Problemi irrisolvibili Il gioco delle costruzioni con riga e

Istituto di Istruzione Superiore Leonardo da Vinci
Liceo Classico Giacomo Leopardi, Aulla
Problemi irrisolvibili
Il gioco delle costruzioni con riga e compasso
Daniele Angella
Istituto Nazionale di Alta Matematica
(Dipartimento di Matematica e Informatica, Università di Parma)
20 marzo 2014
Che cos'è la Matematica
due aspetti complementari
La matematica è un gioco che segue alcune semplici regole giocato
con segni senza senso sulla carta.
David Hilbert
The Nobel Prize in Physiology or Medicine 1979 was awarded
jointly to Allan M. Cormack and Godfrey N. Hounseld for the
development of computer assisted tomography.
Karolinska Institutet
Costruzioni con riga e compasso, i
il gioco
Scopo del gioco: costruire oggetti geometrici usando solo una
riga non graduata e un compasso.
Regole:
(1) si parte con alcuni punti, segmenti o cerchi già disegnati;
(2) si hanno a disposizione solo una riga non graduata ed un compasso;
(3) la riga è innita e non graduata e ha un solo spigolo: può essere usata
solo per tracciare linee tra punti noti;
(4) il compasso può essere aperto quanto si vuole, non ha segni e
collassa quando alzato dalla pagina (non può essere quindi usato per
trasportare distanze);
(5) si possono fare solo un numero nito di mosse;
(6) le costruzioni devono essere esatte.
Costruzioni con riga e compasso, ii
le cinque mosse base, i
Mosse possibili:
Costruzioni con riga e compasso, iii
le cinque mosse base, ii i cinque postulati di Euclide
I cinque
postulati
'
nel libro I degli
Elementi
di Euclide:
$
[Si richiede:]
(I) che da qualsiasi punto si possa condurre una retta ad ogni altro punto
(II) e che si possa prolungare una linea retta nita continuamente in linea
retta
(III) e che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni
distanza
(IV) e che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro
(V) e che se una retta, venendo a cadere su due rette, forma gli angoli
interni e dalla stessa parte minori di due angoli retti, le due rette,
prolungate indenitamente, si incontreranno da quella parte in cui sono gli
angoli minori di due retti.
&
%
Costruzioni con riga e compasso, iv
primo gioco: esagono regolare di lato assegnato, i
Obiettivo:
costruire un esagono regolare di lato assegnato.
Costruzioni con riga e compasso, v
primo gioco: esagono regolare di lato assegnato, ii soluzione
Costruzioni con riga e compasso, vi
secondo gioco: 11-gono
Obiettivo:
costruire un 11-gono regolare di lato assegnato.
Non si può fare!!
Costruzioni con riga e compasso, vii
quali altri poligoni regolari sono costruibili?, i
Problema: per quali n, il poligono regolare di n lati è costruibile? Ad es., Gauss, a 19 anni, scoprì che l'eptadecagono (17 lati) si può
costruire.
Infatti: costruire un poligono regolare di n lati equivale a costruire un angolo di
ampiezza
cos
2π radianti e Gauss dimostrò che
n
2π
1
=
·
17
16
−1 +
√
17 +
q
√
34 − 2 17 + 2 ·
r
√
17 + 3 17 −
q
√
q
√
!
34 − 2 17 − 2 34 + 2 17
Costruzioni con riga e compasso, viii
quali altri poligoni regolari sono costruibili?, ii soluzione
La soluzione:
C. F. Gauss dimostrò nel 1796 che un poligono regolare di n
lati può essere costruito con riga e compasso se n è prodotto
k
di potenze di 2 per numeri primi di Fermat (22 + 1) distinti;
P. Wantzel dimostrò nel 1836 che questi sono gli unici poligoni
regolari costruibili (ad es., 11-gono non è costruibile).
Costruzioni con riga e compasso, ix
bisogna saper perdere: tre problemi irrisolvibili
Quindi, con queste regole,
non sempre si vince. . .
Vogliamo capire perché non si può fare:
la quadratura del cerchio;
la duplicazione del cubo;
la trisezione dell'angolo.
Demarcare i limiti del possibile, i
formulazione algebrica del problema
Vogliamo stabilire se il gioco di costruire una certa assegnata gura
si può vincere o no:
formuliamo matematicamente il problema;
determiniamo quali problemi si possono vincere. . .
. . . e quali invece si perdono.
Il problema è geometrico ma richiede strumenti algebrici e analitici:
geometria analitica.
Demarcare i limiti del possibile, ii
numeri costruibili, i somma
assegnati due segmenti lunghi a e b,
costruire un segmento lungo a + b
Demarcare i limiti del possibile, iii
numeri costruibili, ii dierenza
assegnati due segmenti lunghi a e b,
costruire un segmento lungo a − b
Demarcare i limiti del possibile, iv
numeri costruibili, iii prodotto
assegnati due segmenti lunghi a e b,
costruire un segmento lungo a · b
Demarcare i limiti del possibile, v
numeri costruibili, iv rapporto
assegnati due segmenti lunghi a e b,
costruire un segmento lungo a/b
Demarcare i limiti del possibile, vi
numeri costruibili, v radice quadrata
assegnato un segmento lungo a,
√
costruire un segmento lungo a
Demarcare i limiti del possibile, vii
numeri costruibili, vi riassunto: il campo Euclideo
Quindi:
(1) partendo dal numero 1. . .
(2) . . . si costruiscono tutti i numeri naturali (N
= {0, 1, 2, 3, · · · }). . .
= {0, 1, −1, 2, −2, · · · }). . .
m
(Q =
n : m, n ∈ Z, n 6= 0 );
(3) . . . si costruiscono tutti i numeri relativi (Z
(4) . . . si costruiscono tutti i numeri razionali
e poi:
(5) partendo da un numero positivo k già costruito. . .
√
(6) . . . si costruisce il numero
k;
e quindi, ripetendo i passi 24:
(7) si costruiscono tutti i numeri di
h√ i
k
Q
=
n
a
+b·
√
k
:
a, b
o
∈Q ;
si continua quindi ripetendo i passi 27 scegliendo altri numeri positivi:
(8) si costruiscono tutti i numeri di
a1
+ b1
√ k
+
Q
h√ i q
√
k
α+β k ,
a1
+ b1
cioè
√ q
√
k ·
α+β k
Demarcare i limiti del possibile, viii
numeri costruibili, vii un esempio
Possiamo costruire il numero
1
in quanto è un numero di
h√ i q
Q
2
1
+
"rq
√ h√ i
2
3
1
+
√
2
+
√
#
3
s

rq
√
√


1+
2+
3 + 5

Demarcare i limiti del possibile, ix
verso l'impossibile, i
Prop
I numeri di
Q
√ √ k1
polinomi di grado
k2
2N
x
=
scriviamo: x
q
2
−
√
+
2
√
kN , costruibili, sono radici di
con coecienti razionali.
Esempio: prendiamo
√
···
=
3
p
3
+
+
√
2
√
∈
h√ i q
Q
2
3
+
√
2
;
2,
√
√ 2
√
+ 2 > 0): x − 2 = 3 + 2,
√
√
riscriviamo: x 2 − 2 2x + 2 = 3 +
2,
√
riscriviamo: x 2 − 1 =
2 (1 + 2x ),
2
eleviamo al quadrato (nota che 2 > 0): x 2 − 1
= 2 · (1 + 2x )2 ,
eleviamo al quadrato (nota che 3
quindi x è radice di
x
4
− 10x 2 − 8x − 1 = 0
che è un polinomio di grado 4 a coecienti razionali.
Demarcare i limiti del possibile, x
verso l'impossibile, ii
Perché non si costruiscono altri numeri?
#
retta:
circonferenza:
x
Ax
2
+ By + C = 0
+ y 2 + 2α x + 2β y + γ = 0
"
con la sola riga, costruisco solo rette, quindi trovo solo intersezioni
tra rette, quindi soluzioni di sistemi di equazioni di primo grado;
usando sia la riga che il compasso, costruisco sia rette che
circonferenze, quindi trovo intersezioni tra una retta e una
circonferenza o tra due circonferenze: quindi, costruisco numeri
ottenibili anche tramite radice quadrata.
!
Demarcare i limiti del possibile, xi
verso l'impossibile, iii
In particolare, i numeri costruibili sono
polinomio a coecienti razionali.
algebrici, cioè radici di un
I numeri reali che non sono algebrici sono detti
trascendenti
( trascendono il potere dei metodi algebrici, Eulero)
Thm (Hermite, 1873; Lindemann, 1882)
I numeri reali
π
e
e
sono numeri trascendenti.
.
Il problema della quadratura, i
volere l'impossibile
Qual è 'l geomètra che tutto s'age
per misurar lo cerchio, e non ritrova,
pensando, quel principio ond'elli indige,
tal era io a quella vista nova:
veder voleva come si convenne
l'imago al cerchio e come vi s'indova;
ma non eran da ciò le proprie penne:
se non che la mia mente fu percossa
da un fulgore in che sua voglia venne.
Dante,
Divina Commedia,
Paradiso, XXXIII, 133141
Il problema della quadratura, ii
il gioco della quadratura
la stessa area.
Scopo: data una gura geometrica, costruire un quadrato con
Il problema della quadratura, iii
primo gioco: la quadratura del rettangolo
area.
Scopo: dato un rettangolo, costruire un quadrato con la stessa
Soluzione: usando il Teorema di Euclide:
Il problema della quadratura, iv
secondo gioco: la quadratura del triangolo
area.
Scopo: dato un triangolo, costruire un quadrato con la stessa
Soluzione: basta costruire un rettangolo e usare poi il risultato
precedente.
Il problema della quadratura, v
terzo gioco: la quadratura di un poligono
stessa area.
Scopo: dato un poligono qualsiasi, costruire un quadrato con la
Soluzione:
(a)
(b)
(c)
si divide il poligono in triangoli;
si quadrano i singoli triangoli;
si uniscono i quadrati usando il Teorema di Pitagora.
Il problema della quadratura, vi
la quadratura del cerchio arriva il dicile (o meglio, l'impossibile. . . )
area.
Scopo: dato un cerchio, costruire un quadrato con la stessa
Soluzione: questo problema
compasso!!
non ha una soluzione con riga e
Infatti:
se il raggio del cerchio è 1, la sua area è π , quindi il problema
equivale a costruire un quadrato che ha lato
√
` = π
√
ma π non è un numero costruibile perché π è un numero
trascendente (Lindemann, 1882).
Il problema della duplicazione del cubo, i
un po' di storia, i
Eratostene scrive al re Tolomeo III che il re Minosse al cospetto del
sepolcro in costruzione, di forma cubica, del re Glauco, disse
piccolo sepolcro per un re: lo si faccia doppio conservandone la
forma; si raddoppino, pertanto, tutti i lati; Eratostene, dopo aver
rilevato che l'ordine dato era erroneo, riferisce che nacque tra gli
studiosi il cosiddetto problema della duplicazione del cubo.
Teone di Smirne, citando Eratostene, riporta che gli abitanti di
Delo, avendo interrogato l'oracolo di Apollo sul modo di liberarsi
della peste, avessero ricevuto l'ordine di costruire un altare, di forma
cubica, dal volume doppio.
Secondo Plutarco, gli abitanti di Delo cercavano risposte ai loro
problemi politici interni: la risposta fu interpretata da Platone come
un invito a studiare Geometria e Matematica per calmare le loro
passioni.
Il problema della duplicazione del cubo, ii
un po' di storia, ii
As for ourselves, we felt at the time that Chonuphis was right; we felt so yet more
when our return from Egypt a party of Delians met us in Caria and requested Plato, as
a geometer, to solve a problem set them by the god in a strange oracle. The oracle
was to this eect: the present troubles of the Delians and the rest of the Greeks would
be at an end when they had doubled the altar at Delos. As they not only were unable
to penetrate its meaning, but failed absurdly in constructing the altar (for upon
doubling all four sides they discovered to their surprise that in their ignorance of the
progression from which the linear double is obtained they had produced by this
increase a solid eight times as large), they called on Plato for help in their diculty.
Plato, recalling the Egyptian, replied that the god was rallying the Greeks for their
neglect of education, deriding, as it were, our ignorance and bidding us engage in no
perfunctory study of geometry; for no ordinary or near-sighted intelligence, but one
well versed in the subject, was required to nd two mean proportionals, that being the
only way in which a body cubical in shape can be doubled with a similar increment in
all dimensions. This would be done for them by Eudoxus of Cnidus or Helicon of
Cyzicus; they were not, however, to suppose that it was this the god desired, but
rather that he was ordering the entire Greek nation to give up war and its miseries and
cultivate the Muses, and by calming their passions through the practice of discussion
and study of mathematics, so to live with one that their intercourse should be not
injurious, but protable.
Plutarco, De genio Socratis, 579.B
Il problema della duplicazione del cubo, iii
primo gioco: duplicare il quadrato
Scopo: dato un quadrato, costruirne un altro di area doppia.
Soluzione: usando il Teorema di Pitagora
Il problema della duplicazione del cubo, iv
secondo gioco: duplicare il cubo impossibile!
Problema: dato un cubo, costruirne un'altro di volume doppio. Non si può risolvere con riga e compasso!
Infatti:
se il cubo iniziale ha lato ` = 1 (quindi volume V = 1: ricordiamo che
= `3 ), dovremmo costruire un cubo di volume 2 e quindi lato . . . .
√
Ma 3 2 non è costruibile!
V
Il problema della trisezione dell'angolo, i
primo gioco: bisecare un angolo
Problema: dato un angolo
costruire con riga e
compasso un angolo di ampiezza la metà dell'angolo iniziale.
Soluzione:
qualsiasi,
Il problema della trisezione dell'angolo, ii
secondo gioco: trisecare un angolo, i
Problema: dato un angolo
qualsiasi,
costruire con riga e
compasso un angolo di ampiezza un terzo dell'angolo iniziale.
Attenzione! Si parla di un angolo
qualsiasi! Per dimostrare che è
impossibile trisecare un angolo qualsiasi, bisogno mostrare che
esiste (almeno) un angolo non trisecabile.
Il problema della trisezione dell'angolo, iii
secondo gioco: trisecare un angolo, ii formulazione matematica del problema
Come individuare gli angoli?
Ad esempio, tramite la loro tangente:
Un angolo è costruibile
se e solo se
la sua tangente è costruibile.
Il problema della trisezione dell'angolo, iv
secondo gioco: trisecare un angolo, iii impossibile!
Quale relazione c'è tra tan ϕ e tan ϕ3 ?
formula di triplicazione:
3 · tan ϕ3 − tan ϕ3
tan ϕ =
2
1 − 3 · tan ϕ3
3
che, riscritta, diventa:
ϕ 3
ϕ 2
ϕ
tan
+ tan ϕ = 0
− 3 · tan ϕ · tan
− 3 · tan
3
3
3
Ad esempio: per
cioè, tan
tan
π
π 3
9
ϕ = 60◦ =
−3·
√
3
·
3 rad si ottiene
π
tan
π 2
9
−3·
tan
π
9
+
√
3
=
0
9 è radice di un polinomio di grado 3 non riducibile, quindi
è costruibile!
non
Il problema della trisezione dell'angolo, v
con altri strumenti e varianti
Si
può
trisecare un qualsiasi angolo:
con innite mosse, basandosi sulla rappresentazione binaria di
un terzo:
1
3
=
0.01010101 . . .
con curve ausiliarie, dette
con una riga graduata
usando gli origàmi
trisettrici
in base 2
Un altro gioco: gli origàmi, i
una variante del gioco di riga e compasso
Origàmi = arte di piegare la carta
è meccanicamente più semplice delle costruzioni con riga e
compasso ma molto più potente. Ha comunque regole molto
restrittive (niente tagli, pochi tipi di piegature ammessi,. . . )
Alla base dei principi che regolano l'origàmi, vi sono senz'altro i principi
shintoisti del ciclo vitale e dell'accettazione della morte come parte di un tutto:
la forma di carta, nella sua complessità e fragilità, è simbolo del tempio
shintoista che viene ricostruito sempre uguale ogni vent'anni, e la sua bellezza
non risiede nel foglio di carta. Alla morte del supporto, la forma viene ricreata e
così rinasce, in un eterno ciclo vitale che il rispetto delle tradizioni mantiene
vivo.
Un altro gioco: gli origàmi, ii
le nuove regole, i
Assiomi di HuzitaHatori:
(1) dati due punti, c'è un'unica piegatura che passa per entrambi;
(2) dati due punti, c'è un'unica piegatura che li sovrappone;
(3) date due linee, c'è una piegatura che le sovrappone;
(4) dati un punto e una linea, c'è un'unica piegatura perpendicolare alla linea e
passante per il punto;
(5) dati due punti e una linea, c'è una piegatura che sposta un punto sulla
linea e passa per il secondo punto;
(6) dati due punti e due linee, c'è una piegatura che sposta il primo punto sulla
prima linea e il secondo punto sulla seconda linea;
(7) dati un punto e due linee, c'è una piegatura che sposta il punto sulla prima
linea ed è perpendicolare alla seconda linea.
Un altro gioco: gli origàmi, iii
assiomi di Huzita-Hatori: 1
Assioma 1:
entrambi.
dati due punti, c'è un'unica piegatura che passa per
Un altro gioco: gli origàmi, iv
assiomi di Huzita-Hatori: 2
Assioma 2:
dati due punti, c'è un'unica piegatura che li sovrappone.
Un altro gioco: gli origàmi, v
assiomi di Huzita-Hatori: 3
Assioma 3:
date due linee, c'è una piegatura che le sovrappone.
Un altro gioco: gli origàmi, vi
assiomi di Huzita-Hatori: 4
Assioma 4:
dati un punto e una linea, c'è un'unica piegatura
perpendicolare alla linea e passante per il punto.
Un altro gioco: gli origàmi, vii
assiomi di Huzita-Hatori: 5
Assioma 5:
dati due punti e una linea, c'è una piegatura che sposta un
punto sulla linea e passa per il secondo punto.
Un altro gioco: gli origàmi, viii
assiomi di Huzita-Hatori: 6
Assioma 6:
dati due punti e due linee, c'è una piegatura che sposta il
primo punto sulla prima linea e il secondo punto sulla seconda linea.
Un altro gioco: gli origàmi, ix
assiomi di Huzita-Hatori: 7
Assioma 7:
dati un punto e due linee, c'è una piegatura che sposta il
punto sulla prima linea ed è perpendicolare alla seconda linea.
Un altro gioco: gli origàmi, x
che cosa si riesce a fare
Con gli origàmi si possono costruire numeri che siano radici di
polinomi anche di grado 3.
In particolare, si può:
trisecare un qualunque angolo;
duplicare il cubo.
Ma
non si può:
quadrare il cerchio.
Riassumendo. . .
cosa dovreste avere imparato
Costruire con riga e compasso signica costruire gure
geometriche usando solo una riga non graduata e un compasso.
Non tutte le gure geometriche si possono costruire con riga e
compasso:
non si può fare la quadratura del cerchio,
cioè dato un cerchio, non si può costruire con riga e compasso un
quadrato che abbia la stessa area del cerchio (problema:
π );
non si può fare la duplicazione del cubo,
cioè dato un cubo, non si può costruire con riga e compasso un altro
√
3
cubo che abbia volume doppio del cubo iniziale (problema:
2);
non si può fare la trisezione dell'angolo,
cioè dato un angolo, non si può costruire con riga e compasso un
altro angolo che abbia ampiezza un terzo dell'angolo iniziale.
Questi problemi si possono risolvere se si permette l'utilizzo di altri
strumenti,
come ad esempio righe graduate, trisettrici, origàmi, . . . .