Flusso del campo elettrico
Si definisce flusso del campo elettrico attraverso una superficie piana il prodotto scalare del
vettore campo elettrico E (costante) per il vettore superficie. In formule S E E S
Il vettore superficie S è un vettore che ha per direzione quella perpendicolare alla superficie, verso
qualunque e intensità pari alla superficie S. (Se la superficie è chiusa il verso è quello uscente dalla
superficie)
Se la superficie è curva si suddivide tale superficie in piccole porzioni in modo che ogni porzione
si possa considerare piana e costante il valore di E su ciascuna di tali porzioni; si calcola il flusso
attraverso ciascuna di tali superfici e si sommano tutti i valori trovati ottenendo il flusso di E
attraverso la superficie curva.
Il teorema di Gauss per il campo elettrico dice che il flusso di E attraverso una superficie chiusa
è uguale alla somma delle cariche contenute all’interno della superficie chiusa diviso per 0.
q .
In formule: E
0
Il significato fisico del teorema di Gauss per il campo elettrico è che è possibile separare le cariche
elettriche dei due diversi segni.
Circuitazione del campo elettrico
Si definisce circuitazione del vettore campo elettrico lungo una linea chiusa l’espressione
n
Cl E Ei li ossia:
i 1
Si divide la linea chiusa in piccole parti in modo che ogni parte possa essere considerato un
segmento e costante il valore di E su ciascuna di tali segmenti. Si calcolano i prodotti scalari
Ei li e si sommano tutti i prodotti ottenuti. Se tale somma è uguale a 0 il campo si dice
conservativo.
La circuitazione di E lungo una linea chiusa rappresenta il lavoro compiuto dalle forze del campo
elettrico lungo tale linea, sulla carica unitaria.
Campo elettrico conservativo
Il campo elettrico E è conservativo perchè il lavoro compiuto dalle forze del campo per spostare una
carica da un punto A ad un punto B non dipende dal percorso effettuato, ma solo dalla posizione
iniziale e da quella finale.
Il campo elettrico E è conservativo perchè il lavoro compiuto dalle forze del campo per spostare una
carica da un punto A ad un punto B e riportarla in A è nullo.
Il campo elettrico E è conservativo perchè la circuitazione di E lungo una linea chiusa è nullo.
Energia potenziale elettrostatica
Si definisce differenza di energia potenziale elettrica tra due punti B e A il lavoro, cambiato di
segno, compiuto dalle forze conservative del campo per portare una carica q dal punto A al punto B.
In formule
U B U A WAB
WAB U
oppure
Se si sceglie il punto A come livello di riferimento per l’energia, si definisce energia potenziale
elettrostatica in un punto P la differenza di potenziale tra i punti P ed A.
Campo elettrico uniforme: U qEd (q è la carica che si sposta, E il campo elettrico e
d è lo spostamento della carica q nella direzione di E)
1 Qq
Campo elettrico centrale: U
(il livello di riferimento è a distanza infinita
4 0 r
dalla carica Q che genera il campo elettrico)
Potenziale elettrostatico
Il potenziale elettrostatico è una caratteristica di ogni punto del campo elettrico ed è uguale alla
energia potenziale di una carica posta in quel punto diviso per la carica stessa:
U
U
U
L
V
risulta quindi VA VB A B
cioè L q(VA VB )
q
q
q
q
Superfici equipotenziali: superfici i cui punti hanno tutti lo stesso potenziale
Le linee del campo elettrico sono sempre perpendicolari alle superfici equipotenziali e
sono orientate verso superfici a potenziali minori.
Le cariche elettriche positive si muovono da punti a potenziale maggiore verso punti a
potenziale minore.
Le cariche elettriche negative si muovono da punti a potenziale minore verso punti a
potenziale maggiore.
Le cariche elettriche si dispongono sempre sulla superficie esterna di un conduttore.
Le cariche elettriche si ‘addensano’ in prossimità delle punte (la densità superficiale è maggiore)
Il campo elettrico all’interno di un conduttore (in equilibrio elettrostatico) è nullo
Sulla superficie esterna (in prossimità della superficie) di un conduttore il campo elettrico è E
è la densità superficiale di carica
Q
S
0
Q S
Corrente elettrica
Si definisce corrente elettrica attraverso un conduttore il rapporto tra la carica che attraversa una
sezione del conduttore e l’intervallo di tempo impiegato ad attraversarla.
q
In formule: i
t
Leggi di Kirchhoff
1) (legge dei nodi) La somma algebrica delle intensità di corrente entranti in un nodo è nulla.
2) (legge delle maglie) La somma algebrica delle differenze di potenziale che si trovano
percorrendo una maglia è sempre uguale a 0.
Leggi di Ohm
1) Il rapporto tra la tensione applicata agli estremi di un conduttore e la corrente che fluisce nel
V
conduttore è costante. Tale costante prende il nome di resistenza. In formula R
i
2) La resistenza di un conduttore è direttamente proporzionale alla sua lunghezza e
inversamente proporzionale alla sua sezione. La costante di proporzionalità si chiama
l
resistività. In formula R .
A
Forza elettromotrice
In un generatore di tensione (per mantenere costante la d.d.p. ai capi del generatore) è necessario
portare cariche positive dal polo negativo a quello positivo, compiendo lavoro. Si definisce forza
elettromotrice f di un generatore il rapporto tra il lavoro compiuto [energia erogata dal generatore]
(per portare cariche positive dal polo negativo a quello positivo) e la carica trasportata. In formula
W
f
q
W qV
Per un generatore ideale f
V
q
q
Effetto Joule
Riguarda il fatto che l’energia erogata dal generatore, in assenza di utilizzatori particolari, si
trasforma in calore. In formula W qV it iR i 2 Rt .
W
i2 R
La potenza del generatore P
t
Definizione di B
Il vettore induzione magnetica B è un vettore che ha:
come direzione quella verso cui si orienta un ago magnetico posto nel campo magnetico
come verso quello che attraversa l’ago magnetico dal suo polo sud verso il suo polo nord
F
come intensità il valore B
dove:
qv
F è la forza che si esercita sulla carica q, v è la velocità con cui si muove la carica che deve
essere orientata perpendicolarmente alla direzione di B.
Esperienza di Oersted
Un filo rettilineo percorso da corrente genera un campo magnetico, infatti se si pone un ago
magnetico nelle vicinanze del filo percorso da corrente, l’ago magnetico tende ad orientarsi verso
una direzione perpendicolare al filo. Attorno al filo l’ago magnetico si dispone su un piano
perpendicolare al filo, con direzione tangente a delle circonferenze concentriche con il filo stesso. Il
verso è dato dalla regola della mano destra.
Definizione di Ampére
L’Ampére è l’unità di misura della corrente elettrica secondo il S. I.
L’Ampére è definita come l’intensità di una corrente che attraversando due fili uguali, paralleli,
molto lunghi, posti alla distanza di 1 metro, fa sì che essi esercitino una forza reciproca di 2 107 N
per ogni metro della loro lunghezza.
Sostanza paramagnetiche e diamagnetiche.
Le sostanze paramagnetiche, poste in un campo magnetico si magnetizzano debolmente
contribuendo ad aumentare, seppur di poco, il campo magnetico in cui sono poste; quelle
diamagnetiche si magnetizzano debolmente, ma in senso opposto: il campo magnetico complessivo
risulta leggermente diminuito.
Se B0 è il campo magnetico esterno, Bm quello dovuto alla (debole) magnetizzazione della sostanza
e B quello complessivo, si ha: B B0 Bm .
Poiché Bm è proporzionale a B0, si può scrivere: B r B0
Per le sostanze paramagnetiche r è un numero molto vicino a 1 e maggiore di 1.
Per le sostanze diamagnetiche r è un numero molto vicino a 1 e minore di 1.
Esempi di sostanze paramagnetiche sono: l’alluminio, il sodio, l’ossigeno e l’aria.
Esempi di sostanze diamagnetiche sono: il rame, l’argento, il vetro e l’acqua.
Sostanze ferromagnetiche
Le sostanze ferromagnetiche, poste in un campo magnetico si magnetizzano fortemente aumentando
notevolmente il campo magnetico nel quale sono poste. Non vi è una proporzionalità diretta tra il
valore di B0 e quello Bm dovuto alla magnetizzazione, inoltre Bm dipende anche dalla ‘storia della
magnetizzazione’. La relazione tra campo magnetico esterno e campo magnetico complessivo è
rappresentata dal ‘ciclo di isteresi’.
Il ciclo di isteresi.
Se una sostanza ferromagnetica viene posta in
un campo magnetico la sua magnetizzazione non
è proporzionale al campo magnetico esterno, ma
dipende da esso e dalla sua ‘storia di
magnetizzazione’: infatti partendo dalla
situazione di completa smagnetizzazione,
aumentando il campo magnetico esterno,
dapprima il campo B totale aumenta abbastanza
–Bs
Bs
B0
rapidamente poi più lentamente fino a
raggiungere una condizione di ‘saturazione’
dove praticamente non aumenta più in
corrispondenza ad un valore Bs. Se poi si
diminuisce il campo magnetico esterno, il campo
B totale non ripercorre il cammino precedente
(nel diagramma) e quando il valore di B0 si porta
a 0, la sostanza rimane magnetizzata: tale
magnetizzazione si chiama magnetizzazione residua. Per smagnetizzare completamente la sostanza
è necessario invertire il campo magnetico esterno fino ad un valore -Bs. Il ciclo continua fino a
raggiungere una magnetizzazione di saturazione di verso opposto ed una magnetizzazione residua
opposta, completandosi come in figura.
Il ferro o l’acciaio dolce hanno un ciclo stretto, cioè una debole magnetizzazione residua, l’acciaio
ha un ciclo più largo e quindi una forte magnetizzazione residua.
L’ elettromagnete
L’elettromagnete è costituito da una barra di ferro (o di acciaio ‘dolce’ – acciaio con un piccolo
contenuto di carbonio) attorno a cui è avvolto a spirale un filo conduttore (bobina).
Se il filo è attraversato da corrente, il ferro si magnetizza e genera attorno ad esso un forte campo
magnetico; se si interrompe il passaggio di corrente il ferro si smagnetizza. L’elettromagnete è un
quindi un magnete ‘a comando’
La smagnetizzazione del ferro è dovuta al fatto che per il ferro (come per l’acciaio ‘dolce’) la
magnetizzazione residua è molto piccola: cioè la curva di isteresi del ferro è molto schiacciata.
Gli elettromagneti sono utilizzati, ad esempio, nei campanelli elettrici, nei microfoni e negli
altoparlanti.
Legge di Faraday-Neumann
Attraverso alcune esperienze, è possibile mettere in evidenza che se varia il flusso di B concatenato
con un circuito, il circuito stesso viene percorso da una corrente, chiamata corrente indotta. La legge
di Faraday-Neumann stabilisce la seguente legge:
B
d B
o, in forma differenziale f
f
t
dt
dove f rappresenta la forza elettromotrice indotta (che fa fluire la corrente indotta).
Il segno – è stato posto da Lenz e stabilisce il verso della corrente indotta.
Legge di Lenz
Stabilisce il verso della corrente indotta e può essere espressa nel seguente modo:
Inverso della corrente indotta è tale da produrre un campo magnetico che si oppone alla causa che
l’ha generata, ovvero alla variazione del flusso di B.
Ciò comporta che se il flusso di B aumenta, il campo magnetico prodotto (dalla corrente indotta)
tenderà a rallentare questo aumento e sarà quindi opposto a B; se il flusso diminuisce, il campo
magnetico prodotto tenderà a rallentare questa diminuzione e avrà quindi lo stesso verso di B.
Autoinduzione
Questo fenomeno avviene quando in un qualsiasi circuito varia la corrente: il flusso di B,
concatenato con il circuito, varierà e quindi nello stesso circuito si produrrà una corrente indotta che
si sovrapporrà alla corrente del circuito. Il fenomeno sarà molto evidente se nel circuito sono
presenti solenoidi, perché in essi la variazione di B sarà amplificata (il campo magnetico nel
solenoide è grande: B 0 ni )
è costante, si
B
Poiché il flusso di B risulta sempre proporzionale alla corrente i, il rapporto
i
indica con L e prende il nome di coefficiente di autoinduzione o induttanza.
F.e.m. e corrente alternata
Se una spira conduttrice ruota in un campo magnetico (disegno per illustrare l’asse di rotazione), si
produce in essa una forza elettromotrice alternata (e quindi anche una corrente alternata), la cui
intensità e la cui frequenza dipendono dalla velocità angolare della rotazione
B BS cos t
E applicando la legge di Faraday
d B
fem
BS sin t f 0 sin t
dt
f
i 0 sin t i0 sin t
R
La trasformazione della corrente alternata
L’energia elettrica, dovendo essere trasportata a grandi distanze dal luogo di produzione, si disperde
(dissipa) in parte per effetto Joule. La potenza dissipata è data dalla relazione P i 2 R .
Per ridurre tale perdita si può diminuire la resistenza; ciò equivale ad utilizzare materiali a bassa
resistività (argento, che è molto costoso) oppure ad aumentare la sezione dei cavi: evidentemente
non è possibile utilizzare cavi molto grossi. Un’altra possibilità è quella di ridurre la corrente e
questo è possibile aumentando la tensione: infatti a parità di potenza impegnata la corrente è
inversamente proporzionale alla tensione. Questo è il motivo per cui l’energia elettrica viene
trasportata dopo aver elevato la tensione a centinaia di migliaia di Volt e per essere utilizzata nelle
abitazioni la tensione viene ridotta a 220 V.
Per elevare o ridurre la tensione si usano i trasformatori: essi sono costituiti da un nucleo di ferro sul
quale sono avvolte due bobine. Se la prima è attraversata da una corrente alternata di intensità i1,
nella seconda si genera una corrente alternata indotta di intensità i2. Si può dimostrare che le forze
elettromotrici che generano tali correnti sono direttamente proporzionali al numero di avvolgimenti
delle rispettive bobine.
f
n
In formula: 2 2
f1 n1
Operando quindi sul numero di spire e possibile aumentare o diminuire le forze elettromotrici e
quindi diminuire o aumentare le correnti.
Il campo elettrico indotto
Una variazione di campo magnetico produce una corrente indotta. Tale corrente indotta può
considerarsi generata da una forza elettromotrice indotta (fem).
W
Ricordando che f em
(W = lavoro compiuto dalle forze del campo elettrico), e che W F l ,
q
n
n
n
k 1
k 1
k 1
per il campo elettrico indotto risulta W Fk lk = qEk lk pertanto f em Ek lk E .
Quindi per la legge di Faraday risulta E
d B
dt
Il campo elettrico indotto esiste anche se non vi è alcun supporto metallico (circuito) entro cui
circola una corrente elettrica.
Equazioni di Maxwell
Q
E
B 0
E
legge di Gauss
0
legge di Gauss per il magnetismo
d B
dt
legge di Faraday-Neumann e Lenz
d E
legge di Ampére + Maxwell
B 0 i 0
dt
Significato fisico delle leggi di Gauss:
Le cariche elettriche si possono isolare all’interno di una superficie chiusa, i poli magnetici no.
Significato fisico delle leggi della circuitazione:
Se il valore del flusso di B non cambia, il campo elettrico (campo elettrico statico) è conservativo.
Il campo magnetico non è mai conservativo.
Caratteristiche delle onde elettromagnetiche
Sono onde trasversali
Viaggiano alla velocità della luce: 3x108 m/s
Hanno lunghezze d’onda che vanno da 10 km fino a 10-15 m
A seconda della lunghezza d’onda presentano caratteristiche diverse:
Onde radio
(104 – 10-1)m;
trasmissioni radiofoniche e televisive; superano
piccoli ostacoli, non le montagne, hanno bisogno
di ripetitori
Microonde
(10-1 – 10-3)m;
trasmissioni telefoniche e cellulari; radar; sono
raccolte da riflettori parabolici
-3
-6
Radiazioni infrarosse
(10 – 10 )m;
sono responsabili della sensazione di calore
Radiazioni visibili
(7x10-7 – 4x10-7)m; permettono la visione perché sono intercettate
dall’occhio umano
Radiazioni ultraviolette
(4x10-7 – 10-8)m;
favoriscono diverse reazioni chimiche
-8
-11
Raggi X
(10 – 10 )m;
sono prodotti dall’impatto di elettroni veloci
contro un bersaglio metallico; sono usati in
medicina per eseguire lastre fotografiche che
permettono la visione di organi interni al corpo
umano: infatti attraversano facilmente la carne
-12
Raggi gamma
(<10 )m
sono emessi da nuclei atomici radioattivi; sono
radiazioni molto penetranti
