Capitolo 3 Riflessione e rifrazione

Capitolo 3
Riflessione e rifrazione
Cosa fa un’onda piana nel passaggio da un mezzo all’altro? Come superficie di separazione S si consideri un piano (x, y). Sia ẑ la normale al piano. Poichè S è un
piano, sia il campo riflesso e quello trasmesso si riducono a due semplici onde piane.
Sia E i e−jki ·z l’onda piana uniforme incidente, E r e−jkr ·z l’onda piana che rappresente
campo riflesso, a E t e−jkt ·z l’onda piana che rappresenta il campo trasmesso. È necessario imporre la condizione di continuità della componente tangente sulla superficie
S(z = 0):
h
i
E i e−j(kix x+kiy y) + E r e−j(krx +kry y)
tang
=
(3.1)
h
i
= E t e−j(ktx x+kty y)
tang
Questa condizione deve essere verificata su tutto il piano z = 0, quindi per ogni valore
di x, y. La dipendenza spaziale delle tre funzioni deve essere la stessa, ciò comporta
che
kix = krx = ktx ;
(3.2)
kiy = kry = kty .
(3.3)
Da cui si deduce che i tre vettori k i , k r , k t sono complanari (stesse componenti
lungo x e y, mentre le componenti lungo z sono in generale diverse). Il piano da
28
CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
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z
kt
qt
(2) e 2 m 2
S
x
(1) e m
1 1
qi
ki
qr
k2
Figura 3.1: In figura sono rappresentate le direzioni dei vettori di fase k i , k r , k t e gli
angoli di incidenza θi , riflessione θr e trasmissione θt .
essi individuato è detto piano di incidenza e lo facciamo coincidere con il piano della
lavagna. Possiamo per comodità scegliere il sistema di riferimento in modo che tale
piano coincida con il piano coordinato y = 0. I tre vettori avanno allora componente
nulla lungo y:
kiy = kry = kty = 0.
Si definiscono θi angolo tra il vettore di propagazione dell’onda piana incidente e
l’asse z, θr l’angolo tra il vettore di propagazione dell’onda piana riflessa e l’asse z, θt
l’angolo tra il vettore di propagazione dell’onda piana trasmessa e l’asse z. Si ha
kix = |k i | sin θi , krx = |k i | sin θr , ktx = |k i | sin θt .
Ricordando che
√
|k i | = ω ²1 µ1
√
|k t | = ω ²2 µ2 ,
per la (2.2) si ha
√
√
√
ω ²1 µ1 sin θi = ω ²1 µ1 sin θz = ω ²2 µ2 sin θt .
CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
30
Si ottiene quindi
n1 sin θi = n1 sin θr = n2 sin θt .
Da cui si ha che θi = θr cioè l’angolo di incidenza è uguale all angolo di riflessione, e
n1 sin θi = n2 sin θt . Questa uguaglianza è nota con il nome di Legge di Snell e può
essere riscritta come
sin θt =
Se n1 > n2 , si ha
θt > θi . Se n1 < n2
n1
sin θi
n2
si ottiene. θt < θi . Nel caso n1 > n2 esiste
un valore di θi che prende il nome di angolo critico tale che
Figura 3.2: Se n1 > n2 l’angolo di transmissone θt è maggiore dell’angolo di incidenza
θi .
sin θt = 1
Per θi > θc , sin θt > 1 (infatti sin θi >
e
n2
).
n1
sin θc =
n2
n1
L’angolo θt diviene immaginario e ha
luogo la riflessione totale, l’onda trasmessa è un’onda piana evanescente con vettore
CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
31
di attenuazione diretto lungo z e che si propaga in direzione x cioè parallela alla
superficie di separazione. Per dimostrare questo, poichè la quantità sotto radice è
negativa, conviene riscrivere l’espressione di ktz nel modo seguente:
Figura 3.3: Se n1 < n2 l’angolo di transmissone θt è minore dell’angolo di incidenza
θi .
ktz = |k t | cos θt = |k t |
s
p
1 − sin2 θt = |k t |
1−
n21
sin2 θi =
n22
s
= ±j|k t |
n21
sin2 θi − 1 =
2
n2
s
= ±j|k t |
n1
n2
s
sin2 θi −
n22
n21
n1
√
= ±jω µ2 ²2
n2
sin2 θi −
n22
= ±jα
n21
L’onda che si propaga deve mantenersi finita per z grandi, per cui si sceglie il segno
negativo. L’onda trasmessa ha quindi la forma E t e−jktx x e−αz . Questa rappresenta
un’onda evanescente che si propaga lungo x con ampiezza decrescente lungo z.
CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
32
Figura 3.4: Nel caso riflessione totale si ha un’onda evanescente che propaga lungo la
direzione ı̂ ed è attenuata lungo ẑ.
Di solito per θi > θc si parla di riflessione totale. I piani equifase sono perpendicolari
ai piani equiampiezza.
3.1
Esercizi
Escerizio n.1
Si consideri un’onda incidente con θi = 300 dall’aria al polistirene. (a) Calcolare
l’angolo di trasmissione θt . (b) Scambiare il polistirene con l’aria e ripetere il cacolo.
polistirene ²r = 2.7
Soluzione
(a)
²1 = ²0
²2 = 2.7²0
µ1 = µ 0
µ2 = µ0
CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
r
sin θt =
33
µ1 ² 1
sin θi
µ2 ² 2
1
1
sin θt = √
· = 0.304
2.7 2
θt = 17.70
(b)
²1 = 2.7²0
²2 = ²0
sin θt =
√
2.7 ·
µ1 = µ0
µ2 = µ 0
1
= 0.822
2
θt = 52.20
Esercizio n.2
Un’onda linearmente polarizzata incide dall’acqua sulla superficie di separazione acqua - aria con un angolo θi = 450 . Si consideri ²r = 81, µr = 1, σ ≈ 0 per l’acqua
distillata. Se |Et | = 1.42V /m, si calcoli l’ampiezza del campo elettrico λ/4 oltre l’interfaccia.
Soluzione:
θi = 450
²r = 81
µr = 1
σ=0
Calcoliamo l’angolo critico θc :
n1 sin θc = n2
r
θc = sin
−1
²2
= arcsin
²1
r
sin θc =
n2
n1
n2
²2
= arcsin
= arcsin
²1
n1
r
1
= 6.380
81
Poichè θi > θc , l’onda è totalmente riflessa per la legge di Snell n1 sin θi = n2 sin θt
√
n1
81
sin θi = √ · sin 450
sin θt =
n2
1
√
√
81
2
sin θt = √ ·
= 6.36
2
1
CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
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z
aria
x
acqua
qr
cos θt =
p
qi
1 − (6.36)2 = ±j6.28.
Il campo trasmesso è un’onda piana del tipo
E t e−jkt ·r .
Orientando opportunamente gli assi:
k t = kx ı̂ + kz ẑ
√
|k t | = ω ²2 µ2 .
Ricordando che per θi > θc
s
n1
ktz = −jα = |k t | cos θt = ±j|k t |
n2
sin2 θi −
s
n1
√
= ±jω ²2 µ2
n2
sin2 θi −
n22
n21
n22
=
n21
CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
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Da cui si ha
2πc2 √
1 2π √
√
²2 µ2 cos θt =
ktz = ω ²2 µ2 cos θt =
· ²2 µ2 cos θt = √
λ0
² 2 µ2 λ 0
=
2π
2π
39.46
cos θt =
(±j6.28) = ±
j.
λ0
λ0
λ0
In z = 0 si ha |Et | = 1.42 V /m, in z = λ/4 |Et | = 1.42 exp
³
−
39.46 λ0
λ0 4
´
=
V
7.37 × 10−5 m
= 73.7µV /m.
Esercizio n.3
Si calcolino i coefficenti di Fresnel r⊥ e t⊥ nel caso di un’onda piana che si propaga
in aria, con indice di rifrazione pari a 1 e incide normalmente su un vetro con indice
di rifrazione n = 1.45.
n
i
n
2
t
r
Soluzione
1
CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
t⊥ =
36
2n1 cos θi
n1 cos θi + n2 cos θt
n1 cos θi − n2 cos θt
n1 cos θi + n2 cos θt
Nel caso di incidenza normale diventano
r⊥ =
t⊥ =
r⊥ =
2.1
2n1
=
= 082
n1 + n2
1 + 1.45
1 − 1.45
n1 − n2
=
= −0.18
n1 + n2
1 + 1.45
che verificano la relazione
1 + r ⊥ = t⊥
1 − 0.18 = 0.82
Esercizio n. 4
Sia n̂ = ẑ la normale alla superficie piana di separazione tra due mezzi lineari e
isotropi con permeabilità magnetica rispettivamente µr1 = 2 e µr2 = 8, diretta dal
mezzo 2 al mezzo 1. Si calcoli l’angolo di inclinazione del campo magnetico H 1 nel
mezzo 1 rispetto alla normale n̂ se il campo magnetico nel mezzo 2 vale H 2 = 3î + 2ẑ
e nessuna corrente si genera sulla superficie in questione.
Soluzione
µr1 = 2
µr2 = 8
In queste condizioni, le continuità del campo magnetico sono descritte da



 n̂ × (H 2 − H 1 ) = J s


 (B − B ) · n̂ = 0
2
2
2
Da cui si ha:



 n̂ × (H 2 − H 1 ) = 0


 µ H =µ H
1 z1
2 z2
CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
37
z
^
n
1
m r1 = 2
x
2
m r2 = 8
H z2
H2
H x2
La prima impone la continuità della componente tangente per cui Hx1 = 3.
Dalla seconda
Hz1
µ2
µr2
8
Hz2 =
Hz2 = · 2 = 8
µ1
µ1
2
Pertanto
H 1 = 3î + 8ẑ
e l’angolo sotteso con la normale n̂ = ẑ è :
3
θ = arctg = 20.60
8
Esercizio n. 5
Un’onda a polarizzazione ortogonale si propaga in aria e incide su un’interfaccia piana
aria-vetro con un angolo di 300 . La frequenza dell’onda è 600 THz, ovvero luce verde,
e l’indice di rifrazione del vetro è 1.6. Se l’ampiezza del campo elettrico è 50 V/m, si
calcoli:
(a) i coefficienti di transmissione e riflessione;
(b) le espressioni dei campi istantanei E(t) e H(t) nel vetro.
CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
38
Soluzione
(a) Si deve calcolare r⊥ e t⊥ poichè si parla di un’onda a polarizzazione ortogonale,
ovvero diretta lungo ̂.
x
qr
vetro
z
aria
qi
r⊥ =
n1 cos θ1 − n2 cos θt
n1 cos θ1 + n2 cos θt
t⊥ =
2n1 cos θi
n1 cos θ1 + n2 cos θt
n1 = 1 (aria) e n2 = 1, 6 vetro
θi = 300
θt si può ottenere tramite la legge di Snell
sin θt =
n1
1
sin θi =
sin 300 = 0.31
n2
1.6
θt = 18.210
Quindi
CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
r⊥ =
39
1 · cos(300 ) − 1.6 · cos(18.210 )
0.87 − 1.6 · 0.95
=
=
0
0
1 · cos(30 ) + 1.6 · cos(18.21 )
0.87 + 1.6 · 0.95
0.87 − 1.52
= −0.27
0.87 + 1.52
21 · cos(300 )
2 · 0.87
t⊥ =
=
= 0.73
1 · cos(300 ) + 1.6 · cos(18.210 )
0.87 + 1.52
=
Si noti che i coefficienti di Fresnel si sono ottenuti imponendo le condizioni di continuità sulla superficie di separazione dei due mezzi. Pertanto il campo tangente nel
mezzo 1 deve essere uguale al campo tangente nel mezzo 2. Nel mezzo 1 si ha l’onda
incidente e quella riflessa e quindi la condizione precedente diventa:
Eoi + Eor = Eot
1+
Eor
Eot
=
Eoi
Eoi
1+r =t
ovvero ciò che viene trasmesso è quello che incide tolto quello che viene riflesso
t = 1 + r = 1 − 0.27 = 0.73
(b)
E t⊥ = E ot e−jkt ·r = E0t e−jkt(x cos θt +z sin θt )
H t⊥ =
=
1
1
îs × E t = k̂t × E t =
η2
η2
Eot
(sin θt î + cos θt ẑ)e−jkt (x cos θt +z sin θi )
η2
Eot = Eoi r⊥ = 50 · 0.73 = 36.5
hV i
m
CAPITOLO 3. RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
η2 =
√
kt = ω µ2 ε2 =
40
h i
η0
377
120π
=
= 235.62 Ω
=
n2
1.6
1.6
ω
2πνn2
2π · 600 · 1012 1.6
=
=
= 6.4π · 106
c/n2
c
3 · 108
h
i
rad/m
Pertanto
h
i
V /m
E t⊥ (t) = 36.5 cos(ωt − kt x cos θt − kt z sin θt )ĵ
H t⊥ (t) = 0.16(sin θt î + cos θt ẑ) cos(ωt − kt x cos θt − kt z sin θt )
h
i
A/m
h
i
H t⊥ (t) = (−0.05î + 0.152ẑ) cos(ωt − kt x cos θt − kt z sin θt ) A/m
con ω = 2πν = 3.77 · 10
6
kt = 6.6π · 10
15
h
i
rad/sec
h
i
rad/m .