Appunti della lezione sulle “definizioni”
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1 2 Istituzioni di matematiche 2 Scienze della Formazione Primaria Misura 12 marzo 2007 Marina Cazzola ([email protected]) Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano–Bicocca Istituzioni di matematiche 2 – p. 1 3 Istituzioni di matematiche 2 – p. 2 4 Carta formato A4 Misurazioni Approssimativamente un foglio di carta A4 misura 21 cm per 30 cm. Osserviamo che scrivendo che una misura è 21, 0 ± 0, 1 cm Se misuriamo il foglio di carta A4 con un righello, possiamo ottenere una misura “a meno di un millimetro” intendiamo che la misura “esatta” è un valore compreso tra 20, 9 cm e 21, 1 cm Dovremmo allora scrivere che le dimensioni del foglio A4 sono perciò 21, 0 ± 0, 1 cm per 29, 7 ± 0, 1 cm È anche possibile valutare l’errore percentuale, cioè confrontare l’errore nella misurazione con la grandezza che si vuole misurare. 0, 1 = 0.0047619048 ≈ 0, 5% 21 Un errore dello 0, 5% è intrinseco nella misurazione che stiamo effettuando. Istituzioni di matematiche 2 – p. 3 5 Istituzioni di matematiche 2 – p. 4 6 Misurazioni Misurazioni Un errore di ±0, 1 cm nella misurazione delle lunghezze ci porta un errore di ±5 cm2 nella misurazione dell’area Per quel che riguarda le aree, l’errore riportato nelle misurazioni lineari si ripercuote sull’area Si ha infatti I seguenti numeri dati per la misurazione dell’area del foglio la misura della larghezza è un valore compreso tra 20, 9 cm e 21, 1 cm 623, 403 623, 7 619, 5 la misura dell’altezza è un valore compreso tra 29, 6 cm e 29, 8 cm Applicando la formula dell’area del rettangolo si ha non hanno senso: la parte decimale è del tutto irrilevante. la misura dell’area è un valore compreso tra 618, 64 cm2 e 628, 78 cm2 Ha senso scrivere che la misura dell’area è 623 ± 5 cm2 . con un margine di errore di 10, 14 cm2 (ovvero ±5, 07 cm2 ). Istituzioni di matematiche 2 – p. 5 7 Istituzioni di matematiche 2 – p. 6 8 π Misurazioni Quanto misura la diagonale del foglio di carta A4? Applicando il teorema di Pitagora otteniamo q (21, 0)2 + (29, 7)2 = p 441 + 882, 09 = p 1323, 09 ovvero Una attenzione analoga merita il numero irrazionale π. π è un numero irrazionale ha una rappresentazione decimale infinita e non periodica π ∼ 3, 1415927 . . . Ma per molti degli usi che ci interessano l’approssimazione 36, 374304 π∼3 Anche in questo caso non possiamo prescindere dall’errore riportato nelle misurazioni delle lunghezze. è più che sufficiente. Il mettere “tante cifre decimali” è ben lungi dal rendere la nostra misura più precisa! Non bisogna illudersi che utilizzare π = 3, 14 risolva tutti i problemi. Istituzioni di matematiche 2 – p. 7 Istituzioni di matematiche 2 – p. 8 9 10 π È un utile esercizio costruire oggetti a forma di circonferenza, effettuare le misure di diametro e circonferenza e valutare di volta in volta il rapporto. Definizioni Ci si può così rendere conto che solo con oggetti “grandi” è necessario utilizzare le cifre decimali di π. Su questo anche gli esperti ogni tanto cadono in errore: un esempio di sciocchezze che si possono dire su π è apparso su Famiglia Cristiana (si veda il sito internet http://www.quadernoaquadretti.it/scuola/ridere/ Che cosa sta succedendo alle circonferenze?) Istituzioni di matematiche 2 – p. 9 Che cosa vuol dire dare una 11 Istituzioni di matematiche 2 – p. 10 12 Definizione di poligono definizione? × × 1 × 2× 3 × × × × × 5 × × × 6 × × × × × × il poligono è una figura definita nello spazio e piana × × × × × 7× × × × × × × × × × 4 × × figura geometrica chiusa × 8 figura geometrica con una linea chiusa × × figura geometrica con più lati × figura piana avente lati consecutivi × × × 11 × × 9 × × × × × ×× × poligoni? × × × × × 10 × × × × × × × figura geometrica i cui prolungamenti di ogni suo lato non rientrano nella figura stessa uno spazio su un foglio delimitato da una linea spezzata chiusa un poligono è una figura piana la cui superficie è racchiusa da una linea segmentata chiusa Istituzioni di matematiche 2 – p. 11 13 Istituzioni di matematiche 2 – p. 12 14 Definizione di poligono Definizione di poligono figura costituita da linee rette che si uniscono formando degli angoli regione di un piano delimitata da un perimetro, cioè da un numero x di lati, che formano angoli interni e esterni. Può essere concavo o convesso un poligono è una figura geometrica piana formata da una linea spezzata chiusa figure costituite dall’unione di segmenti una figura geometrica avente 3 o più lati la parte limitata di piano racchiusa da una poligonale il poligono è una figura piana chiusa che ha almeno tre lati e tre angoli, può essere sia regolare che irregolare figura piana costituita da un numero finito di segmenti consecutivi (ove due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune) figura piana con “n” lati sottoinsieme del piano ottenuto come intersezione di semipiani forma geometrica costituita da tanti lati sottoinsieme limitato del piano ottenuto come intersezione di semipiani superficie composta da segmenti chiusi Istituzioni di matematiche 2 – p. 13 15 Istituzioni di matematiche 2 – p. 14 16 Definizione di poligono Non è affatto semplice dare una definizione elementare di poligono, che sia insieme corretta e non eccessivamente pesante. In particolare una buona definizione di poligono deve passare per il concetto di linea (spezzata) semplice chiusa. Per una discussione dettagliata si può consultare il testo di M. Dedò Forme, Decibel-Zanichelli. Istituzioni di matematiche 2 – p. 15 Diagonali Riprendendo la Riflessione sulle conoscenze di base Un quadrilatero ha . . . diagonali. Un pentagono ha . . . diagonali. Un esagono ha . . . diagonali. Un cubo ha . . . facce, . . . vertici, . . . spigoli e . . . diagonali. Una piramide a base esagonale ha . . . facce, . . . vertici, . . . spigoli e . . . diagonali. Per rispondere è fondamentale concordare su cosa si voglia chiamare “diagonale”! Istituzioni di matematiche 2 – p. 16 17 18 Diagonali Quadrilateri Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi, cioè che non appartengono allo stesso lato. Un quadrilatero ha due diagonali. Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi Un triangolo non ha diagonali. Istituzioni di matematiche 2 – p. 17 19 Istituzioni di matematiche 2 – p. 18 20 Pentagoni Esagoni Un pentagono ha cinque diagonali Quante sono? Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi Un esagono ha 6×3 2 diagonali Istituzioni di matematiche 2 – p. 19 21 Istituzioni di matematiche 2 – p. 20 22 Diagonali di un poligono Diagonale ??? Se assumiamo come definizione di diagonale Consideriamo la seguente definizione Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi. Definizione – La diagonale in un poligono è l’asse che unisce due vertici; in un quadrilatero esistono due diagonali. allora un poligono di n lati ha esattamente n × (n − 3) 2 cosa è un asse? la definizione di asse dovrebbe farmi escludere i lati del poligono diagonali la parte “in un quadrilatero esistono due diagonali” è rilevante per la definizione di diagonale? Istituzioni di matematiche 2 – p. 21 23 Istituzioni di matematiche 2 – p. 22 24 Cubo e piramide a base esagonale Il caso tridimensionale Vorremmo tradurre al caso tridimensionale la definizione data nel caso bidimensionale Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi. cubo diagonali 1 diagonali 2 piramide traduciamo ‘poligono’ con ‘poliedro’ abbiamo però due modi diversi di tradurre l’espressione ‘non consecutivi’ che non appartengono allo stesso lato che non appartengono alla stessa faccia Istituzioni di matematiche 2 – p. 23 Istituzioni di matematiche 2 – p. 24 25 26 Giusto o sbagliato? Abbiamo quindi due possibili definizioni non equivalenti di diagonale in un poliedro un qualsiasi segmento che unisce due vertici non appartenenti alla stessa faccia un qualsiasi segmento che unisce due vertici non appartenenti allo stesso lato Nessuna delle due definizioni è di per sé quella giusta o quella sbagliata: ci sono contesti in cui ha senso utilizzare l’una piuttosto che l’altra. Per questo prima di porre la domanda “quante sono le diagonali di un cubo?” occorre specificare qual è il quadro di riferimento. Istituzioni di matematiche 2 – p. 25 Quiz televisivi Mi è capitato di sentire la seguente domanda Qual è il numero massimo di angoli retti che può avere un trapezio? Questa è proprio una domanda a cui non si può dare risposta se non si risolve l’ambiguità della definizione di trapezio un trapezio è un quadrilatero che ha almeno due lati paralleli un trapezio è un quadrilatero che ha due e solo due lati paralleli Di nuovo, queste definizioni non sono equivalenti e entrambe sono da considerarsi giuste o sbagliate a seconda del contesto. Istituzioni di matematiche 2 – p. 26
