Indice 1 Introduzione

Indice
1 Introduzione
1
2 Gruppi affini e gruppi formali
2.1 Definizioni . . . . . . . . . .
2.2 Dualità di Cartier . . . . . .
2.2.1 Caratteristica p . . .
2.2.2 Caratteristica 0 . . .
2.3 Frobenius e Vershiebung . .
2.4 Gruppi étale e connessi . . .
2.4.1 Caratteristica p . . .
2.4.2 Caratteristica 0 . . .
2.5 Spazi tangente e cotangente
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Vettori e covettori di Witt
3.1 Vettori di Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Covettori di Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Topologia naturale dei covettori di Witt . . . . . . . . . . .
3.4 Gruppo formale dei covettori di Witt . . . . . . . . . . . . .
3.5 Relazione tra componente étale e unipotente nel gruppo formale dei covettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Anello di Dieudonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Struttura del gruppo formale dei covettori come modulo sull’anello di Dieudonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Classificazione dei p-gruppi formali
1
3
. 3
. 8
. 8
. 8
. 9
. 9
. 10
. 11
. 11
.
.
.
.
11
11
14
15
15
. 16
. 17
. 17
18
Introduzione
Sia R un anello di valutazione discreta, completo, di ideale massimale m,
campo residuo k di caratteristica p > 0 e campo delle frazioni K di caratteristica 0. Sia A/R uno schema abeliano di dimensione d, di cui indico
con A[pn ] il nucleo (schematico) della moltiplicazione per pn . Definisco il
gruppo p-divisibile associato ad A come il limite diretto rispetto alle mappe
canoniche di inclusione in : A[pn ] ,→ A[pn+1 ]:
A(p) := lim A[pn ].
−→
n
Lo schema in gruppi A(p) è un gruppo p-divisibile di altezza h = 2d, isomorfo
al gruppo costante (Qp /Zp )h . Definisco il modulo di Tate associato ad A/R
1
come:
T (p) := lim A[pn ],
←−
n
dove il limite inverso è calcolato rispetto alle mappe [p] : A[pn+1 ] → A[pn ]
di moltiplicazione per p. Si denoti con D(A(p)) il duale di Cartier di A(p)
definito in §2.2 oppure in [2, §2.3], e con tD(A(P )) (rispettivamente, t∗A(p) )
lo spazio tangente di D(A(p)) (rispettivamente, spazio cotangente di A(p))
definiti in §2.5 oppure in [2, §2.4].
Indico con Cp il completamento di una chiusura algebrica di K e pongo
ACp := A⊗R Cp . Definisco G := Gal(K/K) come il gruppo di Galois assoluto
di K. Per ogni G-modulo M , denoto con HomZp (M, Cp ) lo Zp -modulo degli
omomorfismi di Zp -moduli. Lo Zp -modulo HomZp (M, Cp ) è dotato di una
struttura canonica di G-modulo: se ϕ ∈ HomZp (M, Cp ) e g ∈ G,
(gϕ)(x) := g(ϕ(g −1 x)).
Sia Gm is gruppo moltiplicativo di cui indico con
µpn := Ker([pn ] : Gm → Gm )
is sottoschema in gruppi delle radici pn -esime dell’unità, dove [pn ] è la moltiplicazione per pn in Gm . Definisco
H := lim µpn
←−
n
dove il limite inverso è calcolato rispetto alle mappe [p] : µn+1 → µn di
moltiplicazione per p.
Theorem 1.1 (Decomposizione di Hodge-Tate). Vale il seguente isomorfismo di G-moduli:
1
Hét
(ACp , Qp ) ⊗Qp Cp ' H 1 (ACp , Ω0ACp ) ⊕ H 0 (ACp , Ω1ACp ) ⊗Cp HomZp (H, Cp ),
1
dove Hét
indica la coomologia ètale di ACp mentre Ω0ACp → Ω1ACp → . . . è il
complesso di De Rham.
Il teorema precedente può essere riformulato nel seguente modo: vale il
seguente isomorfismo di G-moduli:
HomZp (T (p), Cp ) ' tD(A(p)) (Cp ) ⊕ t∗A(p) (Cp ) ⊗Cp HomZp (H, Cp ).
(1)
La dimostrazione di questi risultati si trova in [2, §4.1, Corollario 2 e successivo Remark].
2
Lo scopo dei lavori di Fontaine è quello di raffinare la decomposizione (1)
in modo da riuscire ad ottenere una classificazione più fine che tenga conto
della struttura di G-modulo di A(p) e non solo di quella di HomZp (T (p), Cp ).
Notiamo che tale struttura è in effetti povera, in quanto, come G-modulo,
lo spazio tangente e quello cotangente sono banali, essendo entrambi copie
di Cp . Lo scopo del lavoro di Fontaine sui gruppi p-divisibili su anelli di
valutazione discreta completi R come sopra è dunque quello di raffinare la
decomposizione (1) in modo da ottenere un oggetto che generalizzi il lato
destro di (1) e permetta di classificare i gruppi p-divisibili, recuperando in
particolare la loro struttura di G-modulo.
2
2.1
Gruppi affini e gruppi formali
Definizioni
Indico con il simbolo k un corpo perfetto di caratteristica p > 0, dotato
della topologia discreta, oppure un anello di valutazione completo con campo
residuo perfetto di caratteristica p > 0 e campo delle frazioni di caratteristica
0, dotato della topologia indotta dalla valutazione.
Remark 2.1. Si potrebbe lavorare più in generale come in [1] con un anello
pseudocompatto k, ovvero un anello commutativo linearmente topologizzato
(cioè dotato di una topologia che rende continue le operazioni di anello e
tale che un sistema fondamentale Ωk di intorni di 0 sia formato da ideali)
separato e completo e tale che, per ogni ideale aperto a ∈ Ωk , il quoziente
R/q sia artiniano.
Definition 2.2. Un k-gruppo affine G è un funtore contravariante dalla categoria delle k-algebre alla categoria dei gruppi abeliani che sia rappresentato
da una k-algebra B. Questo vuol dire che esiste una k-algebra B tale che
per ogni k-algebra R si ha:
G(R) = Homk (B, R)
dove Homk indica l’insieme degli omomorfismi di k-algebre. Indicheremo un
tale funtore come G = Spk B. Un k-gruppo affine è detto finito (oppure algebrico) se la sua algebra affine B è un k-modulo piatto finitamente generato.
In questo caso, si definisce l’ordine di G come il rango di B come k-modulo:
ord(G) := rankk (B).
Sia G = Spk B un k-gruppo affine. Il fatto che, per ogni k-algebra R,
l’insieme G(R) abbia una struttura di gruppo abeliano equivale a richiedere
3
che B sia una k-bialgebra, cioè esistano morfismi di k-algebre
µB : B → B ⊗k B (comoltiplicazione)
²B : B → k (augmentazione)
σB : B → B (antipodismo)
che soddisfino ai seguenti diagrammi, ciascuno dei quali esprime una propietà
dei gruppi abeliani:
B1 (associatività): Il seguente diagramma è commutativo, dove idB è l’identità di B:
µB
/ B ⊗k B
B
µB
µB
²
B ⊗k B
µB ⊗idB
²
/B⊗ B⊗ B
k
k
B2 (esistenza dell’elemento neutro): Il diagramma seguente è commutativo:
vv
vv
v
vv
vv
B HH
HH
HH
µB HHH
#
µB
idB ⊗²B
B; ⊗k B
/B⊗ k
k
'
²
/B
O
idB
'
²B ⊗idB
B ⊗k B
/B⊗ k
k
B3 (esistenza di un inverso): Il seguente diagramma è commutativo:
B; ⊗k B
v
µB vv
v
v
vv
vv
²B
B HH
HH
HH
µB HHH
#
B ⊗k B
idB ⊗σB
/k
σB ⊗idB
/ B ⊗k B
HH
HH π
HH
HH
H#
idB
/
v; B
v
π vvv
vv
v
v
/ B ⊗k B
dove π : B ⊗k B → B è la mappa di multiplicazione definita da a ⊗ b 7→
ab.
I morfismi di k-algebre µB , ²B e σB definiscono altrettanti morfismi di
funtori µG : G × G → G, ²G : Spk k → G e σG : G → G. I diagrammi scritti
in precedenza inducono diagrammi analoghi che coinvolgono G e Spk k. La
categoria di k-gruppi affini ha per oggetti i k-gruppi affini e per morfismi i
4
morfismi di funtori che rispettano la struttura di gruppo: se G ed H sono
due k-gruppi affini, Homkgr−aff (G, H) è l’insieme dei morfismi di funtori F :
G → H tali che il seguente diagramma sia commutativo:
G×G
F ×F
²
µG
/G
F
H ×H
µG
²
/ H.
Proposizione 2.3. La categoria dei k-gruppi affini è abeliana. In particolare, essa ha nuclei e conuclei.
Dimostrazione. Si veda [1, Proposition 6.5].
Una k-algebra R è detta profinita (rispettivamente, proartiniana se lo
è come k-modulo, cioè se R e un k-modulo linearmente topologizzato (cioè
dotato di una topologia che rende continue le operazioni che rendono R un
k-modulo e tale che un sistema fondamentale ΩR di intorni di 0 sia formato da sotto-k-moduli) separato e completo e tale che, per ogni sotto-kmodulo aperto a ∈ ΩR , il quoziente R/q è un k-modulo di lunghezza finita
(rispettivamente, artiniano). In questo caso, vista la completezza,
R ' lim R/a.
←−
a∈ΩR
Una k-algebra profinita R che ha lunghezza finita come k-modulo sarà detta
finita. I morfismi nelle categorie delle k-algebre profinite, finite o proartiniane
sono morfismi di k-algebre continui.
Vale un teorema di decomposizione del tutto analogo a quello degli anelli
artiniani:
si decompone canonicamente
Proposizione 2.4. Una k-algebra profinito R Q
nel prodotto finito di anelli profiniti locali R = m Rm , dove m varia nell’insieme finito degli ideali massimali di R e Rm indica il completamento di R
lungo m, cioè Rm = lim(R/a)m/a dove il limite inverso è calcolato su tutti gli
←−
a
ideali aperti di R contenuti in m.
Dimostrazione. Se veda [1, Chapitre I, 3.3 e 3.7]l
Definition 2.5. Un k-gruppo formale G è un funtore contravariante dalla
categoria delle k-algebre finite alla categoria dei gruppi abeliani che sia rappresentato da una k-algebra profinita B. Questo vuol dire che esiste una
k-algebra profinita B tale che per ogni k-algebra finita R si ha:
G(R) = Homcont
k (B, R)
5
dove Homcont
indica l’insieme degli omomorfismi continui di k-algebre. Ink
dicheremo un tale funtore come G = Spf k B.
Il fatto che G(R) sia un gruppo abeliano per ogni k-algebra finita R
equivale a richiedere che B sia una k-bialgebra formale, cioè esistano morfismi
di k-algebre profinite
b k B (comoltiplicazione)
µB : B → B ⊗
b k B il completamento della k-algebra B ⊗k B rispet(dove si è indicato con B ⊗
to alla topologia una cui base fondamentale di intorni di 0 è data dagli ideali
I ⊗ B + B ⊗ J con I, J che variano nel filtro degli intorni di 0 in B)
²B : B → k (augmentazione)
σB : B → B (antipodismo)
che soddisfino ai seguenti diagrammi, ciascuno dei quali esprime una propietà
dei gruppi abeliani:
B1 (associatività): Il seguente diagramma è commutativo, dove idB è l’identità di B:
µB
/ B⊗
b kB
B
µB
µB
²
b B
µB ⊗id
b kB
B⊗
²
/ B⊗
b kB⊗
b kB
B2 (esistenza dell’elemento neutro): Il diagramma seguente è commutativo:
b B
idB ⊗²
b kB
B; ⊗
µB www
ww
ww
w
w
B GG
GG
GG
µB GGG
#
/ B⊗
b kk
'
²
/B
O
idB
'
b B
²B ⊗id
B ⊗k B
/ B⊗
b kk
B3 (esistenza di un inverso): Il seguente diagramma è commutativo:
b kB
B< ⊗
µB xxx
xx
xx
x
x
²B
B FF
FF
FF
F
µB FF
"
b kB
B⊗
b B
idB ⊗σ
/k
b B
σB ⊗id
6
/ B⊗
b kB
FF
FF π
FF
FF
F"
idB
/B
x<
x
π xxx
xx
x
x
/ B⊗
b kB
b k B → B è la mappa di multiplicazione definita da a ⊗ b 7→
dove π : B ⊗
ab.
I morfismi di k-algebre formali µB , ²B e σB definiscono altrettanti morfismi di funtori µG : G × G → G, ²G : Spf k k → G e σG : G → G. I diagrammi scritti in precedenza inducono diagrammi analoghi che coinvolgono G e
Spf k k. La categoria di k-gruppi formali ha per oggetti i k-gruppi formali e
per morfismi i morfismi di funtori che rispettano la struttura di gruppo: se
G ed H sono due k-gruppi formali, Homkgr−for (G, H) è l’insieme dei morfismi
di funtori F : G → H tali che il seguente diagramma sia commutativo:
G×G
F ×F
²
µG
/G
F
H ×H
µG
²
/ H.
Proposizione 2.6. La categoria dei k-gruppi formali è abeliana. In particolare, essa ha nuclei e conuclei.
Dimostrazione. Si veda [1, Proposition 6.5].
Sia G un k-gruppo formale. Allora G può essere prolungato in modo unico
alla categoria delle k-algebre profinite ponendo, per ogni algebra profinita R,
G(R) := lim G(R/a).
←−
a∈ΩR
La struttura di k-bialgebra formale di B mostra che G(R) cosı̀ definito è un
gruppo anche per ogni algebra profinita R.
Sia G = Spf k B un k-gruppo formale ed R una k-algebra finita. Poiché
B ' lim B/a ed ogni morfismo continuo di B in R fattorizza attraverso un
←−
a∈ΩB
quoziente B/a, che ha topologia discreta,
Homcont
Homk (B/a, R).
k (B, R) = lim
−→
a∈ΩR
Segue
Spf k B ' lim Spk B/a.
−→
a∈ΩB
Definition 2.7. Un k-gruppo affine (rispettivamente, formale) G è detto
liscio se per ogni k-algebra (rispettivamente, per ogni k-algebra finita) R e
per ogni ideal I ⊆ R tale che I 2 = 0, la mappa canonical G(R) → G(R/I) è
suriettiva.
7
Se G è un k-gruppo affine o formale, indico con [pn ] per ogni n numero
naturale la moltiplicazione per pn in G.
Definition 2.8. Un k-gruppo affine (rispettivamente, formale) è un p-gruppo
se G ' lim Gn , dove Gn := Ker[pn ] è il nucleo della moltiplicazione per pn .
−→
n
Definition 2.9. Un p-gruppo formale è detto di Barsotti-Tate (o p-divisibile)
di altezza h se Ker[pn ] è un gruppo finito e piatto di ordine pnh .
2.2
2.2.1
Dualità di Cartier
Caratteristica p
Suppongo che la caratteristica di k sia p (dunque, k è un campo perfetto).
Sia G = Spf k B un k-gruppo formale. Pongo
B ∗ := Homcont
k (B, k)
e definisco il duale di Cartier di G come:
D(G) := Spk B ∗ .
Si dimostra che D induce una antiequivalenza tra la categoria dei k-gruppi
b
formali e quella dei k-gruppi affini. Un quasi inverso di D è il funtore D
definito da:
∗
b
D(Sp
k B) := Spf k B
dove B ∗ := Homk (B, k) è dotato della topologia della convergenza semplice.
2.2.2
Caratteristica 0
Se la caratteristica di k è 0 (dunque, k è un anello di valutazione discreta
completo, con campo residuo k di caratteristica p e campo delle frazioni di
caratteristica 0), e G = lim Gn è un gruppo p-divisibile, con Gn = Spk B,
−→
n
∗
pongo D(Gn ) := Spk Bn con Bn∗ := Homk (Bn , k). La moltiplicazione per p
induce mappe Gn → Gn−1 , dunque per dualità ottengo mappe
jn : D(Gn−1 ) → D(Gn ).
Definisco il duale di Cartier di G come
D(G) := lim D(Gn )
−→
n
dove il limite diretto è calcolato rispetto alle mappe jn .
8
2.3
Frobenius e Vershiebung
Suppongo che k abbia caratteristica p e denoto con σ : k → k il Frobenius di
k definito da x 7→ xp . Sia G = Spk B un k-gruppo affine oppure G = Spf k B
n
un k-gruppo formale. Definisco B σ := B ⊗σn k dove il prodotto tensoriale è
calcolato rispetto alla mappa σ n : k → k. La mappa b 7→ bp induce dunque
un morfismo k-lineare
n
FBn : B σ → B
e dunque un morfismo di k-gruppi (affini o formali)
FGn : G → Gσ
n
n
n
n
dove Gσ denota il k-gruppo Spk B σ oppure Spf k B σ a seconda che G sia
Spk B oppure Spf k B.
Analogamente, se G = Spk B, ho una mappa
n
n
b
FD(G)
: D(G)
→ D(G)σ .
b
Per dualità, ottengo una mappa, chiamata Vershiebung:
n
VGnσn : Gσ → G.
Proposizione 2.10. VGσ FG = [p] in G e FG VG = [p] in Gσ .
Dimostrazione. [1, pagina 50].
Definition 2.11. Definisco la componente unipotente Gu di un k-gruppo
formale o affine G come:
Gu := lim KerVGnσn .
−→
2.4
Gruppi étale e connessi
Sia G = Spf k B un k-gruppo formale, che supporremo un gruppo p-divisibile
se k ha caratterstica 0.
Definition 2.12. G è connesso (rispettivamente, étale) se B è un anello
locale (rispettivamente, una k-algebra étale).
Per ogni k-algebra finita R, denoto con rR il suo radicale. Definisco dei
funtori dalla categoria delle k-algebre finite a quella degli insiemi:
Gét (R) := G(R/rR )
e
Gc (R) := Ker(G(R) → Gét (R)).
Definisco l’ideale di augmentazione di B come B + := Ker(²B : B → k).
Sia B c la componente locale di B corrispondente all’unico ideale massimale
di B contenente B + .
9
Proposizione 2.13. Gc = Spf k B c è un k-gruppo formale connesso.
Dimostrazione. Per prima cosa noto che Gc è rappresentato da B c : un punto
x ∈ Homcont
k (B, rR ) se e solo se x rende commutativo il seguente diagramma:
B DD
x
DD
DD
iR/rR ◦²B DD"
/R
z
z
z
π z
zz
|zz
R/rR
dove π è la proiezione canonica e iR/rR è il morfismo strutturale della kalgebra R/rR . Dunque, x(B + ) ⊆ rR e questo per continuità corrisponde a
richiedere che x sia un morfismo continuo di B c in rR . Si mostra che le
mappe µB , ²B e σB definiscono altrettante mappe in B c . Dunque Spf k B c è
un gruppo formale, evidentemente connesso.
2.4.1
Caratteristica p
Suppongo che k abbia caratteristica p. In questo caso ogni k-algebra finita
R si decompone nella somma diretta di due k-algebre
R ' Rét ⊕ rR ,
dove Rét è la massima sottoalgebra étale di R. (Nel caso in cui C è un
campo, una C-algebra è étale se e solo se è isomorfa ad un prodotto finito di
estensioni finite e separabili di C.) Risulta dunque che Gét (R) ' G(Rét ) e
dunque, per ogni k-algebra finita R, abbiamo una sequenza esatta spezzante:
0 → Gc (R) → G(R) → Gét (R) → 0,
da cui si vede che G si spezza canonicamente nel prodotto della sua componente locale e di Gét :
G ' Gc ⊕ Gét .
Indico con rB il radicale di B.
Proposizione 2.14. Gét = Spf k B/rB è un k-gruppo formale étale.
cont
Dimostrazione. x ∈ Homcont
k (B, R/rR ) se e solo se x ∈ Homk (B, R) e
x(rB ) ⊆ rR . Le mappe µB , ²B e σB definiscono altrettante mappe in B ét .
Dunque Spf k B ét è un gruppo formale, evidentemente étale.
Proposizione 2.15. Ogni k-gruppo formale connesso è il limite diretto dei
propri nuclei delle potenze di Frobenius:
G = lim KerFGn
−→
se G è connesso.
n
Dunque, ogni k-gruppo formale connesso è un p-gruppo.
10
Dimostrazione. [1, pag. 49].
Proposizione 2.16. Un k-gruppo formale G è étale se e solo se FG è un
monomorfismo. Questo è equivalente a richiedere che FG sia un isomorfismo.
Dimostrazione. [1, pag. 49].
2.4.2
Caratteristica 0
Nel caso di caratteristica 0, denotato con k il campo residuo di k, si può
mostrare che il funtore G Ã Gk dalla categoria dei k-gruppi formali étale
alla categoria dei k-gruppi formali étale induce un’antiequivalenza; ogni kgruppo formale è dunque a meno di isomorfismi il rialzamento di un k-gruppo
formale étale. Segue da questo che esiste sempre una sequenza esatta di
k-gruppi formali
0 → Gc → G → Gét → 0.
2.5
Spazi tangente e cotangente
Sia G = Spf k B un k-gruppo formale. Sia B + l’ideale di augmentazione ed
indichiamo con B2+ la chiusura di (B + )2 in B. Pongo per ogni k-anello finito
R:
+
+
tgG (R) := Homcont
(spazio tangente a G in R)
k (B /B2 , R)
b kR
ctgG (R) := B + /B2+ ⊗
3
3.1
(spazio cotangente a G in R).
Vettori e covettori di Witt
Vettori di Witt
Per ogni intero n ≥ 0, definisco
n
n−1
φn (X0 , . . . , Xn ) = X0p + pX1p
+ · · · + pn Xn .
Abbrevierò nel seguito φ(X0 , . . . , Xn ) con φ(X). E’ noto che esistono due e
due sole sequenza di polinomi
Sn (X0 , . . . , Xn ; Y0 ; . . . , Yn )
e
Pn (X0 , . . . , Xn ; Y0 ; . . . , Yn ),
11
che denoterò per convenienza con Sn (X; Y ) e Pn (X; Y ), tali che
φn (X) + φn (Y ) = φn (S0 (X; Y ), . . . , Sn (X; Y ))
φn (X) · φn (Y ) = φn (P0 (X; Y ), . . . , Pn (X; Y )).
Le Sn , Pn definiscono su Z[X] := Z[X0 , X1 , . . . ] (anello in infinite determinate) una struttura di Z-schema in anelli (commutativi) detto lo Z-schema
dei Vettori di Witt W ponendo per ogni anello R:
W(R) := HomZ (Z[X], R)
dove se x ∈ HomZ (Z[X], R), posto x(n) := x(φn (X)), allora la struttura di
anello di W(R) è data da:
(x + y)(n) = x(n) + y (n) ;
(xy)(n) = x(n) y (n) .
Le x(n) sono dette componenti fantasma di x. Indico x ∈ W(R) con la
notazione x = (x0 , x1 , . . . ) dove xn := x(Xn ).
Si definiscono anche i vettori di Witt di lunghezza finita Wn considerando
solo un numero finito di variabili e con le stesse Sn e Pn .
Ho tre operatori standard:
Frobenius: F x(Xn ) := xpn per ogni x ∈ W(R);
Verchiebung (slittamento): V x(Xn ) = xn−1 per ogni x ∈ W(R);
Troncamento: ρn : Wn (R) → Wn−1 (R) definita per ogni n ≥ 1 da
ρn ((x0 , . . . , xn )) := (x0 , . . . , xn−1 ).
Notiamo che dalla definizione delle mappe di troncamento ρn segue immediatamente che
W(R) ' lim Wn (R)
(2)
←−
n
dove il limite inverso è calcolato rispetto alle mappe ρn .
Sia R un dominio d’integrità di caratteristica 0.
1. In W(R) vale la relazione px = (0, xp0 , xp1 , . . . ). In particolare, se k è un
campo perfetto di caratteristica p:
F V = V F = p.
Per la (3) si veda [1, (2) pag 79].
12
(3)
2. Wn (R) ha caratteristica pn e W(R) è un anello integro di caratteristica
0.
3. I sottogruppi V n W(R) sono ideali e formano un sistema fondamentale
di intorni dello 0 di una topologia rispetto alla quale W(R) è completo.
4. x = (x0 , x1 , . . . ) è invertibile in W(R) se e solo se x0 lo è in R.
5. Posto K := Frac(W(R)) (campo delle frazioni di W(R)), posso definire
una valutazione v in K ponendo per ogni x ∈ W(R):
½
max{n ∈ N : x ∈ V n W(R)} se x 6= 0
v(x) :=
0
altrimenti
Allora W(R) è l’anello di valutazione di v se e solo se R è un campo
perfetto. In questo caso, denotato con m l’ideale di valutazione di v, si
ha che
W(R)/mW(R) ' R.
Sia ora K un corpo di caratteristica 0 completo rispetto ad una valutazione discreta v il cui corpo residuo k sia perfetto di caratteristica p. Sia A
l’anello di valutazione di v e π : A → k la mappa di riduzione modulo l’ideale
di valutazione. E’ noto che esiste un unico sistema moltiplicativo TK ⊆ A
tale che π sia una biezione se ristretta a TK ; esplicitamente, TK può essere
descritto come
n
TK := ∩n Ap .
Gli element di TK sono detti rappresentanti moltiplicativi o di Teichmüller.
Esiste allora un isomorfismo bicontinuo:
Θ : W(k) → A
definito da
Θ((ξ0 , ξ1 , . . . )) :=
∞
X
−j
pj xpj ,
j=0
dove xj ∈ TK sono tali che π(xj ) = ξj . Questo isomorfismo permette di
introdurre un’ulteriore notazione: posto [x] := (x, 0, 0, . . . ), allora {[x] : x ∈
k} coincide con l’insieme TW(k) , quindi ogni elemento ξ = (ξ0 , ξ1 , . . . ) può
essere scritto nella forma:
∞
X
−j
ξ=
pj [ξj ]p .
j=0
Noto infine che
m = {x ∈ W(R) : v(x) > 0} = pW(R)
dunque W(k) è un’estensione di Zp assolutamente non ramificata.
13
3.2
Covettori di Witt
Definisco lo Z-funtore in insiemi dei covettori di Witt unipotenti CWu come
il limiti diretto
CWu := lim Wn
−→
n
rispetto alle mappe V : Wn → Wn+1 indotte da V . Gli elementi di CWu (R)
per ogni anello R sono dunque successioni
(. . . , 0, 0, x−n , . . . , x−1 , x0 )
di elementi in R in cui le code sono identicamente nulle. Definisco poi lo
Z-funtore in insieme dei covettori di Witt ponendo, per ogni anello R:
CW(R) := {(. . . , x−n , . . . , x0 ) ∈ RN |∃r ≥ 0 tale che (x−r , x−r−1 , . . . ) ∈ rR }.
In altre parole, CW(R) è formato dalle sequenze (. . . , x−n , . . . , x0 ) ∈ RN in
cui le code (. . . , x−r ) sono nilpotenti per un indice r ≥ 0.
Per ogni intero r ≥ 0, definisco l’ideale
Ir := (X−r , X−r−1 , . . . ).
Pongo
Z[[X]] := lim Z[X]/Irs ;
←−
Zu [[X]] := lim Z[X]/Ir .
←−
r,s
r
Proposizione 3.1. Gli Z-funtori in insiemi CW e CWu sono rappresentabili
da Z[[X]] e Zu [[X]] rispettivamente. Più precisamente:
CW(R) = Homcont
Z (Z[[X]], R)
u
CWu (R) = Homcont
Z (Z [[X]], R).
Dimostrazione. [1, Chapitre I, §3].
Proposizione 3.2. Per ogni Z-algebra R, l’insieme CW(R) ha una struttura di gruppo abeliano che contiene CWu (R) come sottogruppo e che varia
funtorialmente in R. In particolare, CW e CWu sono Z-gruppi affini.
Dimostrazione. La somma in CW(R) si definisce nel modo seguente: dati
x = (. . . , x0 ) e y = (, . . . , y0 ) elementi di CW(R), si pone x + y := z =
(, . . . , z0 ) dove per ogni n,
zn := lim Sm (x−m−n , . . . , x−n ; y−m−n , . . . , y−n )
m
(si dimostra che la successione precedente converge). Per i dettagli, si veda
[1, Proposition 1.4].
14
3.3
Topologia naturale dei covettori di Witt
Sia a ⊆ R in ideale nilpotente di un anello R. Per ogni intero r ≥ 0 poniamo:
CW(R, a, r) := {a = (. . . , a0 ) ∈ CW(R) : a−r−n ∈ a, ∀n ∈ N}.
Si noti che CW(R) = lim CW(R, a, r), dove il limite diretto è calcolato su
−→
a,r
tutti gli ideali nilpotenti a e tutti gli interi non negativi r. Doto tutti i
CW(R, a, r) della topologia discreta e pongo su CW(R) la topologia del limite
induttivo. Chiamo questa topologia la topologia naturale di CW(R).
Proposizione 3.3. Per ogni anello R, lo spazio topologico CW(R) è separato
e completo e contiene CWu (R) come sottogruppo denso.
Dimostrazione. [1, Chapitre I, §1.6].
3.4
Gruppo formale dei covettori di Witt
Sia ora k un campo perfetto di caratteristica positiva p. Restringendo gli
Z-funtori in insiemi CW e CWu alla categoria delle k-algebre finite, ottengo
d k e CW
d u rispettivamente. Noto che
due k-gruppi formali che denoto con CW
k
d u = lim Ker(V n )
CW
k
−→
n
d u è la componente unipotente di CW
d secondo la Definizione 2.11.
dunque CW
d k è il gruppo formale dei covettori di Witt.
Il gruppo CW
d k (R) ha una
Proposizione 3.4. Per ogni k-algebra finita R l’insieme CW
struttura naturale di W(k)-modulo.
Dimostrazione. La struttura di W(k)-modulo si definisce nel modo seguente:
dati x = (. . . , x0 ) ∈ CW(R) e a = (a0 , a1 , . . . ) ∈ W(k), si pone ax := u =
(, . . . , u0 ) dove per ogni n,
−n−m
u−n := lim Pm (a0p
m
−m−n
, . . . , apm
; y−m−n , . . . , y−n )
(si dimostra che la successione precedente converge). Per i dettagli, si veda
[1, Proposition 1.4]
15
3.5
Relazione tra componente étale e unipotente nel
gruppo formale dei covettori
Sia k 0 /k un’estensione finita di campi. Posto A0 := W(k 0 ) e K 0 := Frac(A0 )
(campo delle frazioni di A0 ) abbiamo un isomorfismo continuo:
u
d (k 0 )
Θ : K 0 /A0 → CW
k
P
−i
definito nel modo seguente: se a = 0i=−m pi [ai ]p ∈ K 0 /A0 con m intero
positivo è un elemento di K 0 /A0 , si pone:
Θ(a) := (. . . , 0, a.m , . . . , a0 ).
d Fp (Fp ) ' Qp /Zp .
Notare in particolare che CW
Ricordo che ogni k-algebra finita R è isomorfa al prodotto della sua parte
étale e della sua parte connessa:
R ' Rét ⊕ rR
dove Rét è la massima sottoalgebra étale di R (dunque, un prodotto finito di
estensioni finite di k, essendo k perfetto). Segue:
d k (R) ' CW(R
d ét ) ⊕ CW(r
d R)
CW
d k (Rét ) ⊕ CW
d c (R).
' CW
k
(4)
(5)
Poiché Rét è ridotto, segue che
d ét ) = CW
d u (R).
CW(R
Q
D’altra parte, Rét = nj=1 kj , dove kj è un’estensione finita di k. Segue che
d u (Rét ) ' ⊕n Kj /Aj , dove si è posto Aj := W(kj ) e Kj := Frac(Aj ).
CW
k
j=1
Quindi:
d k (R) ' ⊕n Kj /Aj ⊕ CW
d c (R).
CW
(6)
j=1
k
Proposizione 3.5. Il gruppo formale dei covettori di Witt è un p-gruppo.
Dimostrazione. Segue dalla (6) ricordando che ogni gruppo connesso è un
p-gruppo.
16
3.6
Anello di Dieudonné
Sia come sopra k un corpo perfetto di caratteristica p.
Definition 3.6. Definisco l’anello di Dieudonné Dk come l’anello A[F, V ]
dove F e V sono indeterminate soggette alle seguenti relazioni: per ogni
a ∈ A:
F a = aσ F ; aV = V aσ ; V F = F V = p.
Poniamo per ogni k-algebra finita R e per ogni x = (. . . , x−1 , x0 ) ∈
d k (R):
CW
F x := (. . . , xp−1 , xp0 ); V x := (, . . . , x−2 , x−1 ).
d k (R) un Dk -modulo.
Questo rende CW
3.7
Struttura del gruppo formale dei covettori come
modulo sull’anello di Dieudonné
Definition 3.7. Un Dk -modulo profinito (rispettivamente, proartiniano) è
detto A[F ]-profinito (rispettivamente, A[F ]-proartiniano) se possiede un sistema fondamentale di intorni di 0 formato da sotto-A[F ]-moduli.
Proposizione 3.8. Sia R una k-algebra finita o profinita.
d ét (R) è un Dk -modulo A[F ]-proartiniano. Rispetto alla
1. Parte étale: CW
k
d ét (R) è
topologia naturale del gruppo formale dei covettori di Witt, CW
k
d k (R) e può essere descritto nel seguente modo:
chiuso in CW
d ét (R) = ∩n pn CW
d r (R) = ∩n F n CW
d k (R)
CW
k
d c (R) è un Dk -modulo A[F ]-profinito. Rispetto alla
2. Parte connessa: CW
k
d ét (R) è
topologia naturale del gruppo formale dei covettori di Witt, CW
k
d k (R) e può essere descritto nel seguente modo:
aperto in CW
d ét (R) = {a ∈ CW
d k (R) : lim F n a = 0}.
CW
k
n
d k (R) è un Dk -modulo A[F ]-proartiniano.
3. CW
Dimostrazione. [1, Chapitre II, Proposition 4.1].
17
4
Classificazione dei p-gruppi formali
Definisco un funtore M dalla categoria dei p-gruppi formali alla categoria dei
Dk -moduli A[F ]-profiniti ponendo, per ogni p-gruppo formale G = Spf k B,
d k)
M(G) := Homk−gr−for (G, CW
dove Homk−gr−for sono gli omomorfismi nella categoria dei k-gruppi formali.
Sui morfismi di p-gruppi formali il funtore M si definisce nel modo ovvio per
composizione. La verifica del fatto che M(G) sia un Dk -modulo A[F ]-profinito
si può trovare in [1, Chapitre III, §1]. Noto in particolare che
d k)
M(G) ⊆ Homk−fun (G, CW
dove Homk−fun indica l’insieme dei morfismi nella categoria dei funtori dalla
categoria dei k-anelli a quella degli insiemi. Dunque, applicando il Lemma
di Joneda, ottengo l’inclusione:
d k (B).
M(G) ⊆ CW
Definisco poi un funtore G dalla categoria dei Dk -moduli A[F ]-profiniti a
quella dei p-gruppi formali ponendo, per ogni Dk -modulo A[F ]-profinito M
e per ogni k-algebra finita R:
d
G(M )(R) := Homcont
Dk (M, CWk (R))
dove ho indicato con Homcont
Dk gli omomorfismi continui di Dk -moduli.
Theorem 4.1. I funtori M e G sono l’uno il quasi inverso dell’altro ed
inducono un’antiequivalenza tra la categoria dei p-gruppi formali e la categoria dei Dk -moduli A[F ]-profiniti. Inoltre, fissato un p-gruppo G e posto
M := M(G), valgono le seguenti relazioni:
1. G è un k-gruppo finito di ordine pr se e solo se M è un A-modulo di
lunghezza r.
2. G è liscio se e solo se F è iniettivo su M .
3. G è p-divisibile di altezza h se e solo se M è un A-modulo libero di
rango h.
4. G è étale se e solo se M è étale, cioé F M = M .
5. G è connesso se e solo se M è connesso, cioé limn F n a = 0 per ogni
a ∈ M.
18
6. G è unipotente se e solo se M è unipotente, cioé limn V n a = 0 per ogni
a ∈ M.
Dimostrazione. [1, §2,§3, §4]. I passi fondamentali sono i seguenti:
d k è un oggetto iniettivo nella categoria dei kPasso 1. Mostrare che CW
d k sia
gruppi formali (notare che il teorema precedente implica che CW
un oggetto iniettivo della categoria dei p-gruppi formali). Per quanto
d k , questo discende immediatamente dai
riguarda la parte étale di CW
seguenti due fatti:
1. Posto G := Gal(k/k), la categoria dei k-gruppi formali étale è
antiequivalente a quella dei G-moduli discreti. L’antiequivalenza
è realizzata tramite il funtore dei punti G Ã G(k).
2. Sia K un la massima estensione non ramificata di K, di cui indichiamo con Aun l’anello degli interi. Allora K un /Aun è un oggetto
iniettivo nella categoria dei G-moduli discreti.
Passo 2. Nel caso di un p-gruppo étale, si mostra che Ker(V ) ' tgD(G) (k).
La struttura di M(G) si deduce allora da questo isomorfismo.
Passo 3. Nel caso di un gruppo formale connesso, di mostra che
+
M(G)/F M(G) ' ctgD(G) (k) ' B + /B 2
(7)
tramite la seguente mappa: noto che
d k (B)/F CW
d k (B).
M(G)/F M(G) ⊆ CW
d k (B) → B + che manda un elemento (, . . . , x0 )
La mappa naturale CW
in x0 ∈ B + induce allora l’isomorfismo (7). La struttura di M(G) si
deduce allora da questo isomorfismo.
Riferimenti bibliografici
[1] Fontaine, Jean-Marc. Groupes p-divisibles sur les corps locaux. (French)
Astérisque, No. 47-48. Société Mathématique de France, Paris, 1977.
[2] Tate, J. T. p-divisible groups. 1967 Proc. Conf. Local Fields
(Driebergen, 1966) pp. 158–183
19