L23 I test non parametrici

Corso di laurea in Economia e Commercio
Anno accademico 2016-’17
Corso di
Statistica (clec, cleif A-K)
Marco Gherghi
Lezione:
L23
Argomento:
www.docenti.unina.it/marco.gherghi
[email protected]
I test non parametrici
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Esercizio:
Si riporta, di seguito, la tabella che incrocia il Voto di laurea con l’Occupazione (al momento
dell’intervista) di 385 laureati della Facoltà di Economia.
E’ possibile affermare, con un livello di significatività α=0,05, che esiste relazione tra i due
caratteri osservati?
2
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Esercizio:
Si riporta, di seguito, la tabella che incrocia il Voto di laurea con l’Occupazione (al momento dell’intervista) di 385 laureati
della Facoltà di Economia.
E’ possibile affermare, con un livello di significatività α=0,05, che esiste relazione tra i due caratteri osservati?
Frequenze osservate
Distribuz. condizionate
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U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Esercizio:
Si riporta, di seguito, la tabella che incrocia il Voto di laurea con l’Occupazione (al momento dell’intervista) di 385 laureati
della Facoltà di Economia.
E’ possibile affermare, con un livello di significatività α=0,05, che esiste relazione tra i due caratteri osservati?
Frequenze osservate
Frequenze teoriche
χ2 = ∑∑
i
j
(
nij − n!ij
n!ij
)
2
= 3,97
4
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Esercizio:
Si riporta, di seguito, la tabella che incrocia il Voto di laurea con l’Occupazione (al momento dell’intervista) di 385 laureati
della Facoltà di Economia.
E’ possibile affermare, con un livello di significatività α=0,05, che esiste relazione tra i due caratteri osservati?
Frequenze osservate
Frequenze teoriche
n − n )
(
∑∑
2
ij
i
j
ij
n ij
χ2 = ∑∑
i
j
(
nij − n!ij
n!ij
)
2
= 3,97
5
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Tavola della distribuzione χ2
Gradi
di
libertà
Area nella coda destra
0,995
0,990
0,975
0,950
0,900
0,750
0,250
0,100
0,050
0,025
0,010
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
0,016
0,211
0,584
1,064
1,610
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
0,102
0,575
1,213
1,923
2,675
3,455
4,255
5,071
5,899
6,737
1,323
2,773
4,108
5,385
6,626
7,841
9,037
10,219
11,389
12,549
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
5,024
7,378
9,348
11,143
12,833
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,072
0,207
0,412
0,676
0,989
1,344
1,735
2,156
0,115
0,297
0,554
0,872
1,239
1,646
2,088
2,558
0,001
0,051
0,216
0,484
0,831
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2,603
3,074
3,565
4,075
4,601
5,142
5,697
6,265
6,844
7,434
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
5,578
6,304
7,042
7,790
8,547
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
7,584
8,438
9,299
10,165
11,037
11,912
12,792
13,675
14,562
15,452
13,701
14,845
15,984
17,117
18,245
19,369
20,489
21,605
22,718
23,828
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
21
22
23
24
25
26
27
8,034
8,643
9,260
9,886
10,520
11,160
11,808
8,897
9,542
10,196
10,856
11,524
12,198
12,879
10,283
10,982
11,689
12,401
13,120
13,844
14,573
11,591
12,338
13,091
13,848
14,611
15,379
16,151
13,240
14,041
14,848
15,659
16,473
17,292
18,114
16,344
17,240
18,137
19,037
19,939
20,843
21,749
24,935
26,039
27,141
28,241
29,339
30,435
31,528
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
35,563
36,741
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
35,479
36,781
38,076
39,364
40,646
41,923
43,195
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
45,642
46,963
6
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
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m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Frequenze osservate
Frequenze teoriche
α = 0,05
2
c0,05;6
= 12,59
1-α
3,97
α
12,59
(n
∑∑
ij
i
j
− n ij
n ij
)
2
Chi-quadrato
calcolato nel campione: 3,97
Non rifiuto l’ipotesi H0 di indipendenza fra le mutabili
7
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Frequenze osservate
Frequenze teoriche
3,97
(n
∑∑
ij
i
j
− n ij
n ij
)
2
Supponiamo che, sulla base di questo risultato campionario, io decida comunque di rifiutare
l’ipotesi di indipendenza e concluda per l’associazione tra le mutabili considerate.
8
Qual è la probabilità che stia commettendo un errore?
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Frequenze
osservate
Freq. osservate
Frequenze teoriche
p-value
3,97
(n
∑∑
ij
i
j
− n ij
n ij
)
2
Il p-value è, dunque, la probabilità di commettere un errore nel rifiutare l’ipotesi H0 sulla base
del valore campionario osservato. Quanto più è piccolo, tanto più tenderemo a rifiutare H0. 9
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Tavola della distribuzione χ2
Gradi
di
libertà
Area nella coda destra
0,995
0,990
0,975
0,950
0,900
0,750
0,250
0,100
0,050
0,025
0,010
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
0,016
0,211
0,584
1,064
1,610
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
0,102
0,575
1,213
1,923
2,675
3,455
4,255
5,071
5,899
6,737
1,323
2,773
4,108
5,385
6,626
7,841
9,037
10,219
11,389
12,549
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
5,024
7,378
9,348
11,143
12,833
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,072
0,207
0,412
0,676
0,989
1,344
1,735
2,156
0,115
0,297
0,554
0,872
1,239
1,646
2,088
2,558
0,001
0,051
0,216
0,484
0,831
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2,603
3,074
3,565
4,075
4,601
5,142
5,697
6,265
6,844
7,434
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
5,578
6,304
7,042
7,790
8,547
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
7,584
8,438
9,299
10,165
11,037
11,912
12,792
13,675
14,562
15,452
13,701
14,845
15,984
17,117
18,245
19,369
20,489
21,605
22,718
23,828
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
21
22
23
24
25
26
27
8,034
8,643
9,260
9,886
10,520
11,160
11,808
8,897
9,542
10,196
10,856
11,524
12,198
12,879
10,283
10,982
11,689
12,401
13,120
13,844
14,573
11,591
12,338
13,091
13,848
14,611
15,379
16,151
13,240
14,041
14,848
15,659
16,473
17,292
18,114
16,344
17,240
18,137
19,037
19,939
20,843
21,749
24,935
26,039
27,141
28,241
29,339
30,435
31,528
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
35,563
36,741
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
35,479
36,781
38,076
39,364
40,646
41,923
43,195
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
45,642
46,963
10
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Frequenze
osservate
Freq. osservate
Frequenze teoriche
p-value
3,97
(n
∑∑
ij
i
j
− n ij
n ij
)
2
In questo esempio, il p-value vale 0,681. C’è quindi una probabilità di circa il 70% di sbagliare
11
nel rifiutare l’ipotesi di indipendenza tra le mutabili.
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Esercizio:
Si riporta, di seguito, la tabella che incrocia il Voto di laurea con la Frequenza alle lezioni di
385 laureati della Facoltà di Economia.
E’ possibile affermare che esiste relazione tra i due caratteri osservati?
12
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Esercizio:
Si riporta, di seguito, la tabella che incrocia il Voto di laurea con la Frequenza alle lezioni di 385 laureati della Facoltà di
Economia. E’ possibile affermare che esiste relazione tra i due caratteri osservati?
χ2 = ∑∑
i
j
(
nij − n!ij
n!ij
)
2
(n
∑∑
ij
i
j
= 47,56
− n ij
n ij
)
2
13
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Esercizio:
Si riporta, di seguito, la tabella che incrocia il Voto di laurea con la Frequenza alle lezioni di 385 laureati della Facoltà di
Economia. E’ possibile affermare che esiste relazione tra i due caratteri osservati?
χ2 = ∑∑
i
j
47,56
(
nij − n!ij
n!ij
)
2
(n
∑∑
ij
i
j
= 47,56
− n ij
n ij
)
2
14
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Esercizio:
Si riporta, di seguito, la tabella che incrocia il Voto di laurea con la Frequenza alle lezioni di 385 laureati della Facoltà di
Economia. E’ possibile affermare che esiste relazione tra i due caratteri osservati?
χ2 = ∑∑
i
j
47,56
(
nij − n!ij
n!ij
)
2
(n
∑∑
ij
i
j
= 47,56
− n ij
n ij
)
2
15
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’indipendenza fra mutabili
Esercizio:
Si riporta, di seguito, la tabella che incrocia il Voto di laurea con la Frequenza alle lezioni di 385 laureati della Facoltà di
Economia. E’ possibile affermare che esiste relazione tra i due caratteri osservati?
χ2 = ∑∑
i
j
(
nij − n!ij
n!ij
)
2
= 47,56
La probabilità di errore nel rifiutare l’ipotesi di indipendenza è
quasi nulla (p<0,001).
L’ipotesi di indipendenza viene dunque senz’altro rifiutata.
47,56
(n
∑∑
ij
i
j
− n ij
n ij
)
2
16
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’adattamento ad una distribuzione nota
Esercizio:
In 600 lanci di un dado si sono ottenuti i risultati riportati in tabella. Determinare, con
significatività α=0,05, se il dado può considerarsi truccato.
Risultato
1
Freq. Osservate
94
123
100
100
Frequenze teoriche
(dado non truccato)
2
3
4
5
6
88
102
115
78
100
100
100
100
17
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’adattamento ad una distribuzione nota
Esercizio:
In 600 lanci di un dado si sono ottenuti i risultati riportati in tabella. Determinare, con significatività α=0,05, se il dado può
considerarsi truccato.
Risultato
1
Freq. Osservate
94
2
123
3
88
4
5
102
115
6
78
Frequenze teoriche
100
100
100
100
100
100
(dado
non truccato)
Questi
risultati
vanno confrontati con quelli attesi sotto l’ipotesi di distribuzione uniforme che si avrebbe in
caso di dado non truccato:
Risultato
1
Freq. Osservate
94
123
100
100
Frequenze teoriche
(dado non truccato)
χ
2
= ∑∑
i
j
(
nij − n!ij
n!ij
)
2
2
3
4
5
6
88
102
115
78
100
100
100
100
2
2
2
2
2
2
94 − 100 ) (123 − 100 ) ( 88 − 100 ) (102 − 100 ) (115 − 100 ) ( 78 − 100 )
(
=
+
+
+
+
+
100
100
100
= 0,36 + 5,29 + 1,44 + 0,04 + 2,25 + 4,84 = 14,22
100
100
100
18
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Tavola della distribuzione χ2
Gradi
di
libertà
Area nella coda destra
0,995
0,990
0,975
0,950
0,900
0,750
0,250
0,100
0,050
0,025
0,010
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
0,016
0,211
0,584
1,064
1,610
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
0,102
0,575
1,213
1,923
2,675
3,455
4,255
5,071
5,899
6,737
1,323
2,773
4,108
5,385
6,626
7,841
9,037
10,219
11,389
12,549
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
5,024
7,378
9,348
11,143
12,833
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,072
0,207
0,412
0,676
0,989
1,344
1,735
2,156
0,115
0,297
0,554
0,872
1,239
1,646
2,088
2,558
0,001
0,051
0,216
0,484
0,831
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2,603
3,074
3,565
4,075
4,601
5,142
5,697
6,265
6,844
7,434
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
5,578
6,304
7,042
7,790
8,547
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
7,584
8,438
9,299
10,165
11,037
11,912
12,792
13,675
14,562
15,452
13,701
14,845
15,984
17,117
18,245
19,369
20,489
21,605
22,718
23,828
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
21
22
23
24
25
26
27
8,034
8,643
9,260
9,886
10,520
11,160
11,808
8,897
9,542
10,196
10,856
11,524
12,198
12,879
10,283
10,982
11,689
12,401
13,120
13,844
14,573
11,591
12,338
13,091
13,848
14,611
15,379
16,151
13,240
14,041
14,848
15,659
16,473
17,292
18,114
16,344
17,240
18,137
19,037
19,939
20,843
21,749
24,935
26,039
27,141
28,241
29,339
30,435
31,528
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
35,563
36,741
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
35,479
36,781
38,076
39,364
40,646
41,923
43,195
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
45,642
46,963
19
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’adattamento ad una distribuzione nota
Esercizio:
In 600 lanci di un dado si sono ottenuti i risultati riportati in tabella. Determinare, con significatività α=0,05, se il dado può
considerarsi truccato.
Risultato
1
Freq. Osservate
94
2
123
3
88
4
5
102
115
6
78
Frequenze teoriche
100
100
100
100
100
100
(dado
non truccato)
Questi
risultati
vanno confrontati con quelli attesi sotto l’ipotesi di distribuzione uniforme che si avrebbe in
caso di dado non truccato:
Risultato
1
Freq. Osservate
94
123
100
100
Frequenze teoriche
(dado non truccato)
2
2
2
χcalc
= 14,22 ; χ 0,05;5
= 11,07
3
4
5
6
88
102
115
78
100
100
100
100
Rifiuto l’ipotesi di distribuzione uniforme
(quindi concludo che il dado è truccato)
20
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’adattamento ad una distribuzione nota
Esercizio:
In 600 lanci di un dado si sono ottenuti i risultati riportati in tabella. Determinare, con significatività α=0,05, se il dado può
considerarsi truccato.
Risultato
1
Freq. Osservate
94
2
123
3
88
4
5
102
115
6
78
Frequenze teoriche
100
100
100
100
100
100
(dado
non truccato)
Questi
risultati
vanno confrontati con quelli attesi sotto l’ipotesi di distribuzione uniforme che si avrebbe in
caso di dado non truccato:
Risultato
1
Freq. Osservate
94
123
100
100
Frequenze teoriche
(dado non truccato)
2
2
2
χcalc
= 14,22 ; χ 0,05;5
= 11,07
p-value?
3
4
5
6
88
102
115
78
100
100
100
100
Rifiuto l’ipotesi di distribuzione uniforme
(quindi concludo che il dado è truccato)
21
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Tavola della distribuzione χ2
Gradi
di
libertà
Area nella coda destra
0,995
0,990
0,975
0,950
0,900
0,750
0,250
0,100
0,050
0,025
0,010
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
0,016
0,211
0,584
1,064
1,610
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
0,102
0,575
1,213
1,923
2,675
3,455
4,255
5,071
5,899
6,737
1,323
2,773
4,108
5,385
6,626
7,841
9,037
10,219
11,389
12,549
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
5,024
7,378
9,348
11,143
12,833
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,072
0,207
0,412
0,676
0,989
1,344
1,735
2,156
0,115
0,297
0,554
0,872
1,239
1,646
2,088
2,558
0,001
0,051
0,216
0,484
0,831
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2,603
3,074
3,565
4,075
4,601
5,142
5,697
6,265
6,844
7,434
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
5,578
6,304
7,042
7,790
8,547
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
7,584
8,438
9,299
10,165
11,037
11,912
12,792
13,675
14,562
15,452
13,701
14,845
15,984
17,117
18,245
19,369
20,489
21,605
22,718
23,828
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
21
22
23
24
25
26
27
8,034
8,643
9,260
9,886
10,520
11,160
11,808
8,897
9,542
10,196
10,856
11,524
12,198
12,879
10,283
10,982
11,689
12,401
13,120
13,844
14,573
11,591
12,338
13,091
13,848
14,611
15,379
16,151
13,240
14,041
14,848
15,659
16,473
17,292
18,114
16,344
17,240
18,137
19,037
19,939
20,843
21,749
24,935
26,039
27,141
28,241
29,339
30,435
31,528
29,615
30,813
32,007
33,196
34,382
35,563
36,741
32,671
33,924
35,172
36,415
37,652
38,885
40,113
35,479
36,781
38,076
39,364
40,646
41,923
43,195
38,932
40,289
41,638
42,980
44,314
45,642
46,963
22
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di STATISTICA (clec, cleif A-K)
Lezione L23 – I test non parametrici
m. gherghi
I test non parametrici
Il test chi-quadrato sull’adattamento ad una distribuzione nota
Esercizio:
In 600 lanci di un dado si sono ottenuti i risultati riportati in tabella. Determinare, con significatività α=0,05, se il dado può
considerarsi truccato.
Risultato
1
Freq. Osservate
94
123
100
100
Frequenze teoriche
(dado non truccato)
2
3
4
5
6
88
102
115
78
100
100
100
100
p-value?
La probabilità di errore nel rifiutare l ’ ipotesi di
indipendenza, sulla base del valore campionario
osservato (14,22), è compresa tra i valori 0,010 e
0,025, e può dunque essere posta pari a circa 0,015.
2,5% 1,0%
12,8
15,1
∑∑
i
14,2
j
(n
ij
− n!ij
n!ij
)
2
23