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Istituzioni di matematiche 2
Scienze della Formazione Primaria
Misura
12 marzo 2007
Marina Cazzola ([email protected])
Dipartimento di Matematica e Applicazioni
Università di Milano–Bicocca
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Carta formato A4
Misurazioni
Approssimativamente un foglio di carta A4 misura 21 cm
per 30 cm.
Osserviamo che scrivendo che una misura è
21, 0 ± 0, 1 cm
Se misuriamo il foglio di carta A4 con un righello,
possiamo ottenere una misura “a meno di un millimetro”
intendiamo che la misura “esatta” è un valore compreso
tra 20, 9 cm e 21, 1 cm
Dovremmo allora scrivere che le dimensioni del foglio A4
sono perciò
21, 0 ± 0, 1 cm per 29, 7 ± 0, 1 cm
È anche possibile valutare l’errore percentuale, cioè
confrontare l’errore nella misurazione con la grandezza
che si vuole misurare.
0, 1
= 0.0047619048 ≈ 0, 5%
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Un errore dello 0, 5% è intrinseco nella misurazione che
stiamo effettuando.
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Misurazioni
Misurazioni
Un errore di ±0, 1 cm nella misurazione delle lunghezze
ci porta un errore di ±5 cm2 nella misurazione dell’area
Per quel che riguarda le aree, l’errore riportato nelle
misurazioni lineari si ripercuote sull’area
Si ha infatti
I seguenti numeri dati per la misurazione dell’area del
foglio
la misura della larghezza è un valore compreso tra
20, 9 cm e 21, 1 cm
623, 403
623, 7
619, 5
la misura dell’altezza è un valore compreso tra
29, 6 cm e 29, 8 cm
Applicando la formula dell’area del rettangolo si ha
non hanno senso: la parte decimale è del tutto irrilevante.
la misura dell’area è un valore compreso tra
618, 64 cm2 e 628, 78 cm2
Ha senso scrivere che la misura dell’area è 623 ± 5 cm2 .
con un margine di errore di 10, 14 cm2
(ovvero ±5, 07 cm2 ).
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π
Misurazioni
Quanto misura la diagonale del foglio di carta A4?
Applicando il teorema di Pitagora otteniamo
q
(21, 0)2 + (29, 7)2
=
p
441 + 882, 09 =
p
1323, 09
ovvero
Una attenzione analoga merita il numero irrazionale π.
π è un numero irrazionale ha una rappresentazione
decimale infinita e non periodica
π ∼ 3, 1415927 . . .
Ma per molti degli usi che ci interessano
l’approssimazione
36, 374304
π∼3
Anche in questo caso non possiamo prescindere
dall’errore riportato nelle misurazioni delle lunghezze.
è più che sufficiente.
Il mettere “tante cifre decimali” è ben lungi dal rendere la
nostra misura più precisa!
Non bisogna illudersi che utilizzare π = 3, 14 risolva tutti i
problemi.
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π
È un utile esercizio costruire oggetti a forma di
circonferenza, effettuare le misure di diametro e
circonferenza e valutare di volta in volta il rapporto.
Definizioni
Ci si può così rendere conto che solo con oggetti “grandi”
è necessario utilizzare le cifre decimali di π.
Su questo anche gli esperti ogni tanto cadono in errore:
un esempio di sciocchezze che si possono dire su π è
apparso su Famiglia Cristiana (si veda il sito internet
http://www.quadernoaquadretti.it/scuola/ridere/
Che cosa sta succedendo alle circonferenze?)
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Che cosa vuol dire dare una
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Definizione di poligono
definizione?
×
×
1
×
2×
3
×
×
×
×
×
5
×
×
×
6
×
×
×
×
×
×
il poligono è una figura definita nello spazio e piana
×
×
×
×
×
7×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
4 ×
×
figura geometrica chiusa
×
8
figura geometrica con una linea chiusa
×
×
figura geometrica con più lati
×
figura piana avente lati consecutivi
× × × 11
×
×
9
×
×
×
×
×
×× ×
poligoni?
× ×
×
×
×
10
×
×
×
×
×
×
×
figura geometrica i cui prolungamenti di ogni suo
lato non rientrano nella figura stessa
uno spazio su un foglio delimitato da una linea
spezzata chiusa
un poligono è una figura piana la cui superficie è
racchiusa da una linea segmentata chiusa
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Definizione di poligono
Definizione di poligono
figura costituita da linee rette che si uniscono
formando degli angoli
regione di un piano delimitata da un perimetro, cioè
da un numero x di lati, che formano angoli interni e
esterni. Può essere concavo o convesso
un poligono è una figura geometrica piana formata
da una linea spezzata chiusa
figure costituite dall’unione di segmenti
una figura geometrica avente 3 o più lati
la parte limitata di piano racchiusa da una poligonale
il poligono è una figura piana chiusa che ha almeno
tre lati e tre angoli, può essere sia regolare che
irregolare
figura piana costituita da un numero finito di
segmenti consecutivi (ove due segmenti sono
consecutivi se hanno un estremo in comune)
figura piana con “n” lati
sottoinsieme del piano ottenuto come intersezione di
semipiani
forma geometrica costituita da tanti lati
sottoinsieme limitato del piano ottenuto come
intersezione di semipiani
superficie composta da segmenti chiusi
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Definizione di poligono
Non è affatto semplice dare una definizione elementare
di poligono, che sia insieme corretta e non
eccessivamente pesante.
In particolare una buona definizione di poligono deve
passare per il concetto di linea (spezzata) semplice
chiusa.
Per una discussione dettagliata si può consultare il testo
di M. Dedò Forme, Decibel-Zanichelli.
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Diagonali
Riprendendo la Riflessione sulle conoscenze di base
Un quadrilatero ha . . . diagonali. Un pentagono ha
. . . diagonali. Un esagono ha . . . diagonali.
Un cubo ha . . . facce, . . . vertici, . . . spigoli e . . .
diagonali.
Una piramide a base esagonale ha . . . facce, . . .
vertici, . . . spigoli e . . . diagonali.
Per rispondere è fondamentale concordare su cosa si
voglia chiamare “diagonale”!
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Diagonali
Quadrilateri
Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un
qualsiasi segmento che unisce due vertici non
consecutivi, cioè che non appartengono allo stesso lato.
Un quadrilatero ha due diagonali.
Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici
non consecutivi
Un triangolo non ha diagonali.
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Pentagoni
Esagoni
Un pentagono ha cinque diagonali
Quante sono?
Diagonale: un qualsiasi segmento che unisce due vertici
non consecutivi
Un esagono ha
6×3
2
diagonali
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Diagonali di un poligono
Diagonale ???
Se assumiamo come definizione di diagonale
Consideriamo la seguente definizione
Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un
qualsiasi segmento che unisce due vertici non
consecutivi.
Definizione – La diagonale in un poligono è l’asse che
unisce due vertici; in un quadrilatero esistono due
diagonali.
allora un poligono di n lati ha esattamente
n × (n − 3)
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cosa è un asse?
la definizione di asse dovrebbe farmi escludere i
lati del poligono
diagonali
la parte “in un quadrilatero esistono due diagonali” è
rilevante per la definizione di diagonale?
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Cubo e piramide a base esagonale
Il caso tridimensionale
Vorremmo tradurre al caso tridimensionale la definizione
data nel caso bidimensionale
Definizione – In un poligono, chiamiamo diagonale un
qualsiasi segmento che unisce due vertici non
consecutivi.
cubo
diagonali 1
diagonali 2
piramide
traduciamo ‘poligono’ con ‘poliedro’
abbiamo però due modi diversi di tradurre
l’espressione ‘non consecutivi’
che non appartengono allo stesso lato
che non appartengono alla stessa faccia
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Giusto o sbagliato?
Abbiamo quindi due possibili definizioni non equivalenti di
diagonale in un poliedro
un qualsiasi segmento che unisce due vertici non
appartenenti alla stessa faccia
un qualsiasi segmento che unisce due vertici non
appartenenti allo stesso lato
Nessuna delle due definizioni è di per sé quella giusta o
quella sbagliata: ci sono contesti in cui ha senso
utilizzare l’una piuttosto che l’altra.
Per questo prima di porre la domanda “quante sono le
diagonali di un cubo?” occorre specificare qual è il
quadro di riferimento.
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Quiz televisivi
Mi è capitato di sentire la seguente domanda
Qual è il numero massimo di angoli retti che
può avere un trapezio?
Questa è proprio una domanda a cui non si può dare
risposta se non si risolve l’ambiguità della definizione di
trapezio
un trapezio è un quadrilatero che ha almeno due lati
paralleli
un trapezio è un quadrilatero che ha due e solo due
lati paralleli
Di nuovo, queste definizioni non sono equivalenti e
entrambe sono da considerarsi giuste o sbagliate a
seconda del contesto.
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