UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI PALERMO
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Corso di laurea in Ingegneria Informatica
Programma del Corso di Matematica 1
anno accademico 2006-2007
Prof. Alfonso Di Bartolo
CALCOLO DIFFERENZIALE Pendenza di una retta e coefficiente angolare. Rapporto
incrementale e derivata in un punto. Condizione necessaria per la derivabilità in un punto.
Equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Derivata destra e derivata sinistra.
Punti angolosi, punti di cuspide e punti a tangente verticale. Derivate di somme, prodotti,
quozienti, funzioni composte e funzioni inverse. Derivate di funzioni pari e di funzioni
dispari. Derivate delle funzioni elementari. Derivata logaritmica. Punti di massimo e minimo
relativo. Teorema di Fermat. Teorema del valor medio di Lagrange. Condizioni sufficienti per
la monotonia di una funzione derivabile in un intervallo. Derivate successive. Funzioni
strettamente convesse e strettamente concave. Caratterizzazione della convessità e della
concavità in termini di f’ e di f’’. Asintoticità. Asintoti orizzontali ed asintoti obliqui.
Condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di un asintoto obliquo. Studio dell'iperbole
equilatera x2-y2=1. Studio del grafico di una funzione. Formula di L’Hôpital. Polinomi di
Taylor. Formula di Taylor con il resto di Peano. Applicazioni al calcolo dei limiti.
INTEGRALI INDEFINITI Primitive e integrale indefinito di una funzione continua in un
intervallo. Primitive delle funzioni elementari. Linearità dell’integrale. Regola di integrazione
Ax B
per parti. Formule di cambiamento di variabile. Integrali di funzioni del tipo
e
ax 2 bx c
2
ax bx c . Integrazione delle funzioni razionali: metodo dei fratti semplici e formula di
Hermite. Integrali riconducibili a integrali di funzioni razionali. Cambiamenti di variabile di
tipo esponenziale e di tipo trigonometrico.
INTEGRALI DEFINITI Integrale di Riemann per f : [a,b] --> R continua. Integrale delle
funzioni costanti. Positività, monotonia e linearità dell'integrale di Riemann. Disuguaglianza
"triangolare". Additività rispetto agli intervalli. Approssimazione numerica dell'integrale.
Interpretazione geometrica. Integrali di funzioni continue a tratti. Funzioni integrali e loro
proprietà. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e formula di
cambiamento di variabile. Media integrale. Teorema della media integrale. Integrali di
Riemann di funzioni pari, dispari e periodiche. Integrali impropri: definizione, interpretazione
geometrica, linearità ed esempi notevoli. Teorema di regolarità. Criteri di confronto e altri
criteri di convergenza.
SERIE NUMERICHE E SERIE DI POTENZE Regolarità delle successioni monotòne.
Successioni definite per ricorrenza. Definizione e carattere di una serie numerica: somme
parziali, serie convergenti, divergenti ed indeterminate. Condizione necessaria per la
convergenza di una serie. Serie armonica e serie armonica generalizzata. Linearità. Serie a
termini di segno costante. Teorema di regolarità. Criteri di confronto. Serie geometriche.
Criterio del rapporto e criterio della radice per successioni e per serie. Convergenza assoluta
e convergenza semplice. Serie a termini di segno alterno. Criterio di Leibniz. Serie di
potenze. Intervallo e raggio di convergenza. Somma di una serie di potenze. Teorema di
derivazione ed integrazione. Serie di Taylor. Esempi notevoli. Prodotti e quozienti di serie di
Taylor. Applicazioni al calcolo di integrali definiti ed alla soluzione di equazioni
differenziali.
Materiale didattico
M. Bertsch e R. Dal Passo, Elementi di Analisi Matematica, Aracne.
E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringheieri.
P. Marcellini e C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. 1, Liguori Editore.
