Capitolo VII Retroazione

Capitolo VII
Retroazione
La maggior parte dei sistemi fisici fa uso di uno schema di retroazione. La teoria della
retroazione negativa è stata sviluppata dagli ingegneri. Nella ricerca di un metodo che consentisse il
progetto di amplificatori con guadagno stabile da utilizzare nei ripetitori telefonici, Harald Black,
ingegnere elettronico della Western Electric Co., inventò l’amplificatore retroazionato nel 1928.
Il concetto di retroazione è attualmente diffuso in molti altri campi applicativi.
La retroazione può essere sia negativa (degenerativa) che positiva (rigenerativa). Nel
progetto di un amplificatore la retroazione negativa ha effetto su diverse proprietà:
-
rende il guadagno meno sensibile alle variazioni del valore dei componenti circuitali;
-
riduce la distorsione non lineare;
-
riduce l’effetto del rumore;
-
controlla le impedenze di ingresso e uscita;
-
estende la larghezza di banda.
Questi vantaggi comportano una riduzione del guadagno. Il fattore di riduzione del guadagno, detto
“amount of feedback”, è il parametro che misura la desensibilizzazione del guadagno,
l’incremento dell’impedenza d’ingresso di un amplificatore di tensione, l’estensione della banda e
così via. Quindi si ricorre a compromessi.
Questo capitolo è dedicato allo studio degli amplificatori con retroazione negativa: analisi,
progetto e caratterizzazione. Si ricorre alla retroazione negativa in un consistente numero di
applicazioni; esempi sono gli amplificatori operazionali e l’uso della resistenza di emettitore RE per
stabilizzare il punto di polarizzazione di un BJT e per aumentare la resistenza d’ingresso e la
larghezza di banda di una configurazione differenziale.
La retroazione positiva è usata per creare oscillazioni.
7.1 Struttura generale della retroazione
La figura 7.1 mostra lo schema base di un amplificatore retroazionato; esso è un diagramma
di flusso del segnale in cui le quantità x possono rappresentare segnali corrente o tensione.
225
Figura 7.1 Struttura generalizzata di un amplificatore retroazionato
L’amplificatore a “open-loop” (senza retroazione) ha un guadagno A; quindi, l’uscita xo è
legata all’ingresso xi dalla relazione
x o = Ax i
(7.1)
L’uscita alimenta il carico e la rete di retroazione che riporta in ingresso una parte del segnale stesso
di uscita, data da
x f = βx o
(7.2)
con β detto “feedback factor”. Il segnale di retroazione xf viene sottratto dal segnale sorgente xs,
che rappresenta l’ingresso all’intera struttura, per produrre il segnale xi che è il segnale d’ingresso
all’amplificatore base,
xi = xs − xf
(7.3).
Questa sottrazione fa sì che la retroazione sia negativa; in sintesi, la retroazione negativa riduce il
segnale all’ingresso dell’amplificatore base. La sorgente, il carico e la rete di retroazione non
caricano l’amplificatore, cioè il guadagno A non dipende da nessuno di questi tre elementi.
Il guadagno dell’amplificatore retroazionato si può ottenere combinando le equazioni (7.1) e
(7.3):
Af ≡
x0
A
=
x s 1 + Aβ
(7.4).
226
La quantità Aβ è detto guadagno d’anello (loop gain). Per retroazione negativa Aβ > 0, cioè
xf e xs hanno lo stesso segno e questo si traduce in un piccolo segnale differenza xi. In questo caso
Af < A della quantità (1+ Aβ) che è chiamata amount of feedback. Se Aβ >> 1, come accade in
molti circuiti, si ha A f !
1
, cioè il guadagno Af dipende quasi esclusivamente dalla rete di
β
retroazione, in genere formata da componenti passivi. Di notevole importanza è, dunque, la scelta
della rete di retroazione, che determina il guadagno desiderato e stabile. Inoltre, dalle formule
precedenti si ricava il segnale di retroazione
xf =
Aβ
x s , da cui si vede che per Aβ >> 1, risulta x f ! x s , cioè xi = 0. Dunque, in presenza di
1 + Aβ
un elevato “amount of negative feedback”, xf diventa una replica di xs. xs ed xf possono essere gli
ingressi di un op amp (in tal caso xi è detto segnale di errore). Il circuito che così si realizza è detto
“comparison circuit” o “mixer”.
7.2 Proprietà della retroazione negativa
Gain desensitivity
Si ipotizza β costante. Differenziando la (7.4) si ottiene
dA f =
dA
(1 + Aβ) 2
(7.5).
Dividendo la (7.5) per la (7.4) si ricava
dA f
1
dA
=
Af
(1 + Aβ) A
(7.6).
La (7.6) dice che la variazione di Af, dovuta ad una variazione dei parametri circuitali che
provocano una dA/A, è più piccola della variazione di A di una quantità (1+Aβ). Per questo motivo
(1+Aβ) si chiama anche “desensitivity factor”.
227
Estensione della larghezza di banda
Si consideri un amplificatore con una risposta ad alta frequenza caratterizzata da un singolo
polo. Il suo guadagno alle medie ed alle alte frequenze può essere espresso come
A(s) =
AM
s
1+
ωH
(7.7)
dove AM indica il guadagno a frequenze intermedie e ωH è la frequenza di taglio superiore.
L’applicazione della retroazione negativa, con un fattore β indipendente dalla frequenza, porta
ad un guadagno ad anello chiuso dato da
AM
(1 + A Mβ)
A(s)
A f (s) =
=
.
s
1 + βA(s) 1 +
ωH (1 + A Mβ)
Quindi, l’amplificatore retroazionato ha guadagno alle frequenze intermedie pari a :
A Mf =
AM
1 + A Mβ
ed una frequenza di taglio superiore
ωHf = ωH (1 + A Mβ)
(7.8).
La frequenza di taglio superiore è aumentata della quantità (1 + A Mβ) . In modo analogo, se il
guadagno ad anello aperto è caratterizzato da un polo dominante a bassa frequenza in
corrispondenza di ωL, l’amplificatore retroazionato ha una frequenza di taglio inferiore data da
ωLf =
ωL
1 + A Mβ
(7.9).
Si noti che la larghezza di banda dell’amplificatore risulta aumentata dello stesso fattore di cui
è ridotto il guadagno alle frequenze intermedie, mantenendo il prodotto guadagno-larghezza di
banda costante.
228
Riduzione del rumore
La retroazione negativa può essere usata per ridurre il rumore o l’interferenza di un
amplificatore o, più precisamente, per aumentare il rapporto segnale/rumore. Tuttavia, questo
processo di riduzione è possibile solo in alcune condizioni. Si consideri la situazione illustrata in
figura 7.2.
Figura 7.2 Applicazione della retroazione negativa per migliorare il rapporto segnale/rumore degli amplificatori
La figura 7.2a mostra un amplificatore con guadagno A1, un segnale d’ingresso Vs ed un
segnale di rumore o interferenza Vn. Il rapporto segnale/rumore (SNR) all’ingresso
dell’amplificatore è definito come
S/N =
Vs
.
Vn
Nella figura 7.2b; è stato inserito un altro stadio amplificatore con guadagno A2 senza rumore. Si
applica la retroazione all’intera cascata. La tensione d’uscita del circuito in Fig. 7.2b si può ottenere
per sovrapposizione:
Vo = (Vs − βVo )A1A 2 + Vn A1 , da cui
Vo = Vs
A1A 2
A1
+ Vn
.
1 + βA1A 2
1 + βA1A 2
Quindi, il rapporto segnale/rumore all’uscita diventa
S Vs
=
A 2 , che è A2 volte più grande di Vs/Vn.
N Vn
229
Il miglioramento del rapporto segnale/rumore può essere possibile solo se lo studio con
rumore (A1) viene fatto precedere da uno senza rumore o con rumore relativamente basso (A2).
Perciò, uno stadio di potenza di uscita, che deve fornire un elevato guadagno di potenza ma un
piccolo guadagno di tensione, è preceduto da un amplificatore per piccoli segnali, che fornisce un
elevato guadagno di tensione e viene fortemente retroazionato per mantenere il guadagno di
tensione al suo valore originale.
Riduzione della distorsione non lineare
La curva 7.3a mostra la caratteristica di trasferimento (a) di un amplificatore.
Figura 7.3 (a) Caratteristica di trasferimento dell’amplificatore senza retroazione; (b) con retroazione negativa
Come mostrato, la caratteristica è lineare a pezzi, con guadagno di tensione variabile da 1000
a 100 e poi a 0. Questa caratteristica non lineare provoca nell’amplificatore un’elevata distorsione
non lineare. La caratteristica dell’amplificatore può essere linearizzata (cioè resa meno non lineare)
attraverso l’applicazione di una retroazione negativa. E poiché, come si è già visto, la retroazione
riduce la dipendenza del guadagno totale dell’amplificatore ad anello chiuso dal guadagno ad anello
aperto, variazioni anche grandi del guadagno ad anello aperto (da 1000 a 100 in questo caso) danno
luogo a variazioni corrispondenti molto piccole nel guadagno ad anello chiuso. Infatti, se si applica
una retroazione negativa con β = 0.01, si ottiene la caratteristica di trasferimento (b). La pendenza
nei segmenti della curva è data da
A f1 =
1000
= 90.9
1 + 1000 × 0.01
230
Af 2 =
100
= 50 .
1 + 100 × 0.01
Quindi l’ordine di grandezza della pendenza nei singoli tratti della curva si è notevolmente ridotto
ricorrendo alla retroazione negativa. Il prezzo da pagare,come sappiamo, è una riduzione del
guadagno di tensione. Quindi, se si deve conservare un guadagno totale, si deve aggiungere un
preamplificatore.
Infine, si noti che la retroazione negativa non ha alcun effetto sulla saturazione dell’amplificatore,
poiché in saturazione il guadagno è molto piccolo (circa nullo) e, quindi, l’amount of feedback è
anch’esso molto piccolo (circa pari a 0).
7.3 Le quattro topologie di base della retroazione
Sulla base della grandezza che deve essere amplificata (tensione o corrente) e della forma
desiderata dell’uscita (tensione o corrente), gli amplificatori possono essere classificati in quattro
categorie, schematizzate in figura 7.4.
Figura 7.4 Le quattro topologie di retroazione: (a) “voltage-sampling series-mixing (series shunt); (b) “currentsampling shunt-mixing (shunt-series); (c) current-sampling series-mixing (series-series); (d) voltagesampling shunt-mixing (shunt-shunt)
231
Amplificatori di tensione
Gli amplificatori di tensione amplificano una tensione in ingresso e forniscono un segnale di
tensione in uscita. Tale amplificatore è, essenzialmente, un generatore di tensione controllata in
tensione. L’impedenza d’uscita risulta bassa e quella d’ingresso alta.
Poiché il generatore di segnale è un generatore di tensione, è opportuno rappresentarlo
mediante il circuito equivalente di Thévenin. In un amplificatore di tensione la grandezza di
interesse è la tensione d’uscita; da questo segue che la rete di retroazione campiona la tensione in
uscita ed il segnale di retroazione xf è una tensione “mescolata” in serie con la tensione della
sorgente .
Una topologia di retroazione per l’amplificatore di tensione è il “voltage-sampling seriesmixing” (o “series-shunt”) mostrato in figura 7.4a.
Amplificatori di corrente
Il segnale di ingresso è corrente e, quindi, il generatore di segnale è rappresentato
dall’equivalente di Norton. L’amplificatore è un generatore di corrente controllato in corrente. La
grandezza di interesse all’uscita è la corrente amplificata, quindi la rete di retroazione campiona la
corrente in uscita. Il segnale d’uscita è in una forma tale che il segnale di retroazione xf sia una
corrente mescolata in ingresso in parallelo con la corrente della sorgente. La topologia di
retroazione sfruttabile per un amplificatore di corrente è la “current –sampling shunt-mixing” (o
“shunt-series”) mostrata in Fig. 7.4b.
Amplificatori a transconduttanza
Il segnale d’ingresso è una tensione e quello d’uscita è una corrente. La topologia di
retroazione da considerare è la “current –sampling series mixing” (o “series-series”) mostrata in
Fig. 7.4c.
Amplificatori a transresistenza
Il segnale di ingresso è la corrente e quello d’uscita è la tensione. La topologia di retroazione
appropriata è la “voltage-sampling shunt-mixing” (o “shunt-shunt”), in Fig. 7.4d.
232
7.4 Amplificatore con retroazione “series-shunt”
La struttura ideale dell’amplificatore retroazionato con schema series-shunt è mostrata in
figura 7.5a. Esso consiste di un amplificatore a circuito aperto (indicato con A) ed una rete di
retroazione del tipo voltage-sempling series-mixing (circuito indicato con β).
Figura 7.5 Amplificatore retroazionato “series shunt”: (a) struttura ideale; (b) circuito equivalente
Il circuito A ha resistenza d’ingresso Ri, guadagno di tensione A e resistenza d’uscita Ro. Si
ipotizza che le resistenze del generatore e di carico siano incluse nel circuito A. Inoltre si noti che
la rete β non carica il circuito A; questo vuol dire che, collegando il circuito β al circuito A, il
valore del guadagno di A (definito come A ≡ Vo/Vi) non viene modificato. Il circuito di Fig. 7.5a
segue esattamente il modello ideale di retroazione mostrato in Fig. 7.1. Perciò il guadagno di
tensione ad anello chiuso è dato da
Af ≡
Vo
A
=
.
Vs 1 + Aβ
Il circuito equivalente dell’amplificatore retroazionato con schema series-shunt è mostrato in
Fig. 7.5b. Rif e Rof sono, rispettivamente, la resistenza d’ingresso e quella d’uscita con retroazione.
La relazione che lega Rif e Ri è la seguente:
233
Vs
Vs
V
=
= Ri s
Ii Vi /R i
Vi
R if ≡
e, poiché
Vs = Vi + Vf = Vi + βVo = Vi + β∆Vi ,
si ha
R if = R i
Vi + βAVi
= R i (1 + βA)
Vi
(7.10).
Pertanto, la retroazione negativa fa aumentare la resistenza di ingresso. L’equazione precedente può
anche essere generalizzata nella forma
Zif (s) = Zi (s)[1 + A(s)β(s)]
(7.11).
Per determinare Rof si azzeri Vs cortocircuitandola e si applichi una tensione di test Vt
all’uscita, come mostrato in figura 7.6,
Vt
.
I
R of ≡
Figura 7.6 Calcolo della resistenza d’uscita Ro
Dalla figura precedente si ha
I=
Vt − AVi
V − βAVt
, e, poiché Vs = 0, segue che Vi = −Vf = −βVo = −βVt . Quindi, I = t
, che
Ro
Ro
porta a
R of =
Ro
1 + βA
(7.12).
Perciò, la retroazione negativa riduce la resistenza di uscita. In forma generale:
234
Zof (s) =
Zo (s)
1 + A(s)β(s)
(7.13).
Modello non ideale
Negli amplificatori reali con schema di retroazione series-shunt, la rete di retroazione β è, di solito,
passiva e, perciò, carica l’amplificatore. Questo significa che i parametri A, Ri ed Ro risentono
dell’effetto di β e delle resistenze di sorgente e carico. Il modello ideale nei casi pratici si modifica
nel seguente modo. Nella figura 7.7 sono state inserite le resistenze di sorgente e di carico. La rete β
viene modellata con i parametri ibridi h (vedi appendice A7), che consentono di rappresentare β con
rete serie all’ingresso e parallelo all’uscita.
Dall’analisi del circuito in Fig. 7.7b si vede che la sorgente di corrente h21I1 rappresenta la
trasmissione diretta della rete di retroazione. Poiché la rete di retroazione generalmente è passiva, la
sua trasmissione diretta può essere trascurata rispetto a quella diretta dell’amplificatore di base.
Quindi si ipotizza h 21 rete β << h 21 ampl. di base e si trascura la sorgente controllata h21I1.
Si confronti il circuito di Fig. 7.7b con quello di Fig. 7.5a. Inserendo h11e h22
nell’amplificatore di base, si ottiene il circuito di Fig. 7.7c che è molto simile al circuito ideale. Se
l’amplificatore è unilaterale, una situazione che si ha quando h12 ampl. di base << h12 rete β , il circuito
di Fig. 7.7c è equivalente al circuito ideale. Da questo segue che il circuito A si ottiene inserendo
all’ingresso dell’amplificatore di base l’impedenza della sorgente Rs e l’impedenza della rete di
retroazione h11 ed all’uscita l’impedenza di carico RL e l’ammettenza h22 della rete di retroazione.
h11e h22 rappresentano l’effetto della rete β sull’amplificatore di base.
Un regola semplice per determinare i valori dei parametri h è la seguente: si cortocircuita la
porta con connessione in parallelo e si apre quella con connessione serie. In entrambi i casi si
elimina la controreazione.
235
Figura 7.7 Modifica del modello ideale di un amplificatore con retroazione series-shunt: (a) diagramma a blocchi
dell’amplificatore reale; (b) circuito in (a) con rappresentazione a parametri h della rete di
retroazione; (c) circuito in (b) trascurando h21
Per determinare A e β per un amplificatore con retroazione series-shunt si procede nel
seguente modo. Dalla Fig. 7.7c si vede che β è pari al parametro h12 della rete di retroazione
β = h12 ≡
V1
V2
.
I1 =0
236
Quindi per misurare β, si applica una tensione alla porta 2 della rete di retroazione e si misura la
tensione che appare alla porta 1 mentre quest’ultima è aperta.
Una sintesi delle regole per determinare A e β per l’amplificatore retroazionato di Fig. 7.7a
con schema serie-shunt è riportata in figura 7.8.
Figura 7.8 Sintesi delle regole per determinare A e β dell’amplificatore retroazionato di Fig. 8.7a
E’ importante notare che:
• Ri ed Ro sono, rispettivamente, le resistenze di ingresso e di uscita del circuito A;
• Rif ed Rof sono, rispettivamente, le resistenze di ingresso e di uscita dell’amplificatore
retroazionato; esse comprendono Rs ed RL;
• Rin ed Rout sono, rispettivamente, le reali resistenze di ingresso e uscita dell’amplificatore
retroazionato, esclusa la sorgente ed il carico, e sono pari a:
R in = R if − R s
R out =
1
1
1
−
R of R L
237
7.5 Amplificatore con retroazione series-series
Questa topologia stabilizza il rapporto Io/Vs e perciò si usa per amplificatori a
transconduttanza.
La struttura ideale è riportata in figura 7.9a e comprende un amplificatore di base a circuito
aperto (che include anche Rs ed RL ) una rete β di retroazione. Si noti che in questo caso risulta A è
una transconduttanza,
A≡
IO
Vi
(7.14)
mentre β è una transresistenza. Il guadagno d’anello βA rimane una quantità adimensionale.
Figura 7.9 Amplificatore retroazionato con schema “series-series”: (a) struttura ideale; (b) circuito equivalente
Nella struttura ideale di Fig. 7.9a le resistenze della sorgente Rs e del carico RL sono state
inserite nel circuito A e si ipotizza che il circuito β non carichi il circuito A. Il circuito segue il
modello ideale di Fig. 7.1 e si può scrivere
Af ≡
Io
A
=
Vs 1 + βA
(7.15).
238
Questa transconduttanza con retroazione è inserita nel modello circuitale equivalente
dell’amplificatore retroazionato di Fig. 7.9b. In questo modello, Rif è la resistenza d’ingresso
retroazionata. In modo analogo a quanto fatto nel paragrafo 7.4, si trova
R if = R i (1 + βA)
(7.16).
La relazione tra Rif ed Ri, che è uguale a quella della retroazione series-shunt, dipende ancora
una volta solo dalla tecnica di mixing.
Per valutare la resistenza d’uscita Rof, si pone Vs = 0 e si applicha una corrente It di test. In tal
caso
R of ≡
V
It
(7.17)
ed essendo Vi = − Vf = −βIo = −βI t , si ha: V = (I t − ∆Vi )R o = (I t + βAI t )R o , quindi:
R of = R o (1 + βA)
(7.18).
La retroazione negativa aumenta la resistenza di uscita. Il sampling di tensione (parallelo) riduce Rof
mentre quello di corrente (serie) l’aumenta.
Modello non ideale
La figura 7.10 mostra un diagramma a blocchi di un amplificatore reale con retroazione
series-series. L’amplificatore di Fig. 7.10a è ridisegnato in Fig. 7.10b con le resistenze Rs e RL
prossime all’amplificatore di base e con la rete di retroazione rappresentata dai parametri ibridi z
(che consentono di rappresentare β con rete serie all’ingresso e serie all’uscita).
Anche in questo caso si ipotizzi che la trasmissione diretta attraverso la rete di retroazione sia
trascurabile rispetto a quella diretta dell’amplificatore di base, cioè z 21 rete β << z 21 ampl. di base . In tal
caso si trascura la sorgente di tensione controllata z21I1. Inserendo z11e z22 nell’amplificatore di
base, si ottiene il circuito di Fig. 7.10c. Se l’amplificatore è unilaterale, cosa che si verifica quando
z12 ampl. di base << z12 rete β , il circuito di Fig. 7.10c è equivalente al circuito ideale di Fig. 7.10a. Da
questo segue che il circuito A si ottiene inserendo all’ingresso dell’amplificatore di base Rs e z11 ed
all’uscita RL e z22. z11e z22 rappresentano l’effetto della rete β sull’amplificatore di base.
239
Figura 7.10 Modifica del modello ideale di un amplificatore con retroazione series-series: (a) diagramma a
blocchi dell’amplificatore reale; (b) circuito in (a) con rappresentazione a parametri z della rete di
retroazione; (c) circuito in (b) trascurando z21
Dalla Fig. 7.10c si vede che β è pari al parametro z12 della rete di retroazione
β = z12 ≡
V1
I2
.
I1 =0
240
La connessione serie suggerisce che β sia misurato con la porta 1 aperta.
Una sintesi delle regole per determinare A e β per l’amplificatore retroazionato di Fig. 7.10a con
schema series-series è riportata in figura 7.11.
Figura 7.11 Sintesi delle regole per determinare A e β dell’amplificatore retroazionato di Fig. 8.10a
Si noti che:
• Ri ed Ro sono, rispettivamente, le resistenze di ingresso e di uscita dell’amplificatore di base. Ro
può essere determinata interrompendo il circuito fa Y e Y’;
• Rif e Rof sono, rispettivamente, le resistenze di ingresso e di uscita dell’amplificatore
retroazionato; sono incluse Rs ed RL;
• Rin ed Rout sono, rispettivamente, le reali resistenze di ingresso e di uscita dell’amplificatore
retroazionato e sono pari a:
R in = R if − R s
R out = R of − R L .
241
7.6 Amplificatore con retroazione “shunt-shunt”
La figura 7.12 mostra la struttura ideale per un amplificatore retroazionato con schema shuntshunt. Il circuito A ha una resistenza di ingresso Ri, una transresistenza A (= Vo/Ii) ed una
resistenza d’uscita Ro. La rete β è una sorgente di corrente controllata in tensione e β è la sua
transconduttanza.
Figura 7.12 Struttura ideale dell’amplificatore retroazionato con schema shunt-shunt
Il guadagno ad anello chiuso è definito come
Af ≡
Vo
A
=
IS 1 + βA
(7.19).
La resistenza d’ingresso con retroazione Rif include anche la resistenza della sorgente ed è
data da
Ri
1 + Aβ
R if =
(7.20).
La resistenza d’uscita con retroazione Rof include anche la resistenza di carico RL ed è data da
R of =
Ro
1 + Aβ
(7.21).
242
Modello non ideale
Dato un amplificatore reale retroazionato con schema shunt-shunt con diagramma a blocchi
mostrato in figura 7.13, si usa il metodo illustrato in figura 7.14 per determinare A e β.
Figura 7.13 Diagramma a blocchi per un amplificatore retroazionato reale con schema shunt-shunt
Figura 7.14 Regole per determinare il circuito A e β per l’amplificatore “voltage-sampling shunt-mixing” (shuntshunt)
Il metodo in Fig. 7.14 ipotizza che l’amplificatore di base sia unilaterale e che la trasmissione
diretta attraverso la rete di retroazione sia talmente piccola da poter essere trascurata. La prima
ipotesi è giustificata quando i parametri y dell’amplificatore di base e della rete di retroazione sono
tali da verificare la condizione
y12 rete β >> y12 ampl. di base . La seconda ipotesi è giustificata quando vale la condizione
243
y 21 rete β << y 21 ampl. di base .
Infine, si noti che, dopo aver determinato Rif ed Rof, la resistenza d’ingresso e la resistenza
d’uscita sono date da:
1
e
1
1
−
R if R S
R in =
R out =
1
.
1
1
−
R of R L
7.7 Amplificatore con retroazione “shunt-series”
La figura 7.15 mostra la struttura ideale di un amplificatore con schema di retroazione “shunt
series”. Esso è un amplificatore di corrente il cui guadagno con retroazione è definito come
Af ≡
Io
A
=
IS 1 + Aβ
(7.22).
La resistenza d’ingresso con retroazione è la resistenza vista dalla sorgente di corrente Is e
data da
R if =
Ri
1 + Aβ
(7.23).
Ancora una volta si fa notare che la connessione shunt all’ingresso riduce la resistenza d’ingresso.
La resistenza d’uscita con retroazione è la resistenza vista da O e O’ dopo aver interrotto il circuito
il circuito di uscita tra O e O’; essa è data da
R of = R o (1 + Aβ)
(7.24)
da cui si nota un aumento della resistenza d’uscita a causa del sampling della corrente (serie).
244
Figura 7.15 Struttura ideale per l’amplificatore con schema di retroazione shunt-series
Modello non ideale
Dato un amplificatore retroazionato reale con schema shunt-series, rappresentato dal
diagramma a blocchi in figura 7.16, si determinano A e β seguendo il metodo riportato in figura
7.17.
Figura 7.16 Diagramma a blocchi per un amplificatore reale con schema di retroazione shunt-series
Ancora una volta si ipotizza che la trasmissione diretta si verifichi quasi totalmente attraverso
l’amplificatore di base,
g 21 rete β << g 21 ampl. di base
e che la trasmissione inversa avvenga attraverso la rete di retroazione,
g12 rete β >> g12 ampl. di base .
245
Figura 7.17 Regole per determinare il circuito A e β per l’amplificatore “current-sampling shunt-mixing”
(shunt-series)
Le resistenze di ingresso e d’uscita sono espresse da
R in =
1
e
1
1
−
R if R S
R out = R of − R L .
7.8 Stabilità di un amplificatore retroazionato
In un amplificatore retroazionato il guadagno a circuito aperto A dipende, in generale, dalla
frequenza. In tal caso si parla di funzione di trasferimento ad anello aperto, A(s). Si ipotizza
anche che la rete di retroazione sia prevalentemente resistiva e quindi che β sia costante. Tuttavia β
può anche dipendere dalla frequenza ed in tal caso si può far riferimento alla funzione di
trasferimento di retroazione, β(s).
La funzione di trasferimento ad anello chiuso Af(s) è data da
A f (s) =
A(s)
1 + β(s)A(s)
(7.25).
246
Se l’amplificatore è di tipo “direct coupled” con guadagno in dc Ao = costante, poli e zeri
nella banda delle alte frequenze e β(s) costante alle basse frequenze, a bassa frequenza βA sarà
costante e positivo (negative feedback). Si vuole vedere cosa accade alle alte frequenze.
Ponendo s = jω nella (7.25), si ha
A f (jω) =
A(jω)
1 + β(jω)A(jω)
(7.26).
Quindi, il guadagno di anello 1 + β(jω)A(jω) è un numero complesso che può essere rappresentato
da ampiezza e fase,
L(jω) = β(jω)A(jω) = β(jω)A(jω) e jφ(ω)
(7.27).
L’espressione precedente definisce la variazione del guadagno d’anello con la frequenza e
permette di definire la stabilità o instabilità dell’amplificatore. Si ponga ω = ω180 (alla quale φ(ω) =
180°). A questa frequenza, il guadagno ad anello chiuso A(jω)β(jω) è un numero reale con segno
negativo e la retroazione diventa positiva. Se per ω = ω180 il guadagno d’anello è negativo e minore
di 1, si ha A f (jω) > A(jω) quindi [1 + β(jω)A(jω)] < 1 . In tal caso l’amplificatore è stabile. Se per ω
= ω180 il guadagno d’anello è negativo e uguale a 1, si ha A f ( jω) = ∞ cioè l’amplificatore ha
un’uscita con ingresso nullo; questa è la definizione di un oscillatore. Per comprendere come
l’anello di retroazione possa oscillare, si consideri l’anello generale di Fig. 7.1 con ingresso esterno
xs = 0. Qualsiasi disturbo nel circuito (es. chiusura di un interruttore di alimentazione di potenza)
genererà un segnale xi(t) all’ingresso dell’amplificatore. Questo rumore contiene, in generale, molte
frequenze tra le quali anche ω = ω180, cioè il segnale Xisin(ω180 t) . Questo segnale d’ingresso si
tradurrà in un segnale di retroazione dato da
X f = A( jω180 )β( jω180 )Xi = −Xi .
Poiché Xf è moltiplicato per –1 al nodo sommatore in ingresso, la retroazione è tale che il
segnale Xi all’ingresso dell’amplificatore è sostenuto nell’anello. Cioè da questo momento in poi in
ingresso ci saranno segnali sinusoidali ed in uscita la frequenza ω180. Ciò vuol dire che
l’amplificatore oscilla alla frequenza ω180.
247
Se il guadagno d’anello è negativo e maggiore di 1 il circuito oscilla e le oscillazioni crescono
in ampiezza finché qualche nonlinearità (sempre presenti) non riduca l’ampiezza del guadagno a 1.
In tal caso l’amplificatore non è stabile.
Diagramma di Nyquist
E’ un diagramma polare del guadagno d’anello al variare della frequenza assunta come
parametro. Esso è mostrato in figura 7.18 e serve a determinare la stabilità di un amplificatore.
Figura 7.18 Diagramma di Nyquist per un amplificatore instabile
La distanza radiale è Aβ e l’angolo è la fase φ. La curva a tratto continuo è per frequenze ω
positive. La curva tratteggiata corrisponde alle frequenze ω negative. Essa è l’immagine speculare
di quella per frequenze positive perché l’ampiezza di Aβ è una funzione pari della frequenza
mentre la fase è una funzione dispari. L’intersezione con l’asse reale negativo si ha in
corrispondenza di ω180. Se l’intersezione è a sinistra del punto (-1,0) il modulo di Aβ è maggiore di
1 e l’amplificatore è instabile. Quindi, se il diagramma circonda il punto (-1,0) l’amplificatore è
instabile.
248
7.9 Effetto della retroazione sui poli dell’amplificatore
La risposta in frequenza e la stabilità dell’amplificatore dipendono direttamente dai suoi poli.
Si vuole mostrare la relazione fra la stabilità e la posizione dei poli.
Stabilità e posizione dei poli
Un amplificatore (o un qualsiasi sistema) è stabile se i suoi poli giacciono nella parte sinistra
del piano s. Una coppia di poli complessi coniugati sull’asse jω dà origine ad oscillazioni
sinusoidali sostenute. Poli nella parte destra del piano s danno origine ad oscillazioni crescenti.
Infatti, si consideri un amplificatore con una coppia di poli a s = σ o ± jω . In presenza di rumore, la
risposta transitoria contiene termini del tipo
v(t) = eσo t [e jωn t + e-jωn t ] = 2eσo t cos(ωn t) .
Questo è un segnale sinusoidale con inviluppo eσo t . Se i poli sono nella parte sinistra del piano s,
allora σ0 sarà negativo e le oscillazioni si smorzeranno esponenzialmente fino ad annullarsi, come
mostrato in figura 7.19a, indicando che il sistema è stabile.
Figura 7.19 Relazione tra la posizione dei poli e la risposta transitoria del sistema
249
Se i poli saranno nella parte destra del piano s ( s = −σ o ± jω ), allora σ0 sarà positivo e le
oscillazioni cresceranno esponenzialmente, come mostrato in figura 7.19b ed il sistema sarà
instabile. Infine, se i poli giacciono sull’asse jω, allora σ0 sarà nullo e le oscillazioni saranno
sostenute, come mostrato in figura 7.19c.
Poli dell’amplificatore retroazionato
Dalla relazione che esprime il guadagno A f (s) =
A(s)
1 + A(s)β(s)
si noti che i poli
dell’amplificatore sono gli zeri del denominatore. Quindi i poli si possono ottenere risolvendo
l’equazione
1 + A(s)β(s) = 0
(7.28)
che è detta equazione caratteristica dell’anello di retroazione. Quindi, applicando la retroazione si
cambiano i poli di un amplificatore. Si vuole vedere come la retroazione modifichi i poli
dell’amplificatore. Si assume che l’amplificatore ad anello aperto abbia poli reali e tutti gli zeri a
s = ∞ . Inoltre, β sia indipendente dalla frequenza.
Risposta a singolo polo
Si consideri il caso di un amplificatore la cui funzione di trasferimento a circuito aperto è data
da
A(s) =
A0
1 + s/ωP
(7.29).
La funzione di trasferimento ad anello chiuso è
A f (s) =
A 0 /(1 + βA 0 )
1 + s/ωP (1 + βA 0 )
(7.30).
Quindi la retroazione sposta il polo sull’asse reale negativo fino alla frequenza
250
ωPf = ωP (1 + βA 0 )
(7.31).
Il processo è illustrato in figura 7.20a. La figura 7.20b mostra i diagrammi di Bode per A e
per A f .
Figura 7.20 Effetto della retroazione su (a) la posizione dei poli e (b) la risposta in frequenza di un amplificatore
con risposta a singolo polo
Si noti che, mentre a bassa frequenza i due diagrammi differiscono di 20 log(1 + A 0β) , ad alta
frequenza le due curve coincidono. La Fig. 7.20b mostra chiaramente che la retroazione negativa
allarga la larghezza di banda (ωPf > ωP) a spese del guadagno
( A f0 < A0 ) .
Poiché i poli
dell’amplificatore ad anello chiuso non si ritrovano mai nella parte destra del piano s,
l’amplificatore a singolo polo è stabile per qualsiasi valore di β, cioè è incondizionatamente stabile.
Risposta con due poli
Si consideri un amplificatore la cui funzione di trasferimento ad anello aperto sia
caratterizzata da due poli sull’asse reale:
A(s) =
A0

s  
s 
1 +
 + 1 +

 ωP1   ωP2 
(7.32).
In questo caso, i poli ad anello chiuso sono ottenuti dall’equazione 1 + A(s)β = 0 che porta a
s 2 + s(ωP1 + ωP2 ) + (1 + A 0β)ωP1ωP2 = 0
(7.33).
251
da cui
1
1
s = − (ωP1 + ωP2 ) ±
(ωP1 + ωP2 ) 2 − 4(1 + A oβ)ωP1ωP2
2
2
(7.34).
All’aumentare di A0β i poli si avvicinano l’uno all’altro e possono coincidere. Se A0β aumenta
ancora, essi possono diventare complessi coniugati e muoversi lungo una linea verticale, detta
luogo delle radici. La figura 7.21 mostra il luogo delle radici per il guadagno che aumenta.
Figura 7.21 Luogo delle radici per un amplificatore retroazionato la cui funzione di trasferimento ad anello
aperto ha due poli
Dalla precedente figura si evince anche che il sistema è incondizionatamente stabile. Il
massimo sfasamento di A(s) è 180° (90° per polo) che si ha per ω = ∞ . Quindi, non c’è una
frequenza fissata che corrisponda a φ = 180°.
Risposta con tre o più poli
La figura 7.22 mostra il luogo delle radici per un amplificatore retroazionato la cui risposta ad
anello aperto è caratterizzata da tre poli. All’aumentare di A0β il polo a più alta frequenza si sposta
verso l’esterno mentre gli altri due poli sono portati più vicini. Se A0β viene aumentato
ulteriormente i due poli diventano coincidenti e poi complessi coniugati.
252
Figura 7.22 Luogo delle radici per un amplificatore retroazionato la cui funzione di trasferimento ad anello
aperto ha tre poli
Esiste un valore di A0β per cui i due poli entrano nel semipiano destro, portando
l’amplificatore ad essere instabile. Con tre poli, per ω → ∞ , φ → 270° per cui esiste una frequenza
finita ω180 alla quale il guadagno d’anello ha uno shift di fase pari a 180°. Per la stabilità A0β deve
essere tale da avere i poli sempre nel semipiano sinistro.
7.10 Studio della stabilità con i diagrammi di Bode
Si consideri il diagramma di Bode per Aβ riportato in figura 7.23.
Figura 7.23 Diagramma di Bode per il guadagno d’anello Ab che mostra le definizioni di margine d’ampiezza e
margine di fase
253
Per ω = ω180 il modulo Aβ è minore di 1 quindi l’amplificatore è stabile. La differenza tra il
valore di Aβ a ω180 e 1, detta “gain margin”, è la quantità di cui può essere aumentato il guadagno
d’anello (per es. per effetto della temperatura, del tempo, ecc.) conservando la stabilità.
Un altro modo per determinare la stabilità consiste nel considerare il diagramma di Bode
dove Aβ = 1. Se a ω = ω1 (frequenza a cui Aβ = 1 ), φ è minore di 180°, l’amplificatore è stabile.
La differenza φ180 - φ1, con φ180 corrispondente a ω180 e φ1 corrispondente a ω1, è detta “phase
margin”. Se φ1 > φ180 l’amplificatore è instabile.
254
APPENDICE A7 - Breve richiamo sui parametri h, z, y e g
Per una rete a due porte si possono scrivere le seguenti relazioni:
 V1 = h11I1 + h12 V2

 I 2 = h 21I1 + h 22 V2
h11 =
h 21 =
V1
I1
I2
I1
 V1 = z11I1 + z12 I 2

 V2 = z 21I1 + z 22 I 2
h12 =
V2 = 0
h 22 =
V2 = 0
V1
V2
z11 =
I1 = 0
I2
V2
z 21 =
I1 = 0
 I1 = g11V1 + g12 I 2

 V2 = g 21V1 + g 22 I 2
g11 =
g 21 =
I1
V1
V2
V1
V2
I1
z12 =
I2 = 0
z 22 =
I2 = 0
V1
I2
I1 = 0
V2
I2
I1 = 0
I2
V1
V2 = 0
I2
V2
V1 = 0
 I1 = y11V1 + y12 V2

 I 2 = y 21V1 + y 22 V2
g12 =
I2 = 0
g 22 =
I2 = 0
V1
I1
I1
I2
V2
I2
y11 =
V1 = 0
y12 =
V1 = 0
I1
V1
I1
V2
y 21 =
V2 = 0
y 22 =
V1 = 0
255