DOMANDE SUL CALCOLO DELLE PROBABILITA` IN

DOMANDE SUL CALCOLO DELLE PROBABILITA' IN PREPARAZIONE ALL'ESAME DI
STATO 2015
Cosa si intende per Calcolo Combinatorio?
Il Calcolo Combinatorio è lo studio dei raggruppamenti che si possono formare scegliendo k
elementi da un insieme di n elementi.
Con quali criteri si possono costruire gruppi formati da k elementi scegliendo gli elementi da un
insieme di n elementi?
Posso essere costruiti:
• tenendo conto oppure no dell'ordine con cui elementi sono scelti (primo, secondo, terzo
etc) (pensare all'estrazione in blocco o in sequenza di k palline da un'urna)
• permettendo oppure no che un elemento possa essere ripetuto all'interno del gruppo
(pensare all'estrazione da un'urna con o senza reinserimento)
Cosa si intende per combinazioni di n elementi di classe k?
Si intende i gruppi che si possono formare scegliento k elementi da un insieme di n elementi,
con questi criteri:
a) non tenendo conto dell'ordine con cui sono scelti
b) non permettendo che un elemento si possa ripetere all'interno del gruppo
Si indicano con il simbolo Cn , k . E' evidente che k ≤n
Come si calcola Cn , k ?
n!
Cn , k =( n )=
k k !⋅(n−k )!
Fai un esempio di combinazioni
Da un classe di 25 studenti si voglio scegliere 2 rappresentanti di classe. E' chiaro che non
sono interessato all'ordine con cui gli elementi vengono scelti perché ogni rappresentante ha
gli stessi diritti e obblighi e gli studenti scelti devono essere diversi.
25!
25⋅24
=
=300
Pertanto le combinazioni sono C25,2 =( 25 )=
2 !⋅23 !
2
2
Fai un esempio più complicato
Da una classe di 25 studenti di cui 13 maschi e 12 femmine si vogliono scegliere 1 maschio e 1
femmina da mandare alla Consulta Provinciale.
Il maschio deve essere uno dei 13 e la femmina una delle 12.
Pertanto i gruppi che si possono formare sono C13,1⋅C 12,1=13⋅12=156
Cosa si intende per Disposizioni semplici di n elementi di classe k?
Si intende i gruppi che si possono formare scegliendo k elementi da un insieme di n elementi
con questi criteri:
a) tenendo conto dell'ordine in cui sono scelti
b) non permettendo che un elemento si possa ripetere all'interno del gruppo
Si indicano con D n ,k
Come si calcola Dn ,k
n!
D n ,k =
=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅…...⋅(n−k +1)
(n−k) !
Fai un esempio di Disposizioni
Una lotteria ha un primo, secondo e terzo premio. Quante terne di vincitori possono si possono
formare se 100 persone hanno acquistato un solo biglietto?
Devo formare gruppi di 3 persone. Sono evidendemente interessato all'ordine e la stessa
persona non può avere più di un premio (il biglietto è unico).
100 !
=100⋅99⋅98=970200
Pertanto D 100,3=
97 !
Cosa si intende per Disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k?
Si intende i gruppi che si possono formare scegliendo k elementi da un insieme di n elementi,
tenendo contro dell'ordine con cui sono scelti e permettendo che un elemento si possa ripetere.
Si indica con Drn ,k .
A differenza delle combinazioni, k può essere maggiore di n perché gli elementi si possono ripetere.
Come si calcola D rn ,k
Drn ,k =nk =n⋅n⋅n … .⋅n
(k volte)
Fai un esempio di Disposizioni con ripetizone
Una lotteria ha un primo, secondo e terzo premio. Quante terne di vincitori possono si possono
formare se 100 persone hanno acquistato almeno 3 biglietti?
Devo formare gruppi di 3 persone. Sono evidendemente interessato all'ordine e la stessa
persona non può avere più di un premio (ha in tasca almeno tre biglietti).
Pertanto D r100,3=1003=100⋅100⋅100=1.000.000
Cosa si intende per Permutazioni semplici di n elementi?
Si intende i gruppi che si possono formare scegliendo tutti gli n elementi, tenendo conto
dell'ordine in cui sono scelti ma senza che un elemento si possa ripetere. In definitiva sono le
disposizioni in cui k=n, D n ,n . Si indica con Pn
Come si calcolano le permutazioni semplici?
n!
n! n!
Pn=n ! Difatti Pn=Dn , n=
= = =n !
(n−n)! 0 ! 1
Fai un esempio di Permutazioni semplici
Quanti sono gli anagrammi della parola VENTO?
P5=5 !=120
Fai un esempio di Permutazioni non semplici (dette anche con ripetizioni)
Quanti sono gli anagrammi della parola SASSAIOLA?
Le permutazioni semplici sono P_{9}=9!
Tuttavia la consonante S si ripete 3 volte e la vocale A 2 volte. Quando scambio tra loro le 3 S
o le due A ottengo la stessa parola. Devo pertanto eliminare i gruppi ottenuti scambiando tra
9!
=9⋅4⋅7=252
loro le 3 S e le due A. In definitiva il numero di anagrammi è
3 !⋅2!
In pratica se una parola di n caratteri contiene dei caratteri che si ripetono k_{1},k_{2}, k_{3}
volte,
n!
il numeri di anagrammi è
k 1⋅k 2⋅k 3
A cosa serve il calcolo combinatorio?
E' utile nel calcolo delle probabilità. Principalmente nell'utilizzo della definizione classica di
probabilità di un evento
Cosa si intende per calcolo delle probabilità
Il calcolo delle probabilità è una disciplina matematica, sorta verso la metà del '700, le cui
fondamenta assiomatiche (cioè definizioni, assiomi e teoremi) sono state poste attorno al 1930.
Quindi una disciplina molto recente rispetto ad altre discipline matematiche come la
geometria euclidea o l'algebra
Di cosa tratta il calcolo delle probabilità?
Il calcolo delle probabilità è la matematica dell'incerto. Ogniqualvolta ci troviamo di fronte a
situazioni di natura qualsiasi (fisica, ingegneristica, medica, economica, etc) che comportano
affermazioni che non sono certe, per prendere decisioni razionali dobbiamo applicare il
calcolo delle probabilità
Cosa si intende per prova casuale?
Una esperimento di qualsiasi natura che, se ripetuto più volte, può dar luogo a differenti
risultati.
Cosa si intende per spazio campionario?
L'insieme dei possibili risultati di una prova casuale. Si indica con S.
Per esempio, nel lancio di un dado lo spazio campionario S={1,2,3,4,5,6}
Cos'è un evento
Un sottoinsieme dello spazio campionario
Cosa si intende per evento impossibile?
Un evento che non può verificarsi. Che non appartiene allo spazio campionario. E'
rappresentato dal sottoinsieme vuoto ∅
Cosa si intende per evento certo?
Un evento che non può non verificarsi. Corrisponde all'evento che coincide con lo spazio
campionario E=S. Difatti uno dei risultati dello spazio campionario deve verificarsi.
Cosa si intende per eventi incompatibili?
Due eventi A e B sono incompatibili se il verificarsi di A esclude che si sia verificato B e
viceversa
Quali operazioni si possono fare sugli eventi?
• Negazione di un evento E che si indica con Ē
• Somma logica di due eventi E1 , E 2 che si indica con E1∨E2
• Prodotto logico di due eventi E1 , E 2 che si indica con E1∧E2
Cosa si intende per probabilità di un evento E?
Un numero p(E) associato all'evento E tale che 0≤ p (E)≤1
Come si assegna la probabilità ad un evento?
La probabilità può essere assegnata utilizzando tre definizioni di probabilità:
• soggettiva
• classica,
• statistica
Cosa dice la definizione soggettiva di probabilità?
La probabilità di un evento E è la somma che si è disposti a scommettere per ricevere una
somma unitaria (1 €) nel caso che E si verifichi. Tale somma misura il grado di fiducia
(soggettivo) che una persona ha nel verificarsi dell'evento
Cosa dice le definizione classica?
La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero di risultati dello spazio campionario
che verificano l'evento ed il numero totale dei risultati possibili
Che cos'è la frequenza relativa di un evento E
In una serie di prove casuali, il rapporto tra il numero di volte in cui si verifica E ed il numero
totale di prove
Cosa dice la definizione statistica?
La probabilità di un evento E, p(E), è, in una sequenza molto grande di prove casuali, la
frequenza relativa dell'evento E
Su cosa si basa la definizione statistica?
Sulla cosidetta legge empirica del caso (il testo la chiama legge dei grandi numeri) che dice:
al crescere del numero di volte in cui viene eseguita una prova casuale, la frequenza relativa di
un evento E si stabilizza attorno ad un numero che possiamo assumere come probabilità
dell'evento E
Qual è la probabilità dell'evento certo?
1
Qual è la probabilità dell'evento impossibile?
0
Se un evento ha probabilità 0 è impossibile?
No. Pensiamo ad uno spazio campionario continuo, definito, per esempio, su un intervallo
della retta reale . La probabilità che assuma un ben preciso valore dell'intervallo vale 0, ma
non è impossibile che si abbia quel valore in una prova casuale
Se E è un evento con probabilità p(E) quanto vale
p( Ē)=1− p( E)
p( Ē) ?
Se due eventi sono incompatibili qual è la probabilità che si verifichino entrambi?
p( E1∧E 2)=0
Cosa afferma il principio delle probabilità totali?
Il principio delle probabilità totali afferma che p(E1∨E 2)= p(E 1)+ p(E2 ) – p( E1∧E 2)
Se gli eventi sono incompatibili allora p(E1∧E 2)=0 e si ottiene la formula
p( E1∨E 2)= p(E 1)+ p(E 2)
Cosa si intende con la scrittura p(A/B)?
Si intende una probabilità condizionata: la probabilità dell'evento A quando B è vero, cioè la
probabilità dell'evento A noto che si è verificato l'evento B.
Come si calcola la probabilita condizionata p(A/B)?
In due modi:
p( A∧B)
• con la formula p( A/ B)=
, utilizzando quindi lo spazio campionario
p(B)
originario S
• costruendo una restrizione S* dello spazio campionario S e calcolando la probabilità di
A su S*
Potresti farmi un esempio?
Consideriamo il lancio di un dado. Consideriamo l'evento A: “esce il numero 6” e supponiamo
sia noto che il risultato del lancio è B: ”un numero pari”.
Allora:
• se lavoro nello spazio campionario originario S={1,2,3,4,5,6}, la probabilità è
1
p( A∧B) 6 1
p( A/ B)=
= =
p(B)
3 3
6
1
• se lavoro nello spazio ristretto S*={2,4,6} la probabilità è immediata: p( A/ B)=
3
Cosa significa che due eventi sono indipendenti?
Due eventi A e B sono indipendenti se il verificarsi di uno non modifica la probabilità del
verificarsi dell'altro. In formule
p(A/B)=p(A) (si dice che A è indipendente da B) oppure p(B/A)=p(B) (si dice che B è
indipendente da A).
Ricordo che basta verificarne una uguaglianza. L'indipendenza è una proprietà simmetrica:
se A e indipendente da B allora B è indipendente da A
Cosa significa che A è correlato positivamente a B?
Significa che p( A/ B)> p ( A ) cioè noto che B si è verificato aumenta la probabilità che anche
A si sia verificato
Cosa significa che A è correlato negativamente a B?
Significa che p( A/ B)< p (B) cioè noto che B si è verificato diminuisce la probabilità che
anche B si sia verificato
Cosa dice il principio delle probabilità composte?
p( E1∧E 2)=P( E 1)⋅P(E 2 /E 1)=P(E 2)⋅P(E 1 /E 2)
Se gli eventi E1 , E 2 sono indipendenti p( E1∧E 2)= p( E 1)⋅p( E 2)
Ho un gruppo di elementi (palline, persone, carte.....). Scelgo k elementi dal gruppo. In quanti modi
posso fare la scelta?
• In blocco cioè simultaneamente
• In sequenza:
• reinserendo l'elemento scelto nel gruppo
• non reinserendo l'elemento del gruppo
Un'urna contiene 10 palline bianche e 8 nere. Calcolare la probabilità di avere 1 bianca e una nera
nel caso di estrazione in blocco, in sequenza senza reimmissione, in sequenza con reimmissione
In blocco: in questo tipo di estrazione non ha senso parlare ordine, in quanto non vi è un
primo elemento ed un secondo elemento
( 10 )⋅( 8 )
1 1
80
p(1 bianca∧1nera)=
=
153
( 18 )
2
Senza reimmissione: in questo tipo di estrazione teniamo conto dell'ordine in cui vengono
estratte le due palline
p(1 bianca∧1 nera)= p(( prima bianca∧seconda nera )∨( prima nera∧seconda bianca))=
= p( prima bianca)⋅p(seconda nera / prima bianca)+ p ( prima nera)⋅p( seconda bianca/ prima name)=
10 8 8 10 40 40 80
= ⋅ + ⋅ =
+
=
18 17 18 17 153 153 153
Con reimmissione: anche qui occorre teniamo conto dell'ordine con cui vengono estratte le
due palline
p(1 bianca∧1 nera)= p (( prima bianca∧seconda nera)∨( prima nera∧seconda bianca))=
= p( prima bianca)⋅p (seconda nera / prima bianca)+ p ( prima nera)⋅p(seconda bianca/ prima name)=
10 8 8 10 20 20 40
= ⋅ + ⋅ = + =
18 18 18 18 81 81 81
80
. E' un caso?
153
No. Si può dimostrare che, dal punto di vista probabilistico, i due tipi di estrazione si
equivalgono
Nell'estrazione in blocco ed in sequenza abbiamo ottenuto lo stesso valore
Possiamo fare un altro esempio in cui si fa vedere l'equivalenza tra i due tipi di estrazioni?
Un'urna ha 76 palline bianche e 4 rosse. Si estraggono 4 palline. Qual è la probabilità di estrarre
una pallina rossa e tre bianche?
In blocco:
( 4 )⋅( 76 )
1 3
281200
70300 14060
p(1 r∧3 b)=
=
=
=
1581580 395395 79079
( 80 )
4
Senza reimmissione:
p(1 r∧3 b)= p( prima rossa∧seconda bianca∧terza bianca∧quarta bianca)+
+ p ( prima bianca∧seconda rossa∧terza bianca∧quarta bianca)+
+ p ( prima bianca∧seconda bianca∧terza rossa∧quarta bianca)+
+ p( prima bianca∧secondabianca∧terza bianca∧quarta rossa)=
4 76 75 74 76 4 75 74 76 75 4 74 76 75 74 4
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
80 79 78 77 80 79 78 77 80 79 78 77 80 79 78 77
1687200 1687200 1687200 1687200
1687200
=
+
+
+
=4⋅
=
37957920 37957920 37957920 37957920
37957920
6748800
14060
=
=semplificare per 480=
37957920
79079
Enuncia il teorema di Thomas Bayes (si pronuncia Beis)
Se un evento E può essere generato da più cause H 1 , H 2 ,.... , H n tra loro incompatibili ed
esaustive (cioè una causa genera sicuramente E), allora, se si verifica E, la probabilità che sia
stato generato dalla causa H i è data da
p( H i )⋅P( E /H i )
p( H i )⋅P( E/ H 1 )
p( H i /E )=
=
p(E)
p( H 1 )⋅P( E/ H 1 )+ p( H 2 )⋅P( E /H 2 )+.......+ p( H n )⋅P( E/ H n )
Il carattere H deriva dal fatto che spesso invece che Causa si utilizza il termine Ipotesi che in
inglese si scrive Hypothesis
Come viene anche chiamato il teorema di Bayes?
Viene chiamato teorema della probabilità delle cause. Si conosce il risultato della prova
casuale e ci si chiede qual è la probabilità che sia stato causato da una causa ben precisa
Dove viene utilizzato il teorema di Bayes?
Viene utilizzato molto in medicina. Se una persona ha un certo sintomo qual è la probabilità
che sia dovuto ad una malattia?
Esempio di applicazione del teorema di Bayes
In una clinica universitaria si vuole mettere a punto un test per la diagnosi dell'artrite
reumatoide. Il test dimostra di avere una specificità del 95%, cioè la probabilità dare risultato
positivo quando il paziente ha l'artrite è 0.95 mente la probabilità di dare risultato positivo
quando il paziente ha non l'artrite è 0.05 (In altre parole il test può sbagliare!). Il test viene
applicato su un campione di pazienti di cui la metà ha l'artrite.
Si fa il test ad un paziente scelto a caso ed il test risulta positivo. Qual è la probabilità che il
paziente abbia davvero l'artrite?
Osserviamo che qui conosciamo il risultato del test (Positivo) e vogliamo sapere qual è la
probabilità che la positività sia causata dal fatto che ha l'Artrite.
Siano gli eventi:
• A: “il paziente ha l'artrite”
Ā : “il paziente non ha l'artrite”
•
• P: “il paziente risulta positivo al test”
• P/A: “evento condizionato: il paziente risulta positivo quando ha l'artrite”
P/ Ā : “evento condizionato: il paziente risulta positivo quando non ha l'artrite”
•
Allora la probabilità che il paziente abbia l'artrite se è risultato positivo al test è
p( A/ P)=
p ( A )⋅p ( P/ A )
0.5⋅0.95
0,475
0.475 475
=
=
=
=
=0.95
p ( A )⋅p ( P/ A )+ p( Ā)⋅p (P / Ā) 0.5⋅0.95+ 0.5⋅0.05 0.475+0.025
0.5
500