ESERCIZI PER CASA – QUARTA SETTIMANA Universit`a degli

ESERCIZI PER CASA – QUARTA SETTIMANA
Università degli Studi di Trento – Corso di Laurea in Matematica
Corso di Teoria dei Numeri e Crittografia – A.A. 2010/11
16 marzo 2011
Un’applicazione del Piccolo Teorema di Fermat. Dimostrate che n2 − n è multiplo
di 2 per ogni intero n; che n3 − n è multiplo di 6; che n5 − n è multiplo di 30.
Ora mostrate anche che i numeri 2, 6 e 30 in questi enunciati sono i migliori possibili,
cioè non si possono rimpiazzare con dei loro multipli propri.1
Servono ancora le divisioni per tentativi? Piú dell’87% dei numeri naturali ha
(almeno) un fattore minore di 100. Piú del 91% dei numeri naturali ha un fattore minore
di 1000. Piú del 93% dei numeri naturali ha un fattore minore di 10000.
Date un significato preciso a queste affermazioni, e spiegate come si possa utilizzare
un calcolatore per dimostrarle.
Suggerimento: Esattamente la frazione 27/35 dei numeri naturali ha un fattore minore di
10.
Dica trentatre. Stimate quanti sono i primi che hanno al massimo venti cifre decimali
e che finiscono con 33 (cioè che hanno 3 come cifra delle unità e delle decine).
Probabilità di essere primo con m. Dimostrate che
ϕ(m)
{n ≤ x | (n, m) = 1}
=
.
x→∞
x
m
lim
Esprimiamo questo risultato dicendo che la probabilità che un numero naturale m sia
primo con n è ϕ(m)/m.
100 −1
Potenza modulo m. Calcolate le ultime tre cifre decimali di 72
modulo 1000.
1Nota:
, cioè il suo resto
Un modo alternativo (ma qui io ve ne chiedo uno molto piú semplice!) per giungere alla
conclusione è usare le identità
n
n
n
n
n
n
n
2
3
5
n −n=2
, n −n=6
+6
, n − n = 30
+ 150
+ 240
+ 120
.
2
2
3
2
3
4
5
Pk
Pk
che sono casi particolari della formula generale nk = h=0 αh nh , dove αh = j=1 (−1)h+j nj j k per
h = 0, . . . , k.
Altra nota: Secondo l’esercizio, il polinomio a coefficienti razionali (n5 − n)/30, ad esempio, pur non
essendo a coefficienti interi, ma solo razionali, assume solo valori interi assegnando valori interi ad n.
Secondo la nota precedente
poi tale polinomio si scrive come combinazione lineare a coefficienti interi di
polinomi binomiali nk . Questo è un caso particolare di un fatto generale. Infatti, si può mostrare che i
polinomi in n di grado al piú d che assumono valori interiper ogni valore intero
di n sono esattamente
le combinazioni lineari a coefficienti interi dei polinomi n0 = 1, n1 = n, n2 = n(n − 1)/2, . . . , nd =
n(n − 1) · · · (n − d + 1)/d!.
1
2
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Fattorizzazione di numeri particolari. Scomponete in fattori primi i numeri 315 − 1,
105 − 1 e 106 − 1.
Ora scrivete una frazione con denominatore primo la cui espansione decimale sia
periodica di periodo minimo 5.
Suggerimento: Per la prima parte, oltre a basarsi sul lemma fatto a lezione sui numeri della
forma an − 1 conviene usare anche altri metodi, ad esempio 315 − 1 è sia differenza di due cubi
che differenza di due quinte potenze. Questo dà già due fattorizzazioni diverse, poi mediante
l’algoritmo di Euclide si possono calcolare dei massimi comun divisori di fattori già trovati, ecc.
Numeri di Mersenne non primi. Trovate il piú piccolo fattore primo di 211 −1, 223 −1,
229 − 1, 237 − 1. Potete tranquillamente fare i conti a mano, ma se volete aiutatevi con
una calcolatrice portatile (non è necessario un computer!).
Una variante di un lemma fatto a lezione. Dimostrate il risultato seguente:
Siano a ed n interi maggiori di 1. Se un primo p divide an + 1, allora o
p | ad + 1 per un divisore proprio d di n tale che n/d sia dispari, oppure
p ≡ 1 (mod 2n).
Come applicazione, trovate la fattorizzazione completa di 224 + 1 = 16777217. (Oltre
al risultato visto sopra conviene usare anche altri trucchi, come il fatto che il numero è
somma di due cubi.)
Nota: Il risultato visto può servire anche per trovare la fattorizzazione F5 = 232 + 1 =
(29 + 27 + 1) · (223 − 221 + 219 − 217 + 214 − 29 − 27 + 1) = 641 · 6700417 del falso primo di Fermat
F5 scoperta da Eulero. Infatti basta provare a dividere F5 per i primi congrui a 1 modulo 64,
cioè 193, 257, 449, 577, 641, 769, . . . (mentre 65, 129, 321, 385, 513, 705, . . . non sono primi). In
realtà in casi come questo esistono ulteriori scorciatoie, ad esempio si può mostrare (usando
k
la teoria dei resti quadratici) che se un primo p divide Fk = 22 + 1 con k > 1, allora p ≡ 1
mod 2k+2 . In particolare, ogni divisore primo di F5 è in effetti congruo a 1 modulo 128, anziché
solo modulo 64 come abbiamo dimostrato sopra, e questo ci risparmierebbe vari calcoli.
La potenza massima di p che divide n!. Dati un primo p ed un intero n, il massimo
esponente con cui p divide n si indica con vp (n). (quindi pvp (n) | n ma pvp (n)+1 - n; si pone
anche vp (0) = ∞).
(1) Mostrate (con un argomento diretto o per induzione su n) che il massimo esponente con cui un primo p divide n! è
vp (n!) = bn/pc + bn/p2 c + bn/p3 c + · · · .
(Notate che questa è in realtà una somma finita, perché la parte intera di n/pk è
zero se k è abbastanza grande).
(2) Un’altra formula per tale esponente è
vp (n!) = (n − Sp (n))/(p − 1),
dove Sp (n) indica la somma delle cifre di n espresso nella base p (cioè Sp (n) =
Pk−1
Pk−1
j
j=0 dj , se n =
j=0 dj p , con 0 ≤ dj < p). Deducete questa formula da quella
che avete dimostrato in precedenza.
(3) Scrivete la scomposizione in fattori primi di 20!.
Suggerimento: (1) Conviene procedere per induzione su n. (2) Uno dei modi di procedere
è notare che d0 è il resto della divisione di n per p, quindi d0 = n − bn/pcp, poi d1 = bn/pc −
bn/p2 cp, ecc.