Albert Einstein

Treviso, “Dante Alighieri”
Alighieri”, 2008–
2008–2009
Sommario
Albert Einstein,
la fisica e la matematica

Giorgio T. Bagni
UNIVERSITAS
STUDIORUM
UTINENSIS
Dipartimento di Matematica e Informatica
Università di Udine
[email protected]
www.syllogismos.it

Albert Einstein nacque
il 14 marzo 1879 a Ulm,
figlio di un tecnico per
apparecchi elettrici.
Per difficoltà economiche
la famiglia si trasferì a
Monaco di Baviera, poi
a Milano. Albert non
ottenne sempre risultati
lusinghieri, anche per i
metodi dell’istruzione
del tempo; fu affascinato
dalle scienze.

Gli articoli del 1905
Berlino, Princeton
A soli ventisei anni, Einstein
pubblicò sugli Annalen
Der Physik quattro articoli
fondamentali.
In particolare, il secondo lavoro
trattava la teoria quantistica della
luce di Planck (1900) e mostrava come la luce sia
formata da fotoni rifacendosi all’effetto fotoelettrico
(scoperto nel 1902). Per questo contributo gli verrà
conferito nel 1921 il Premio Nobel per la fisica.
Il terzo articolo tratta della teoria della relatività.
Nell’ultimo introdusse l’equivalenza tra massa
ed energia espressa dalla formula E = mc2

Nel 1896 gli fu revocata la cittadinanza tedesca (nel
1901 divenne svizzero; più tardi avrà la cittadinanza
USA); entrò
all’Istituto
Federale
Svizzero di
Tecnologia
a Zurigo.
Dal 1902 al
1909 (anni
chiave per
la sua ricerca
fisica) lavorò
a Berna.
Nel 1916 Einstein, da due
anni era rientrato a Berlino
come docente, direttore
dell’Istituto di Fisica teorica
Kaiser Wilhelm e membro
dell’Accademia delle Scienze,
pubblicò Fondamenti della
relatività generale.
Nel 1933 si trasferì a Princeton (New Jersey). Gli
ultimi anni furono trascorsi cercando una teoria che
unisse le forze subatomiche con gravitazione ed
elettromagnetismo, questione tuttora irrisolta.
Morì il 18 aprile 1955 a Princeton.
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Sommario

Massa ed energia
nella relatività
Cenni biografici
Ulm, Berna, Princeton
La fisica relativistica
Energia e massa
Il ruolo della matematica
Uno strumento prezioso
Cittadino del mondo
L’impegno civile
La riflessione
Il sentimento religioso
Massa ed energia
nella relatività
L’importanza del pensiero
di Einstein nella storia della
fisica e della cultura umana è
difficilmente quantificabile.
Ci limiteremo a proporre
alcune riflessioni su:
la massa e l’energia
nell’impostazione relativistica;
il collegamento tra la fisica e la matematica,
partendo da alcune considerazioni espresse in un
articolo dello stesso Einstein.

Una parentesi: energia nel XVII secolo
La memoria di Leibniz sulle forze vive

Concetti vicini a quello di
energia cinetica vengono
introdotti nella storia nella
storia della fisica a partire
dal Settecento.
Ma le concezioni, in quel
periodo, non erano chiare.
La questione dell’energia cinetica veniva affrontata
nell’ambito del problema delle forze vive e vedeva
coinvolti alcuni dei massimi scienziati e pensatori del
periodo (tra i quali, come vedremo, due trevigiani).
Tutto ciò sembra ben distante dalla relatività…

Il problema delle forze vive:
la testimonianza di Vincenzo Riccati
Gian M. Ciassi (1654-1679): il Tractatus
Physicomathematicus
Vincenzo Riccati (17071775), fratello di Giordano,
pubblicò il Dialogo (1749):
“Propongo (…) argomenti, i
quali alla legge dello spazio
danno la preferenza, e fanno
vedere che l’azioni vogliono
misurarsi per gli spazi, e
che per conseguenza le forze
vive a’ prodotto delle masse
ne’ quadrati delle velocità
sono proporzionali” (p. 8).

Questa osservazione
equivale alla scelta di
Leibniz sulla forza viva
che è stata riconosciuta
corretta: del resto,
siamo ormai nel 1749…
Contro l’impostazione
Problema delle forze
cartesiana, Gottfried
vive: determinare la
Wilhelm Leibniz (1646grandezza fisica da
1716) pubblicò (1686):
considerare “causa” del
moto di un corpo. Per
Brevis demonstratio erroris
René Descartes (1596memorabilis Cartesii, et
1650) un corpo in moto
aliorum circa legem
compirebbe lavoro a
naturalem, secundum quam
spese della quantità di
volunt a Deo eamdem
moto (massa per
semper quantitatem motus
velocità).
conservari; qua et in re
mechanica abutuntur.
Il botanico e fisico trevigiano
Gian Maria Ciassi scrisse il
Tractatus physicomathematicus,
pubblicato nel 1677 insieme
alle Meditationes de natura
plantarum a Venezia.
Sono le uniche opere pubblicate
da Ciassi che morì a 25 anni,
quando era sul punto, secondo
alcuni, di ottenere una cattedra
di botanica presso lo studio di
Padova.

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Una pagina del
Tractatus ciassiano
“Un corpo G posto nella
posizione E e sollevato
sino ad A richiede la
stessa forza (vis) richiesta
da un corpo F [in D]
sollevato sino a B…
se e solo se i pesi di G e
di F sono inversamente
proporzionali ai bracci
GC, FC e quindi alle
altezze virtualmente
percorse [AE, BM]”.
Anche questa osservazione
equivale alla scelta di
Leibniz sulla forza viva

Ciassi e Leibniz
Confrontiamo due passi

…dunque
In questonove
caso anni
la data
prima
di
pubblicazione
della pubblicazione
deve essere
della
notata:
memoria
siamo
leibniziana!
nel 1677…
Scrisse Ciassi nel 1677: Scrisse Leibniz nel 1686:
“Un corpo pesante
“Suppongo che sia
un’oncia,
necessario altrettanto
posto con un altro
lavoro per sollevare
in questo movimento
un corpo di una libbra
[leva], se sollevato a
all’altezza di
quattro pollici
quattro braccia di
richiede tanto lavoro
quanto ne serva per
quanto un corpo pesante
sollevare un corpo di
quattro once
quattro libbre
sollevato ad
all’altezza di
un pollice”.
un braccio”.
Ciassi, Leibniz verso l’energia cinetica
(e chiudiamo la parentesi…)
Torniamo a Einstein
L’energia nella relatività

L’analogia testuale rilevata è evidente, ma si riferisce
ad una considerazione preliminare.
Inoltre Leibniz (nella memoria del 1686) considera un
corpo in caduta libera, Ciassi no: il risultato ciassiano
non è dunque del tutto provato.
Sarebbe comunque interessante, per una ricostruzione
storica della vicenda, appurare l’eventuale conoscenza
del libretto ciassiano da parte di Leibniz.
Il Tractatus ciassiano è degno di essere rivalutato anche
dal punto di vista metodologico: l’uso dello strumento
geometrico nell’argomentazione di soggetto fisico è
significativo e moderno.

Torniamo a Einstein
L’energia nella relatività
Torniamo a Einstein
L’energia nella relatività
L’impostazione relativistica
si basa su due postulati:
Le leggi della fisica sono
le stesse in tutti i sistemi
di riferimento inerziali:
non esiste un sistema
inerziale privilegiato
(Principio di relatività).
La velocità della luce nel
vuoto ha lo stesso valore c
in tutti i sistemi inerziali.

Anche Einstein basa la propria ricerca sull’applicazione
della matematica (ma mentre Ciassi usava la geometria
euclidea, Einstein impiagava l’analisi matematica).
Il successo della ricerca di Einstein si basava inoltre
sulla valutazione dell’opera dei suoi predecessori e
soprattutto sulla sua eccezionale intuizione: egli si
accostava con rispetto alla natura e notava che
«la cosa più incomprensibile del mondo è che
esso sia comprensibile».
Einstein fu dunque geniale nel conferire un senso
fisico ai risultati ottenuti dall’intuizione, sorretta
dallo strumento matematico.
Il fatto che la velocità della luce sia assoluta rispetto al
tempo e allo spazio portò ad alcune fondamentali
implicazioni riassunte nei tre punti seguenti:
il tempo diventa relativo: per oggetti in movimento
il tempo risulta “rallentare”;
lo stesso spazio diventa
relativo: tutti gli oggetti in
movimento subiscono una
“contrazione” di lunghezza;
l’equivalenza tra la massa e
l’energia.
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Sommario
Un articolo del 1921
Il rapporto tra la fisica e la matematica in Einstein
merita un approfondimento. In “Geometria ed
esperienza” (Geometrie und Erfahrung), S.B. Preuss.
Akad. Wiss. 5, 1-8 (1921), egli si chiede:
«Com’è possibile che la matematica, che è un
prodotto del pensiero umano indipendente da ogni
altra esperienza, se la cavi così bene al confronto
con l’esperienza?»
Così Einstein imposta la questione:
«Laddove le leggi della matematica corrispondono
alla realtà, esse non sono certe,
e laddove sono certe, esse non corrispondono alla
realtà».

«Il progresso raggiunto dall’assiomatica sta nel fatto
che con essa si separa nettamente il contenuto logico–
formale da quello empirico o intuitivo; solo quello
logico formale costituisce secondo l’assiomatica
l’oggetto della matematica».
Einstein sembra porsi in linea con
l’impostazione di D. Hilbert:
«Trattiamo da questo punto di
vista un qualunque assioma della
geometria, ad esempio il seguente:
per due punti dello spazio passa
sempre una e una sola retta.
Come va interpretato, nel vecchio e nel nuovo senso?»

Un articolo del 1921
Un articolo del 1921
«Questi assiomi sono libere creazioni dello spirito
umano. Tutte le altre leggi geometriche sono
conseguenze logiche degli assiomi. Gli assiomi
definiscono primariamente gli oggetti, di cui la
geometria tratta. Schlick ha perciò assai
appropriatamente definito gli assiomi nel suo
libro sulla teoria della conoscenza come
“definizioni implicite”».
Lo stesso Einstein deve però ammettere:
«D’altra parte è certo che la matematica in generale, e
in particolare la geometria, devono ringraziare per il
loro sviluppo la necessità di sperimentare il
comportamento delle cose reali».

«Vecchia interpretazione. Tutti sanno che cosa è una
retta e che cosa è un punto. Che questa conoscenza
derivi da una facoltà dello spirito umano o
dall’esperienza, da una cooperazione di entrambi o in
qualche altro modo, il matematico non si cura di
distinguere. […] L’assioma […] è l’espressione di una
parte di questa conoscenza a priori.
Nuova interpretazione. La geometria tratta di
oggetti, contrassegnati con le parole retta, punto,
eccetera. Non si presuppone una qualche conoscenza o
intuizione di questi oggetti, ma solo la validità, in
ogni caso puramente formale, cioè liberata da ogni
contenuto intuitivo ed empirico, di assiomi».
L’idea che lo spazio geometrico possa avere diverse
“forme” era stata introdotta in matematica nella prima
metà del XIX secolo da Bernhard Riemann (18261866), il quale affermò che la
forma dello spazio è definita
attraverso la sua curvatura.
Nella Relatività generale, il
concetto di gravità si lega a quello
di curvatura di uno spazio a 4
dimensioni (spazio–tempo):
la materia modifica la curvatura;
il comportamento dinamico degli oggetti varia al
variare della curvatura dello spazio–tempo.
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Sommario

Cenni biografici
Ulm, Berna, Princeton
La fisica relativistica
Energia e massa
Il ruolo della matematica
Uno strumento prezioso
Cittadino del mondo
L’impegno civile
La riflessione
Il sentimento religioso
Il pacifismo
di Einstein
Dopo la seconda guerra mondiale, però, Einstein si
impegnò nuovamente nella causa per il disarmo
internazionale e per l’impiego della scienza a scopi
pacifici.
Compì il suo ultimo atto pubblico 1’11 aprile 1955,
una settimana prima di morire, sottoscrivendo un
manifesto inviatogli da Russell che costituì la base
per il Movimento Pugwash degli Scienziati contro
l’Atomica.
Nel 1995 a tale associazione fu assegnato il premio
Nobel per la pace.

Sommario

Durante la prima guerra mondiale, Einstein fu tra i
pochi accademici tedeschi a criticare pubblicamente
il coinvolgimento della Germania nella guerra. Tale
presa di posizione lo rese vittima di gravi attacchi
e persino si cerco di screditare perfino le sue teorie
scientifiche.
Emigrato negli USA, di fronte alla minaccia
rappresentata dal regime nazista accantonò le proprie
posizioni pacifiste e nel 1939 scrisse assieme a molti
altri fisici la celebre lettera indirizzata al presidente
Roosevelt, nella quale veniva sottolineata
la possibilità di realizzare una bomba atomica.

Il pacifismo
di Einstein

Il pacifismo
di Einstein
Cenni biografici
Ulm, Berna, Princeton
La fisica relativistica
Energia e massa
Il ruolo della matematica
Uno strumento prezioso
Cittadino del mondo
L’impegno civile
La riflessione
Il sentimento religioso
«Gli uomini veramente superiori delle generazioni
passate hanno riconosciuto l’importanza degli sforzi
per assicurare la pace internazionale. Ma ai nostri
tempi lo sviluppo della tecnica ha fatto di questo
postulato etico una questione di esistenza per
l’umanità civilizzata di oggi.
[…] I potenti gruppi industriali interessati alla
fabbricazione delle armi sono, in tutti i paesi, contrari
al regolamento pacifico delle controversie
internazionali e i governanti non potranno realizzare
questo scopo importante senza l’appoggio energico
della maggioranza della popolazione».
La scienza e la religione
Einstein e la “religiosità cosmica”
«La scienza senza la religione è zoppa, la religione
senza la scienza è cieca», scrisse Einstein nel 1941.
Da Religione e Scienza (1930):
«Qual è il senso della nostra esistenza, qual è il
significato dell’esistenza di tutti gli esseri viventi in
generale? Il saper rispondere a una siffatta domanda
significa avere sentimenti religiosi. Voi direte: ma ha
dunque un senso porre questa domanda.
Io vi rispondo: chiunque crede che la sua propria
vita e quella dei suoi simili sia priva di significato
è non soltanto infelice, ma appena capace di
vivere».

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La scienza e la religione
Einstein e la “religiosità cosmica”
La scienza e la religione
Einstein e la “religiosità cosmica”

Oltre le religioni basate sul «carattere antropomorfo»
si trova la «religiosità cosmica. Essa non può essere
pienamente compresa da chi non la sente poiché non
vi corrisponde nessuna idea di un Dio antropomorfo.
L’individuo è cosciente della vanità delle aspirazioni
e degli obiettivi umani e, per contro, riconosce
l’impronta sublime e l’ordine ammirabile che si
manifestano tanto nella natura quanto nel mondo del
pensiero. […] Già nei primi gradi dell’evoluzione
della religione (per esempio in parecchi salmi di
David e in qualche Profeta), si trovano i primi indizi
della religione cosmica».

La scienza e la religione
Einstein e la “religiosità cosmica”
Einstein e Planck
… avversari?

«La religione cosmica è l’impulso più potente e più
nobile alla ricerca scientifica. […] Quale gioia
profonda a cospetto dell’edificio del mondo e quale
ardente desiderio di conoscere, sia pure limitato a
qualche debole raggio dello splendore rivelato
dall’ordine mirabile dell’universo, dovevano
possedere Kepler e Newton per aver potuto, in un
solitario lavoro di lunghi anni, svelare il meccanismo
celeste! […] Non è senza ragione che un autore
contemporaneo ha detto che nella nostra epoca,
votata in generale al materialismo, gli scienziati sono
i soli uomini profondamente religiosi».
Concludendo, è difficile valutare la
religiosità di Einstein…
Classificare Einstein panteista non darebbe
ragione della sua complessa posizione. Le lettere
degli ultimi anni tornano spesso sul tema di Dio, con
accenti quasi confidenziali (“grande vecchio”, “colui
che conosce i segreti del mondo”). Sembra che lo
facciano al di là dell’espediente retorico, forse
manifestando l’aspirazione di riferirsi all’Assoluto
non solo come ad una razionalità impersonale.
«Una cosa ho imparato in questa lunga vita, –
scriverà all’amico Michele Besso il 15 aprile 1950 –
non volendo rimanere in superficie, è
maledettamente difficile avvicinarsi a Lui».

«I geni religiosi di tutti i tempi risentono di questa
religiosità cosmica che non conosce né dogmi né Dei
concepiti secondo l’immagine dell’uomo. Non vi è
perciò alcuna Chiesa che basi il suo insegnamento
fondamentale sulla religione cosmica. [È] fra gli
eretici di tutti i tempi che troviamo uomini penetrati
di questa religiosità superiore e che furono
considerati dai loro contemporanei più spesso come
atei, ma sovente anche come santi.
Sotto questo aspetto uomini come Democrito,
Francesco d’Assisi e Spinoza possono stare l’uno
vicino all’altro».
E anche Max Planck, in campo
fisico per alcuni versi avversario
di Einstein (“il buon Dio non
gioca a dadi!”), nel 1937 scriveva:
«Religione e scienza non si
escludono, come alcuni oggi
credono o temono, ma si completano e si
condizionano a vicenda. […]
È la lotta incessantemente prolungata e mai languente
contro lo scetticismo e contro il dogmatismo, contro
l’incredulità e contro la superstizione, che religione e
scienza conducono insieme».

Se la mia teoria della relatività si dimostrerà corretta,
la Germania mi rivendicherà come tedesco e la Francia
dichiarerà che sono un cittadino del mondo. Se la mia
teoria si dimostrerà falsa, la Francia dirà che sono
tedesco e la Germania dichiarerà che sono un ebreo
Albert Einstein
Per materiali e indicazioni
bibliografiche si può consultare:
www.syllogismos.it
A tutti Voi
grazie
dell’attenzione
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