INSEGNAMENTO: ANALISI MATEMATICA 2
DOCENTE: LYOUBOMIRA SOFTOVA-PALAGACHEVA, PhD
e-mail [email protected]
Lingua di
italiano
insegnamento
n. CFU: 6
A.A.: 2013/2014
sede: MATERA
Semestre: primo
CONTENUTI
Calcolo infinitesimale per le curve. Funzioni reali di più variabili. Integrali multipli. Campi vettoriali e forme
differenziali lineari.
METODI DIDATTICI
Lezioni frontali ed esercitazioni alla lavagna
TESTI DI RIFERIMENTO
1. M. BRAMANTI, C. D. PAGANI, S. SALSA, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009, Bologna.
2. M. AMAR, A.M. BERSANI, Esercizi di Analisi Matematica, Progetto Leonardo, Bologna, 2004.
3. P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica 2, Liguori editore, Napoli, 2002.
4. P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Esercitazioni di matematica, Liguori editore, Napoli.
OBIETTIVI FORMATIVI
Il corso ha l'obiettivo di fornire gli strumenti fondamentali di Analisi Matematica per sostenere gli studi
successivi con approccio scientifico, rigore matematico e lo spirito critico.
PREREQUISITI
Funzioni reali di una variabile, integrale di Riemann.
MODALITA’ DI VERIFICA DELL’APPRENDIMENTO
Esame scritto e orale.
PROGRAMMA ESTESO
Calcolo infinitesimale per le curve. Funzioni a valori vettoriali, limiti e continuità. Curve continue e regolari
nel piano e nello spazio. Equazioni parametriche. Lunghezza di un arco di curva, ascissa curvilinea.
Integrali curvilinei di prima specie, proprietà e calcolo. Teorema di invarianza dell’integrale curvilineo
dalla parametrizzazione.
Elementi di topologia nel piano (R2) e nello spazio (R3). Notazioni scalari e vettoriali, distanza tra due
punti, norma di un vettore. Intorno di un punto. Punti interni, esterni e di frontiera per un insieme. Insiemi
aperti, chiusi, limitati, connessi. Insiemi compatti.
Funzioni reali di più variabili. Grafico, linee di livello, esempi. Funzioni limitate. Coordinate polari. Limite e
continuità. I teoremi sui limiti e continuità. Criteri per l'esistenza e non esistenza del limite. Teorema di
Weierstrass, teorema degli zeri.
Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili. Derivate parziali. Funzioni derivabili e
differenziabili. Piano tangente. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Derivate direzionali, gradiente.
Formula del gradiente. Derivazione di funzioni composte. Derivate di ordine superiore. Teorema di
Schwarz. Formula di Taylor al secondo ordine, resto secondo Lagrange, resto secondo Peano.
Matrice Hessiana. Estremi relativi. Punti stazionari. Teorema di Fermat. Studio del carattere dei punti critici
mediante la matrice Hessiana. Estremi vincolati. Il caso dei vincoli esplicitabili. Moltiplicatori di Lagrange.
Ricerca degli estremi assoluti di una funzione continua su un compatto. Funzione implicita di una variabile.
Teorema di Dini.
Integrali multipli. Definizione di integrale doppio per una funzione continua di due variabili su un
rettangolo. Il significato geometrico. Teorema di riduzione per un rettangolo. Insiemi semplici e regolari.
Formule di riduzione dell'integrale doppio su insiemi semplici. Proprietà. Teorema della media.
Applicazioni al calcolo delle aree e di volumi. Cambiamento delle variabili negli integrali doppi. Matrice
Jacobiana. Cambiamento polare delle variabili. Derivazione sotto il segno di integrale.
Campi vettoriali e forme differenziali lineari. Definizioni. Integrale di una forma differenziale lineare
(lavoro di un campo vettoriale) – definizione e proprietà. . Campi vettoriali irrotazionali e conservativi.
Potenziale. Teoremi relativi ai campi conservativi. Forme differenziali esatte. Primitiva. Forme chiuse.
Relazioni tra l’esattezza e la chiusura di una forma differenziale Formula di Gauss-Green. Applicazione al
calcolo dell’area di un dominio.
ALTRE INFORMAZIONI
COURSE: MATHEMATICAL ANALYSIS 1
TEACHER: LYOUBOMIRA SOFTOVA-PALAGACHEVA, PhD
e-mail [email protected]
LANGUAGE
italian
ECTS: 6
ACADEMIC YEAR: 2013/2014
Campus: Matera
Semester: first
TOPICS
Calculus for curves. Real functions of several variables. Multiple integrals. Vector fields and differential
forms.
TEACHING METHODS
Lectures and exercises to the blackboard
TEXTBOOKS
1. M. BRAMANTI, C. D. PAGANI, S. SALSA, Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2009, Bologna.
2. M. AMAR, A.M. BERSANI, Esercizi di Analisi Matematica, Progetto Leonardo, Bologna, 2004.
3. P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica Uno e Due,
Napoli, 2002.
Liguori editore,
4. P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Esercitazioni di matematica, Liguori editore, Napoli.
LEARNING OUTCOMES
The course has the objective of furnishing the fundamental instruments of Mathematical Analysis for
supporting the successive studies with scientific approach, mathematical rigour and critical spirit.
REQUIREMENTS
Real functions of one variable, the Riemann integral
EVALUATION METHODS
Script and oral examination.
DETAILED CONTENT
Calculus for curves, regular and continuous curves in the plane and in the space. Parametric equations, arc
length. Curvilinear integrals, properties and calculation.
Functions of several variables, graph, level lines, examples. Limited functions. Polar coordinates. Limits
and continuity. The theorems on continuity. Criteria for the existence and non-existence of the limit.
Weierstrass theorem.
Differential calculus for functions of several variables. Partial derivatives, differentiable functions. Tangent
plane. Sufficient condition for differentiability. Directional derivatives, gradient. Formula for the gradient.
Derivation of composite functions. Higher order derivatives. Schwarz theorem. Hessian matrix. Stationary
points, the Fermat theorem. Study of the nature of the critical points through the Hessian matrix. Ends
constrained. Lagrange multipliers. Study of the absolute extremes of a continuous function on a compact.
Implicit function of one variable. The Dini theorem.
Multiple integrals. Definition of double integral to a continuous function of two variables on a rectangle. The
geometric meaning. Reduction theorem for a rectangle. Simple sets and regular sets. Reduction formulas of
the double integral on simple sets. Properties. The mean value theorem. Applications to the calculation of
areas and volumes. Change of variables in double integrals. Jacobian matrix. Polar change of variables.
Vector fields and differential forms. Definitions. Integral of a linear differential form (the work of a vector
field) - definition and properties. Irotational and conservative vector fields. Potential. Theorems relating to
conservative fields. Formula of Gauss-Green. Application to calculate the area of a domain.
FURTHER INFORMATION
