Sia data una popolazione di individui con le caratteristiche

ESERCITAZIONE DI LABORATORIO TECNICHE COMPUTAZIONALI
II PROVA DI MATEMATICA
NOME:…………………………………………………………………………
Esercizio 1
Utilizzando il programma lancio dei dadi nel sito www.ds.unifi.it/VL/VL_IT/prob/index.html
determinare in modo analitico e sperimentale la distribuzione del risultato della somma di un lancio
di 2, 5 e 10 dadi verificando la legge del limite centrale. Come fareste a calcolare la media e la
varianza delle somme?
Soluzione
La somma dei risultati del lancio di più dadi è una somma di variabili aleatorie xk indipendenti che
hanno la stessa media e la stessa varianza. In tal caso vale il teorema del limite centrale che assicura
nel caso il numero di dadi tenda ad infinito, che la variabile
1
N
Z= k 1 x k
N
Ottenuta come media aritmetica della somma di N dadi tende ad una distribuzione Gaussiana con
media eguale a quella di ciascun dado (m=3,5) e varianza pari alla varianza di ciascun dado divisa
per il numero di dadi sommato (var=2,9/N). Tale fatto si può verificare sperimentalmente ed è
rilevante notare come la deviazione standard della media aritmetica di variabili aleatorie
indipendenti diminuisca proporzionalmente a 1/ N . Questo è alla base dell’utilizzo della statistica
per valutare i valori medi di variabili aleatorie: calcolare la media aritmetica di realizzazioni
indipendenti della stessa variabile consente di ottenere una variabile Gaussiana con la media
desiderata e deviazione standard che decresce come 1/ N .
Esercizio 2
Verificare le previsioni della frequenza del lancio di una moneta ottenute mediante disuguaglianza
di Chebishev.
Soluzione
La diseguaglianza di Chebishev è un risultato molto generale che consente di valutare la probabilità
che la realizzazione di una variabile aleatoria x si scosti dalla media E(x) più di uno scarto ε
P(|x-E(x)|>ε) <var(x)/ε2
A prescindere dalla distribuzione della variabile studiata. Nel caso del problema siamo interessati
alla variabile che somma 1 se esce T e 0 se esce C, dividendo poi per il numero di lanci (ovvero si
tratta di una media aritmetica). Dal momento che la moneta si lancia in modo indipendente
possiamo applicare il risultato del problema 1: la media della frequenza è ½ e la varianza 1/N
(varianza del singolo lancio divisa per il numero di lanci). La formula di Chebishev pertanto diventa
P(|x-1/2|>ε)<1/(ε2N)
Se volessimo una probabilità del 10% (limite di confidenza per ritenere probabile l’evento
contrario) di avere uno scarto di 0,1 tra frequenza sperimentale e frequenza teorica dovremmo
effettuare un numero di lanci N=1000. Tale risultato si può migliorare molto se si tiene conto che la
distribuzione di probabilità di lanci ripetuti di una moneta segue la distribuzione binomiale e tende a
diventare Gaussiana per un numero elevato di lanci secondo il teorema del limite centrale.
Esercizio 3
È possibile stimare quante volte occorre lanciare una moneta non truccata per poter osservare una
sequenza di 10 volte testa (provare sperimentalmente).
Soluzione
La probabilità di ottenere 10 volte di seguito T è pari a 1/210 ≈0,001, tuttavia man mano che
lanciamo la moneta per stabilire se è apparsa la sequenza voluta guardiamo i 10 lanci precedenti. Ne
segue che abbiamo una dipendenza dal passato (in effetti dai 9 passi pecedenti) della probabilità di
realizzare la sequenza. Per una stima analitica occorre pertanto tenere conto di questo fatto (non
possiamo usare l’ipotesi di eventi indipendenti): sia P(N) la probabilità che in N lanci la sequenza
non appaia è possibile ottenere una stima (con N>10)
P(N)<(1-1/211 )N-10 (1-1/210 )
e dunque decresce esponenzialmente all’aumentare di N (con N=4000 abbiamo una probabilità del
14% di non avere mai la sequenza e quindi una probabilità del 86% di ottenerla). Notiamo ila
potenza N-10 che è dovuta alla memoria del sistema. Tuttavia non avremo mai la certezza di
ottenerla con un numero finito di lanci.
Tale tipo di problemi può trovare nello studio della comparsa di sequenze particolari sequenze
lungo il DNA.
Esercizio 4
Dovete scommettere sul fatto di trovare un asso tra 3 carte disposte a caso. Qual è la probabilità di
vittoria? Supponete ora di aver scelto una carta e che il vostro avversario vi mostri una delle 2 carte
rimanenti facendovi vedere che non è un asso. Qual è la probabilità di vittoria se non cambiate la
vostra scelta e quale quella se cambiate la carta scelta?
Soluzione
La carta che voi avete scelto, ha la probabilità di 1/3 di essere l’asso, mentre la probabilità che
l’asso sia nelle due le carte rimanenti è di 2/3. Se ricevete l’informazione che una delle due non è
l’asso allora la carta che rimane non scoperta avrà probabilità di 2/3 di essere l’asso. Conviene
pertanto cambiare la vostra scelta. Se invece l’avversario vi facesse vedere la carta prima che voi
scegliate avete il 50% di probabilità di vittoria sulle due carte che restano.
Esercizio 5
Considerate il seguente gioco: partendo da un capitale di 10 euro lanciate una moneta e aumentate il
capitale di 1 se viene T o diminuite di 1 se viene C. Il gioco finisce quando il capitale il vostro
capitale è nullo. Come prevedete sia l’andamento del gioco.
Soluzione
Il problema è una versione del dilemma del giocatore; anche se il gioco sembra onesto, se giocate
un numero sufficiente di volte la probabilità di perdere tutto il vostro capitale tende a 1 (ovvero
all’evento certo). Si può ottenere una stima della probabilità di perdere quando N >> K (K è il
vostro capitale) con
P≈1-K/N
che tende linearmente a 1 per N grande.
Esercizio 6
Considerate un mazzo di 40 carte, sapreste valutare la probabilità di estrarre 2 carte la cui somma
sia 7?
Soluzione
Si tratta di fare un calcolo combinatorio di quanti modi ci sono per estrarre 2 carte con somma 7 e
dividerlo per i modi con cui si possono scegliere 2 carte su 40. Quest’ultimo numero è 40∙39
(distinguendo la prima e la seconda carta). 7 si può ottenere in 6 modi come somma di due numeri e
ogni numero compare 4 volte nel mazzo; quindi avremo 6∙16 modi di avere 7 con due carte.
La probabilità cercata è
P=(6∙16)/(40∙39)=4/65