I numeri primi di Ramanujan Forma aritmetica 6k-1 e distribuzione (circa nove per ogni centinaio di unità) Francesco Di Noto, Michele Nardelli Abstract In this paper we show our results about Ramanujan’s numbers: arithmetical form 6k -1 and distribution Riassunto In questo breve lavoro parleremo dei numeri primi di Ramanujan, della loro forma 6k-1 (tranne il 2 iniziale) e della loro distribuzione lungo la retta numerica (circa nove ogni centinaio di unità, almeno nella fase iniziale). Circa la loro forma aritmetica, essa è sempre 6k-1 tranne 1 che per il 2 iniziale TABELLA 1 Numero primo 2 11 17 29 41 47 59 … 659 … 1439 … k 0 2 3 5 7 8 10 … 110 6k -1 6*0+2 6*2-1 6*3-1 6*5-1 6*7-1 6*8-1 6*10-1 … 6*110-1 240 … 6*240-1 … Quindi, la forma aritmetica è sempre, da 11 in poi, p = 6*k -1, mentre tutti i numeri primi (tranne il 2 e il 3 iniziali) hanno forma 6k + 1. Definizione dei numeri primi di Ramanujan (tradurre da sequenza Oesis A104272: 2 Ramanujan primes R_n: a(n) is the smallest number such that if x >= a(n), then pi(x) - pi(x/2) > = n, where pi(x) is the number of primes <= x. Traduzione Numeri primi di Ramanujan - R_n: a(n) è il più piccolo numero tale che se x >= a(n), allora pi(x) - pi(x/2) > = n, dove pi(x) è il numero di primi <= x. Da tale sequenza riportiamo i numeri primi di Ramanujan fino a 659: 2, 11, 17, 29, 107, 127, 149, 233, 239, 241, 349, 367, 373, 461, 487, 491, 601, 607, 641, 41, 47, 59, 67, 71, 151, 167, 179, 181, 263, 269, 281, 307, 401, 409, 419, 431, 503, 569, 571, 587, 643, 647, 653, 659 97, 101, 227, 229, 311, 347, 433, 439, 593, 599, Ed anche la lista in verticale (i numeri da noi evidenziati in rosso precedono il prossimo centinaio, per facilitare il conteggio): 3 TABELLA 2 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 a(n) 2 11 17 29 41 47 59 67 71 97 101 107 127 149 151 167 179 181 227 229 233 239 241 263 269 281 4 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 307 311 347 349 367 373 401 409 419 431 433 439 461 487 491 503 569 571 587 593 599 601 607 641 643 647 653 659 5 2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241,263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, 503, 569, 571,587, 593, 599, 601, 607, 641, 643, 647, 653, 659, 677, 719, 727, 739, 751, 769, 809, 821, 823, 827, 853,857, 881, 937, 941, 947, 967, 983, 1009, 1019, 1021, 1031, 1049, 1051, 1061, 1063 1087, 1091, 1097, 1103,1151, 1163, 1187, 1217, 1229, 1249, 1277, 1289,1297, 1301 1367, 1373, 1423, 1427, 1429, 1439 Continuando la tabella di cui sopra, notiamo che a(n) prosegue con 56 fino a700, 60 fino a 800, 67 fino a 900, 72 fino a 1000, 83 fino a 1100, 86 fino a 1200, 92 fino a 1300, 94 fino a 1400 6 A104272 as a graph 7 Dal grafico superiore vediamo che per N = 3000, a(n) = 200 coerente con la stima 6*C (vedi tabella successiva), in quanto fino a 3000 ci sono C = 30 centinaia , e quindi 30*6 = 180 ≈ 200, valore questo più realistico per 3500 (valore estremo superiore del grafico) , poiché 35*6 =210. La stessa attendibilità è valida anche per tutti gli altri valori di N ed a(n) in entrambi i grafici. Con la seguente tabella vediamo di capire meglio tale distribuzione per ogni 100 unità, visto che ci sono mediamente circa 6 numeri di Ramanujan ogni cento unità: TABELLA 3 a(n) 10 18 26 32 41 47 56 60 67 72 Centinaia successive 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 8 a(n) = 6 * b + c 6 *2-2 6*3 6*4+2 6*5+2 6*7-1 6*8-1 6*9+2 6*10 6*11+1 6*12 83 86 92 94 … 1100 1200 1300 1400 … 6*14-1 6*14+2 6*15+2 6*16 –2 … I risultati sono abbastanza attendibili, con 6b + c, con c = 1, 2, 3 almeno nella fase iniziale della retta numerica, fino a 1400. Fino a 2000 = 20 centinaia, per esempio, prevediamo quindi a(n) = a(2000) ≈ 20*6 = 120 numeri di Ramanujan Un altro metodo sarebbe il rapporto r = C/a(n) tra centinaio C e relativo a(n), che , partendo da 10 =100/10, cresce lentamente fino a 14,88 per C = 1400 e in definitiva tende a r ≈ C/100. Per esempio, 1000/72 = 13,88 13,88 ≈ 10 =1000/100 1400/94= 14,89 14,89 ≈ 14= 1400/100 9 TABELLA 4 r = C/(an) = 100/10 200/18 300/26 400/32 500/41 600/47 700/56 800/60 900/67 1000/72 1100/83 1200/86 1300/92 1400/94 … Valore reale, per cui Stima a(n) = 10^n/ 3 approssimativa: 10 + C/100*0,388* 10 10,388 ≈ 10 arrot. 11,11 10,776 ≈ 11 11,53 11,164 11 12,50 11,552 11,5 12,19 11,94 12 12,76 12,328 12,5 12,5 12,716 13 13,33 13,104 13 13,43 13,492 13,5 13,888 13,880 14 13,25 14,260 14 13,95 14,656 14,5 14,13 15,040 15 14,89 15,432 – 0,388 = 15,044 15 corretto … … Osservazioni r varia da 10 di 100 a 13,88 di 1000, quindi con una differenza media (13,88 -10) /10 = 3,88/10 = 0,388 millesimi per ogni centinaio successivo. Tale stima approssimativa comincia ad 10 essere per eccesso a partire da C = 1000, per cui da tale valore stimato si toglie 0,388, correggendo la stima ottenendo un valore migliore, per es. da 15,432 – 0,388 = 15,044 , valore più vicino a 14,89 valore reale. Per cui, se si divide C per tale valore stimato e corretto, abbiamo approssimativamente a(n) Esempi : 1400/ 15,044= 93,06, molto vicino a 94 valore reale Per esempio fino a N = 10 000 abbiamo 100 centinaia, e quindi abbiamo circa 100*6 = 600 numeri di Ramanujan. E quindi un rapporto a(n) ≈ 100*6 = 600 per leggero eccesso Con r ≈ 10 000/600 = 16,66 leggermente in eccesso Con l’altra stima avremo r ≈ 10 + C/100 *0.388 = 10+38,8 = 48,8 Valore molto diverso e maggiore di 16,66, e quindi poco attendibile. Proviamo con 16,66 per la stima logaritmica 11 TABELLA 5 10^n a(n) Stima logaritmica > 10^log (10^n-1) 10 100 1000 10 000 100 000 … 1 10 97 ≈ 600 ≈ 6000 … 10^1 =10 10^2=100 10^3=1 000 10^4=10 000 … APPROSSIMAZIONE per eccesso rispetto ai valori reali (vedi grafici) corretta al 60%della stima logaritmica a partire da 10^4 =10 ≈ 97 ≈ 600 ≈ 1000*0,60 ≈ 6000 ≈1000*0.60 Conclusioni Concludiamo con questa stima logaritmica approssimativa, corretta al 60% dopo 104, perfezionabile in futuro da parte di altri matematici volenterosi. Rimane da capire a cosa possano servire in pratica questi numeri primi di Ramanujan, connessi al postulato di Bertrand. 12 Riferimenti 1) Ramanujan Primes and Bertrand's Postulate Jonathan Sondow, sul sito arxiv.org/pdf/0907.5232 2) Il postulato di Bertrand e i primi di Ramanujan Umberto Cerruti - Università di Torino, sul sito: www.dm.unito.it/~cerruti/pdfblog/primi-ramanujan.pdf 13