MACCAGNO PATRIZIA
LABORATORIO DI COMBINATORICA
ANNO 2008/2009
PREFAZIONE
Molte famiglie di numeri si presentano più volte in contesti matematici diversi: spesso hanno preso
il nome dei matematici che le hanno studiate, e per questo ho deciso di rendere loro omaggio
introducendo una parte biografica prima di quella “matematica”, per raccontare qualcosa di questi
illustri studiosi, di cui spesso si conosce poco.
Verranno presentati di seguito in particolare i numeri di Stirling di I e II specie, i numeri di Bell e di
Ramanujan.
NUMERI DI STIRLING
JAMES STIRLING
James Stirling, detto il veneziano (22 aprile 1692-5 dicembre 1770), è stato un matematico
scozzese. Dal 1710 studia presso l’Università di Oxford, dalla quale viene espulso nel 1715, a causa
delle sue relazioni con le famiglie Keir e Garden, notoriamente Giacobiti.
Ripara quindi a Venezia sotto la protezione dell’ex ambasciatore della Serenissima in Inghilterra
Nicolò Tron (a cui dedica l’opera Lineae tertii ordinis Newtoniane pubblicata nel 1717). Entra in
seguito in contatto con Nicolaus Bernoulli e Sir Isaac Newton.
Stirling si interessa alle tecniche vetrarie impiegate a Murano; a causa di questa attività, fugge
ancora una volta, poiché teme per la sua vita, dato che viene sospettato dai veneziani di volere
“rubare” il segreto della fabbricazione del vetro di Murano.
Dal 1724 al 1735 risiede a Londra. In questo periodo si occupa di vari aspetti del calcolo
infinitesimale e corrisponde con vari matematici dell’epoca. Si frequenta con Colin MacLaurin,
Leonhard Euler, Brook Taylor e Robert Simpson. Nel 1730 pubblica l’opera Methodus
Differentialis; in questo libro enuncia la formula di approssimazione per n!. Si occupa anche del
problema della forma della Terra: del 1735 è il suo articolo Della Figura della Terra e sulla
Variazione della Forza di Gravità sulla sua Superficie.
Lo stesso anno ritorna in Scozia dove si occupa dell’amministrazione di una società mineraria,
impegno che lo allontana dalle ricerche.
James Stirling muore ad Edimburgo il 5 dicembre 1770.
NUMERI DI PRIMA E SECONDA SPECIE
I numeri dei cicli di Stirling,
(numeri di Stirling di prima specie), talvolta scritti con la notazione
alternativa s(n, k), contano il numero delle permutazioni di n oggetti che hanno esattamente k cicli.
Per esempio, le sei permutazioni di 3 oggetti sono classificate
1 ciclo
(123) (132)
2 ciclo
(12)(3) (13)(2) (23)(1)
+
+…+
3 ciclo
(1)(2)(3)
= n!
Il numero di raggruppamenti di n oggetti distinti in esattamente k gruppi è il numero degli insiemi di
Stirling,
(numeri di Stirling di seconda specie), talvolta scritti con la notazione alternativa
S(n,k).
In altre parole, S(n,k) è il numero delle partizioni di un insieme X di cardinalità n in k parti.
Sono definiti ricorsivamente dalla formula
TAVOLA DEI VALORI (per 1
Numeri di Stirling
1
1
2
1
3
1
11 6 1
24 50 35 10 1
6
Numeri di Stirling
1
1 1
1 3 1
1 7 6 1
1 15 25 10 1
I triangoli precedenti possono essere calcolati per mezzo di varianti della regola del Triangolo di
Pascal
e precisamente
E
Dal punto di vista algebrico,
e
sono i coefficienti di
(1+ x)(1+2x)…(1+ nx) e nella serie per 1/((1-x)(1-2x)…(1-kx).
e
rispettivamente, nel polinomio
NUMERI DI BELL
ERIC TEMPLE BELL
Eric Temple Bell (7 febbraio 1883-21 dicembre 1960) è stato, oltre che matematico, anche scrittore.
Visse negli Stati Uniti gran parte della sua vita, e pubblicò varie opere di narrativa con lo
pseudonimo di John Taine.
Bell nasce in Scozia, ma suo padre, un rivenditore di pesce, nel 1884 si trasferisce in California. La
famiglia si trasferisce a Belford, in Inghilterra dopo la morte del padre nel 1896, ma Bell nel 1902
decide di tornare negli Stati Uniti.
Bell frequenta la Stenford University e la Columbia University (dove è uno studente di Cassius
Jackson Keyser). Ottenuta la laurea, insegna prima alla University of Washington e
successivamente al California Institute of Technology.
I suoi lavori di ricerca hanno riguardato soprattutto la teoria dei numeri e la combinatorica. Egli
lavora molto anche sulle funzioni generatrici, trattandole come serie formali di potenze senza
preoccuparsi della loro convergenza..
Nel 1924 gli viene assegnato il Bocher Memorial Prize dall’American Mathematical Society per i
suoi lavori in analisi matematica.
L’opera più importante di Bell è la raccolta intitolata Men of Mathematics (uomini della
matematica) che viene ancora ristampata. Il libro spinge molte persone a iniziare una carriera nel
campo della matematica, nonostante molti storici della matematica abbiano sollevato dubbi
sull’accuratezza storica di Bell. Ad esempio Bell romanticizza a tal punto la vita di Evariste Galois
che Tony Rothman la descrive come “pura invenzione, la creazione di una leggenda”.
Bell muore nel 1960 a Watsonville.
NUMERI DI BELL
I numeri di Bell sono legati ai numeri di Stirling di seconda specie. Il numero totale delle partizioni
di un insieme di cardinalità n è B(n)=
.
Tali numeri sono detti Numeri di Bell.
I numeri di Bell sono definiti ricorsivamente dalla formula
B(n)=
TAVOLA DEI VALORI:
Numeri di Bell
1
2
5
15
52
Numeri di Stirling
1
1 1
1 3 1
1 7 6 1
1 15 25 10 1
Confrontando le tavole dei valori dei Numeri di Stirling e di Bell, si osserva che l’n-esimo numero
di Bell è la somma degli elementi dell’n-esima riga del triangolo di Stirling.
Per calcolare i primi 6 numeri di Bell è sufficiente allora sommare i numeri delle 6 righe del
triangolo.
I NUMERI DI RAMANUJAN
SRINIVASA RAMANUJAN
Srinivasa Aiyangar Ramanujan (22 dicembre 1887-26 aprile 1920) è stato un matematico indiano.
Bambino prodigio, imparò, in gran parte da autodidatta, la matematica.
Si iscrisse alla scuola superiore cittadina di Kumbakonam nel 1898, quando aveva 10 anni, e
sembra che lì entrò in contatto la prima volta con i formalismi matematici. A 11 anni eguagliava in
conoscenza matematica gli inquilini di casa sua, entrambi studenti al Governament College, ed ebbe
in prestito libri di trigonometria avanzata, che già padroneggiava due anni più tardi. I compagni
dell’epoca commentarono in seguito “Noi, insegnanti compresi, raramente lo comprendevamo” e lo
“guardavano con rispettosa ammirazione”. Tuttavia, Ramanujan non si concentrò sulle altre
materie, tanto da non passare gli esami della scuola superiore. In questo periodo della sua vita era
ancora molto povero, quasi fino alla miseria.
Una volta sposato, dovette cercare un lavoro. Con la raccolta dei suoi calcoli matematici, si spostò
nella città di Chennai alla ricerca di un lavoro da impiegato.
Vistosi respingere diverse volte nella sua ricerca di sostegno finanziario, per aver prodotto risultati
che nessuno di quelli che aveva contattato in India poteva comprendere pienamente, egli infine nel
1913 mandò una lettera a tre professori di Cambridge: Baker, Hobson e Hardy. Solo quest’ultimo
notò il genio dei teoremi di Rmanujan. Rispose alla lettera chiedendo le dimostrazioni di alcuni dei
risultati citati nella lettera ricevuta e iniziò ad organizzare l’arrivo di Ramanujan in Inghilterra.
Ne seguì una collaborazione fruttuosa, che Hardy descrisse come “l’unico episodio romantico della
mia vita”.
Tormentato da problemi di salute per tutta la vita, in una nazione lontana da casa, ed ossessivamente
preso dai suoi studi, la salute di Ramanujan peggiorò in Inghilterra, forse aggravata dallo stress e
dalla scarsità di cibo vegetariano durante la Prima Guerra Mondiale.
Ritornò in India nel 1919 e morì poco dopo a Kumbakonam, lasciando come ultimo dono al mondo
la scoperta della funzione theta di Ramanujan.
Spesso le sue formule erano enunciate senza dimostrazione e solo in seguito si rivelarono corrette. I
suoi risultati hanno ispirato un gran numero di ricerche e nel 1997 fu lanciato il Ramanujan Journal
per la pubblicazione di lavori in aree della matematica influenzate da Ramanujan.
NUMERI DI PARTIZIONI E COMPOSIZIONI, NUMERI DI RAMANUJAN
Se gli n oggetti considerati sono indistinguibili, il numero di modi di raggrupparli è detto numero
delle partizioni p(n).
Non c’è una formula esatta semplice per p(n), ma esiste una notevole approssimazione congetturata
da Ramanujan.
p(n)è approssimativamente
Questa formula è stata dimostrata più tardi da Hardy e Ramanujan stesso, e poi modificata da
Rademacher, che ha ottenuto la formula esatta:
p(n)=
Nel contare le partizioni, non si tiene conto dell’ordine delle parti. In caso contrario, la risposta è
più semplice. Ci sono esattamente
partizioni ordinate di n.
I Numeri di Ramanujan,
sono definiti dalla formula
Ramanujan scoprì molte sorprendenti proprietà di questi numeri: per esempio,
se m e n non hanno fattori comun, e
è congruo alla somma delle undicesime potenze dei
divisori di n, modulo 691.
BIBLIOGRAFIA:
1) J.H. Conway- R.K. Guy, “The book of numbers”, Copernicus- Springer- Verlag (1955)
2) D. Romagnoli, “Problemi di combinatorica, Quaderni didattici del dipartimento di
matematica” (2007-2008)
3) D. Penazzi, “Funzioni tra insiemi finiti: numeri di Stirling e Bell” (2004)
4) http://it.wikipedia.org/wiki/James_Stirling_(matematico)
5) http://it.wikipedia.org/wiki/Eric_Temple_Bell
6) http://it.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan
7) http://www.matematicaeliberaricerca.com/mondo_matematici/ramanujan.htm
