I numeri primi di Ramanujan

I numeri primi di Ramanujan
Forma aritmetica 6k-1 e distribuzione (circa nove per
ogni centinaio di unità)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show our results about Ramanujan’s
numbers: arithmetical form 6k -1 and distribution
Riassunto
In questo breve lavoro parleremo dei numeri primi di
Ramanujan, della loro forma 6k-1 (tranne il 2 iniziale) e
della loro distribuzione lungo la retta numerica (circa nove
ogni centinaio di unità, almeno nella fase iniziale).
Circa la loro forma aritmetica, essa è sempre 6k-1 tranne
1
che per il 2 iniziale
TABELLA 1
Numero primo
2
11
17
29
41
47
59
…
659
…
1439
…
k
0
2
3
5
7
8
10
…
110
6k -1
6*0+2
6*2-1
6*3-1
6*5-1
6*7-1
6*8-1
6*10-1
…
6*110-1
240
…
6*240-1
…
Quindi, la forma aritmetica è sempre, da 11 in poi,
p = 6*k -1, mentre tutti i numeri primi (tranne il 2 e il 3
iniziali) hanno forma 6k + 1.
Definizione dei numeri primi di Ramanujan (tradurre da
sequenza Oesis A104272:
2
Ramanujan primes R_n: a(n) is the smallest number such that if
x >= a(n), then pi(x) - pi(x/2) > = n, where pi(x) is the number of
primes <= x.
Traduzione Numeri primi di Ramanujan - R_n: a(n) è il
più piccolo numero tale che se x >= a(n), allora pi(x) - pi(x/2) > =
n, dove pi(x) è il numero di primi <= x.
Da tale sequenza riportiamo i numeri primi di Ramanujan
fino a 659:
2, 11, 17, 29,
107, 127, 149,
233, 239, 241,
349, 367, 373,
461, 487, 491,
601, 607, 641,
41, 47, 59, 67, 71,
151, 167, 179, 181,
263, 269, 281, 307,
401, 409, 419, 431,
503, 569, 571, 587,
643, 647, 653, 659
97, 101,
227, 229,
311, 347,
433, 439,
593, 599,
Ed anche la lista in verticale (i numeri da noi evidenziati in
rosso precedono il prossimo centinaio, per facilitare il
conteggio):
3
TABELLA 2
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
a(n)
2
11
17
29
41
47
59
67
71
97
101
107
127
149
151
167
179
181
227
229
233
239
241
263
269
281
4
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
307
311
347
349
367
373
401
409
419
431
433
439
461
487
491
503
569
571
587
593
599
601
607
641
643
647
653
659
5
2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167,
179, 181, 227, 229, 233, 239, 241,263, 269, 281, 307, 311, 347,
349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, 503,
569, 571,587, 593, 599, 601, 607, 641, 643, 647, 653, 659, 677,
719, 727, 739, 751, 769, 809, 821, 823, 827, 853,857, 881, 937,
941, 947, 967, 983, 1009, 1019, 1021, 1031, 1049, 1051, 1061,
1063 1087, 1091, 1097, 1103,1151, 1163, 1187, 1217, 1229, 1249,
1277, 1289,1297, 1301 1367, 1373, 1423, 1427, 1429, 1439
Continuando la tabella di cui sopra, notiamo che a(n) prosegue
con 56 fino a700, 60 fino a 800, 67 fino a 900, 72 fino a 1000,
83 fino a 1100, 86 fino a 1200, 92 fino a 1300, 94 fino a 1400
6
A104272 as a graph
7
Dal grafico superiore vediamo che per N = 3000, a(n) = 200
coerente con la stima 6*C (vedi tabella successiva), in quanto fino
a 3000 ci sono C = 30 centinaia , e quindi 30*6 = 180 ≈ 200,
valore questo più realistico per 3500 (valore estremo superiore del
grafico) , poiché 35*6 =210. La stessa attendibilità è valida anche
per tutti gli altri valori di N ed a(n) in entrambi i grafici.
Con la seguente tabella vediamo di capire meglio tale
distribuzione per ogni 100 unità, visto che ci sono mediamente
circa 6 numeri di Ramanujan ogni cento unità:
TABELLA 3
a(n)
10
18
26
32
41
47
56
60
67
72
Centinaia successive
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
8
a(n) = 6 * b + c
6 *2-2
6*3
6*4+2
6*5+2
6*7-1
6*8-1
6*9+2
6*10
6*11+1
6*12
83
86
92
94
…
1100
1200
1300
1400
…
6*14-1
6*14+2
6*15+2
6*16 –2
…
I risultati sono abbastanza attendibili, con 6b + c, con c = 1, 2, 3
almeno nella fase iniziale della retta numerica, fino a 1400.
Fino a 2000 = 20 centinaia, per esempio, prevediamo quindi
a(n) = a(2000) ≈ 20*6 = 120 numeri di Ramanujan
Un altro metodo sarebbe il rapporto r = C/a(n) tra centinaio C
e relativo a(n), che , partendo da 10 =100/10, cresce lentamente
fino a 14,88 per C = 1400 e in definitiva tende
a r ≈ C/100.
Per esempio,
1000/72 = 13,88
13,88 ≈ 10 =1000/100
1400/94= 14,89
14,89 ≈ 14= 1400/100
9
TABELLA 4
r = C/(an) =
100/10
200/18
300/26
400/32
500/41
600/47
700/56
800/60
900/67
1000/72
1100/83
1200/86
1300/92
1400/94
…
Valore reale, per cui Stima
a(n) = 10^n/ 3
approssimativa:
10 + C/100*0,388*
10
10,388 ≈ 10 arrot.
11,11
10,776 ≈ 11
11,53
11,164
11
12,50
11,552
11,5
12,19
11,94
12
12,76
12,328
12,5
12,5
12,716
13
13,33
13,104
13
13,43
13,492
13,5
13,888
13,880
14
13,25
14,260
14
13,95
14,656
14,5
14,13
15,040
15
14,89
15,432 – 0,388 =
15,044
15
corretto
…
…
Osservazioni
r varia da 10 di 100 a 13,88 di 1000, quindi con una differenza
media (13,88 -10) /10 = 3,88/10 = 0,388 millesimi per ogni
centinaio successivo. Tale stima approssimativa comincia ad
10
essere per eccesso a partire da C = 1000, per cui da tale valore
stimato si toglie 0,388, correggendo la stima ottenendo un valore
migliore, per es. da 15,432 – 0,388 = 15,044 , valore più vicino a
14,89 valore reale. Per cui, se si divide C per tale valore stimato e
corretto, abbiamo approssimativamente a(n)
Esempi : 1400/ 15,044= 93,06, molto vicino a 94 valore reale
Per esempio fino a N = 10 000 abbiamo 100 centinaia, e quindi
abbiamo circa 100*6 = 600 numeri di Ramanujan.
E quindi un rapporto a(n) ≈ 100*6 = 600
per leggero eccesso
Con r ≈ 10 000/600 = 16,66 leggermente in eccesso
Con l’altra stima avremo r ≈ 10 + C/100 *0.388 = 10+38,8 = 48,8
Valore molto diverso e maggiore di 16,66, e quindi poco
attendibile.
Proviamo con 16,66 per la stima logaritmica
11
TABELLA 5
10^n
a(n)
Stima
logaritmica
> 10^log
(10^n-1)
10
100
1000
10 000
100 000
…
1
10
97
≈ 600
≈ 6000
…
10^1 =10
10^2=100
10^3=1 000
10^4=10 000
…
APPROSSIMAZIONE
per eccesso rispetto ai
valori reali (vedi
grafici) corretta al
60%della stima
logaritmica a partire
da 10^4
=10
≈ 97
≈ 600 ≈ 1000*0,60
≈ 6000 ≈1000*0.60
Conclusioni
Concludiamo con questa stima logaritmica approssimativa,
corretta al 60% dopo 104, perfezionabile in futuro da parte di
altri matematici volenterosi.
Rimane da capire a cosa possano servire in pratica questi numeri
primi di Ramanujan, connessi al postulato di Bertrand.
12
Riferimenti
1) Ramanujan Primes and Bertrand's Postulate
Jonathan Sondow, sul sito
arxiv.org/pdf/0907.5232
2) Il postulato di Bertrand e i primi di Ramanujan
Umberto Cerruti - Università di Torino, sul sito:
www.dm.unito.it/~cerruti/pdfblog/primi-ramanujan.pdf
13