Istituto di Istruzione Superiore Leonardo da Vinci Liceo Classico Giacomo Leopardi, Aulla Problemi irrisolvibili Il gioco delle costruzioni con riga e compasso Daniele Angella Istituto Nazionale di Alta Matematica (Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Parma) 20 marzo 2014 Che cos'è la Matematica due aspetti complementari La matematica è un gioco che segue alcune semplici regole giocato con segni senza senso sulla carta. David Hilbert The Nobel Prize in Physiology or Medicine 1979 was awarded jointly to Allan M. Cormack and Godfrey N. Hounseld for the development of computer assisted tomography. Karolinska Institutet Costruzioni con riga e compasso, i il gioco Scopo del gioco: costruire oggetti geometrici usando solo una riga non graduata e un compasso. Regole: (1) si parte con alcuni punti, segmenti o cerchi già disegnati; (2) si hanno a disposizione solo una riga non graduata ed un compasso; (3) la riga è innita e non graduata e ha un solo spigolo: può essere usata solo per tracciare linee tra punti noti; (4) il compasso può essere aperto quanto si vuole, non ha segni e collassa quando alzato dalla pagina (non può essere quindi usato per trasportare distanze); (5) si possono fare solo un numero nito di mosse; (6) le costruzioni devono essere esatte. Costruzioni con riga e compasso, ii le cinque mosse base, i Mosse possibili: Costruzioni con riga e compasso, iii le cinque mosse base, ii i cinque postulati di Euclide I cinque postulati ' nel libro I degli Elementi di Euclide: $ [Si richiede:] (I) che da qualsiasi punto si possa condurre una retta ad ogni altro punto (II) e che si possa prolungare una linea retta nita continuamente in linea retta (III) e che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza (IV) e che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro (V) e che se una retta, venendo a cadere su due rette, forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due angoli retti, le due rette, prolungate indenitamente, si incontreranno da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti. & % Costruzioni con riga e compasso, iv primo gioco: esagono regolare di lato assegnato, i Obiettivo: costruire un esagono regolare di lato assegnato. Costruzioni con riga e compasso, v primo gioco: esagono regolare di lato assegnato, ii soluzione Costruzioni con riga e compasso, vi secondo gioco: 11-gono Obiettivo: costruire un 11-gono regolare di lato assegnato. Non si può fare!! Costruzioni con riga e compasso, vii quali altri poligoni regolari sono costruibili?, i Problema: per quali n, il poligono regolare di n lati è costruibile? Ad es., Gauss, a 19 anni, scoprì che l'eptadecagono (17 lati) si può costruire. Infatti: costruire un poligono regolare di n lati equivale a costruire un angolo di ampiezza cos 2π radianti e Gauss dimostrò che n 2π 1 = · 17 16 −1 + √ 17 + q √ 34 − 2 17 + 2 · r √ 17 + 3 17 − q √ q √ ! 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 Costruzioni con riga e compasso, viii quali altri poligoni regolari sono costruibili?, ii soluzione La soluzione: C. F. Gauss dimostrò nel 1796 che un poligono regolare di n lati può essere costruito con riga e compasso se n è prodotto k di potenze di 2 per numeri primi di Fermat (22 + 1) distinti; P. Wantzel dimostrò nel 1836 che questi sono gli unici poligoni regolari costruibili (ad es., 11-gono non è costruibile). Costruzioni con riga e compasso, ix bisogna saper perdere: tre problemi irrisolvibili Quindi, con queste regole, non sempre si vince. . . Vogliamo capire perché non si può fare: la quadratura del cerchio; la duplicazione del cubo; la trisezione dell'angolo. Demarcare i limiti del possibile, i formulazione algebrica del problema Vogliamo stabilire se il gioco di costruire una certa assegnata gura si può vincere o no: formuliamo matematicamente il problema; determiniamo quali problemi si possono vincere. . . . . . e quali invece si perdono. Il problema è geometrico ma richiede strumenti algebrici e analitici: geometria analitica. Demarcare i limiti del possibile, ii numeri costruibili, i somma assegnati due segmenti lunghi a e b, costruire un segmento lungo a + b Demarcare i limiti del possibile, iii numeri costruibili, ii dierenza assegnati due segmenti lunghi a e b, costruire un segmento lungo a − b Demarcare i limiti del possibile, iv numeri costruibili, iii prodotto assegnati due segmenti lunghi a e b, costruire un segmento lungo a · b Demarcare i limiti del possibile, v numeri costruibili, iv rapporto assegnati due segmenti lunghi a e b, costruire un segmento lungo a/b Demarcare i limiti del possibile, vi numeri costruibili, v radice quadrata assegnato un segmento lungo a, √ costruire un segmento lungo a Demarcare i limiti del possibile, vii numeri costruibili, vi riassunto: il campo Euclideo Quindi: (1) partendo dal numero 1. . . (2) . . . si costruiscono tutti i numeri naturali (N = {0, 1, 2, 3, · · · }). . . = {0, 1, −1, 2, −2, · · · }). . . m (Q = n : m, n ∈ Z, n 6= 0 ); (3) . . . si costruiscono tutti i numeri relativi (Z (4) . . . si costruiscono tutti i numeri razionali e poi: (5) partendo da un numero positivo k già costruito. . . √ (6) . . . si costruisce il numero k; e quindi, ripetendo i passi 24: (7) si costruiscono tutti i numeri di h√ i k Q = n a +b· √ k : a, b o ∈Q ; si continua quindi ripetendo i passi 27 scegliendo altri numeri positivi: (8) si costruiscono tutti i numeri di a1 + b1 √ k + Q h√ i q √ k α+β k , a1 + b1 cioè √ q √ k · α+β k Demarcare i limiti del possibile, viii numeri costruibili, vii un esempio Possiamo costruire il numero 1 in quanto è un numero di h√ i q Q 2 1 + "rq √ h√ i 2 3 1 + √ 2 + √ # 3 s rq √ √ 1+ 2+ 3 + 5 Demarcare i limiti del possibile, ix verso l'impossibile, i Prop I numeri di Q √ √ k1 polinomi di grado k2 2N x = scriviamo: x q 2 − √ + 2 √ kN , costruibili, sono radici di con coecienti razionali. Esempio: prendiamo √ ··· = 3 p 3 + + √ 2 √ ∈ h√ i q Q 2 3 + √ 2 ; 2, √ √ 2 √ + 2 > 0): x − 2 = 3 + 2, √ √ riscriviamo: x 2 − 2 2x + 2 = 3 + 2, √ riscriviamo: x 2 − 1 = 2 (1 + 2x ), 2 eleviamo al quadrato (nota che 2 > 0): x 2 − 1 = 2 · (1 + 2x )2 , eleviamo al quadrato (nota che 3 quindi x è radice di x 4 − 10x 2 − 8x − 1 = 0 che è un polinomio di grado 4 a coecienti razionali. Demarcare i limiti del possibile, x verso l'impossibile, ii Perché non si costruiscono altri numeri? # retta: circonferenza: x Ax 2 + By + C = 0 + y 2 + 2α x + 2β y + γ = 0 " con la sola riga, costruisco solo rette, quindi trovo solo intersezioni tra rette, quindi soluzioni di sistemi di equazioni di primo grado; usando sia la riga che il compasso, costruisco sia rette che circonferenze, quindi trovo intersezioni tra una retta e una circonferenza o tra due circonferenze: quindi, costruisco numeri ottenibili anche tramite radice quadrata. ! Demarcare i limiti del possibile, xi verso l'impossibile, iii In particolare, i numeri costruibili sono polinomio a coecienti razionali. algebrici, cioè radici di un I numeri reali che non sono algebrici sono detti trascendenti ( trascendono il potere dei metodi algebrici, Eulero) Thm (Hermite, 1873; Lindemann, 1882) I numeri reali π e e sono numeri trascendenti. . Il problema della quadratura, i volere l'impossibile Qual è 'l geomètra che tutto s'age per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond'elli indige, tal era io a quella vista nova: veder voleva come si convenne l'imago al cerchio e come vi s'indova; ma non eran da ciò le proprie penne: se non che la mia mente fu percossa da un fulgore in che sua voglia venne. Dante, Divina Commedia, Paradiso, XXXIII, 133141 Il problema della quadratura, ii il gioco della quadratura la stessa area. Scopo: data una gura geometrica, costruire un quadrato con Il problema della quadratura, iii primo gioco: la quadratura del rettangolo area. Scopo: dato un rettangolo, costruire un quadrato con la stessa Soluzione: usando il Teorema di Euclide: Il problema della quadratura, iv secondo gioco: la quadratura del triangolo area. Scopo: dato un triangolo, costruire un quadrato con la stessa Soluzione: basta costruire un rettangolo e usare poi il risultato precedente. Il problema della quadratura, v terzo gioco: la quadratura di un poligono stessa area. Scopo: dato un poligono qualsiasi, costruire un quadrato con la Soluzione: (a) (b) (c) si divide il poligono in triangoli; si quadrano i singoli triangoli; si uniscono i quadrati usando il Teorema di Pitagora. Il problema della quadratura, vi la quadratura del cerchio arriva il dicile (o meglio, l'impossibile. . . ) area. Scopo: dato un cerchio, costruire un quadrato con la stessa Soluzione: questo problema compasso!! non ha una soluzione con riga e Infatti: se il raggio del cerchio è 1, la sua area è π , quindi il problema equivale a costruire un quadrato che ha lato √ ` = π √ ma π non è un numero costruibile perché π è un numero trascendente (Lindemann, 1882). Il problema della duplicazione del cubo, i un po' di storia, i Eratostene scrive al re Tolomeo III che il re Minosse al cospetto del sepolcro in costruzione, di forma cubica, del re Glauco, disse piccolo sepolcro per un re: lo si faccia doppio conservandone la forma; si raddoppino, pertanto, tutti i lati; Eratostene, dopo aver rilevato che l'ordine dato era erroneo, riferisce che nacque tra gli studiosi il cosiddetto problema della duplicazione del cubo. Teone di Smirne, citando Eratostene, riporta che gli abitanti di Delo, avendo interrogato l'oracolo di Apollo sul modo di liberarsi della peste, avessero ricevuto l'ordine di costruire un altare, di forma cubica, dal volume doppio. Secondo Plutarco, gli abitanti di Delo cercavano risposte ai loro problemi politici interni: la risposta fu interpretata da Platone come un invito a studiare Geometria e Matematica per calmare le loro passioni. Il problema della duplicazione del cubo, ii un po' di storia, ii As for ourselves, we felt at the time that Chonuphis was right; we felt so yet more when our return from Egypt a party of Delians met us in Caria and requested Plato, as a geometer, to solve a problem set them by the god in a strange oracle. The oracle was to this eect: the present troubles of the Delians and the rest of the Greeks would be at an end when they had doubled the altar at Delos. As they not only were unable to penetrate its meaning, but failed absurdly in constructing the altar (for upon doubling all four sides they discovered to their surprise that in their ignorance of the progression from which the linear double is obtained they had produced by this increase a solid eight times as large), they called on Plato for help in their diculty. Plato, recalling the Egyptian, replied that the god was rallying the Greeks for their neglect of education, deriding, as it were, our ignorance and bidding us engage in no perfunctory study of geometry; for no ordinary or near-sighted intelligence, but one well versed in the subject, was required to nd two mean proportionals, that being the only way in which a body cubical in shape can be doubled with a similar increment in all dimensions. This would be done for them by Eudoxus of Cnidus or Helicon of Cyzicus; they were not, however, to suppose that it was this the god desired, but rather that he was ordering the entire Greek nation to give up war and its miseries and cultivate the Muses, and by calming their passions through the practice of discussion and study of mathematics, so to live with one that their intercourse should be not injurious, but protable. Plutarco, De genio Socratis, 579.B Il problema della duplicazione del cubo, iii primo gioco: duplicare il quadrato Scopo: dato un quadrato, costruirne un altro di area doppia. Soluzione: usando il Teorema di Pitagora Il problema della duplicazione del cubo, iv secondo gioco: duplicare il cubo impossibile! Problema: dato un cubo, costruirne un'altro di volume doppio. Non si può risolvere con riga e compasso! Infatti: se il cubo iniziale ha lato ` = 1 (quindi volume V = 1: ricordiamo che = `3 ), dovremmo costruire un cubo di volume 2 e quindi lato . . . . √ Ma 3 2 non è costruibile! V Il problema della trisezione dell'angolo, i primo gioco: bisecare un angolo Problema: dato un angolo costruire con riga e compasso un angolo di ampiezza la metà dell'angolo iniziale. Soluzione: qualsiasi, Il problema della trisezione dell'angolo, ii secondo gioco: trisecare un angolo, i Problema: dato un angolo qualsiasi, costruire con riga e compasso un angolo di ampiezza un terzo dell'angolo iniziale. Attenzione! Si parla di un angolo qualsiasi! Per dimostrare che è impossibile trisecare un angolo qualsiasi, bisogno mostrare che esiste (almeno) un angolo non trisecabile. Il problema della trisezione dell'angolo, iii secondo gioco: trisecare un angolo, ii formulazione matematica del problema Come individuare gli angoli? Ad esempio, tramite la loro tangente: Un angolo è costruibile se e solo se la sua tangente è costruibile. Il problema della trisezione dell'angolo, iv secondo gioco: trisecare un angolo, iii impossibile! Quale relazione c'è tra tan ϕ e tan ϕ3 ? formula di triplicazione: 3 · tan ϕ3 − tan ϕ3 tan ϕ = 2 1 − 3 · tan ϕ3 3 che, riscritta, diventa: ϕ 3 ϕ 2 ϕ tan + tan ϕ = 0 − 3 · tan ϕ · tan − 3 · tan 3 3 3 Ad esempio: per cioè, tan tan π π 3 9 ϕ = 60◦ = −3· √ 3 · 3 rad si ottiene π tan π 2 9 −3· tan π 9 + √ 3 = 0 9 è radice di un polinomio di grado 3 non riducibile, quindi è costruibile! non Il problema della trisezione dell'angolo, v con altri strumenti e varianti Si può trisecare un qualsiasi angolo: con innite mosse, basandosi sulla rappresentazione binaria di un terzo: 1 3 = 0.01010101 . . . con curve ausiliarie, dette con una riga graduata usando gli origàmi trisettrici in base 2 Un altro gioco: gli origàmi, i una variante del gioco di riga e compasso Origàmi = arte di piegare la carta è meccanicamente più semplice delle costruzioni con riga e compasso ma molto più potente. Ha comunque regole molto restrittive (niente tagli, pochi tipi di piegature ammessi,. . . ) Alla base dei principi che regolano l'origàmi, vi sono senz'altro i principi shintoisti del ciclo vitale e dell'accettazione della morte come parte di un tutto: la forma di carta, nella sua complessità e fragilità, è simbolo del tempio shintoista che viene ricostruito sempre uguale ogni vent'anni, e la sua bellezza non risiede nel foglio di carta. Alla morte del supporto, la forma viene ricreata e così rinasce, in un eterno ciclo vitale che il rispetto delle tradizioni mantiene vivo. Un altro gioco: gli origàmi, ii le nuove regole, i Assiomi di HuzitaHatori: (1) dati due punti, c'è un'unica piegatura che passa per entrambi; (2) dati due punti, c'è un'unica piegatura che li sovrappone; (3) date due linee, c'è una piegatura che le sovrappone; (4) dati un punto e una linea, c'è un'unica piegatura perpendicolare alla linea e passante per il punto; (5) dati due punti e una linea, c'è una piegatura che sposta un punto sulla linea e passa per il secondo punto; (6) dati due punti e due linee, c'è una piegatura che sposta il primo punto sulla prima linea e il secondo punto sulla seconda linea; (7) dati un punto e due linee, c'è una piegatura che sposta il punto sulla prima linea ed è perpendicolare alla seconda linea. Un altro gioco: gli origàmi, iii assiomi di Huzita-Hatori: 1 Assioma 1: entrambi. dati due punti, c'è un'unica piegatura che passa per Un altro gioco: gli origàmi, iv assiomi di Huzita-Hatori: 2 Assioma 2: dati due punti, c'è un'unica piegatura che li sovrappone. Un altro gioco: gli origàmi, v assiomi di Huzita-Hatori: 3 Assioma 3: date due linee, c'è una piegatura che le sovrappone. Un altro gioco: gli origàmi, vi assiomi di Huzita-Hatori: 4 Assioma 4: dati un punto e una linea, c'è un'unica piegatura perpendicolare alla linea e passante per il punto. Un altro gioco: gli origàmi, vii assiomi di Huzita-Hatori: 5 Assioma 5: dati due punti e una linea, c'è una piegatura che sposta un punto sulla linea e passa per il secondo punto. Un altro gioco: gli origàmi, viii assiomi di Huzita-Hatori: 6 Assioma 6: dati due punti e due linee, c'è una piegatura che sposta il primo punto sulla prima linea e il secondo punto sulla seconda linea. Un altro gioco: gli origàmi, ix assiomi di Huzita-Hatori: 7 Assioma 7: dati un punto e due linee, c'è una piegatura che sposta il punto sulla prima linea ed è perpendicolare alla seconda linea. Un altro gioco: gli origàmi, x che cosa si riesce a fare Con gli origàmi si possono costruire numeri che siano radici di polinomi anche di grado 3. In particolare, si può: trisecare un qualunque angolo; duplicare il cubo. Ma non si può: quadrare il cerchio. Riassumendo. . . cosa dovreste avere imparato Costruire con riga e compasso signica costruire gure geometriche usando solo una riga non graduata e un compasso. Non tutte le gure geometriche si possono costruire con riga e compasso: non si può fare la quadratura del cerchio, cioè dato un cerchio, non si può costruire con riga e compasso un quadrato che abbia la stessa area del cerchio (problema: π ); non si può fare la duplicazione del cubo, cioè dato un cubo, non si può costruire con riga e compasso un altro √ 3 cubo che abbia volume doppio del cubo iniziale (problema: 2); non si può fare la trisezione dell'angolo, cioè dato un angolo, non si può costruire con riga e compasso un altro angolo che abbia ampiezza un terzo dell'angolo iniziale. Questi problemi si possono risolvere se si permette l'utilizzo di altri strumenti, come ad esempio righe graduate, trisettrici, origàmi, . . . .