a.
b.
c.
d.
Esprimi in termini insiemistici:
l'insieme delle palline di vetro rosse
l'insieme delle palline nere non di vetro
l'insieme delle palline neÁ rosse neÁ di vetro
l'insieme delle palline di vetro neÁ rosse neÁ nere.
2.
a.
b.
c.
Esprimi tramite relazioni insiemistiche i seguenti fatti relativi all'insieme A di palline:
esistono solo palline rosse o nere
non esistono palline nere di vetro
‰B [ C ˆ A; C \ D ˆ 1; D CŠ
tutte le palline di vetro sono nere.
3.
a.
b.
c.
Esprimi tramite relazioni insiemistiche i seguenti fatti relativi all'insieme A di palline:
esiste almeno una pallina di un colore diverso dal rosso e dal nero
tutte le palline rosse sono di vetro
esistono solo palline di vetro.
‰…B [ C† A; B D; A ˆ DŠ
‰B \ D; C
D; A
…B [ D†; D
…B [ C†Š
8 Uno studio effettuato su un campione di 100 abitanti ha rivelato che in una grande cittaÁ gli spostamenti avvengono nel modo seguente: 10 si spostano solo a piedi, 30 usano solo la macchina, 10
usano i mezzi pubblici o si spostano a piedi, 5 si spostano indifferentemente nelle tre modalitaÁ (piedi, mezzi o macchina), 15 usano solo i mezzi, 50 usano solo i mezzi o i mezzi combinati con un'altra modalitaÁ di spostamento. Rappresenta la situazione mediante opportuni insiemi e calcola:
‰20Š
a. quanti usano macchina e mezzi pubblici
‰10Š
b. quanti si spostano in macchina e a piedi.
8
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9 Un magazzino di bottiglie d'acqua eÁ cosõÁ composto (esiste solo acqua frizzante o naturale, in
bottiglie di plastica o di vetro): 500 bottiglie di acqua naturale, 600 bottiglie di vetro, 1000 bottiglie totali, 200 bottiglie in plastica di acqua frizzante.
Rappresenta la situazione mediante opportuni insiemi e calcola:
‰300Š
a. quante bottiglie in vetro di acqua naturale ci sono
‰300Š
b. quante bottiglie in vetro di acqua frizzante ci sono
‰200Š
c. quante bottiglie in plastica di acqua naturale ci sono
‰400Š
d. quante bottiglie in plastica ci sono.
10 In un grande albergo, a pranzo, i 110 clienti si comportano nel modo seguente: 40 prendono solo
il secondo, 10 prendono primo, secondo e dolce, nessuno prende solo il dolce, il dolce lo prendono in 28, secondo e dolce lo prendono in 25, il secondo lo prendono in 95. Calcola:
‰12Š
a. quanti prendono solo il primo
‰55Š
b. quanti primi bisogna preparare
‰3Š
c. quanti prendono solo primo e dolce.
11 Di un gruppo di 81 ragazzi si sa che: 10 femmine praticano nuoto, 20 fra maschi e femmine praticano solo tennis, 2 femmine praticano sia tennis che nuoto, 5 maschi praticano sia tennis che
nuoto, 15 maschi praticano solo tennis, 30 maschi praticano tennis, nuoto o entrambi. Il numero
di maschi che non praticano neÁ tennis neÁ nuoto eÁ lo stesso di quello delle femmine. Calcola:
‰10Š
a. quanti maschi praticano solo nuoto
‰8Š
b. quante femmine praticano solo nuoto
‰18Š
c. quanti maschi non praticano neÁ tennis neÁ nuoto
‰33Š
d. quante femmine ci sono nel gruppo considerato.
12 Siano A l'insieme dei libri di Mario, B l'insieme dei libri che Mario ha letto (anche senza possederli) e C l'insieme dei libri di Mario che Mario ha prestato a Luca. Dopo aver rappresentato la
situazione con un diagramma di Eulero-Venn, individua mediante notazione insiemistica:
a. i libri di Mario che Mario ha letto
b. i libri non suoi che Mario ha letto
c. i libri che Mario ha prestato a Luca senza averli letti
d. i libri di Mario che Mario non ha neÁ letto neÁ prestato a Luca.
‰A \ B; B
A; C
B; A
B
CŠ
13 Se A eÁ l'insieme degli abitanti della Toscana, B quello degli abitanti della Lombardia e C quello
degli italiani con meno di quarant'anni, rappresenta con la notazione insiemistica:
a. toscani o lombardi
b. toscani con meno di quarant'anni
c. toscani con piuÁ di quarant'anni
d. toscani o lombardi con piuÁ di quarant'anni.
‰A [ B; A \ C; A C; …A [ B† CŠ
14 Stabilisci quali fra le seguenti relazioni sono vere:
a. fx 2 Z j x ˆ 4 2n; n > 1; n 2 Ng y 2 Q j y < 1
2
b. f0; 1g fx 2 N j x ˆ 2n 1; n ˆ 1; 2g ˆ …0; 1†; …0; 3†; …1; 3†
c. f0; 8g 2 P …A† essendo A ˆ x 2 N j x ˆ n2 2n; n 4; n 2 N
1
1
1
;
P …A† essendo A ˆ x 2 Q j x ˆ
; 3 < n 8; n 2 N
d.
4 6
n 1
‰a:; c:Š