q - I blog di Unica

università Degli Studi di cagliari - facoltà di ingegneria
Laurea Magistrale in Ingegneria Civile – percorso Strutture
DINAMICA
delle
STRUTTURE
Docente: Maria Cristina Porcu
1
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL VENTO
TAKOMA NARROW BRIDGE (Washington)
Inaugurato a luglio del 1940, crollò quattro mesi dopo
Nuovo ponte sospeso doppio
TAKOMA NARROW BRIDGE
inaugurato nel 2007
Corso di Dinamica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu
2
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL VENTO
VOLGOGRAD BRIDGE (Russia)
Inaugurato nell’Ottobre 2009, fu chiuso al traffico nel Maggio 2010 a causa delle forti
oscillazioni. Furono inseriti “semi-active mass dampers” per smorzare oscillazioni
Corso di Dinamica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu
3
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL VENTO
Tall Buildings
Torre Eiffel 1889 (304 m) – Parigi
Con forte vento oscillazioni di 15 cm
in sommità
Taipei 101 (509 m) – Taiwan
(Tuned mass damper:
Sistema costituito da una sfera in acciaio di
5.5m vincolata con ammortizzatori e molle,
che controbilancia le oscillazioni
dell’edificio, che possono raggiungere anche
1.5m)
CN Tower (553m) – Toronto-Canada
Park Tower (198m) – Chicago –Tuned Mass Damper
4
EFFETTI DINAMICI DOVUTI ALLA FOLLA
MILLENNIUM BRIDGE - LONDON
ARUP – Foster & patners
Chiuso a causa delle forti oscillazioni innescate dalla folla
durante la sua inaugurazione nel 2000, il Millennium Bridge fu
dotato di smorzatori e poi riaperto al pubblico.
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5
EFFETTI DINAMICI DOVUTI ALLA FOLLA
Passerella Pedonale ad Assago – Mediolanum Forum
Chiusa al pubblico nel Febbraio del 2011 a causa delle forti
oscillazioni innescate dalla folla al termine di un concerto al
Mediolanum Forum, fu riaperta dopo l’irrigidimento delle pile.
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6
EFFETTI DINAMICI DOVUTI ALLA FOLLA
Tribune e gradinate
Passerelle pedonali
Solai di sale da ballo
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Trampolini
7
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
BASILICA S. FRANCESCO DI ASSISI
TERREMOTO Settembre 1997
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8
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
L’Aquila – terremoto 6 Aprile 2009 – 5.8 Scala Richter
Corso di Dinamica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu
9
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
L’Aquila – Casa dello studente - terremoto 6 Aprile 2009
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10
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
Sumatra - Indonesia - terremoto 30 Settembre 2009
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11
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
Isole Samoa
Tsunami generato da un terremoto di 8 gradi Richter - 29 Settembre 2009
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12
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
Corso di Dinamica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu
13
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AD AZIONI SISMICHE
Corso di Dinamica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu
14
EFFETTI DINAMICI DOVUTI AL TRAFFICO
a) Interazione dinamica con la struttura deformabile sottostante (ponti-viadotti)
Ponte sullo Stretto di Messina
Ponte ferroviario
Ponte autostradale
b) Trasmissioni vibrazioni attraverso il terreno (traffico stradale pesante – metropolitana)
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15
EFFETTI DINAMICI DOVUTI A TRAFFICO
Curiosità: in un ponte stradale sito in Giappone sono stati inseriti dei micro-generatori
che sfruttano le vibrazioni dovute al passaggio dei veicoli sul ponte,
per produrre energia elettrica (in grado di fornire l’energia necessaria per
l’illuminazione del ponte)
Ponte Goshiki-Zakura-Ohashi sul fiume Arakawa in Giappone
Moto dei pedoni
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16
EFFETTI DINAMICI DOVUTI
AL MOTO DELLE CAMPANE
Torre S. Patrizio - ROMA – 2007
Dopo l’inaugurazione fu chiusa e irrigidita
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Torre Matilde di San Miniato (Pisa)
Non era nata come torre campanaria
e presenta numerose lesioni dovute
al moto delle campane.
17
EFFETTI DINAMICI DOVUTI A
URTI O ESPLOSIONI
esplosioni in cave o miniere
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18
EFFETTI DINAMICI DOVUTI A
MACCHINARI - MOTORI
ISOLAMENTO DALLE VIBRAZIONI
solaio
u(t)
u(t)
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solaio
F(t)
F(t)
19
EFFETTI DINAMICI PER
APPLICAZIONE IMPROVVISA DI CARICHI
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20
EFFETTI DINAMICI DOVUTI A MOTO ONDOSO
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21
EFFETTI DINAMICI SULLE STRUTTURE
•
vento
•
folla
•
terremoto
•
traffico stradale o ferroviario
•
moto campane
•
urti o esplosioni
•
macchinari
•
•
applicazione improvvisa di carichi
moto ondoso
•
…
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22
DETERMINARE
SCHEMATIZZARE
INGEGNERIA
STUDIO
I PARAMETRI
DELSISMICA
LE
MOTO
STRUTTURE
DINAMICI
MODELLI PIANI (più semplici ma meno realistici)
DUTTILITA’ STRUTTURALE
RIGIDEZZA
MASSA PERIODO
SMORZAMENTO
PROPRIO
T
m3
q3(t)
m2
m4 plastica acciaioq4
rottura cls prima che inizi la deformazione
q2(t)( a meno che non ci sia opportuno confinamento)
q3
m3
q3
0.4
u(t)
0.3
m
F(t) t
k
q1(t)
M1m2FORTE
0.1
m
m
k,x
0
x
-0.1
0
m1 1
My
m2
-0.4
Mcr
DEBOLE
7
8
m1
PERCENTUALE
9
q110
11
12
13
As 14
u(t)
impresso alla
base (TERREMOTO)
Oscillazioni
libere
 mq  [d ]q  k  q  G
Dm
umaxm
= 2.6 m
cm m
q
10,00
mt
0.03
9,00
m
0.025
8,00
0.02
q 7,00
mt
0.015
0.01
6,00
0.005
q mt5,00 0
4,00
-0.005
-0.01
3,00
qmt -0.015
2,00
-0.02
1,00
-0.025
0,00
-0.03
q mt
ZONA 1
qmt
CN Tower - Canada
m
Categoria suolo A (bedrock)
Smorzamento
5%
q1 q2 q3 q4 q
5
q
ZONA
mt2
h
3
qZONA
mt
T=0.15s
x=1%
H
h
qmp
ZONA 4
h
t
0.45 0.6 0.75
2.1 2.25 2.4 3,00
2.55 2.7 2.853,50
3
0,000 0.15 0.3
0,50
1,000.9 1.05 1.2
1,501.35 1.5 1.65
2,00 1.8 1.952,50
t
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4
m
h
SPETTRI
DI RISPOSTA
2
Se [m/s ]
u(t)
Dm
q mt
F(t)/k
Maggiore dissipazione
Minore impegno plastico
Torre Montjuic Barcellona
(Calatrava)
6
T3
T2
T1
prima fessura cls (first crack)
VERIFICHE
CON FORZE
STATICHE
EQUIVALENTI
Sistemi
a più gradi
di libertà
f
u [m]
K,x
5
rottura calcestruzzo
d) 3° modo di vibrare
max = 0.33
g acciaio
plastica
T1
T
T2
cambio di pendenza a causa della diminuzione
della rigidezza dovuta3al crack
mu  du  ku  F (t )
m
4
q2
deformazione
b) 1° modo diinizio
vibrare
c) 2° modo di vibrare
Oscillazioni forzate
Resonance
[k] 3
[m]
[d]
-0.3
Sistemi ad 1 grado di libertàMoto
u(t)
2
h
-0.2
Villa Savoye – Le Corbusier
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
q2
q1
b
PERCENTUALE OTTIMALE
ARMATURA
u(t)
u(t) [cm]
m3
0.2
El Ce ntro, California 1940, acce le razioni
T [s]
t [s]
t [s]
23
DIFFERENZA TRA
PROBLEMI DI TIPO STATICO E DINAMICO
DIPENDENZA DALLE FORZE DI INERZIA
(forze proporzionali alle masse, che si oppongono al moto)
EQUILIBRIO DINAMICO
EQUILIBRIO STATICO
P(t)
P
P/2
R1
P/2
R
2
RR
1(t)
1(t)
forze di inerzia
RR2(t)(t)
2
(costanti)
(variabili con t)
funzione solo della
posizione di P
funzione non solo della
posizione di P(t) ma anche del tempo
(in certi istanti persino nulle!)
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24
DIFFERENZA TRA
PROBLEMI DI TIPO STATICO E DINAMICO
DIPENDENZA DAL TEMPO
•
I Carichi statici vengono applicati in maniera graduale, cioè quasi
statica, fino al loro valore finale, raggiunto il quale poi rimangono
applicati con valore costante.
Le caratteristiche della sollecitazione, le deformazioni e gli sforzi,
assumono valori costanti nel tempo in ogni punto della struttura.
Il loro valore è funzione solo della posizione nello spazio (della
forza applicata e della sezione dove si valuta la sollecitazione).
•
I Carichi dinamici sono carichi applicati in maniera veloce oppure
sono forze che variano nel tempo.
Le caratteristiche della sollecitazione, le deformazioni e gli sforzi,
variano, non solo in funzione della posizione nello spazio, ma
anche in funzione del tempo.
Ed è proprio il modo in cui variano questi parametri nel tempo che
ha particolare importanza ai fini dello studio dinamico della
struttura e della sua verifica.
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25
Risposta Statica o Risposta Dinamica?
Tutto dipende da come variano le forze e da come vengono applicate
F
L
FORZA QUASI STATICA
FORZA SINUSOIDALE
FORZA A GRADINO
(applicata improvvisamente)
F
F
F
F*
F*
F*
t
t
RISPOSTA STATICA
ust
Te
RISPOSTA DINAMICA
u
costante
2ust
ust
moto oscillatorio
umax~2ust
Corso di Dinamica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu
u
ust
t
t
umax=ust
t
t
RISPOSTA DINAMICA
u
Te
t
t
umax=Dust
D è il fattore di
amplificazione dinamica
che può essere anche molto
maggiore di 2
26
Di notevole importanza
Una forza di piccola ampiezza …
•
Se applicata staticamente produce in genere piccoli effetti.
• Se applicata dinamicamente, può produrre anche effetti disastrosi
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27
Dinamica delle Strutture
Richiami di Dinamica dei Sistemi
Dinamica dei Sistemi ad 1 grado di libertà (1GDL)
• Oscillazioni libere (non smorzate e smorzate). Equazioni del moto.
• Oscillazioni forzate (forza armonica, a gradino, impulsiva, periodica, forza
qualsiasi, moto impresso al supporto)
• Verifica delle strutture soggette a forze dinamiche (forza statica equivalente)
• Principio di funzionamento di accelerometri e vibrometri
• Isolamento dalle vibrazioni
Dinamica dei Sistemi a più gradi di libertà (più GDL)
• Matrice cinematica, matrice di inerzia, matrice di rigidezza
• Oscillazioni libere (modi principali di vibrare – frequenze proprie)
• Equazioni del moto
• Smorzamento nei sistemi a più gradi di libertà
• Oscillazioni forzate
- contributo al moto dei modi di vibrare
- disaccoppiamento equazioni del moto
• Verifica dei sistemi a più GDL soggetti a forze dinamiche (forze statiche equivalenti)
TESTI CONSIGLIATI
•
E. Viola “Fondamenti di Dinamica e Vibrazione delle Strutture”, vol. 1, Pitagora Ed., 2001
•
R. W. Clough, J. Penzien “Dynamics of Structures”, Mc Graw Hill , 1975, ISBN 0-07-011392-0
•
A. K. Chopra “Dynamics of Structures" , Prentice Hall, 2001, ISBN 0-13-086973-2
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28
Dinamica Sismica delle Strutture
•
•
•
Smorzamento nei sistemi a più gradi di libertà
Oscillazioni forzate
- contributo al moto dei modi di vibrare
- disaccoppiamento equazioni del moto
Verifica dei sistemi a più GDL soggetti a forze dinamiche (forze statiche equivalenti)
•
•
Cenni su OrigineTerremoti – Onde sismiche
Spettro di Risposta di un terremoto
•
Sistemi ad 1 grado di libertà sotto MOTO SISMICO
– Verifica sismica rigorosa e con Spettro di Risposta
•
Sistemi a più gradi di libertà sotto MOTO SISMICO
– Verifica sismica rigorosa e con Spettro di Risposta
•
Normativa Antisismica
- Costruzione di spettri di Risposta di Progetto
- Verifica Lineare sotto azione sismica (Statica e Dinamica)
- Regole di Progettazione Antisismica - Gerarchia delle Resistenze
•
Progettazione duttile in zona sismica
- Oscillatore elasto-plastico
- Duttilità globale
- Duttilità locale di sezioni inflesse e pressoinflesse
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29
Richiami di Dinamica dei Sistemi
Sistema fisico
Si definisce come sistema fisico o sistema materiale una porzione di materia vincolata al
mondo esterno (con vincoli privi di massa) e soggetto a delle forze esterne. Le forze
esterne possono essere di varia natura: meccaniche, magnetiche, elettriche, termiche, etc.
Se le forze esterne sono di tipo meccanico e se si trascurano fenomeni di altra
natura, allora il sistema si dice sistema meccanico.
z
p
F
y
x
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30
MODELLO MATEMATICO DI UN SISTEMA MECCANICO
1)
SCHEMATIZZARE OPPORTUNAMENTE IL SISTEMA MECCANICO (corpo rigido, masse
concentrate, sistema continuo, discreto, a uno o più gradi di libertà).
La scelta della schematizzazione dipende a sua volta dagli scopi che ci si prefigge nello studio del
sistema, dalla semplicità della struttura reale, dalla accuratezza dei risultati che si vogliono ottenere…
2)
SCEGLIERE LE COORDINATE CHE NE DESCRIVONO LO STATO (o configurazione).
Si chiama processo o moto del sistema una famiglia di valori delle coordinate (variabili) che
descrivono il sistema, nella quale il tempo risulta l’elemento ordinatore, cosicché ad ogni valore di
tempo si può far corrispondere un unico valore per le coordinate e quindi un’unica configurazione del
sistema. Dato uno stesso sistema materiale è possibile descrivere lo stato del sistema attraverso
variabili diverse.
u(t)
moto
DESCRIVERE il sistema meccanico reale
attraverso un MODELLO MATEMATICO.
3)
t
m
u(t)
schematizzazione
SISTEMA
MECCANICO
scelta coordinate
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mu  cu  ku  F (t )
MODELLO MATEMATICO
EQUAZIONI DEL MOTO
(dipendenti dalle coordinate che
descrivono il sistema)
31
Sistemi Discreti e Sistemi Continui
Diremo che un sistema è discreto se è sufficiente un numero finito
(discreto) di coordinate per determinare la posizione di tutti i suoi punti
(e quindi il suo moto).
(xs, ys, zs)
s=1,..., m
sistemi discreti
Diremo invece che un sistema è continuo se è necessario un numero
infinito di coordinate per descriverne il moto. In questo caso le coordinate
sono funzioni continue dei punti del sistema.
(xs, ys, zs)
s=1,..., 
sistemi continui
Per descrivere il moto di un sistema discreto sono sufficienti equazioni
differenziali alle derivate ordinarie (perchè i parametri che descrivono
il moto del sistema sono funzione solo del tempo) mentre per i sistemi
continui si hanno equazioni differenziali alle derivate parziali (perchè
le coordinate che descrivono il moto dipendono sia dal tempo che dallo
spazio).
Corso di Dinamica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu
32
SISTEMI DISCRETI
I sistemi reali sono in genere dei sistemi continui.
Nella stragrande maggioranza dei casi è però possibile descrivere il comportamento di un
sistema reale attraverso un sistema discreto.
Nel caso dei problemi dinamici, ciò significa schematizzare i sistemi reali, che hanno massa
distribuita, attraverso dei modelli più semplici con masse concentrate in punti opportuni.
Struttura reale
m
Struttura reale
CN Tower - Canada
Schematizzazione
Schematizzazione
Gran Canyon Skywalk - Arizona
Noi ci occuperemo solo di sistemi discreti a uno o più gradi di libertà
Corso di Dinamica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu
33
EQUAZIONI DEL MOTO
Per studiare il moto di un sistema dinamico occorre scrivere le equazioni del
moto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate).
Vedremo che per far ciò serve introdurre le quantità :
Coordinate generalizzate
Gradi di libertà
Forze generalizzate
Forze di inerzia
Energia Potenziale
Energia Cinetica
Ci servirà richiamare poi:
Teorema di Conservazione Energia Meccanica
2a Legge di Newton
Principio di d’Alambert
Equazioni di Lagrange del moto
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34
COORDINATE GEOMETRICHE
COORDINATE LIBERE (GENERALIZZATE)
ASTA RIGIDA
INCERNIERATA AD UN ESTREMO
2 Coordinate geometriche:
xA e yA
dipendenti l’una dall’altra perché
y
xA2 + yA2 =R2
E’ sufficiente un solo parametro per descrivere il moto!
A
yA
1 Coordinata generalizzata: q=q(t)
capace da sola di descrivere la posizione dell’asta
Per esempio: q=q(t)= θ(t)
R
θ
O
Legame in forma parametrica
(tra coordinate geometriche e
coordinate generalizzate):
q(t)
xA
x
 xA  R cosq

 y A  R senq
L’angolo q è in grado di fornire completamente e in qualunque istante la
posizione dell’asta. MA NON E’ L’UNICO PARAMETRO CHE POTREMMO SCEGLIERE!
Esistono tante altre possibilità.
Per esempio si può descrivere il moto anche con il parametro
q=q(t)= xA (t)
Oppure con q=q(t)= yA (t)
Corso di Dinamica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu
35
COORDINATE GEOMETRICHE
COORDINATE LIBERE (GENERALIZZATE)
DUE ASTE RIGIDE INCERNIERATE TRA LORO E AD UN PUNTO A TERRA
4
2
Coordinate geometriche (DIPENDENTI TRA LORO): xA , yA , xB , yB
1
2
Coordinate generalizzate (LIBERE):
y
q1=q1(t)= θ1(t)
q2=q2(t)= θ2(t)
B
yB
Oppure
θ2
q2=q2(t)= yB (t)
A
yA
q1=q1(t)= xA (t)
Oppure
θ1
q1=q1(t)= yA (t)
q2=q2(t)= xB (t)
xA
xB
x
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36
COORDINATE GEOMETRICHE
COORDINATE LIBERE (GENERALIZZATE)
IN GENERE PER DESCRIVERE IL MOTO DI UN SISTEMA E’ SUFFICIENTE UN NUMERO
DI COORDINATE (coordinate libere generalizzate) MINORE DI QUELLE GEOMETRICHE
y
yA
R
22 Coordinate geometriche (DIPENDENTI TRA LORO):
A
11
Coordinata generalizzata (LIBERA): q=q(t)= θ(t)
θ
x
xA
xA , yA
Oppure q=q(t)= xA (t)
Oppure q=q(t)= yA (t)
y
B
yB
4
2
Coordinate geometriche (DIPENDENTI TRA LORO): xA , yA , xB , yB
q1=q1(t)= θ1(t)
1
2 Coordinate generalizzate (LIBERE): q2=q2(t)= θ2(t)
θ2
A
yA
θ1
Oppure
xA xB
x
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q1=q1(t)= xA (t)
q2=q2(t)= yB (t)
37
COORDINATE GENERALIZZATE
Dato un sistema meccanico possiamo individuare univocamente la posizione di tutti i suoi punti
(masse puntiformi) in ogni istante attraverso n opportuni parametri qr (con r=1,2,…,n), che in
genere sono in numero inferiore rispetto alle 3m coordinate geometriche xs, ys, zs
(con s=1,2,…,m) degli m punti-massa del sistema. Chiameremo tali parametri coordinate
generalizzate. Vengono dette generalizzate perché possono essere qualsiasi parametro
che descriva il moto del sistema (uno spostamento, un angolo, oppure anche altre quantità).
z
ms
m2
m3
m1
Nello spazio la posizione di ogni massa è
individuata da 3 coordinate geometriche
(2 nel piano)
m1 (x1,y1,z1) ; m2 (x2,y2,z2) ; … ; mm (xm,ym,zm)
y
x
mm
m = numero delle masse
3m = numero coordinate geometriche
n = numero di coordinate sufficienti per
descrivere il sistema
Solo se le masse sono libere (senza vincoli esterni e vincoli tra di loro) le coordinate
geometriche sono indipendenti tra loro ed il numero n di parametri che sono sufficienti per
descrivere il sistema coincide con il numero 3m di coordinate geometriche.
n = 3m
Se le masse possiedono vincoli tra di loro e con il mondo esterno
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n < 3m
caso generale
38
Variazione virtuale delle coordinate
Si chiama variazione virtuale di una coordinata qr, e la definiamo con il simbolo
qr , una variazione di qr che soddisfi le seguenti condizioni:
•
•
•
•
qr è infinitesimo;
qr è compatibile con i vincoli;
qr avviene in un intervallo di tempo nullo (a tempo congelato, cioè il tempo
rimane costante)
qr è un incremento puramente ideale che il sistema può subire
indipendentemente dalle forze applicate. (Si tratta cioè di spostamenti
cinematici, indipendenti dalle forze che li produrrebbero.)
Si chiama spostamento virtuale del sistema un dato insieme di variazioni
virtuali delle sue coordinate.
Osserviamo che nel caso di vincoli mobili c’è differenza tra spostamenti reali e
spostamenti virtuali.
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39
GRADI DI LIBERTA’
I gradi di libertà di un sistema sono per definizione il numero di variazioni virtuali delle
coordinate geometriche del sistema che possono essere assegnate indipendentemente
le une dalle altre. In altre parole, i gradi di libertà (gdl) sono il numero di movimenti
indipendenti che possono essere compiuti dalle masse del sistema. Il numero di gradi di
libertà coincide con il numero di coordinate libere del sistema.
z
ms
m masse
m2
m3
3m coordinate geometriche
n gradi di libertà = n coordinate libere (generalizzate)
m1
n < 3m
y
x
mm
s=1,..., m
n gradi di libertà → n coordinate generalizzate (libere o indipendenti)
Si definiscono coordinate libere le coordinate che sono indipendenti tra di loro.
Le coordinate che descrivono un sistema sono sempre libere?
No, non sempre.
Possono esistere dei legami o “vincoli” tra le coordinate, cioè dei legami (analitici) che non le rendono indipendenti
Corso di Dinamica delle Strutture - Docente: Maria Cristina Porcu
40
MOTO DEL SISTEMA IN COORDINATE GENERALIZZATE
Moto di un sistema meccanico
Il moto di un sistema meccanico può essere descritto attraverso le n coordinate
generalizzate scelte qr(t), con r=1,..,n, che sono in grado di fornire la posizione delle m
masse del sistema in qualunque istante.
q1  q1 ( t )
Moto del sistema
q2  q2 (t )
...
qn  qn (t )
Per ottenere il moto del sistema occorre scrivere e risolvere le equazioni del moto,
che devono essere espresse in funzione delle coordinate generalizzate qr(t).
Per scrivere le equazioni del moto occorre esprimere tutte le quantità che entrano in
gioco (forze, energia cinetica, energia potenziale) in termini di coordinate generalizzate.
Per scrivere tutte le quantità in termini di coordinate generalizzate è indispensabile utilizzare il
legame (parametrico) tra le coordinate generalizzate e le coordinate geometriche che è
noto una volta dato il sistema:
Legami parametrici
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 xs  xs ( q1 , q2 , ..., qn , t )

 y s  y s ( q1 , q2 , ..., qn , t )
 z  z ( q , q , ..., q , t )
n
s s 1 2
s = 1,.., m
41
EQUAZIONI DEL MOTO
Per studiare il moto di un sistema dinamico occorre scrivere le equazioni del
moto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate).
Vedremo che per far ciò serve introdurre le quantità :
Coordinate generalizzate
Gradi di libertà
Forze generalizzate
Forze di inerzia
Energia Potenziale
Energia Cinetica
Ci servirà richiamare poi:
Teorema di Conservazione Energia Meccanica
2a Legge di Newton
Principio di d’Alambert
Equazioni di Lagrange del moto
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42
Lavoro Virtuale
Dato un sistema meccanico costituito da un certo numero m di masse, intese come punti massa, vincolate
tra loro e con l’esterno. La posizione della massa s-esima rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano
nello spazio è individuata da tre coordinate geometriche xs, ys, zs. Supponiamo che sulle masse agiscano
delle forze, in generale funzione del posto e del tempo. Le forze sono dei vettori che hanno tre componenti
scalari nelle direzioni dei tre assi coordinati ( Xs , Ys , Zs). Supponiamo ora di fornire uno spostamento
virtuale al sistema, cioè assegniamo a ciascun punto materiale di massa ms uno spostamento virtuale ss
nella direzione della forza.
Il lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne sulle masse si può esprimere come sommatoria dei
prodotti scalari delle forze per gli spostamenti virtuali
z
Fm
F1
mm (xm,ym,zm )
Fs  ( X s , Ys , Z s )
vettore spostamento virtuale della s-esima massa  ss  ( xs ,  ys ,  zs )
m1
(x1,y1,z1 )
F2
vettore forza sulla s-esima massa
m2
(x2,y2,z2 )
y
x
m
m
s1
s1
 W   Fs •δss   (X s δxs  Ysδys  Z sδzs )
ms (xs,ys,zs)
Lavoro virtuale espresso in termini di coordinate geometriche
W  X 1δx1  X 2δx2  ...  X mδxm  Y1δy1  Y2δy2  ...  Ymδym  Z1δz1  Z 2δz2  ...  Z mδzm
Nota: in grassetto si indicano i vettori!
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43
Come si esprime il Lavoro Virtuale nelle coordinate generalizzate?
Supponiamo che la posizione di tutti i punti massa del sistema possa essere descritta attraverso un certo
numero n (con n<3m) di coordinate generalizzate qi. Esiste ed è noto il legame tra le coordinate
geometriche dei punti del sistema e le coordinate generalizzate, che, come visto, sarà del tipo:
Legami parametrici
 xs  xs (q1 , q2 ,..., qn , t )

 ys  ys (q1 , q2 ,..., qn , t )
 z  z (q , q ,..., q , t )
s
1
2
n
 s
s = 1,2,...,m
I differenziali a tempo congelato delle coordinate geometriche in funzione delle q sono:
Differenziali

xs
xs
xs

x


q


q

...

 qn
1
2
 s

q

q

q
1
2
n


ys
ys
ys

y


q


q

...

 qn
 s
1
2

q

q

q
1
2
n


zs
z
z
 q1  s  q2  ...  s  qn
 zs 
q1
q2
qn

s = 1,2,...,m
Nota bene: essendo differenziali a tempo congelato, non compaiono derivate rispetto al tempo!
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44
Sostituendo nella espressione del lavoro virtuale si ottiene quindi:
 x1

 x

 x

x
x
x
x
x
x
 q1  1  q2  ...  1  qn   X 2  2  q1  2  q2  ...  2  qn   ...  X m  m  q1  m  q2  ...  m  qn  
q2
qn
q2
qn
q2
qn
 q1

 q1

 q1

W  X1 
 y

 y

 y

y
y
y
y
y
y
Y1  1  q1  1  q2  ...  1  qn   Y2  2  q1  2  q2  ...  2  qn   ...  Ym  m  q1  m  q2  ...  m  qn  
q2
qn
q2
qn
q2
qn
 q1

 q1

 q1

 z

 z

 z

z
z
z
z
z
z
 Z1  1  q1  1  q2  ...  1  qn   Z 2  2  q1  2  q2  ...  2  qn   ...  Z m  m  q1  m  q2  ...  m  qn 
q2
qn
q2
qn
q2
qn
 q1

 q1

 q1

In forma compatta si può scrivere:
W 


xs
ys
zs
X

q

Y

q

Z

q
 s 

r
s 
r
s 
r 

q

q

q
s 1,..., m 
r 1,.., n
r 1,..., n
r 1,..., n
r
r
r

E ancora, raggruppando opportunamente i coefficienti delle diverse qr ,
si può anche scrivere il lavoro virtuale in funzione delle coordinate generalizzate come:
W  G11  q1  G
G22  q2  ...  Gnn  qn
G1  X 1
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xm
x1
x2
 X2
 ...  X m
q1
q1
q1
 Y1
ym
y1
y2
 Y2
 ...  Ym
q1
q1
q1
 Z1
zm
z1
z2
 Z2
 ...  Z m
q1
q1
q1
45
Riepilogando…
Lavoro virtuale in termini di coordinate geometriche
m
m
s1
s1
 W   Fs •δss   (X s δxs  Ysδxs  Z s δxs )  X 1δx1  ...  X mδxm  Y1δy1  ...  Ymδym  Z1δz1  ...  Z mδzm
(3m termini)
vettore spostamento virtuale della s-esima massa (3 dimensioni)
Fs  ( X s , Ys , Z s )
 ss  ( xs ,  ys ,  zs )
vettore forza sulla s-esima massa (3 dimensioni)
E siamo arrivati ad esprimere il …
Lavoro virtuale in termini di coordinate generalizzate
W  G11  q1  G2  q2  ...  Gnn  qn
(n termini)
=
G dq
G=(G1, G2, …, Gn)
vettore forza generalizzata
(n dimensioni)
q=(q1, q2, …, qn)
vettore spostamenti virtuali generalizzati
(n dimensioni)
L’espressione del lavoro virtuale è molto più semplice in coordinate generalizzate (n termini anziché 3m!)
NOTA BENE: Poiché il lavoro virtuale è sempre lo stesso (a prescindere dalle coordinate che usiamo per
esprimerlo) si può sempre eguagliare il lavoro virtuale in coordinate geometriche con quello in coordinate
generalizzate. Ciò consente di ottenere le componenti Gi del vettore FORZA GENERALIZZATA.
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46
Forze generalizzate
(forze in termini di coordinate generalizzate)
DEFINIZIONE: La forza generalizzata G è quel vettore (a n dimensioni) che moltiplicato
scalarmente per il vettore incremento virtuale delle coordinate generalizzate q fornisce il
lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne Fs per gli spostamenti virtuali ss delle masse.
def
m
 W   Fs •δss  G•δq
s1
Lavoro virtuale in coordinate geometriche
=
Lavoro virtuale in coordinate generalizzate
W  X 1δx1  ...  X mδxm  Y1δy1  ...  Ymδym  Z1δz1  ...  Z mδzm
=
G11  q1  GG22  q2  ...  Gnn  qn
Le componenti Gi della forza generalizzata vengono spesso chiamate anch’esse “forze
generalizzate”. Si può anche dire che
le forze generalizzate (scalari) relative a delle forze esterne e a date
coordinate generalizzate sono quei coefficienti Gr (con r=1,2,..,n) per i quali bisogna
moltiplicare gli incrementi virtuali delle coordinate generalizzate qr per ottenere il
lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne per degli spostamenti virtuali dati.
Le forze generalizzate dipendono
- dalle forze esterne applicate al sistema
- dalle coordinate generalizzate qi scelte.
Per scrivere le equazioni del moto nelle coordinate generalizzate scelte è indispensabile conoscere le
forze generalizzate Gr
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47
METODO DIRETTO per il Calcolo delle Forze Generalizzate
Lavoro virtuale delle forze esterne = Lavoro virtuale in coordinate generalizzate
Componenti delle forze (note)
m
def
n
 W   ( X s  xs  Ys  ys  Z s  zs )   Gr qr  G1 q1  G2 q2  ...  Gn qn
s 1
r 1
Incrementi virtuali delle coordinate geometriche
Questi si possono esprimere in funzione delle
coordinate generalizzate attraverso i legami
parametrici…

xs
x
x
 q1  s  q2  ...  s  qn
 xs 
q1
q2
qn


ys
y
y
 q1  s  q2  ...  s  qn
 ys 
q1
q2
qn


zi
z
z
 q1  s  q2  ...  s  qn
 zs 
q1
q2
qn

G1  X 1
Sostituendo si ricavano le
forze generalizzate
s = 1,2,...,m
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x
x1
x
 X 2 2  ...  X m m
q1
q1
q1
 Y1
y
y1
y
 Y2 2  ...  Ym m
q1
q1
q1
 Z1
z
z1
z
 Z 2 2  ...  Z m m
q1
q1
q1
48
ESEMPIO Consideriamo il sistema in Figura, costituito da una massa M collegata con una molla
estensibile ma non flessibile ad un’asta incernierata ad un estremo.
Quante coordinate servono per descrivere il moto della massa M? Quanti gradi di libertà ha il sistema?
Si tratta di un sistema a due gradi di libertà. Per descriverne il moto possiamo scegliere come coordinate
generalizzate il raggio r e l’angolo di rotazione q, cioè q1=θ ; q2=r
Gradi di libertà: 2
q2=q
q1=r
r
Coordinate geometriche:
x
x
x,y
Coordinate generalizzate scelte: r , q
θ
k
y
y
Relazioni parametriche:
FR
m
r
δθ
ro lunghezza iniziale
k rigidezza molla
P
 x  r sin q

 y  r cosq
(r- ro) allungamento molla
componente scalare
forza di richiamo della molla
Forze esterne applicate: il peso P e la reazione FR (forza di richiamo della molla)
Lavoro virtuale compiuto dalle forze esterne (1 sola massa; problema piano: z=0):
W  X  x  Y  y
def
 W  G1  r  G2 q
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FR=-k(r-ro)
Forze
generalizzate
Quanto valgono?
49
r
Metodo diretto per il calcolo
delle forze generalizzate
x
FRcosq
θ
δθ
FR
M
y
FRsinq
r
def
 W  X  x  Y  y = G1  r  G2 q
M
P
P
Componenti delle forze esterne in direzione x :
X = - FRsinq
Componenti delle forze esterne in direzione y :
Y = P - FRcosq
 x  r sin q
 y  r cosq
Legame parametrico 
 x  r cosq q  sin q  r

 y  r sin q q  cosq  r
Ricordando che:

x
x
 x  1  q  1  q
1
q2 2
 1 q
1


y
y

 y1  1  q1  1  q2

q

q2

1

s= 1,2
 W   F R sin q r cosq q  F R sin 2 q  r  ( P  F R cosq ) r sin q q  ( P  F R cos q )cos q  r
 W  ( P cosq  F R )  r  ( P r sin q ) q
Nota Bene:
G1 dimensioni di una forza
G1
G2
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G2 dimensioni di un momento
50
1° METODO SEMPLIFICATO per il calcolo delle Forze Generalizzate
Nel caso in cui le coordinate generalizzate siano tutte libere e gli incrementi virtuali di tali coordinate siano
tutti assegnabili in modo indipendente (caso comune in ingegneria civile), allora si ha che siccome la
relazione
def
W 
 X x
s 1,..., m
s
s
 Ys ys  Z s zs  

r 1,..., n
Gr qr  G1 q1  G2 q2  ...Gk qk  ..  Gn qn
è valida qualunque sia il sistema di spostamenti virtuali considerato, deve essere valida anche quando alcuni
spostamenti sono nulli. Possiamo allora calcolare il lavoro virtuale quando sono nulli tutti gli spostamenti
generalizzati qr tranne uno.
IN PRATICA
a)
Si impongono di volta in volta degli spostamenti virtuali tali per cui i qr sono tutti nulli tranne uno
b)
Si calcola la variazione delle coordinate geometriche per effetto di tali spostamenti qr (attraverso le
relazioni parametriche)
 qr  0 per r  k e  qr  0 per r  k
 xs ,  ys ,  zs
c)
Si calcola il lavoro delle forze esterne per queste variazioni virtuali e si impone l’uguaglianza
 W  q 0  Gk qk
r
per r  k
d)
Si ottiene così la Gk
Gk 
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 W  q 0
r
per r  k
 qk
51
APPLICAZIONE del 1° Metodo semplificato per il calcolo delle forze generalizzate
r
q1 = r
q2= θ
θ
FR
y
a) Imponiamo che δq1 = δr =0 e δq2= δθ0
x
b) Calcoliamo le variazioni:
δθ
c) Calcoliamo il lavoro virtuale in questa condizione:
M r
 W  r 0  X  x  Y y  G1 r  G2q
P
Componenti della forza: X = - FRsinq
 x  r cosq q  sin q  r

 y  r sin q q  cosq  r
; Y = P - FRcosq
 W  r 0   F R sin q r cosq q  ( P  F R cosq ) r sin q q  G2q
d) Otteniamo la G2:
G2 =  P r sin q
Ripetiamo la procedura per δr0 e δθ=0 e otteniamo la G1 :
W q 0  P cosq r  F R r  G1 r
 G1 =P cosq  F R
Stessi valori trovati
con il Metodo Diretto
(OVVIAMENTE!)
NOTA BENE:
• Se cambiassimo le coordinate scelte, troveremmo altre forze generalizzate.
Per esempio, se scegliessimo q1=x e q2=y troveremmo (ovviamente):
Componenti forza generalizzata:
G1= - FRsinq
; G2 = P - FRcosq
•Le forze generalizzate non sempre sono delle forze.
•Il prodotto Gr dqr deve sempre avere le dimensioni di un lavoro!
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52
EQUAZIONI DEL MOTO
Per studiare il moto di un sistema dinamico occorre scrivere le equazioni del
moto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate).
Vedremo che per far ciò serve introdurre le quantità :
Coordinate generalizzate
Gradi di libertà
Forze generalizzate
Energia Potenziale
Forze di inerzia
Energia Cinetica
Ci servirà richiamare poi:
Teorema di Conservazione Energia Meccanica
2a Legge di Newton
Principio di d’Alambert
Equazioni di Lagrange del moto
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53
Energia Potenziale
Se il sistema di forze applicato al sistema ammette una funzione lavoro U, che è funzione scalare solo
della posizione, cioè U  Uˆ ( q1 , q2 , q3 ,..., qn ) ed è tale che il suo differenziale a tempo congelato è
uguale al lavoro virtuale compiuto dalle forze applicate al sistema, cioè tale che
U=W
allora si dice che le forze ammettono potenziale e si chiamano FORZE MONOGENE (generate da una sola
funzione)
In questo caso il lavoro compiuto per passare da un punto A ad un punto B non dipende dal cammino
percorso ma solo dalla posizione iniziale e finale e tale lavoro eguaglia la differenza di potenziale tra i due punti.
WA-B= U(B) - U(A) = DU
In particolare, si ha che lungo un percorso chiuso il lavoro compiuto è nullo.
Si definisce energia potenziale una funzione uguale ed opposta alla U
EP = -U
Detta DEP la differenza tra l’energia potenziale nel punto A e nel punto B si ha che:
WA-B= - [EP(B)-EP (A) ] = - DEP
e cioè si può dire che il lavoro compiuto dalle forze viene fatto a spese di un’energia EP
dipendente dalla posizione: l’energia potenziale.
NOTA BENE Le forze che non ammettono la funzione potenziale si dicono FORZE POLIGENE.
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54
2° METODO SEMPLIFICATO per il calcolo delle Forze Generalizzate
(applicabile solo se le forze sono monogene)
Se le forze sono monogene si ha
(1)  U   W
perciò vale l’uguaglianza:
(2)  U 
U
 qr (3)  W   Gr qr


q
r 1,n
r 1,n
r
U
 G  q   q  q
r 1,n
r
r
r 1,n
r
r
Questa uguaglianza consente di ricavare immediatamente le componenti della forza generalizzata
nel caso in cui le forze applicate siano monogene:
questo apice indica che si tratta di forze generalizzate
relative a forze monogene
A) SE U  Uˆ (q1 , q2 , q3 ,..., qn , t )
Gr( m ) 
U
qr
r  1,2,..., n
POSSIAMO QUINDI DIRE CHE:
Nel caso di forze monogene, la r-esima componente della forza generalizzata si può ottenere
derivando la funzione lavoro rispetto alla r-esima coordinata q
Se al posto della funzione lavoro si introduce la funzione energia potenziale :
def
E p = E p (q1 ,q2 ,...,qn ,t) = -U(q1 ,q2 ,...,qn ,t)
Allora si può anche scrivere:
NOTA BENE
Gr( m)  
E p
qr
In generale si può dimostrare che:
B) SE U  Uˆ (q1 , q2 , q3 ,...qm , q1, q2 , q3 ,...qn , t )
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r  1,2,..., n
 U d U 
Gr( m )  

 ; r  1, 2,..., n

q
dt

q
 r
r 
55
Le forze che ammettono potenziale si dicono conservative
Esistono casi pratici di notevole interesse in cui le forze sono conservative. Per esempio:
•
Forze gravitazionali
•
Forze elastiche che seguono la legge di Hooke
•
Forze elettriche
F  k u
Nei sistemi che studieremo, avremo le forze di richiamo elastico che sono conservative.
Esempio 1. Il sistema in figura ha 1 gdl (nelle ipotesi di asta rigida assialmente e piccoli spostamenti, la massa non può
spostarsi verticalmente e quindi è sufficiente 1 parametro per descrivere la posizione della massa in qualunque istante
Scegliamo come coordinata generalizzata lo spostamento orizzontale u(t).
Sul sistema in figura agisce solo la forza di richiamo elastico FR esercitata dal pilastro sulla
massa, proporzionale allo spostamento attraverso la rigidezza k
q(t)=u(t)
Lavoro virtuale
u(t)
FR= -ku
componente
scalare lungo x
della forza FR=-kui
W = FR u = -ku u
La forza di richiamo FR è conservativa?
Per rispondere a questa domanda bisogna rispondere alla domanda:
Esiste una funzione lavoro U tale che il suo differenziale a tempo congelato sia U=W ?
m
k → rigidezza
(i = versore asse x)
Si, esiste ed è questa:
flessionale
pilastro
Energia potenziale del sistema
Sistema ad 1 gdl
1
U   k u2
2
EP  U 
1
k u2
2
Nota bene: questa è l’energia potenziale se si sceglie come coordinata generalizzata lo spostamento orizzontale u.
Se cambiassimo coordinata cambierebbe anche l’espressione di Ep!
L’energia potenziale ha le dimensioni di un lavoro ed è data dal prodotto, dimezzato, di rigidezza (generalizzata)
per spostamento (generalizzato). Per sistemi a più gradi di libertà il prodotto è matriciale.
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56
Esempio 2. Energia potenziale di un pendolo (nell’ipotesi di asta inestensibile)
La forza applicata al sistema è solo la forza peso P, che si può scomporre lungo due direzioni: una ortogonale
all’asta e una lungo l’asta. La componente ortogonale rappresenta la forza di richiamo per la massa, mentre
la componente longitudinale non è attiva (l’asta è inestensibile quindi questa componente non può compiere
lavoro). Conviene riferirsi alle coordinate geometriche una lungo l’asta e una ortogonale all’asta.
Scegliamo come coordinata generalizzata
1 grado di libertà (1 gdl)
q(t)  q(t)
relazione parametrica
L
q
s
m
mgsenq
s  L senq
 W  mgq Lq
Esiste una funzione lavoro U tale che U=W ?
U  mgL
q
P=mg
Lavoro virtuale nella coordinata q
 s  L q
sLq
Si! E’ la seguente:
Forza di richiamo
della massa
 W  mg senq  s
per piccole oscillazioni senq  q
Lavoro virtuale della componente di forza attiva
ENERGIA POTENZIALE
q2
spostamento generalizzato
(adimensionale)
2
EP  U
La rigidezza generalizzata è quella quantità che nell’espressione
dell’energia potenziale moltiplica lo spostamento generalizzato
al quadrato (escluso ½)
EP 
1
mgL q 2
2
energia potenziale
nella coordinata q
rigidezza generalizzata
(dimensioni forza x lunghezza)
Nota bene: Se scegliessimo come coordinata generalizzata lo spostamento s avremmo
s
 W   mgq  s  mg  s
L
energia potenziale
nella coordinata s
e quindi la funzione lavoro sarebbe
1 mg 2
EP 
s
2 L
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U 
1 mg 2
s
2 L
rigidezza generalizzata (in questo caso è proprio una rigidezza)
(dimensioni forza / lunghezza)
spostamento generalizzato (è proprio uno spostamento)
(dimensioni di lunghezza)
57
EQUAZIONI DEL MOTO
Per studiare il moto di un sistema dinamico occorre scrivere le equazioni del
moto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate).
Vedremo che per far ciò serve introdurre le quantità :
Coordinate generalizzate
Gradi di libertà
Forze generalizzate
Energia Potenziale
Forze di inerzia
Energia Cinetica
Ci servirà richiamare poi:
Teorema di Conservazione Energia Meccanica
2a Legge di Newton
Principio di d’Alambert
Equazioni di Lagrange del moto
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58
Energia Cinetica di un sistema di masse
L’energia cinetica di un sistema di m masse è data per definizione da:
z
mm
m1
1
E 
c 2
(xm,ym,zm )
m
 ms vs2
s 1
(x1,y1,z1 )
ms
m2
(x ,y ,z )
(x2,y2,z2 ) s s s
y
x
2
dove la quantità scalare vs si ottiene eseguendo
il quadrato del vettore velocità della i-esima massa. Infatti, si ha che:
m3
( vs )2  vs •vs  vs2
NOTA BENE:
vs=vs(t)
In un sistema di riferimento ortogonale cartesiano, fisso con il mondo esterno, la velocità della
generica massa ha componenti (scalari):
vs =(xs , ys ,zs )
quantità scalari !
L’energia cinetica in coordinate geometriche si può quindi scrivere anche come:
NOTA BENE:
Ec=Ec(t)
1 m
EC   ms ( xs 2  ys 2  zs 2 )
2 s 1
L’energia cinetica è una quantità scalare sempre positiva.
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59
Energia cinetica di una sola massa
L’energia cinetica di un sistema con una sola massa m è data da:
EC 
1
m v2
2
dove v è il modulo della velocità dell’unica massa m . Si può scrivere anche:
nello spazio
nel piano
1
m ( x2  y 2  z 2 )
2
1
EC  m ( x 2  y 2 )
2
EC 
Se il sistema ha due masse:
nello spazio
nel piano
1
1
m1 ( x12  y12  z12 )  m2 ( x22  y22  z22 )
2
2
1
1
EC  m1 ( x12  y12 )  m2 ( x22  y22 )
2
2
EC 
e così via...
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60
UNITA’ DI MISURA DELLA MASSA
La massa è una grandezza fisica fondamentale nel S.I.
Unità di misura della massa nel S.I. è il chilogrammo Kg
(detto anche chilogrammo-massa per distinguerlo dal chilogrammo-peso)
[ N ] [s 2 ]
1[ Kg ]  1
[m]
Dalla legge di Newton si vede che la massa si può ricavare come rapporto
tra forza e accelerazione. In particolare, la massa di un corpo che ha un
dato peso P si ottiene come rapporto tra peso e accelerazione di gravità.
Peso
massa 
acc gravità
m
P
g
Il chilogrammo è la massa di un
particolare cilindro di altezza e
diametro pari a 0,039 m fatto con
una lega di platino-iridio e
depositato
presso
l'Ufficio
Internazionale dei pesi e delle
misure a Sèvres, in Francia.
NOTA BENE: Se il peso P è espresso in Kgpeso e l’accelerazione g è espressa in m/s2, la massa si ottiene in
Kgpeso s2/m che non sono Kgmassa ! E’ un’altra unità di misura (un po’ spuria) della massa.
Si noti anche che poiché 1N ~ 1Kgpeso x10 e l’accelerazione di gravità g~10m/s2 si ha che NUMERICAMENTE il
valore del peso in Kgpeso coincide con il valore della massa in Kgmassa
(Solo numericamente, perché le unità di misura sono diverse!)
ESEMPIO: un uomo che pesa 80 Kgpeso ha una massa di 80 Kgmassa
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61
Energia Cinetica in coordinate generalizzate
1) Si prendono i legami parametrici tra le coordinate geometriche e quelle generalizzate:
 xs  xs (q1 , q2 ,..., qn , t )
Legami parametrici  y  y (q , q ,..., q , t )
 s
s
1
2
n
 z  z (q , q ,..., q , t )
s
1
2
n
 s
s = 1,2,...,m
2) Si derivano rispetto al tempo

xs
x
x
q1  s q2  ...  s qn
 xs 
q1
q2
qn

Derivate rispetto al tempo 
ys
y
y
q1  s q2  ...  s qn
 ys 
q1
q2
qn


z
z
z
 zs  s q1  s q2  ...  s qn
q1
q2
qn

3) Si sostituiscono le derivate delle coordinate geometriche
nell’espressione dell’energia cinetica
s = 1,2,...,m
1 m
EC   ms ( xs 2  ys 2  zs 2 )
2 s 1
Energia cinetica nelle coordinate generalizzate qr (i=1,..,n)
2
2
2
 x
  ys
  zs
 
xs
xs
ys
ys

z

z
1 m
s
s
s
Ec   ms 
q1 
q2  ... 
qn    q1 
q2  ... 
qn    q1 
q 2  ... 
qn  

q

q

q
2 s 1  q1
q2
qn

q

q

q
 
2
n
2
n
  1
  1

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62
Energia Cinetica in coordinate generalizzate
OSSERVAZIONE L’Energia Cinetica in termini di coordinate generalizzate
2
2
2
 x
  ys
  zs
 
xs
xs
ys
ys

z

z
1 m
s
s
s
Ec   ms 
q1 
q2  ... 
qn    q1 
q2  ... 
qn    q1 
q  ... 
qn  
q1
q2 2
qn
2 s 1  q1
q2
qn
q1
q2
qn

 




si può anche scrivere, raccogliendo opportunamente i termini, come somma di certe quantità mij che
moltiplicano i quadrati delle derivate rispetto al tempo delle coordinate generalizzate (oppure il prodotto
delle derivate di due coordinate diverse, che dimensionalmente è sempre un quadrato di velocità):
EC 
1
 m11 q12  m12 q1q2  m13 q1q3  ...  m22 q2 2  m23 q2 q3  ...
2
Le quantità mij non necessariamente sono delle masse (masse generalizzate), così come la
derivata delle coordinate generalizzate non sempre ha le dimensioni di velocità (velocità
generalizzate) . Però il loro prodotto deve sempre avere dimensioni di lavoro.
NOTA BENE:
L’energia cinetica ha le unità di misura dell’energia (lavoro), cioè forza per lunghezza
Infatti si ha che: massa=forza x tempo/lunghezza2 ----- velocità=lunghezza/tempo
massa x velocità = forza x lunghezza (lavoro)
L’energia cinetica è un’espressione quadratica, quindi è una quantità positiva.
Quando studieremo i sistemi a più gradi di libertà, vedremo che le MASSE GENERALIZZATE possono
essere raccolte in una matrice (MATRICE DELLE MASSE GENERALIZZATE O DELLE INERZIE) che si
può dimostrare essere SIMMETRICA e DEFINITA POSITIVA.
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63
Energia Cinetica in coordinate generalizzate
FORMA MATRICIALE (sistemi a più GDL)
1
EC   m11q12  m12q1q2  m12q1q3  ...  m22q2 2  m23q2q3  ...
2
Vettore delle velocità
generalizzate
In forma matriciale si può scrivere come:
1
T
EC  q  m q
2
Vettore (trasposto) delle velocità
generalizzate
T
1
2
3
q
 q
q
q
... qn 
1x n
 m11
Matrice delle masse generalizzate
m
(matrice delle inerzie)
21

m

   ...

 mn1
m12
...
...
...
... m1n 
... m2 n 

... ... 

... mnn 
q1 
q 
2

 
q  q3 
... 
 

qn 

nx1
nxn
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64
Energia cinetica di un pendolo (nell’ipotesi di asta inestensibile)
Il sistema ha 1 grado di libertà e quindi basta 1 coordinata per descriverne il moto. Scegliamo
come coordinata generalizzata l’angolo q
Esempio 1
q(t)=qt)
EC 
x
O
L
Energia cinetica in coordinate geometriche
1
1
m v2  m ( x2  y 2 )
2
2
Come si esprime Ec in funzione della coordinata generalizzata q(t)?
x
q
Legami parametrici
m s
l
Sostituendo si ha
Derivate rispetto al tempo
y
 x  L cos q

 y  Lsenq

 x   Lsenq q


 y  L cos q q
1
1
1
EC  m  x 2  y 2   m L2q 2  sen2q  cos2 q   m L2q 2
2
2
2
EC 
1
m L2q 2
2
Energia cinetica nella coordinata generalizzata
massa generalizzata m  m L
La massa generalizzata è quella quantità che moltiplica la velocità generalizzata al quadrato nell’espressione
dell’energia cinetica. In questo caso la massa generalizzata ha dimensioni di massa per lunghezza al
quadrato (momento di inerzia polare della massa rispetto a O). Questo perché la velocità (generalizzata) è
data da un angolo diviso un tempo (velocità angolare).
2
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65
Pendolo semplice (ipotesi di asta inestensibile e di piccole oscillazioni attorno alla posizione verticale)
in coordinata s:
L
Energia POTENZIALE
Ep 
q
m
s
1 mg 2
s
2 L
in coordinata s:
Massa generalizzata
Ep 
1
mgL q 2
2
mg
L
Rigidezza generalizzata
Energia CINETICA
in coordinata q :
Ec 
1
ms 2
2
mgL
in coordinata q :
Ec 
1
mL2 q 2
2
mL2
m
DA NOTARE CHE:
- Al variare della coordinata scelta per descrivere il moto cambiano le espressioni di energia potenziale, energia
cinetica e anche di massa generalizzata e rigidezza generalizzata del sistema.
- Vedremo però che c’è una grandezza fisica che non dipende dalla coordinata scelta e che è una caratteristica propria del
sistema: il periodo proprio. (SIGNIFICATO FISICO: intervallo di tempo tra due picchi successivi del moto in oscillazione
libera non smorzata)
Massa generizzata
T  2
Rigidezza generalizzata
Periodo proprio del pendolo
T  2
L
g
Il periodo proprio di un pendolo non dipende dalla massa!
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67
EQUAZIONI DEL MOTO
Per studiare il moto di un sistema dinamico occorre scrivere le equazioni del
moto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate).
Vedremo che per far ciò serve introdurre le quantità :
Coordinate generalizzate
Gradi di libertà
Forze generalizzate
Forze di inerzia
Energia Potenziale
Energia Cinetica
Ci servirà richiamare poi:
Teorema di Conservazione Energia Meccanica
2a Legge di Newton
Principio di d’Alambert
Equazioni di Lagrange del moto
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68
Teorema di conservazione dell’energia meccanica
Se le forze applicate al sistema ammettono una funzione lavoro U che dipende solo
dalle coordinate (e non dipende né dalle derivate né dal tempo) e se il sistema ha
solo vincoli fissi, allora si può dimostrare che il moto del sistema avviene in modo che la
somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale rimanga sempre costante, in qualunque
istante:
Ec+EP = cost = E
In questo caso il sistema è detto meccanicamente conservativo.
TEOREMA DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA:
In un sistema conservativo, la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale
rimane sempre costante durante il moto ed è pari all’energia totale E
Si osservi che, naturalmente, i singoli termini, e cioè l’energia cinetica e l’energia potenziale,
variano durante il moto raggiungendo dei valori massimi e poi anche annullandosi.
Ma la loro somma rimane sempre uguale all’energia totale E.
Si osservi anche che il sistema è conservativo solo se la funzione lavoro dipende dalle coordinate qi e non
dalle derivate prime e dal tempo. Se ciò non fosse il sistema non sarebbe conservativo. Per questo motivo, si
può dire che il semplice fatto che le forze siano monogene (cioè che ammettano una funzione lavoro)
non implica la conservazione dell’energia.
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69
Un esempio classico di conservazione dell’energia meccanica è proprio il pendolo (quando
oscilla in assenza di agenti dissipativi).
Per piccole oscillazioni
Conservazione Energia Meccanica
EC + EP = cost = E
L
1 2 2 1
mL q + mgLq 2 =E
2
2
q
m
energia potenziale
mgq
Forza
di richiamo
energia cinetica
P=Mg
1 2 2
EC  mL q
2
EP 
1
mgLq 2
2
Quando è massimo lo spostamento la velocità si
annulla e poi cambia segno
1 grado di libertà (1 gdl)
q(t) q(t)
m
Per
q =0
Per
qmax
θ(t)=θmax EP = EP (θmax )= EP- MAX
θ(t)=0
θ(t)=0
EP = EP (θ)= 0
θ(t)=θmax EC = EC (θ)= EC- MAX
Quando è nullo lo spostamento la velocità è massima e poi inizia a diminuire
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EC = EC (θ)= 0
EC-max = EP-max = cost = E
In questo modo si può ricavare E .
Per esempio se si conosce lo
spostamento max si conosce E.
70
EQUAZIONI DEL MOTO
Per studiare il moto di un sistema dinamico occorre scrivere le equazioni del
moto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate).
Vedremo che per far ciò serve introdurre le quantità :
Forze generalizzate
Coordinate generalizzate
Gradi di libertà
Forze di inerzia
Energia Potenziale
Energia Cinetica
Ci servirà richiamare poi:
Teorema di Conservazione Energia Meccanica
2a Legge di Newton
Principio di d’Alambert
Equazioni di Lagrange del moto
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71
PRINCIPIO DI D’ALAMBERT “Un qualunque insieme di forze applicato ad un sistema
meccanico in moto è in equilibrio (in ogni istante) ed è in grado di soddisfare le
condizioni che sarebbero soddisfatte nel caso statico se si considerano applicate al
sistema anche le forze d’inerzia.”
A patto di introdurre anche le forze di inerzia,
è possibile effettuare l’equilibrio delle forze
anche per sistemi meccanici in moto
Jean Baptiste D’Alambert
Parigi 1717 - 1783
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72
Forze di inerzia
Per definizione, la forza d’inerzia agente su un punto materiale di massa ms è il
prodotto tra la massa ms e l’accelerazione del punto considerato cambiata di
segno:
relazione vettoriale
dove
i j
k
Fs I  ms as  ms  xs i  ys j  zs k 
sono rispettivamente i versori degli assi coordinati x, y e z.
Attraverso le relazioni parametriche che legano le coordinate geometriche e le
coordinate generalizzate, possiamo scrivere anche l’espressione delle forze di
inerzia in coordinate generalizzate.
Osserviamo che per scrivere le equazioni del moto in genere si utilizzano le
componenti scalari di tali forze lungo le direzioni del moto.
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73
Forze di inerzia in coordinate generalizzate
FORMA MATRICIALE (sistemi a più GDL)
Le forze di inerzia (GENERALIZZATE) di un sistema meccanico descritto da n
coordinate generalizzate qr (r=1,2,...,n) si possono scrivere in forma matriciale come
segue:
vettore delle accelerazioni
In coordinate generalizzate
vettore delle forze di inerzia
 F1I 
 I
 F2 
I
F   ... 
 
F I 
 n
I
G
  = -  m q
 m11
m
21

m

   ...
matrice delle masse generalizzate

(matrice delle inerzie)
 mn1
nx1
m12
...
...
...
... m1n 
... m2 n 

... ... 

... mn n 
q1 
q 
2

 
q

  q3 
... 
 

qn 

nx1
nxn
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74
Esempio 2 - DETERMINARE LA FORZA DI INERZIA PER IL PENDOLO
Il sistema ha 1 grado di libertà. La coordinata generalizzata scelta è l’angolo q che l’asta forma con
l’asse verticale y.
Forza di inerzia in coordinate geometriche
i
j
x
F I  ma  m  xi  yj 
L
Legami parametrici
q
m
Velocità
y
Accelerazioni
 x  L senq

 y  L cos q

 x  L cos q q


 y   Lsenq q
2

 x   Lsenq q  L cos q q

2

 y   L cos q q  Lsenq q
Forza d’inerzia in coordinate generalizzate
F I  m L  senq q 2  cos q q  i    cos q q 2  senq q  j 
espressione vettoriale
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75
EQUAZIONI DEL MOTO
Per studiare il moto di un sistema dinamico occorre scrivere le equazioni del
moto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate).
Vedremo che per far ciò serve introdurre le quantità :
Forze generalizzate
Coordinate generalizzate
Gradi di libertà
Forze di inerzia
Energia Potenziale
Energia Cinetica
Ci servirà richiamare poi:
Teorema di Conservazione Energia Meccanica
2a Legge di Newton
Principio di d’Alambert
Equazioni di Lagrange del moto
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77
2a Legge (o Principio) di Newton
F=Ma
relazione vettoriale
In ogni istante, la risultante di tutte le forze attive agenti
su una massa in moto è pari al prodotto della massa
per la sua accelerazione.
Sir Isaac Newton
Inghilterra 1642 - 1727
NOTA BENE: c’è una equivalenza tra Principio di D’Alambert e 2a legge di Newton
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78
EQUAZIONI DEL MOTO
Per studiare il moto di un sistema dinamico occorre scrivere le equazioni del
moto nelle coordinate scelte per descriverlo (coordinate generalizzate).
Vedremo che per far ciò serve introdurre le quantità :
Forze generalizzate
Coordinate generalizzate
Gradi di libertà
Forze di inerzia
Energia Potenziale
Energia Cinetica
Ci servirà richiamare poi:
Teorema di Conservazione Energia Meccanica
2a Legge di Newton
Principio di d’Alambert
Equazioni di Lagrange del moto
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79
FUNZIONE LAGRANGIANA
Si definisce funzione lagrangiana L l’eccesso di energia cinetica rispetto all’energia
potenziale:
def
L(qr ,qr ,t) = Ec (qr ,qr ,t)- E p (qr ,qr ,t)
Si tratta di una funzione che dipende dal sistema e dalle forze applicate ad esso.
Siccome Ec e Ep sono delle funzioni caratteristiche del sistema, allora anche la funzione
lagrangiana L è una caratteristica del sistema.
Nei nostri sistemi in genere l’energia cinetica dipende solo dalle derivate delle qr mentre
l’energia potenziale dipende solo dalle qr (dalla posizione)
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80
Equazioni Lagrangiane del moto
d L L
=0
dt qr qr
r  1,2,..., n
d L L
= G(p)
dt qr qr
r = 1,2,...,n
Joseph-Louis Lagrange
Torino, 25 -01-1736
Parigi, 10 -01-1813
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82
Equazioni Lagrangiane del moto
per forze monogene (e coordinate libere)
FORZE MONOGENE → esiste una funzione lavoro U tale che
COORDINATE LIBERE → nessun vincolo sulle coordinate
U  W
d L L
=0
dt qr qr
equazioni lagrangiane per forze monogene
r  1,2,..., n
Si tratta di n equazioni differenziali del 2° ordine nelle q. Sostituendo l’espressione esplicita della
Lagrangiana, e cioè L = EC-EP , si ottiene:
d EC EC d EP EP



dt qr qr dt qr qr
r  1,2,..., n
Ricordando che U = -EP e tenendo conto del fatto che le forze generalizzate relative alle forze
monogene si possono ricavare come:
 U d U  d EP EP
Gr( m )  



 qr dt qr  dt qr qr
le equazioni lagrangiane si possono scrivere anche
equazioni lagrangiane per forze monogene
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come
d EC EC
= Gr(m)
dt qr qr
r  1,2,..., n
83
Equazioni Lagrangiane del moto
per forze monogene e poligene (e coordinate libere)
In questo caso il Principio di Hamilton non sarebbe più valido perché è stato derivato dal
Principio di D’Alambert supponendo che il lavoro virtuale sia uguale all’incremento di una
funzione lavoro, cosa che è possibile solo se le forze sono monogene.
Si dimostra però che si può arrivare anche in questo caso all’equazione lagrangiana del
moto a patto di introdurre i termini relativi alle forze poligene.
equazioni lagrangiane per forze qualsiasi
(monogene e poligene)
d L L

 Gr( p )
dt q r qr
d EC EC

 Gr ( m)  Gr ( p )
dt qr qr
r  1,2,..., n
r  1,2,..., n
Noi partiremo da queste equazioni per scrivere le equazioni del moto di sistemi a uno e a più gradi di libertà
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84
SISTEMI AD 1 GDL
q  qt)
m
m
y
q  y(t)
m
q  qt)
q  x(t)
x
m
m
y
q  y(t)
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q  qt)
k
x
85
IMPORTANZA DELLO STUDIO DI SISTEMI AD 1 GDL
1.
perché consente di introdurre in maniera semplice ed immediata (vicina all’intuizione fisica) i concetti
fondamentali della dinamica strutturale (validi anche per sistemi a più gradi di libertà e per sistemi
continui);
2.
perché lo studio di sistemi più complessi come i sistemi a più gradi di libertà e anche i sistemi continui
(ad infiniti gradi di libertà), si può spesso ricondurre a quello di una serie di opportuni sistemi ad un
gdl. Questo, come vedremo, è possibile grazie a quella parte della dinamica che prende il nome di
analisi modale (o analisi dei modi principali di vibrazione);
3.
perché il modello meccanico costituito da un oscillatore ad un grado di libertà consente spesso di
descrivere in maniera sufficientemente accurata il comportamento di strutture più complesse e quindi
risulta di grande utilità pratica per le applicazioni. In particolare, ci si può ricondurre allo schema
dell’oscillatore semplice tutte le volte che si ha un sistema strutturale con una massa predominante,
le cui oscillazioni possono essere descritte attraverso un solo parametro.
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86
SCHEMA DI UN SISTEMA AD 1 GDL
Schema utilizzato quando si sceglie la coordinata generalizzata
coincidente con lo spostamento della massa
u = q(t)
k
m
m
k,b
c
u(t)
Dopo aver schematizzato una struttura reale come un sistema ad un grado di libertà, il primo passo per il
suo studio consiste nella scelta della coordinata generalizzata q.
Poi si può scrivere l’equazione del moto utilizzando l’equazione di Lagrange.
ENERGIA CINETICA DEL SISTEMA
(nella COORDINATA GENERALIZZATA scelta)
FORZE GENERALIZZATE relative a forze monogene
(forze di richiamo elastico)
d E E
= G +G
dt q q
C
C
(m)
(p)
forze generalizzate relative a forze poligene
(forze esterne)
COORDINATA GENERALIZZATA
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87