E04 Probabilita e Variabili casuali

U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di Statistica (clec, cleif A-K)
Esercitazione E04 – Probabilità e Variabili casuali
m. gherghi
Corso di laurea in Economia e Commercio
Anno accademico 2016-’17
Corso di
Statistica (clec, cleif A-K)
Marco Gherghi
Esercitazione:
www.docenti.unina.it/marco.gherghi
[email protected]
E04 Argomento: Probabilità e variabili casuali
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di Statistica (clec, cleif A-K)
Esercitazione E04 – Probabilità e Variabili casuali
m. gherghi
Esercizi di riepilogo
1.
Nel considerare l’efficacia di un vaccino anti influenzale, vengono selezionati
250 volontari; a 125 di questi viene somministrato il vaccino, agli altri placebo (acqua).
Dopo 6 mesi, si osserva quanti soggetti abbiano contratto l’influenza, con i risultati
riportati nella tabella seguente:
Influenza
SI
Influenza
NO
Vaccino
28
97
125
Placebo
54
71
125
TOT
82
168
250
TOT
Si prende un soggetto a caso tra i 250. Qual è la probabilità che:
1. Sia stato vaccinato?
2. Abbia avuto l’influenza?
3. Abbia avuto l’influenza, sapendo che è stato vaccinato?
4. Abbia avuto l’influenza, sapendo che ha ricevuto il placebo?
5. Sia stato vaccinato, sapendo che non ha avuto l’influenza?
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Esercizi di riepilogo
Nel considerare l’efficacia di un vaccino anti influenzale, vengono selezionati 250 volontari; a 125 di questi viene
somministrato il vaccino, agli altri placebo (acqua).
Dopo 6 mesi, si osserva quanti soggetti abbiano contratto l’influenza, con i risultati riportati nella tabella seguente:
Influenza
SI
Influenza
NO
Vaccino
28
97
125
Placebo
54
71
125
TOT
82
168
250
1. Sia stato vaccinato?
2. Abbia avuto l’influenza?
TOT
P (V ) =
Si prende un soggetto a caso tra i 250.
Qual è la probabilità che:
125
= 0,500
250
82
P (I ) =
= 0,328
250
3. Abbia avuto l’influenza, sapendo che è stato vaccinato?
4. Abbia avuto l’influenza, sapendo che ha ricevuto il placebo?
5. Sia stato vaccinato, sapendo che non ha avuto l’influenza?
28
= 0,224
125
54
P (I | P ) =
= 0,432
125
97
P V |I =
= 0,577
168
P (I |V ) =
(
)
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Esercizi di riepilogo
2.
2a.
La probabilità che si verifichi l’evento A è pari a 0,60, la probabilità che si verifichi l’evento B
è 0,45, la probabilità che si verifichi almeno uno degli eventi è 0,80.
Qual è la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi?
2b.
La probabilità che si verifichi l’evento A è pari a 0,60, la probabilità che si verifichi l’evento B
è 0,45, la probabilità che si verifichino entrambi è 0,30.
Qual è la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi?
2c.
La probabilità che si verifichi l’evento A è pari a 0,60, la probabilità che si verifichi l’evento B
è 0,45, la probabilità che si verifichino entrambi è 0,30.
Qual è la probabilità che si verifichi l’evento A, sapendo che si è già verificato l’evento B?
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Esercizi di riepilogo
2.
2a.
La probabilità che si verifichi l’evento A è pari a 0,60, la probabilità che si verifichi l’evento B è 0,45, la probabilità
che si verifichi almeno uno degli eventi è 0,80. Qual è la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi?
𝑃 𝐴 = 0,60; 𝑃 𝐵 = 0,45; 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 0,80
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 0,60 + 0,45 − 0,80 = 𝟎, 𝟐𝟓
2b.
La probabilità che si verifichi l’evento A è pari a 0,60, la probabilità che si verifichi l’evento B è 0,45, la probabilità
che si verifichino entrambi è 0,30. Qual è la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi?
𝑃 𝐴 = 0,60; 𝑃 𝐵 = 0,45; 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0,30
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0,60 + 0,45 − 0,30 = 𝟎, 𝟕𝟓
2c.
La probabilità che si verifichi l’evento A è pari a 0,60, la probabilità che si verifichi l’evento B è 0,45, la probabilità che
si verifichino entrambi è 0,30. Qual è la probabilità che si verifichi l’evento A, sapendo che si è già verificato l’evento B?
𝑃 𝐴 = 0,60; 𝑃 𝐵 = 0,45; 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0,30
𝑃 𝐴∩𝐵
0,30
𝑷 𝑨|𝑩 =
=
= 𝟎, 𝟔𝟕
𝑃𝐵
0,45
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Esercizi di riepilogo
Una ditta di Computer ha, per i propri hard disk, tre fornitori, F1, F2 e F3, che
provvedono rispettivamente al 50%, 40% e 10% dei pezzi.
Dalla esperienza passata, si sa che le percentuali di pezzi difettosi riscontrate nelle
varie forniture possono essere stimate nell0 0,9% per F1, 0,7% per F2 e 1,3% per F3.
Durante le normali procedure di controllo di qualità, viene selezionato un computer del quale
viene valutato l’hard disk.
1. Qual è la probabilità che l’hard disk sia difettoso?
2. Posto che il pezzo sia difettoso, qual è il fornitore che più verosimilmente lo ha inviato?
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Esercizi di riepilogo
Una ditta di Computer ha, per i propri hard disk, tre fornitori, F1, F2 e F3, che
provvedono rispettivamente al 50%, 40% e 10% dei pezzi.
Dalla esperienza passata, si sa che le percentuali di pezzi difettosi riscontrate nelle
varie forniture possono essere stimate nell0 0,9% per F1, 0,7% per F2 e 1,3% per F3.
Durante le normali procedure di controllo di qualità, viene selezionato un computer del quale
viene valutato l’hard disk.
1. Qual è la probabilità che l’hard disk sia difettoso?
2. Posto che il pezzo sia difettoso, qual è il fornitore che più verosimilmente lo ha inviato?
F1
F2
F3
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DISES, A.a. 2016-’17, Corso di Statistica (clec, cleif A-K)
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Esercizi di riepilogo
Una ditta di Computer ha, per i propri hard disk, tre fornitori, F1, F2 e F3, che provvedono
rispettivamente al 50%, 40% e 10% dei pezzi.
Dalla esperienza passata, si sa che le percentuali di pezzi difettosi riscontrate nelle varie
forniture possono essere stimate nell0 0,9% per F1, 0,7% per F2 e 1,3% per F3.
Durante le normali procedure di controllo di qualità, viene selezionato un computer del quale viene
valutato l’hard disk.
1. Qual è la probabilità che l’hard disk sia difettoso?
2. Posto che il pezzo sia difettoso, qual è il fornitore che più verosimilmente lo ha inviato?
P (F1) = 0,500 ; P (F 2 ) = 0,400 ; P (F 3) = 0,100
P (D | F1) = 0,009 ; P (D | F 2 ) = 0,007 ; P (D | F 3) = 0,013
P (D ) = P (D ∩ F1) + P (D ∩ F 2 ) + P (D ∩ F 3)
= P (F1) ⋅P (D | F1) + P (F 2 ) ⋅P (D | F 2 ) + P (F 3) ⋅P (D | F 3)
= 0,500 × 0,009 + 0,400 × 0,007 + 0,100 × 0,013
= 0,0045 + 0,0028 + 0,0013 = 0,0086
F1!
F2!
D!
F3!
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Esercizi di riepilogo
Una ditta di Computer ha, per i propri hard disk, tre fornitori, F1, F2 e F3, che provvedono
rispettivamente al 50%, 40% e 10% dei pezzi.
Dalla esperienza passata, si sa che le percentuali di pezzi difettosi riscontrate nelle varie
forniture possono essere stimate nell0 0,9% per F1, 0,7% per F2 e 1,3% per F3.
Durante le normali procedure di controllo di qualità, viene selezionato un computer del quale viene
valutato l’hard disk.
1. Qual è la probabilità che l’hard disk sia difettoso?
2. Posto che il pezzo sia difettoso, qual è il fornitore che più verosimilmente lo ha inviato?
P (F1) = 0,500 ; P (F 2 ) = 0,400 ; P (F 3) = 0,100
P (D | F1) = 0,009 ; P (D | F 2 ) = 0,007 ; P (D | F 3) = 0,013
P (F1| D ) =
P (F 2 | D ) =
P (F 3 | D ) =
0,500 × 0,009
P (F1∩ D ) P (F1) × P (D | F1)
= 0,523
=
=
0,0086
P (D )
P (D )
P (F 2 ∩ D ) P (F 2 ) × P (D | F 2 ) 0,400 × 0,007
= 0,326
=
=
0,0086
P (D )
P (D )
P (F 3 ∩ D ) P (F 3) × P (D | F 3) 0,100 × 0,013
= 0,151
=
=
P (D )
0,0086
P (D )
F1!
F2!
D!
F3!
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di Statistica (clec, cleif A-K)
Esercitazione E04 – Probabilità e Variabili casuali
m. gherghi
Esercizi di riepilogo
Un’organizzazione caritatevole indice una lotteria con i seguenti premi:
• Un premio da 500 €
• Cinque premi da 100€
• Cinquanta premi da 50€
Si stabilisce di vendere 5.000 biglietti e che il profitto, da destinare ad azioni benefiche, sarà ottenuto
ponendo il prezzo del biglietto pari a tre volte il prezzo equo.
Quale sarà il prezzo del biglietto?
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di Statistica (clec, cleif A-K)
Esercitazione E04 – Probabilità e Variabili casuali
m. gherghi
Esercizi di riepilogo
Un’organizzazione caritatevole indice una lotteria con i seguenti premi:
• Un premio da 500 €
• Cinque premi da 100€
• Cinquanta premi da 50€
Si stabilisce di vendere 5.000 biglietti e che il profitto, da destinare ad azioni benefiche, sarà ottenuto ponendo il
prezzo del biglietto pari a tre volte il prezzo equo.
Quale sarà il prezzo del biglietto?
Probabilità associate ai vari premi:
500€
1
= 0,0002
5.000
100€
5
= 0,001
5.000
50€
50
= 0,01
5.000
Prezzo “equo” del biglietto:
E ( X ) = ∑ x ⋅f ( x ) = ( 500 × 0,0002 ) + (100 × 0,001) + ( 50 × 0,01)
= 0,10 + 0,10 + 0,50 = 0,70
Se l’Associazione vendesse i 5.000 biglietti a 0,70 euro, incasserebbe 3.500 euro, esattamente quanto
dovrebbe poi restituire attraverso i premi. In questo senso il prezzo è “equo”.
U niversità di N apoli Federico II,
DISES, A.a. 2016-’17, Corso di Statistica (clec, cleif A-K)
Esercitazione E04 – Probabilità e Variabili casuali
m. gherghi
Esercizi di riepilogo
Un’organizzazione caritatevole indice una lotteria con i seguenti premi:
• Un premio da 500 €
• Cinque premi da 100€
• Cinquanta premi da 50€
Si stabilisce di vendere 5.000 biglietti e che il profitto, da destinare ad azioni benefiche, sarà ottenuto ponendo il
prezzo del biglietto pari a tre volte il prezzo equo.
Quale sarà il prezzo del biglietto?
Probabilità associate ai vari premi:
500€
1
= 0,0002
5.000
100€
5
= 0,001
5.000
50€
50
= 0,01
5.000
Prezzo “equo” del biglietto:
E ( X ) = ∑ x ⋅f ( x ) = ( 500 × 0,0002 ) + (100 × 0,001) + ( 50 × 0,01)
= 0,10 + 0,10 + 0,50 = 0,70
Il prezzo “equo” è dunque di 0,70€. Per garantire all’associazione il profitto per le azioni benefiche, il
prezzo proposto al pubblico sarà di 3x0,70=2,10 euro. Vendendo i 5.000 biglietti questo prezzo,
l’Associazione incasserà 10.500 euro; sottraendo a questi i 3.500 euro di montepremi, avrà 7.000
euro da destinare ad azioni benefiche.
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Esercitazione E04 – Probabilità e Variabili casuali
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Esercizi di riepilogo
Un agente assicurativo vende ad una donna di 35 anni una polizza sulla vita
di 10.000€, con un premio annuo di 130€.
Sapendo che il tasso di mortalità delle donne tra i 35 e i 36 anni è di 3/1.000,
quanto si aspetta di guadagnare la Compagnia nel primo anno di contratto di questa polizza?
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Esercizi di riepilogo
Un agente assicurativo vende ad una donna di 35 anni una polizza sulla vita
di 10.000€, con un premio annuo di 130€.
Sapendo che il tasso di mortalità delle donne tra i 35 e i 36 anni è di 3/1.000,
quanto si aspetta di guadagnare la Compagnia nel primo anno di contratto di questa polizza?
E ( X ) = ∑ x ⋅f ( x )
= (130 × 1,000 ) + ( −10.000 × 0,003)
= 130 − 30 = 100€