Divisibilità cap. 4 – Scomposizione in fattori 1a parte

cbnd Antonio Guermani
versione del 11/03/15
Divisibilità cap. 4 – Scomposizione in fattori 1a parte
Esercizio 1
Scomponi un numero nel prodotto di due fattori diversi da 1. Si possono presentare tre casi:
a) ci sono più scomposizioni possibili con fattori diversi → scegli due scomposizioni e scrivile;
b) c'è solo una scomposizione possibile → scrivila e a fianco indica che è l'unica;
c) il numero non si può scomporre → scrivi che è un numero primo.
Esempi caso a 24 → Soluzione 24=2⋅12 ;
Esempi caso b 26 → Soluzione 26=13⋅2
Esempi caso c 29 → Soluzione 29
a)
b)
42
25
c)
d)
41
55
e)
f)
24=4⋅6
49 → Soluzione 49=7⋅7
unica
53 → Soluzione 53
è primo
50
51
g)
h)
36 → Soluzione 36=6⋅6 ;
91
101
i)
j)
111
121
k)
l)
126
128
36=9⋅4
unica
è primo
m) 143
n) 144
o)
p)
200
201
Esercizio 2
Dell'esercizio precedente, considera solo le scomposizioni in cui la soluzione è unica (casi b). Cos'hanno in
comune i fattori di queste scomposizioni?
Esercizio 3
Utilizza un grafo ad albero per fare più scomposizioni successive di un numero fino a che è possibile.
Dopo ogni scomposizione possono presentarsi due casi:
a) Il fattore è un numero primo: scrivilo in un cerchio e quel ramo si ferma;
b) Il fattore è un numero composto: scrivilo in un rettangolo e continua la scomposizione.
Per ogni numero da scomporre scegli due scomposizioni diverse tra quelle possibili e scrivi i due grafi
affiancati. Sotto ogni grafo scrivi la scomposizione riordinando i fattori dal minore al maggiore.
Esempio: scomponiamo il numero 1260 seguendo due percorsi
1260
1260
10
5
140
126
2
3
42
3
70
7
6
2
9
7
2
3
3
a) 180
e) 1050
b) 792
f) 3900
c) 675
g) 1155
d) 392
h) 1764
10
5
2
Ora scriviamo le due scomposizioni ottenute riordinando i fattori:
1260=2⋅2⋅3⋅3⋅5⋅7
1260=2⋅2⋅3⋅3⋅5⋅7
Esercizio 4 Tra le seguenti quattro affermazioni una sola è corretta. È un'importante proprietà dei numeri naturali
che puoi intuire dagli esercizi precedenti. Se credi di aver trovato quella giusta, scrivila sul tuo quaderno.
A) La scomposizione in fattori di ogni numero è unica
B) La scomposizione in fattori primi di ogni numero è unica
Esercizio 5
C) Ogni numero si può scomporre in fattori in due modi diversi
D) Ogni numero si può scomporre in fattori in infiniti modi diversi
Scomponi in fattori primi i numeri da a) a d) dell'esercizio 3 usando il metodo descritto sotto.
- Traccia una linea verticale a destra del numero
- Dividi il numero per 2 se possibile e continua a dividere per 2 i
risultati che ottieni finché sono divisibili per 2.
- Se ottieni un risultato che non è più divisibile per 2 passa al 3 e
continua a dividere per 3 i risultati che ottieni finché è possibile.
- Passa con ordine ai successivi numeri primi: 5; 7; 11; 13; ecc.
- Infine otterrai un numero primo che diviso per se stesso darà 1.
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
(divido 180 per 2 e scrivo sotto il risultato)
(divido 90 per 2 e scrivo sotto il risultato)
(divido 45 per 3 e scrivo sotto il risultato)
(divido 15 per 3 e scrivo sotto il risultato)
(5 è primo, lo divido per se stesso)
(il risultato finale è 1)
I fattori a destra danno la scomposizione
180=2⋅2⋅3⋅3⋅5
Antonio Guermani, 2012-2015*
*
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