PROGRAMMA del Corso di ALGEBRA ( III Gruppo )

Universita' degli Studi di Napoli "Federico II"
Corso di Laurea e corso di Diploma in Informatica
PROGRAMMA del Corso di ALGEBRA ( III Gruppo )
( docente: prof. A. Leone )
Anno Accademico 2002-2003
Elementi di logica matematica Proposizioni. Valori di verità. I connettivi logici principali:
congiunzione, disgiunzione, negazione, implicazione, doppia implicazione. Proposizioni
atomiche e proposizioni composte. Tavole di verità. Tautologie; contraddizioni. Quantificatore
universale; quantificatore esistenziale.
Elementi di teoria degli insiemi Insiemi, sottoinsiemi. Insieme delle parti di un insieme.
Intersezione, unione, differenza, differenza simmetrica. Prodotto cartesiano di insiemi.
Corrispondenze tra insiemi. Applicazioni tra insiemi; immagine, controimmagine. Applicazioni
iniettive, suriettive, biettive. Applicazioni composte. Applicazioni invertibili e loro
caratterizzazione (solo enunciato). Relazioni su un insieme. Relazioni di equivalenza. Insieme
quoziente. Partizioni di un insieme. Ordinamenti. Insiemi ordinati, totalmente ordinati.
Isomorfismi tra insiemi ordinati. Minimo, massimo, elementi minimali, elementi massimali.
Maggioranti, minoranti, estremo inferiore, estremo superiore. Reticoli. Insiemi bene ordinati.
Numeri naturali e numeri interi: relazione d'ordine usuale in ; principio di induzione (I e II
forma).
Elementi di aritmetica in : divisione tra numeri interi; divisori e multipli; numeri primi; teorema
fondamentale dell'aritmetica; massimo comun divisore e minimo comune multiplo; algoritmo di
Euclide per la ricerca di un massimo comun divisore. Congruenze mod.m in , l'insieme delle
classi resto, equazioni congruenziali.
Elementi di teoria dei grafi Grafi (non orientati). Vertici e lati di un grafo. Isomorfismi tra
grafi. Sottografi, sottografi generati. Grado di un vertice. Numero dei lati in un grafo finito. Grafi
regolari. Cammini. Grafi connessi. Componenti connesse di un grafo. Foreste. Alberi. Teoremi di
caratterizzazione degli alberi(solo enunciati).
Elementi di calcolo combinatorio Insiemi equipotenti, insiemi finiti e loro ordini, insiemi
infiniti (cenni).Ordine di A B, di A×B, di BA, di (A), numero delle applicazioni iniettive di A
in B, numero delle permutazioni di A (con A e B insiemi finiti). Coefficienti binomiali. Numero
dei sottoinsiemi di cardinalita' k in un insieme di ordine n (solo la dimostrazione del teorema
sull’ordine di (A)).
Strutture algebriche Operazioni su un insieme. Strutture algebriche. Semigruppi.
Sottosemigruppi. Potenze di un elemento . Identita'. Monoidi. Sottomonoidi. Omomorfismi di
monoidi. Operazioni ed equivalenze compatibili, strutture quozienti. Teorema fondamentale di
omomorfismo per i semigruppi ed i monoidi (solo l’enunciato). Il monoide delle parole (cenni).
Elementi invertibili . Gruppi. Omomorfismi di gruppi (solo la efinizione). Sottogruppi di un
gruppo e loro caratterizzazione (solo enunciato). Sottogruppi di . Anelli, sottoanelli. Domini
d'integrita', campi. Omomorfismi di anelli. L'anello , l'anello delle classi resto, l'anello
(P(S),∆, ). Anelli booleani. L'anello dei polinomi. L'anello dei polinomi a coefficienti in un
campo: divisione euclidea tra polinomi ; massimo comun divisore tra due polinomi; algoritmo di
Euclide per la ricerca di un massimo comun divisore; polinomi associati,polinomi irriducibili;
teorema di fattorizzazione nell'anello dei polinomi a coefficienti in un campo (solo enunciato).
Criteri di irriducibilita' in [x], [x], [x] (cenni). Radici di un polinomio, teorema di Ruffini e
sue conseguenze.
Teoria dei reticoli Reticoli. Sottoreticoli. Isomorfismi tra reticoli. Principio di dualita' per i
reticoli. Reticoli distributivi. Reticoli limitati. Reticoli complementati. Reticoli di Boole. Reticoli
come strutture algebriche a due operazioni . Algebre di Boole: connessioni tra reticoli di Boole,
algebre di Boole e anelli booleani (solo enunciati).
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Libro di testo consigliato:
Alberto FACCHINI, Algebra e matematica discreta, Decibel, Padova, 2000.
Con riferimento al testo consigliato, gli argomenti del programma, con gli esercizi ad essi relativi,
possono essere ritrovati nei seguenti capitoli:
Elementi di logica matematica:
Cap.5: §32, §33(per la definizione dei quantificatori).
Elementi di teoria degli insiemi:
Cap.1: §1, §2, §3, §4.
Cap.2: §7, §8, §10.
Elementi di teoria dei grafi:
Cap.2: §12,§14.
Elementi di calcolo combinatorio:
Cap.2: §9.
Strutture algebriche:
Cap.3: §15, §16, §17, §18, §19.
Cap.4: §24, §26, §27, §28.
Teoria dei reticoli:
Cap.2: §11.
Cap.4: §30, §31.
N.B. Sul sito www.scienzeinfo.unina.it ( nonchè su quello www.docenti.unina.it, selezionando il
docente “Antonella Leone” ) sono disponibili testi di esercizi, nonché i testi delle precedenti
prove scritte. Sono disponibili inoltre degli appunti relativi alle congruenze in , all’anello delle
classi resto mod.m e alle equazioni congruenziali; al teorema fondamentale dell’aritmetica e
all’algoritmo della divisione in ; all’anello dei polinomi. Tali appunti integrano e completano le
corrispondenti parti presenti nel libro di testo. Ulteriori appunti sull’algoritmo euclideo e sulle
sue applicazioni sono nel sito www.scienzeinfo.unina.it nella directory del I gruppo di Algebra.